Общая часть Математика

Теория полупроводников является составной частью физики твердого тела, которая сформировалась на базе квантовой механики, статистической физики и термодинамики. Основные свойства полупроводников могут быть правильно поняты только в свете этих наук. Без этого изложение теории полупроводников свелось бы к простому перечислению экспериментальных данных. Большая часть современной литературы по полупроводникам требует от читателя достаточно глубоких знаний перечисленных наук. Данная книга рассчитана на читателя, предварительная подготовка которого ограничивается изучением курсов общей физики и химии и начал высшей математики в объеме, предусмотренном программами для средних учебных заведений. В связи с этим первые две главы книги посвящены вопросам термодинамического равновесия, различимости и неразличимости микрочастиц, скоростей молекулярных процессов, а также природы химической связи и кристаллического строения твердого тела. [c.5]

Изложение общей и неорганической химии студентам химико-технологических специальностей требует некоторых особенностей, поскольку знакомство с этой дисциплиной происходит в первый год обучения до прохождения курсов математики и физики. В связи с этим обязательной составной частью курса общей и неорганической химии должен быть теоретический раздел, который состоит из основ учения о строении вещества и теории химических процессов. Очевидно, что соотношение между теоретической и описательной частями, полнота и порядок изложения материала требуют дальнейшей методической работы. [c.3]

Ббльшая часть этой книги связана с решением задач, после того как они сведены к математической форме. Несомненно, верно, однако, что больше трудностей и ошибок возникает при формулировании задачи, чем в процессе математического решения — замечание, банальное среди математиков-прикладников [8]. Далее мы постараемся дать некоторое руководство по формулированию задач, но некоторые общие замечания имеет смысл привести и здесь. [c.29]

Математику легко убедить себя в том, что теоретическая гидродинамика в основном непогрешима. Так, Лагранж ) писал в 1788 г. Мы обязаны Эйлеру первыми общими формулами для движения жидкостей... записанными в простой и ясной символике частных производных... Благодаря этому открытию вся механика жидкостей свелась к вопросу анализа, и будь эти уравнения интегрируемыми, можно было бы в любом случае полностью определить движение жидкости под воздействием любых сил... Многие из величайших математиков, от Ньютона и Эйлера до наших дней, штурмовали задачи теоретической гидродинамики, веря в это. И в их исследованиях, часто вдохновляемых физической интуицией, были введены некоторые из наиболее важных понятий теории уравнений в частных производных функция Грина, вихревая линия, характеристика, область влияния, ударная волна, собственные функции, устойчивость, корректность задачи —таков неполный список. [c.16]

Я жил рядом с товарищами,— писал он,— не только теми математиками, с которыми вместе слушал все общие науки на первых двух курсах, но и с филологами, историками и экономистами другого факультета, и я никогда не забуду тех столкновений во мнениях, которые у нас часто бывали и немало послужили к общей полировке всех нас [c.13]

При формализации задачи оптимизации возникает важное диалектическое противоречие. Задача распадается на три основных этапа. Первый — формулирование задачи, приведение ее к одной из стандартных форм. Второй — нахождение оптимальных условий на основе алгоритма оптимизации. Третий — реализация оптимальных условий на практике. Так вот, методы решения на первом и втором этапах противоположны друг другу второй этап, как правило, целиком формализован на основе алгоритма решения, а первый этап неформален, и никакая математика не поможет ликвидировать это противоречие, потому что первый этап решения Задачи связывает конкретные особенности объекта с общим методом решения. Поэтому именно при формулировании задачи часто возникают большие трудности. Как это ни парадоксально, но иногда именно неформальный этап оказывается ключевым, определяющим успех решения задачи в целом. [c.177]

Но как прикладные познания немыслимы без абстрактных (общих, теоретических), так капиталы — без богатств, потому что первые суть только части или производные от вторых. Как расчет сил, действующих в промышленном сооружении или машине, неизбежно требует суммы твердых познаний, накопленных в математике, механике, оптике и химии, чтобы [c.578]

Мне бы не хотелось развивать эту сторону дела, потому что она мне кажется очень печальною, и я думаю, что можно не развивать этого, потому что всякий сознательный человек найдет кругом себя много примеров, ее подтверждающих. Бывши первоначально профессором не только Университета, но и различных узкоспециальных учебных заведений, подобных Инженерной академии, Институту путей сообщения и Технологическому институту, я из жизни извлек эту мысль и на основании этого утверждаю, что дело высшего образования, даже специального, много теряет в узкоспециальных заведениях, потому именно, что товарищи других специальностей влияют на все развитие слушателей едва ли меньше, чем профессора. Когда я учился в Главном педагогическом институте на отделении естественных наук, я жил рядом с товарищами, не только теми математиками, с которыми вместе слушал все общие науки на первых двух курсах, но и с филологами, историками и экономистами другого факультета, и я никогда не забуду тех столкновений во мнениях, которые у нас часто бывали и немало послужили к общей полировке всех нас. На основании сказанного, и имея в виду необходимость множества специальностей и громадное их развитие, я полагаю, что наилучшие плоды от высших учебных заведений получатся лишь тогда, когда в каждом из них будет много разнородных специальностей или факультетов. [c.192]

Математики предыдущего века накопили огромный фактический материал, создали много неожиданных направлений и открыли множество задач совершенно нового типа. К сожалению, при этом не только вся математика, но даже отдельные ее части стали необозримыми. Неудовлетворенность подобным положением усиливалась тем, что в различных, казалось бы, далеких друг от друга теориях угадывалась общая логика рассуждений. Возникла надежда заменить несколько таких теорий одной более абстрактной. Работы в этом направлении создали новую область — функциональный анализ. [c.87]

Построим рассказ о функциональном анализе, исходя из представления о математике как о науке, занимающейся поиском методов решения задач. Будем говорить о задачах, в которых неизвестными являются функции в широком смысле этого математического термина. Условие таких задач обычно состоит из двух частей общей и специальной. [c.98]

Весьма часто кинетическая схема приводит к системе дифференциальных уравнений, которую нельзя решить в общем виде. Существуют различные приемы и упрощающие допущения, которые позволяют обойти эти трудности. Некоторые из них мы рассмотрим ниже. В общем случае необходимо прибегнуть к помощи математиков. Современная вычислительная техника позволяет осуществить численное интегрирование весьма сложных уравнений и подобрать значения констант скорости, наилучшим образом описывающие экспериментальные данные. Если кинетическая схема была задана неправильно, то, строго говоря, ни при каких значениях констант не удастся добиться хорошего совпадения теоретической кинетической кривой с экспериментальной. [c.33]

Построение модели — самая тонкая и ответственная часть математического моделирования. При этом требуется не только и не столько знание математики, сколько глубокое понимание сушности описываемых явлений. Освоение методов кибернетики химикам и-технологами создает базу для овладения принципами построения математических моделей процессов химической технологии. Построение любой математической модели начинают с формализованного описания объекта моделирования. При этом наиболее общим приемом разработки математического описания, как уже отмечалось выше, является блочный принцип. Согласно этому принципу, составлению математического описания предшествует анализ отдельных элементарных процессов, протекающих в объекте моделирования. [c.113]

Эта книга написана с целью перекинуть мост между динамическим программированием как математической дисциплиной и динамическим программированием как средством решения встречающихся в технике задач. Предлагаемый подход к решению задач особенно важен для технологов и, в частности, химиков-технологов, которые часто сталкиваются с многостадийными процессами принятия решений. Динамическое программирование имеет дело с самыми общими процессами такого типа. Это процессы, в которых на каждой стадии должно быть принято решение таким образом, чтобы его результат был оптимальным с точки зрения всего процесса, а не отдельной стадии. Стадии могут быть интервалами времени или этапами процесса. Многостадийные процессы принятия решений встречаются как в математике, так и в технике. Задача, как израсходовать месячную зарплату так, чтобы прожить оптимально период между выплатами жалованья, представляет собой мучительно знакомый всем многостадийный процесс принятия решений. [c.11]

При формулировке задач в терминах динамического программирования часто возникают затруднения. Как и в других разделах математики, здесь весьма существенна формулировка задачи. Часто неудачная формулировка влечет за собой путаницу или вообще неблагоприятный исход. В отличие от линейного программирования, где симплекс-метод является универсальным методом, в динамическом программировании отсутствует общий алгоритм, пригодный для всех задач. Каждая задача имеет свои собственные трудности, и в каждом случае требуется уметь найти наиболее подходящую методику оптимизации. [c.23]

Если в точных науках, например в физике, математические методы давно уже стали их неотъемлемой частью, то при изучении биологии и смежных с ней наук математические методы и физические законы используются еще недостаточно. Отсутствие интереса к математике со стороны биологов в прошлом частично оправдывалось традиционно качественным подходом к изу нию биологических проблем и медленным развитием наших представлений о степени сложности живых систем. Можно надеяться, однако, что в самом недалеком будущем математическая подготовка всех студентов будет непременно включать курс математического анализа, элементы которого, возможно, будут освоены еще в средней школе. Тогда будет значительно легче устанавливать связь между различными дисциплинами, и во всех средних и высших учебных заведениях курс общей биологии будут слушать студенты, уже вооруженные знаниями по физической химии. Но пока на это рассчитывать не приходится. [c.11]

Вывод расчетного уравнения. В уравнении (I, 134) определены, таким образом, все переменные, которые оказывают влияние на соотношение рассеяния частичек в произвольно отобранной пробе смеси. Для последующих выводов используем уравнения предыдущего параграфа. При этих преобразованиях применяются общие правила дифференциального исчисления, подробно описанные в учебниках математики. Здесь изложены только некоторые основные принципы, необходимые для дальнейших выводов, и поясняется необходимая символика. [c.100]

Этой важной теме и посвящена книга Уатта. Она делится на две части. В первой сделана попытка дать общую теорию управления естественны.ми ресурсами, в том числе кх охраны во второй описаны новые приемы оптимального управления ресурсами, основанные на широком применении прикладной математики вычислительной техники. [c.367]

Исторически становление теоретической газовой динамики послужило не только пониманию и описанию общей структуры происходящих в сжимаемых средах физических процессов, 1 азовая лина,мика оказала также заметное влияние на развитие математики, главным образом ее части, связанной с теорией дифференциальных уравнений. Она вдохнула жизнь в целые математические направления — теорию разрывных решений дифференциальных уравнений, теорию уравнений смешанного типа, теорию квазиконформных отображений. Она стимулировала развитие теории сингулярных интегральных уравнений, группового анализа дифференциальных уравнений, функционально-аналитических и топологических методов исследования краевых задач. Она обогатила математику рядом важных понятий, таких как вырождение типа дифференциальных уравнений, сильный и слабый разрывы в решениях, градиентная катастрофа, сильная и слабая нелинейности, инвариантное и частично инвариантное решения, автомодельное решение и т. п. [c.10]

Поставим теперь несколько более общую задачу. Нас часто интересуют периодические или почти-периодические силы /( ). Их можно представить в виде суммы синусоид с различными периодами (математика нас учит, как это следует делать). Если мы это сделаем, то получим уравнение вида [c.171]

Зависимость и от 8, описываемая уравнением Михаэлиса—Ментен, часто изображают графически как равнобочную гиперболу. Однако подобный вид графического представления этой зависимости иногда вызывает недоумение, поскольку те гиперболы, с которыми оперирует математика, всегда имеют две ветви, в то время как график зависимости у от я имеет, очевидно, только одну ветвь. Кроме того, уравнение Михаэлиса—Ментен и = 81 Км + ) имеет на первый взгляд мало общего с обычным выражением для равнобочной гиперболы, асимптотами которой являются оси хну, [c.54]

Основной отличительной чертой книги Дж. Вертца и Дж. Болтона является то, что в ней содержится материал, достаточный для полного освоения теории и техники ЭПР в том объеме, который необходим экспериментаторам, не являющимся специалистами в радиоспектроскопии как таковой. Действительно, с одной стороны, в монографии можно найти ответы почти на все вопросы, возникающие при регистрации и интерпретации спектров ЭПР самых различных систем. С другой стороны, для понимания изложенного материала не требуется предварительных знаний, выходящих за пределы общих курсов математики и физики для естественных факультетов. Это не значит, что книга элементарно проста. Овладение методом потребует от читателя настойчивости при освоении теоретических основ и разборе многочисленных конкретных примеров. В отличие от многих книг такого типа монография Дж. Вертца и Дж. Болтона почти не содержит ничего лишнего. Авторы не увлекаются обзором отдельных экспериментальных данных и целых областей науки, в которых используется метод ЭПР. Подобные обзоры часто устаревают еще до публикации. Данная книга посвящена принципам методов анализа и интерпретации спектров ЭПР, а конкретные примеры приводятся только в иллюстративных целях. Особенно полезны задачи, помещенные в конце каждой главы. Я полагаю, что те из читателей, кто решит все задачи, могут считать себя подготовленными для практической работы в этой области. [c.5]

Пакеты прикладных программ с ориентацией па проблему являются средством повышения эффективности решения прикладных задач в различных областях народного хозяйства. Их создание базируется на стремлении объединить в единое целое достижения в области решаемой проблемы, вычислительной математики и вычислительной техники. Конечным результатом разработки является программно-аппаратный комплекс, позволяющий пользователю с желаемой точностью, максимальной простотой и удобством решать появляющиеся в процессе его деятельности проблемы. Очевидце, создание таких пакетов — задача не только сложная в смысле формулирования и описания проблемы, разработки необходимых алгоритмов, но и трудоемкая. Для ее решения обычно привлекаются специалисты различных профилей — технологи, математики, программисты. Кроме того, в зависимости от сложности проблемы последняя может быть разделена на отдельные под-проблемы, каждая из которых решается самостоятельно в рамках общей цели. Такое разделение на подпроблемы обычно производится исходя из специфики отдельной части общей задачи. При наличии структурной или функциональной организованности алгоритмов части проблемы она может выступать в качестве подсистемы. При моделировании реакторных процессов, нанример, в качестве отдельных частей можно выделить установление механизма реакции, оценку кинетических констант, модель реактора и т. д. Помимо относительной независимости этих частей можно было бы выделить их и исходя из последовательности использования в процессе моделирования реактора. [c.282]

Очевидно, что логика является важной частью всякой теории. Она состоит из набора общепринятых правил, которые люди согласились использовать при выводе следствия из предположений. Есть два вида логики качественная, или общая, логика и количественная, или математическая. Если наши данные и обобщения количественны, нам необходима математика для построения теории, которая установит количественные соотношения между обобщениями и предскажет их новые варианты. Вот почему научные теории математичны. [c.21]

Во второй библиотеке личного кабинета Менделеева. (НАМ) имеется т. 159, включающий в себя работы различных химиков, посвященные периодическому закону. Нод шифрами № 8—10 в него вплетены три части большого исследования Браунера, носящего общее название К химии церитовых металлов ( Beitrag zur hemie der e-ritmetalle ) [7—9]. Они были напечатаны в Отчетах о> заседаниях математико-естественнонаучного класса кайзеровской Академии наук в Вене за 1881, 1882 и 1885 гг. Первые две части Браунер выполнил в лаборатории Оуэн-ского колледжа в Манчестере, последнюю — в химической лаборатории Пражского университета. [c.81]

Между тем материал этих разделов, гораздо более трудный по сравнению с описательной частью курса Общей химии , чрезвычайно важен и необходим для сознательного изучения этой части курса. Трудность этого материала для учителей химии обусловлена тесной связью его с физическими явлениями и понятиями, а также необходимостью применять некоторые математические выкладки. Нечего греха таить л ногим учителям химии, забывшим завет великого Ломоносова, присуще стремление отгородиться от всякого контакта с физикой и математикой. Увы — это попытка, обреченная на неудачу. Сферы влияния между химией и ее родной сестрой — физикой не разграничены. Целый ряд явлений и понятий принадлежат одновременно обеим наукам. К этим явлениям и понятиям относятся катодные, рентгеновы, радиоактивные лучи, фотоэлектрический эффект, строение и возникновение спектров материя, вещество, ноле масса и энергия и их взаимосвязь диполи, поляризация ядерные превращения, [c.4]

Говоря вообще, химия, излагаемая студентам 1-го курса, по моему мнению, должна включать по возможности все отделы химических знаний в их главных частях, служащих необходимою подготовкою как для слушания специальных частей химии, так и для физико-математического развития и общего образования, достигаемых на факультете. Изложение этого предмета может и должно подготовить ум слушателей, привыкших при классическом образовании обращаться лишь с конечными и условными продуктами челове 1еского ума, истории и языка, к такой покорности безусловным бесконечным и общим законам природы, которая не исключает, а обусловливает научную пытливость, выражающуюся в гипотезах, теориях, наблюдениях, измерениях и опытах, находящих приложение в разнообразнейших областях чисто абстрактного и чисто прикладного знания. Студент, прослушавший общий курс химии, должен получить уверенность в истинной силе знания, берущего начало в наблюдении, развитие в умозрении и проверку в опыте, здесь столь доступном для демонстрации и для понимания. Таковы должны быть результаты знакомства с общею химиею частности здесь — только средства для слушателя знакомство с ними есть только побочный продукт выработки истинно современно-образованного человека, воспитать которого — задача университетов. Этими соображениями выясняется не только неизбежность, но и содержание того курса химии, который излагается начинающим математикам и натуралистам. [c.349]

Доказать непротиворечивость какой-либо теории представляется на первый взгляд очень трудной, почти невыполнимой задачей. В самом деле, как проследить все мыслимые следствия из аксиом данной теории и убедиться, что никакие два из них не противоречат друг другу К счастью, имеется простой общий метод, который упрощает эту задачу и часто приводит к цели. Вспомним, что противоречивая система аксиом не имеет ни одного реального или мыслимого объекта, который бы ей удовлетворял. Поэтому теория непротиворечива, если удалось найти хотя бы один подобный объект. Именно таким образом в 1860 г. итальянский математик Эженио Бельтрами (1835-1899) доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского-Болиаи. Он открыл поверхность, на которой действительно выполняются все аксиомы этой геометрии. Существование такой поверхности и ее свойства вытекают из аксиом геометрии Евклида [c.93]

Одной из загадок науки Эйнштейн считал возможность исследования природы с помощью математики. Разделяя мнение великого ученого, мы хотим отметить, что применять математику к изучению явлений природы было бы невозможно, если бы не абстракция. Часто подчеркивают единство природы. Все связано со всем. К счастью, это не конструктивная формула. Явления, тела, разнообразные типы движения естественным образом вычленяются из общей массы. Это свойство мира, в котором мы существуем, представляет собой необходимое условие возможности его изучения. Невозможно было бы исследовать явления природы, если бы каждое из них зависело от всех остальных. Само понятие явление предполагает выделенность из всего происходящего. [c.344]

Надо сказать, что уравнения химической кинетики являются благодатным объектом исследования для математиков. С одной стороны, этот класс дифференциальных уравнений обладает своей спецификой, при их анализе могут быть получены содержательные результаты. С другой стороны, он является достаточно общим. Например, в том смысле, что множество уравнений химической кинетики всюду плотно во множестве динамических систем. С этим легко согласиться, вспомнив, что на любом конечном отрезке времени всякая достаточно гладкая динамическая система может быть аппроксимирована с любой наперед заданной точностью динамической системой, правые части которой представляют собой конечный ряд Тейлора. Если после этого воспользоваться теоремой Е. М. Корзухина (о возможности аппроксимации динамической системы с полиномиальными правыми частями системой уравнений химической кинетики, правые части которой в простейшем случае закона действующих масс являются специальными полиномами, о.вечающими заданной схеме превращений), то справедливость высказанного предположения становится вполне реальной. [c.23]

Современные работы французского математика Рене Тома [66, 67], посвященные структурной устойчивости градиентных систем, стали в настоящее время очень популярными и известны под названием теории катастроф. Теорию катастроф Тома можно рассматривать как часть общей теории структурной устойчивости динамических систем (см. приложение). Для случая, когда число параметров системы не больше четырех ((Пт С 4), Том смог дать общую классификацию возможных типов структурных неустойчивостей (катастроф). Он доказал, что существуют лишь семь различных типов элементарных катастроф независимо от числа степеней свободы. Несомненно, что современная математическая теория катастроф представляет большой интерес для качественного анализа динамических систем. В последнее время удалось применить эту теорию и к неградиентным системам [68] (см. приложение). [c.69]

В настоящее время можно считать задачу теоретического краткосрочного прогноза погоды — принципиально решенной (главным образом советскими гидродинамиками). Совсем иначе обстоит дело с теорией долгосрочных прогнозов погоды. Здесь широко распространенные современные методы синоптики и динамической метеорологии основаны на совершенно различных принципах, но обычно страдают одним недугом, общим для всех в шяхмало физики. С одной стороны, чисто синоптические исследования связывают погоду с блужданием обособленных воздушных масс, наделенных слишком большими правами, слишком большой самостоятельностью и не несущих никаких обя-занностей по отношению к закону причинности. С другой стороны, исследования математиков-гидродинамиков очень часто носят формальный характер они не подкреплены знанием физических процессов, по которым можно было бы сколько-нибудь надежно судить о граничных условиях при интегрировании дифференциальных уравнений. Неясными остаются в них не только условия на верхней границе (где, как мы видели в 14, представления о воздушных потоках нуждаются в коренной перестройке), но и условия на нижней подстилающей поверхности, вполне доступной физическому исследованию. Чаще всего математики склонны ограничиваться исследованием явлений, которые протекают на высоте 5 км над подстилающей поверхностью, чтобы не учитывать большие осложнения, которые вносятся теми или иными местными географическими особенностями. [c.647]

Большая часть отд. I — Математические таблицы , а именно, часть, содержащая обычные математические таблицы, встречающиеся в любых справочниках общего типа. Из этого отдела сохранены только те таблицы, которых нет в обычных справочниках для инженеров и одновременно весьма необходимые для технологических расчетов, например. Таблицы дробных степеней и др. Эти таблиць даны в приложении к тому I. По тем же соображениям исключен и отд. II —. Математика . [c.8]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология