Система эргодическая

Другой подход вычислительного эксперимента в теории жидкостей заключается в интегрировании уравнений движения частиц, образующих систему. Средние значения величины А определяют при этом усреднением по времени, в течение которого рассматривается эволюция системы. Согласно эргодической гипотезе, эта оценка должна совпадать с (7.3). Этот подход называют методом динамики, и к его преимуществу, по сравнению с методом Монте-Карло, следует отнести возможность вычисления транспортных характеристик многочастичной системы. Однако необходимо отметить, что расчеты методом Монте-Карло дают более устойчивые результаты. [c.119]

Пусть i (x) — корреляционная функция эргодического стационарного случайного процесса и 1) на входе линейной системы [c.322]

В статистической физике вычисляются именно средние по ансамблю, хотя, как было отмечено ранее, практический интерес представляет поведение индивидуальной системы во времени, т. е. требуется знание средних по времени. Делается допущение, что средние по ансамблю и средние по времени для физических систем совпадают (эргодическая гипотеза), и это допущение подтверждается совпадением вычисленных средних по ансамблю со средними значениями по времени, взятыми из опыта. Проблемы, которые возникают при сопоставлении сред- [c.47]

Доказательство равенства средних по времени и фазовых средних для метрически транзитивных систем — большое достижение эргодической теории, но, к сожалению, очень трудно доказать, является ли система с заданной функцией Гамильтона метрически транзитивной или нет. Решение получено лишь для немногих частных случаев. Если иметь в виду выводы общего физического характера, то по существу эргодическая теория пока не разрешила вопроса о равенстве фазовых средних и средних по времени. [c.57]

Строгая математическая основа решения вопроса о равенстве средних по времени и фазовых средних создана в работах 30-х годов, результатом которых явилась сформулированная эргодическая теорема. Было доказано равенство средних по времени и фазовых средних для метрически транзитивных систем и тем самым эргодическая проблема была сведена к вопросу о том, является система метрически транзитивной или нет метрическую транзитивность некоторых классов систем удалось доказать, хотя в общем виде решение не получено . [c.58]

С термодинамической точки зрения предельные циклы имеют огромное теоретическое значение из-за своей эргодичности от какого бы состояния ни началось движение, конечным состоянием будет всегда одна и та же периодическая траектория. В этом смысле имеется аналогия с эргодическими процессами в статистической механике, когда система, независимо от начального условия, переходит в равновесное состояние ). [c.221]

В условиях предложения 9.1 переход от первой системы ко второй может привести к замене одних периодических орбит другими с тем же 0, по без изменения виртуальных периодических точек и эргодических мер следовательно, 0 = 0. [c.225]

Когда имеется дополнительный интеграл движения, например угловой момент в цилиндрическом сосуде, энергетическая оболочка распадается на подоболочки, каждая из которых соответствует фиксированным значениям этих констант. Переходы между подоболочками невозможны. С другой стороны, эргодическая теория утверждает, что если система находится на определенной оболочке, ее движение покрывает всю оболочку при условии, что при определении этой оболочки были учтены все интегралы движения. [c.113]

Свертывание белковой цепи не может быть объектом рассмотрения классической равновесной термодинамики, поскольку последняя оперирует только усредненными характеристиками стохастических систем, обратимыми флуктуациями и функциями состояния, а поэтому ограничена изучением макроскопических систем с чисто статистическим, полностью неупорядоченным движением микроскопических частиц, взаимодействующих неспецифическим образом только в момент упругих соударений. Равновесная термодинамика в состоянии анализировать коллективное поведение множества частиц, не вдаваясь при этом в детали их внутреннего строения и не конкретизируя механизм равновесного процесса. Особенно важно отметить то обстоятельство, что для классической термодинамики все случайные флуктуации системы неустойчивы, обратимы и, следовательно, не могут оказывать заметного, а тем более конструктивного, воздействия на протекающие процессы. Все явления, самопроизвольно протекающие в изолированной системе, направлены, согласно термодинамике равновесных процессов, на достижение однородной системы во всех возможных отношениях. Сборка белка не отвечает основным положениям классической статистической физики эргодической гипотезе и Н-теореме Больцмана, принципу Больцмана о мультипликативности термодинамической вероятности и закону о равномерном распределении энергии по всем степеням свободы. Следование системой больцмановскому распределению вероятностей и больцмановскому принципу порядка, не содержащих механизма структурообразования из беспорядка, исключает саму возможность спонтанной сборки трехмерной структуры белка. Кроме того, невозможен перебор всех равноценных с точки зрения равновесной термодинамики и статистической физики конформационных вариантов. Даже у низкомолекулярных белков (менее 100 аминокислотных остатков в цепи) он занял бы не менее лет. В действительности же продолжительность процесса исчисляется секундами. Величина порядка 10 ° лет может служить своеобразной количественной мерой удаленности предложенных в литературе равновесных термодинамических моделей от реального механизма свертывания природной аминокислотной последовательности. [c.90]

Совокупность сообщающихся состояний называется замкнутой (изолированной, эквивалентной) группой. Если цепь имеет одну такую группу, она называется неразложимой (неприводимой). Если все состояния цепи образуют одну замкнутую группу и являются эргодическими, то цепь называется регулярной. Если для одного или нескольких состояний /7 , = 1 (сохранение состояния / достоверно) и к ним есть переход, то система постепенно задерживается в этом состоянии. В этом случае говорят о поглощающих абсорбционных) состояниях. Остальные состояния обязательно должны [c.651]

Системы, для которых осреднение по времени эквивалентно осреднению по ансамблю Гиббса, называются эргодическими. Есть примеры неэргодических систем таковыми являются системы без обмена энергий между составляющими их микрообъектами. Эргодичность систем с обменом энергией, хотя еще и не получила строгого доказательства в общем случае (есть частные примеры), допускается подавляющим большинством современных физиков. Некоторые физики даже считают доказательство эргодичности таких систем излишним (см., например, [1]). [c.14]

Считая, что для такой статистической системы, какой является макромолекула, справедлива эргодическая теорема, т. е. среднее по времени совпадает со средним по ансамблю, приходим к заключению [c.104]

Возвращаясь к основному направлению нашей дискуссии, вспомним, что вскоре после первого десятилетия нашего века было установлено, что эргодических систем не существует. Тогда были сделаны попытки доказать существование квазиэргодических систем. Система является (слабо) квазиэргодической, если точка системы на энергетической поверхности доходит как угодно близко до всех точек этой поверхности. [c.339]

Задача 5.26. Используя теорему Биркгофа, доказать, чта частица, ограниченная в своем движении замкнутой сферической идеально отражаюш ей стенкой, не является эргодической системой. [c.345]

Спрашивается, чем вообще мотивируется то, что вместо одной системы, нас интересующей, следует рассматривать множество ее копий Казалось бы, это должно только дать осложнение. В действительности же оказывается, что этот метод дает упрощение. Идея заключается в том, чтобы единовременно отобразить во взятом ансамбле историю интересующей нас системы в различные этапы ее развития. Согласно эргодической гипотезе, система рано или позднЬ пройдет через все возможные состояния, поэтому при должном выборе ансамбля мы единовременно имеем как бы фотографии одной системы в различные моменты ее истории. [c.138]

Допустим, что на вход системы (рис. 4.1) поступает реализация хЦ) стационарного эргодического случайного процесса х(1) , определенного в разд. 1.1. После затухания переходных [c.88]

Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом, показанную на рис. 5.1, где x(t) и y(t) — реализации стационарных эргодических случайных процессов, наблюдаемые одновременно на конечном временном интервале Согласно формуле (5.1), оптимальная оценка частотной характеристики системы имеет вид [c.112]

Пусть система (рис. 7.1) состоит из одного стационарного эргодического случайного входного процесса л( ), который вызывает т наблюдаемых выходных процессов yi t), 1=1, 2.....г. [c.163]

Эта глава посвящена выводу основных соотношений между процессами на входе и выходе многомерных систем. Предполагается, что на вход системы поступают реализации стационарных (эргодических) или переходных случайных процессов с нулевыми математическими ожиданиями, а системы линейны и имеют постоянные параметры. [c.198]

Чтобы лучше понять общий случай системы с q входными процессами, рассмотрим сначала показанную на рис. 10.1 систему, на вход которой поступают два стационарных эргодических или переходных случайных процесса. Предполагается, что входные процессы коррелированы друг с другом, но корреляция не идеальна, так что 0[c.247]

Движение систем от менее вероятных состояний к более вероятным отвечает, с термодинамической точки з рения, росту энтропии и необратимо. Но возможность обосновать термодинамические законы при помощи механики и понятия вероятности создает особую проблему, так как законы механики по отношению ко времени обратимы. Механические системы, ограниченные в пространстве, полная энергия которых не может быть меньше некоторого минимального значения, ведут себя так, что по истечении определенного промежутка времени система возвращается в любое исходное состояние (теорема Пуанкаре — Цермело). В сущности это означает обратимость какого угодно необратимого процесса. Макроскопическая необратимость таким образом наблюдается лишь для некоторых (может быть очень больших) промежутков времени. Системы, обладающие этими свойствами, называются эргодическими. Доказательство эргодичности той или иной системы во многих случаях вызывает сомнение. [c.43]

Если смеситель является линейной системой, а входящий в него сигнал описывается стационарной случайной функцией, обладающей эргодическим свойством, то можно записать следующие выражения [c.175]

В основе статистической термодинамики лежит гипотеза о том, что все. микросостояния системы, совместимые с заданными условиями (например, с условием постоянства энергии), математически равновероятны. Называют эту гипотезу различно, например, гипотезой равных априорных вероятностей, эргодической гипотезой и др. На первый взгляд представляется, что эта гипотеза не может отвечать реальной действительности. В самом деле, сравним два микросостояния моля газа. Пусть в одном он занимает весь объем сосуда, скажем. Юл, и молекулы его движутся хаотически. Будем считать, что такое микросостояние соответствует равновесному макросостоянию. В другом же все молекулы собрались в объеме 1 см и движутся параллельно. Представить себе самопроизвольный переход первого равновесного состояния во второе неравновесное действительно трудно. Однако гипотеза равных вероятностей приводит к правильным следствиям и, по-видимому, справедлива. Все дело в том, как часто встречаются те или иные микросостояния. [c.79]

Итак, простейшей моделью исследования надежности системы может быть простая однородная эргодическая цепь Маркова. Однако легко заметить, что эта модель слишком грубая и приближенная, ведь было введено много допущений, которые вряд ли будут выполняться на самом деле. Действительно, временной интервал М, равный одним суткам, был выбран произвольно, ремонт выключателя или замена лампы, т. е. процесс восстановления системы, может начинаться немедленно (ведь не будем же мы сидеть в темноте), и в течение суток возможна многократная смена состояний. Наконец, сами переходные вероятности зависят от длительности временного интервала, причем эта зависимость может иметь довольно сложный характер. Поэтому для вероятностного исследования надежности реальных систем (и не только таких простейших, но и более сложных) прибегают к следующему приему. [c.125]

Вместе с тем нельзя не отметить, что экстремумы плотности вероятности рз х) имеют с физической точки зрения более существенное значение. Приведенные выше соображения относительно шумов малой интенсивности о <С 1 показывают, что соответствующие состояния системы могут, рассматриваться как продолжение детерминированных стационарных состояний. В пользу такой интерпретации свидетельствует тот факт, что диффузионный процесс Xt становится эргодическим, если плотность вероятности Рз(х) нормируема. Как известно, из эргодичности процесса Xt следует, что произведение р5(х)(1х равно доле времени, которое произвольная траектория диффузионного процесса проводит в бесконечно малой окрестности точки х. Следовательно, максимумы плотности вероятности Рв х) являются [c.162]

Требуется, таким образом, развить более общий подход к вопросу, поставленному в начале этой главы. В этом разделе мы установим применимость анализа в терминах белого шума для системы общего вида с одной переменной и определим те количественные изменения в явлении фазового перехода, индуцированного шумом, которые вносит наличие конечных, хотя и малых времен корреляции шума. Другими словами, мы исследуем случай шума, весьма близкого к белому. Здесь мы рассмотрим лишь цветной шум, в частности ОУ-процесс. Удобным свойством ОУ-процесса является то, что в большом числе приложений он служит наиболее подходящей моделью для описания скоррелированных флуктуаций окружения кроме этого, подход, развитый ниже, оказывается в наилучшей степени приложим именно к ОУ-процессу. Подчеркнем, однако, что в принципе вся процедура, развитая ниже, может быть проведена и для любого марковского эргодического шума. [c.272]

Статистическая механика первоначально использовала так называемую эргодическую гипотезу Больцмана или же постулат непрерывности пути Максвелла. В соответствии с этими допущениями предполагалось, что фазовая точка любой изолированной системы поочередно пройдет через все состояния, совместимые с энергией системы, прежде чем вернуться в исходное положение в у-пространстве. Основное следствие Этого постулата состоит в том, что вероятность нахождения любой данной системы в определенном состоянии в произвольный момент времени равна вероятности нахождения в этом же состоянии другой системы, произвольно выбранной из соответствующего ансамбля. Другими [c.357]

В дальнейшем будет показано, что соответствие между объемом в у-пространстве и вероятностью нахождения фазовой точки для данной системы позволяет наметить связь между классической и квантовой механикой. Это обстоятельство следует признать дополнительным преимуществом постулата равных априорных вероятностей по сравнению с эргодической гипотезой. [c.359]

При расчетах состава и строения сополимеров, описываемых цепями Маркова, можно пренебречь конечностью степени полимеризации макромолекул и вычислять указанные статистические характеристики для полимерных цепей бесконечной длины. Это соответствует тому, что мы пренебрегаем переходами системы в поглощающее состояние и вместо поглощающих цепей Маркова рассматриваем эргодические цепи. Соотношения, приведенные [c.48]

Системы, для которых средние по времени и фазовые средние совпадают, будем называть эргодическими (эргодными), хотя этому термину иногда придают более узкий смысл (см. далее определение эргодичности по Больцману и Гиббсу). Как следует из сказанного выше, эргодичность системы — необходимое условие того, чтобы для нее принцип равной вероятности выполнялся. Но эргодичность физических систем в общем случае можно лишь постулировать. Поэтому постулатом является и зависимость (ПГ39). [c.57]

Вопрос о соотношении средних по времени и фаяовых средних впервые был поднят в работах Больцмана, связанных с теорией газов, где он высказал эрго-дическую гипотезу изображающая точка изолированной системы поочередно пройдет через все состояния, совместимые с данной энергией системы, прежде чем вернуться в исходное положение в фазовом пространстве. Равносильной является другая формулировка фазовая трактория изолированной системы проходит через каждую точку поверхности постоянной энергии, т. е. покрывает всю поверхность. Гиббс распространил эргодическую гипотезу на ансамбли физических систем любого тина и рассматривал ее как обоснование зависимости (П1. 39). Предположив, что при равновесии постоянство р выполняется в любой точке энергетического слоя, в качестве наглядной физической аналогии процесса выравнивания р для ансамбля Гиббс предложил перемешивание двух по-разному окрашенных жидкостей. [c.57]

Для размешивающихся систем траектории, идущие из двух близких точек, быстро удаляются, так что с течением времени вся энергетическая поверхность вначале грубо, а затем все мельче оказывается изрезанной фазовыми траекториями. Очевидно, системы, размешивающиеся в указанном смысле, являются одновременно эргодическими для них равны средние по времени и фазовые средние. Однако понятие размешиваемости шире, чем понятие эргодичности. [c.58]

Тем не менее одной этой теоремы недостаточно, чтобы установить равенство (5.253). Необходимо сделать дополнительное предположение. Его нестрогая формулировка состоит в следующем время, проводимое точкой системы в некоторой области энергетической поверхности, пропорционально площади этой областд. Для более строгого обсуждения этой полной эргодической гипотезы необходимо обратиться к языку теории меры. [c.339]

Исследование входных и выходных процессов систем — глав-гная область применений спектрального и корреляционного анализа к инженерным задачам. В этой главе выведены основные -соотношения для систем с одним входом и одним выходом. Предполагается, что на вход системы поступают реализации Стационарного эргодического или переходного случайных процессов с нулевым средним, а система линейная и имеет постоянные параметры (см. гл. 1). Аналогичные соотношения для систем со многими входами и выходами выводятся в гл. 7, 8 и 10. [c.88]

Из смысла задачи ясно, что в системе возможны любые переходы из одного состояния в другое и она является эргодической. Можно без труда доказать это и математи- чески, возведением в степень переходной матрицы, имеющей в данном случае характерную симметричную трехдиагональную ленточную форму [c.98]

Воспользуемся так называемым эргодическим принципом, согласно которому большое число испытаний над единичным объектом можно заменить одним испытанием над статистическим массивом, т. е. системой из большого числа объектов. Этот принцип имеет и обратный смысл. С учетом таких предварительных замеча- [c.307]

Хилловские поправочные члены могут входить как в Си так и в Gift. Заметим, что как равенства (IV.2), так и равенство (IV.4) согласуются с эргодической теоремой при достаточно долгом наблюдении большой системы средний вклад малых систем в химический потенциал становится равным макроскопическому химическому потенциалу, т. е. = jxdt где t — время. [c.232]

Несмотря на то, что эргодическая гипотеза приводит к правильным результатам, ее первоначальную формулировку по ряду причин нельзя признать удовлетворительной. За последние годы был, однако, предложен постулат, известный под названием гипотезы равных априорных вероятностей, для различных областей фазового пространства. В соответствии с этим постулатом принимается, что вероятность нахождения фазовой точки в любой области фазового, пространства равна аналогичной вероятности для любой другой области такой же протяженности (или объема), если только эти области в одинаковой мере соответствуют условиям, которые характеризуют систему. Слово вероятность здесь означает отношение числа рассматриваемых событий к общему числу испытаний таким образом, это отношение меньше единицы. Так, например, если о состоянии системы известно только то, что ее энергия заключается в интервале между Е и Е- ЪЕ, то вероятность нахождения изображающей фазовой точки данной системы, внутри равных объемов оболочки в у ространстве, соответствующей указанному интервалу энергий, будет одинакова. Если рассматривать внутри этой оболочки отдельные участки, имеющие объемы г 1, иа и т. д., то вероятность нахождения фазовой точки системы в соответствующем участке будет пропорциональна этим объемам. [c.358]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология