Фурье эквивалентности

Обостренные распределения — аналоги распределения межатомной функции или электронной плотности, полученные суммированием рядов Фурье, в которых в качестве коэффициентов используются не F(hkl) [или, соответственно, F(hkl)], а a F(hkl) [или F hkl)] с такими дополнительными множителями а (и 3), которые полностью или частично ликвидируют постепенное уменьшение средних значений амплитудных коэффициентов по мере увеличения sin ОД. Такая модификация ряда Фурье эквивалентна ликвидации (или уменьшению) тепловых колебаний атомов и (или) переходу к точечным атомам, что делает максимумы распределения более острыми и повышает разрешающую способность распределения. [c.145]

Особый интерес представляет двумерное пространство с круговой симметрией. В этом случае преобразования Фурье эквивалентны преобразованию Ганкеля 1193, 274). Это легко показать следующи.м образом. С учетом рис. 16 имеем [c.70]

В кристалле в качестве отверстий можно рассматривать вакансии , т. е. незанятые атомами позиции в структуре. Дифракционную картину реального кристалла, содержащего точечные дефекты (в общем случае, помимо вакансий это могут быть атомы замещения и внедрения), можно описать суммой двух фурье-трансформант. Одна трансформанта относится к кристаллу с ненарушенной структурой, эквивалентного по форме, размерам и периодичности рассматриваемому реальному кристаллу, у которого удалены или компенсированы дефекты, нарушающие периодичность. Другая трансформанта относится к дефектам, изъятым из реального кристалла, с амплитудами рассеяния, измененными по фазе на 180° и с сохранением пространственной конфигурации, которые эти дефекты образовывали в реальном кристалле. [c.33]

Облучение образца короткими импульсами ВЧ-генератора, который в непрерывном режиме дает монохроматическое (или близкое к нему) излучение с частотой эквивалентно воздействию на образец большим числом ВЧ-генераторов с частотами, соответствующими компонентам ряда Фурье и работающими в диапазоне Гц 1//р. Очень важно то, что все компоненты имеют одну и ту же фазу колебаний, т. е. являются когерентными. Таким образом, мы видим, как можно реализовать идею об облучении образца дискретными когерентными частотами в интервале от —Т до + Г надо создать короткий импульс ВЧ-поля с длительностью 1/Г = 1р. [c.56]

В работе [П показано, что через очень короткое время (да 5 сек) после начала фильтрации (оттока) через конусообразное перфорационное отверстие поток становится квазистационарным. Сложный поток можно заменить полусферическим, пренебрегая влиянием ствола скважины. Все это позволяет при решении задачи использовать уравнение Лапласа вместо уравнения Фурье. Однако для этого необходимо перейти от конусообразного источника к эквивалентному сферическому источнику, т. е. ввести понятие приведенного радиуса сферического источника — г р. Тогда дебит конусообразного источника можно записать в виде [2]. [c.117]

Полная теплоемкость ячеек С— = ср А1М]) в электрической схеме с сосредоточенными параметрами имитируется электрическими емкостями С , присоединенными к узловым точкам схемы (рис, 8.4 а ). Значения определяют из условия равенства чисел Фурье для тепловой области и эквивалентной электрической схемы [c.402]

Равенства (2 3 22) — (2 3 24) показывают, что свертка во временной области эквивалентна перемножению в частотной области Следовательно, если между двумя переменными существует соотнощение в виде дифференциального уравнения (2 3 18), то решение равно (2 3 24), где частотная характеристика дается выражением (2 3.19) Следовательно, преобразование Фурье дает очень полезный опера ционный метод решения линейных дифференциальных уравнений Нахождение решения можно ускорить с помощью таблиц пре образований Таблица преобразований обобщенных функций при ведена в [1, 4 ] преобразования Фурье обычных функций имеются в [6, 5 ]. [c.64]

Полученный таким путем р-нитрофуран (П) отличается от продукта прямого нитрования фурана. Так как оба а-положения, как и оба р-положения, эквивалентны, то этим подтверждается структура соединения, полученного при прямом нитровании. При нитровании фуранкарбоновых кислот часто протекает декарбоксилирование. Так, нитрование пирослизевой кислоты приводит к образованию а-нитрофурана [83]. [c.112]

Фурье-преобразование производной временной функции эквивалентно воздействию фильтра верхних частот на фурье-преобразование самой функции. В случае обратного преобразования необходимо сменить знак мнимой единицы. [c.130]

В спектроскопии теорема о свертке играет центральную роль и сама по себе оправдывает применение фурье-преобразования. Эта теорема означает, что любой процесс фильтрации, который может быть выражен в виде свертки в соответствии с формулой (4.1.8), можно преобразовать в произведение в сопряженном представлении. В большинстве случаев проще произвести фурье-преобразование и вычислить произведение, чем вычислять непосредственно интеграл свертки (или соответствующую сумму свертки). Это упрощение основывается на том факте, что фурье-преобразование эквивалентно разложению по собственным функциям линейной, не зависящей от времени системы [см. (4.1.13)]. [c.130]

Многомерные спектры могут быть вычислены путем фурье-преобразования функций отклика кк(ти. .., тк). Однако спектры можно получить более просто, если обратить внимание на то, что корреляция функций у(1) и л (/) во временном представлении эквивалентна комплексному умножению спектра возбуждения Х(ш) и спектра отклика 7(0)) в частотном представлении. Для спектров Нк(ш1,. .., Шк) размерностью к = , 2, 3 получаются следующие выражения [c.148]

Рассмотрим здесь фурье-спектроскопию, используя оператор плотности, а также вопрос об эквивалентности фурье-спектров и спектров, полученных методом медленного прохождения, в отно-щении интенсивностей сигналов, резонансных частот и ширины линий. [c.199]

Эквивалентность спектроскопии медленного прохождения и фурье-спектроскопии [c.203]

Рассмотрим эквивалентность фурье-спектроскопии и спектроско- [c.203]

При /3 = т/2 выживает только синфазная когерентность и независимо от начальных заселенностей получаются неискаженные мультиплеты. С другой стороны, при использовании малых углов поворота ( os/3 = 1) все произведения, в которые входят операторы hz, дают наблюдаемую поперечную намагниченность, и в соответствии с выводом I предыдущего раздела фурье-преобразование сигнала свободной индукции эквивалентно спектру медленного прохождения. [c.209]

Заметим, что проекция, определяемая выражением (6.4.30), эквивалентна одномерному фурье-преобразованию получаемого при 1 = О одиночного сигнала свободной индукции [первая строка матрицы 5( 1, Ш2)] относительно переменной Гг. В то же время для того, чтобы получить Ш]-спектр, определяемый проекцией (6.4.31), необходимо пройти весь диапазон значений переменной и, т. е. проделать всю серию экспериментов с приращением по Ь. Однако при этом достаточно регистрировать только одну точку по переменной Гг. [c.368]

ЯМР-интроскопия во вращающейся системе координат полностью эквивалентна методу фурье-интроскопии, за исключением лишь того, что градиент статического поля заменяется градиентом РЧ-поля. Требуется та же самая обработка данных. Преимуществом ЯМР-интроскопии во вращающейся системе координат является то, что нет необходимости в переключаемых градиентах статического поля. Дело в том, что переключаемые градиенты могут оказать нежелательное влияние на человеческий организм. Однако получить абсолютно линейный градиент РЧ-поля труднее, чем создать линейный градиент статического поля. [c.655]

Уширение линий . Сигнал ССИ до проведения преобразования Фурье умножают на фактор ехр(—ai), что эквивалентно ускорению спада ССИ. Если теперь провести преобразование Фурье, то линии спектра несколько уширятся (сглаживаются), но отношение сигнал/шум возрастает. Эта процедура, отличающаяся знаком экспоненциального множителя от процедуры сужения линий ( 8.1), осуществляется с помощью ЭВМ. [c.218]

При получении разложения (6.19) было сделано одно довольно важное предположение о том, что фурье-компонента потенциала межатомного взаимодействия — функция V (к) — может быть вообще разложена в ряд Тейлора, т. е. мы предположили, что функция V (к) аналитична в точке к = 0. Условие аналитичности функции V (к) в нуле эквивалентно условию достаточно быстрой сходимости ее фурье-оригинала — потенциала межатомного взаимодействия (г). А именно, функция V (г) должна убывать с расстоянием по крайней мере быстрее, чем 1/г , так как только тогда константа [c.70]

Первый из этих методов нахождения точного решения, предложенный Темкиным и Левичем , основан на разложении обеих частей уравнения [19] или, точнее, эквивалентного ему уравнения [14] в интеграл Фурье. Однако результаты, получаемые этим методом, весьма чувствительны к неболь- [c.255]

Примем в качестве плоскости XV поверхность раздела между двумя жидкостями ось Z направлена вертикально вверх. В момент времени т = О жидкость испытывает ускорение g, направленное вверх. Это эквивалентно положению, когда жидкость свободна, а внешние тела испытывают ускорение g, направленное вниз. Обычное ускорение силы тяжести производит такое же действие, как ускорение более легкой жидкости от более тяжелой, когда это ускорение направлено вверх. Уравновешенность этих двух противоположно направленных ускорений определяет стабильность жидкостей. Если бы g было отрицательным, т. е. поверхность раздела жидкостей испытывала бы ускорение вверх от более легкой жидкости к более тяжелой, то это привело бы к нестабильности и к образованию волн возмущения. Из анализа размерности следует, что амплитуда волны возмущения пропорциональна os кх (где к = 2л/А,). (Известно, что волны любых форм, согласно теореме Фурье, могут быть представлены в виде суммы синусоидальных или косинусоидальных волн.) Линеанизированное уравнение для этого случая [c.31]

Теперь, поскольку является дискретной переменной, у нас уже нет больше возможности измерять два сигнала, как мы делали прн обычном квадратурном детектировании. Вместо этого мы должны проводить два эксперимента с одним и тем же значением г у, вводя требуемый фазовый сдвиг во втором эксперименте и запоминая его результат как мнимую часть данных по Этот метод предложен Рубеном, Стэйтсом и Ха-бекорном [2] для квадратурного детектирования по Авторы ие предложили какого-либо специального названия для этого метода, поэтому впредь я буду называть его Еи8Н. Требуемое смещение фазы может быть привнесено либо изменением фазы первого нмпульса и приемника на 90 , либо эквивалентным изменением фазы второго нмпульса иа —90 . Нетрудно проверть правильность этой процедуры с помощью расчета двумерного преобразования Фурье, но это потребует знакомства с некоторыми соотношениями между тригонометрическими функциями н экспонентами комплексных чисел. Вместо того чтобы заниматься этим, я отошлю вас к статье, в которой этот вопрос обсуждается подробно [3]. Не связываясь со сложными алгебраическими преобразованиями, с помощью рис. 8,20а и 8.206 можно убедиться в том, что эти две альтернативы действительно эквивалентны и анало- [c.285]

В предыдущих разделах обсуждены простые способы описания временных рядов с помощью их младших моментов Важнейшим из этих моментов является корреляционная функция Одно из многих применений корреляционной функции состоит в том, что она служит источником исходных идей при построении вероятностной модели механизма, породившего временной ряд В следующей главе будет показано, что временной ряд можно описать совершенно эквивалентным образом с помощью его спектральной плотносги, являющейся преобразованием Фурье от ковариационной функции [c.189]

В простейших экспериментах с применением С, при которых получаемые результаты эквивалентны результатам работ с радиоактивным С, важнейшим фактором является заметное природное содержание С. Именно этот фактор стимулировал развитие инструментальной техники ЯМР С и сделал реальной интерпретацию спектров. С другой стороны, этот фактор ограничивает чувствительность ЯМР как метода детектирования включенной метки. Если предшественник в каком-то определенном положении мечен на 100%, то, конечно, соответствующие сигналы в его спектре будут интенсивнее сигналов при природной концентрации, составляющей около 1 % Для надежного обнаружения введенной метки ее максимально допустимое разбавление должно быть не выше 100-кратного, а для сколько-нибудь точного количественного определения оно должно быть значительно ниже. Более того, в идеальном варианте необходимо количественное сравнение включенной в несколько различных положений метки здесь уже появляются проблемы, связанные с использованием преобразования Фурье в методе ЯМР. Так, на интенсивность сигналов в спектре ЯМР С заметно влияют релаксационные эффекты, различные для разных атомов углерода эти эффекты трудно воспроизводимы даже в различных спектрах одного и того же соединения. Эта трудность может быть преодолена [70] путем применения парамагнитных релаксационных реагентов , например трис(ацетил-ацетоната)хрома (III) [116, 117], специальных приемов подавле- [c.476]

Как следует уже из названия этого метода, образец, находящийся в постоянном магнитном поле, подвергается не длительному непрерывному облучению, а действию кратковременного мощного импульса, повторяющегося через определенные промежутки времени. Пpoдoлжиteльнo ть импульса составляет всего лишь около 50 пс, поэтому в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга фактически импульсы генерируются в широком диапазоне частот, что индуцирует одновременный резонанс всех ядер. Действительно, при продолжительности импульса А t, равной 50 пс, ДУ = = 1/50 10 = 20000 Гц (поскольку h Av, ht А) следов тельно, даже при 500 МГц, очевидно, охватывается диапазон 10000 nj (20 млн. д. х 500 Гц). Итак, во время кратковременного импульса энергия поглощается, так как все спиновые переходы возбуждаются одновременно. По завершении импульса индуцированная им намагниченность ядер быстро исчезает вследствие релаксации и восстанавливается обычное термическое распределение Больцмана. Этот процесс, называемый спадом свободной индукции (ССИ), описывается большим числом затухающих синусоидальных кривых, каждая из которых соответствует резонансной частоте данного ядра или данного набора эквивалентных ядер. Это головоломное сплетение кривых можно распутать с помощью ЭВМ на базе математической операции, называемой фурье-преобразованием, в результате которой сложный затухающий сигнал преобразуется р знакомый график зависимости поглощения от химического сдвига, регистрируемый в обычной спектроскопии ЯМР. [c.126]

Начнем изучение фурье-спектроскопни с краткого обзора теории отклика, которая образует основу методов фурье-преобразо-вания, и затем рассмотрим динамику классической намагниченности системы невзаимодействующих спинов (разд. 4.2). В разд. 4.3 мы обсудим основные вопросы относительной чувствительности фурье-спектроскопии и спектроскопии медленного прохождения. При наличии спин-спиновых взаимодействий фурье-спектры не всегда эквивалентны спектрам медленного прохождения, и неравновесные населенности приводят к отклонениям, изучению которых посвящен разд. 4.4. В спиновых системах с разрешенными взаимодействиями может быть использован ряд экспериментальных методов как для повышения чувствительности, так и изучения природы взаимодействий (разд. 4.5). В разд. 4.6 дается обзор различных методов изучения релаксации, химического обмена и диффузии, и, наконец, разд. 4.7 посвящен двойному резонансу в фурье-спектроскопии. [c.123]

К счастью, основные принципы ЯМР в системах с обменом, разработанные для спектроскопии медленного прохождения, пригодны и для фурье-спектроскопии. В частности, в разд. 4.4.2 показано, что фурье-спектр системы, находящейся в равновесии, эквивалентен спектру, полученному при медленном прохождении с малой мощностью. На первый взгляд удивительно, что такая эквивалентность имеет место даже для систем с медленными химическими процессами, хотя временная шкала этих химических реакций может быть сравнима со временем спада сигнала свободной индукции. Эта [квивалентность возникает потому, что обменный супероператор 2 в выражении (4.4.24) не зависит от времени, если система находится в химическом равновесии. [c.259]

Рис. 6.4.1. Теорема подобия для комплексного 2М фурье-преобразовання. Вращение функции в одном представлении эквивалентно такому же вращению ее фурье-образа в другом представлении.

Рис. 8.2.14. Кросс- и диагональные мультиплеты в корреляционных 2М-спектрах слабо связанных систем с магнитной эквивалентностью. Фазы сигналов показаны по аналогии с рис. 8.2.2,в в случае вещественного косинусного фурье-преобразования по 1 и смешивающего импульса с 0 = х/2. Кросс-пнки имеют форму чистого 2М-поглощения с чередующимися знаками, в то время как мультиплеты с центром на диагонали появляются в виде чистой отрицательной дисперсии (см. обозначения на рис 8.2.2). Амплитуды, представленные кружками различных диаметров.соотносятся как 1 2 4 8 для системы АгХ и 1 3 9 12 48 для системы АзХ.

Здесь 5 — средний эквивалентный диаметр капель, мм ЗЬкв — средний по времени критерий Шервуда, определенный по модели Кронига — Бринка. Уравнение (5.3.3.24) получено на основании собственных и литературных экспериментальных данных по экстракции органических кислот, анилина и глицерина из воды бензолом, этилацетатом и нитробензолом. Эксперименты проводились в диапазоне чисел Фурье [c.285]

Следует отметить, что по отношению к дисперсным материалам термин теплопроводность может применяться лишь условно, если под этим понятием подразумевать не только кон-дуктивную теплопередачу (т. е. собственно теплопроводность), но и передачу тепла посредством конвекции и излучения. Таким образом, определенный для дисперсных сред коэффициент теплопроводности представляет собой некую величину, эквивалентную коэффициенту тенлопроводности в уравнении Фурье, если в целом это уравнение применимо в данных условиях (т. е. если процесс передачи тепла посредством перечисленных механизмов может быть достаточно точно описан этим уравнением). Эту величину поэтому правильнее называть эквивалентным коэффициентом теплопроводности (см. раздел II и др.). Имея это в виду, мы, однако, сохраним ради краткости общепринятый термин теплопроводность . [c.207]

IV. Методы, основанные на применении функци1 комплексного переменного. Решение интегрального уравнени [4,2] или эквивалентного ему уравнения [10] в строгой форме може быть получено при помощи преобразований Фурье, Лапласа или Мел лина. Уравнение [10] представляет собой известное уравнение Лапласг ряд решений которого приводится в специальных руководствах. [c.306]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология