Уравнение диффузии и граничные условия

Рассмотрим установившийся массообмен между частицей (каплей) и потоком жидкости в случае, когда вещество, диффундирующее от поверхности частицы, испытывает в потоке химическое превращение. При ряде упрощающих предположений, в частности при предположении о диффузионном режиме растворения реагента на поверхности частицы, диффузия в потоке может быть описана следующими уравнениями и граничными условиями [c.191]

Это уравнение выражает закон сохранения массы и основано на предположении об аналогии процессов молекулярной и турбулентной диффузии. Граничными условиями для уравнения [c.68]

До сих пор при постановке задач конвекции и их анализе, а также при описании экспериментов, связанных с процессами переноса, предполагалось, что все внешние физические воздействия и возникающие в результате эффекты являются в основном детерминистскими. В частности, предполагается, что указания геометрии задачи, граничных условий и характеристик жидкости вполне достаточно для описания любого заданного процесса переноса. Кроме того, считается, что если заданы уравнения и граничные условия, то решение поставленной задачи существует. При этом даже в случае турбулентности добавочные механизмы переноса, например процесс турбулентной диффузии, обыкновенно рассматриваются как некие усредненные воздействия. [c.471]

Нейтрализуя диффузионный перенос инертного газа, поток смеси увеличивает перенос пара по сравнению со случаем, когда имеют место только молекулярная и турбулентная диффузия. Система диффузионных уравнений и граничные условия для рассматриваемого случая должны, следовательно, учитывать наличие поперечного потока активного компонента смеси, а также наличие потока Стефана. [c.244]

Существуют два основных метода определения коэффициента Оэ для капиллярно-пористых материалов. Первый состоит в создании стационарного диффузионного потока целевого компонента при постоянных значениях концентрации компонента на внешних поверхностях исследуемого капиллярно-пористого образца. Для образца материала плоской формы в случае стационарного потока компонента дифференциальное уравнение диффузии упрощается д С йу — Решение такого уравнения при граничных условиях первого рода С л =о = С1 и С х=Ь = 2, где Ь — поперечный размер образца в направлении х потока целевого компонента, имеет очевидную линейную форму С (х) = = С — С — 2)x L, что после дифференцирования дает выражение для потока диффундирующего компонента = = Оз(С,-С2)/1. [c.57]

Видно, что это уравнение является граничным условием для уравнения внутренней диффузии (1.21). Отметим, что это граничное условие не является конечным, поскольку с (х, t) в свою очередь связано с а (х, г) уравнением материального баланса, а а (х, 1) через интеграл (1.32) — с решением уравнения диффузии. Таким образом, можно говорить о специфической постановке краевой задачи для интегродифференциальной системы уравнений динамики сорбции в случае внутридиффузионной кинетики. [c.20]

В систему также входят уравнений, являющихся граничными условиями на поверхности зерна сорбента (уравнения внешней диффузии) [c.23]

До сих пор говорилось о стационарной скорости химической реакции, которая реализуется при определенном взаимном расположении молекул. Если молекулы распространены в пространстве каким-либо иным способом, скорость будет также отличной и зависящей от времени. Рассмотрим случай равномерного распределения реагирующих молекул в пространстве, когда оба типа молекул распределены по объему случайным образом. Скорость химической реакции будет равна потоку диффузии при г = Я. Решение диффузионного уравнения при граничном условии (8.1) дает Для потока диффузии [c.42]

Ясно, что коэффициент диффузии D и величина связаны друг с другом. Установить связь между ними прямо из условия 5(л ) > >0 не удастся, т. к. нельзя аналитически решить уравнение с граничными условиями 5(0) =So, d5/dx =,=0. Попытаемся хотя бы грубо оценить необходимую величину кг через D. Если предположить, что 8 х) Кш, т. е. молекулы фермента в достаточной мере обеспечены субстратом, то кривая S x) на рис. 9 пройдет ниже кривой 5i(a ) и выше кривой 52(х), которые удовлетворяют [c.80]

Уравнение и граничные условия теории теплопереноса. Уравнение переноса тепла в движущейся среде, аналогичное уравнению конвективной диффузии (3.1.1), имеет вид [c.105]

Учитывая сказанное, рассмотрим стационарный конвективный массообмен твердой частицы или капли с жидкостью при произвольной зависимости коэффициента диффузии от концентрации В = В С). Считаем, что концентрация у поверхности частицы и вдали от нее принимает постоянные значения, равные и С соответственно (Сд 7 С ). Предполагаем также, что неоднородность концентрации не влияет на параметры потока. В безразмерных переменных исследуемая нелинейная задача описывается уравнением и граничными условиями [c.200]

Массоперенос к плоской пластинке, обтекаемой поступательным потоком. Исследуем стационарную конвективную диффузию к поверхности плоской пластинки, продольно обтекаемой поступательным потоком вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса (течение Блазиуса). Предполагается, что массоперенос осложнен объемной реакцией. В приближении диффузионного пограничного слоя соответствующая задача о распределении концентрации описывается уравнением и граничными условиями [c.219]

Математическая модель представляет собой систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений и алгебраических уравнений, определяющих граничные условия., В их число входят уравнения постоянства количества движения, сплошности потока, многокомпонентной диффузии, материального и теплового баланса, кинетики обратимых химических реакций. [c.247]

При более строгом выводе граничного условия на входе в реактор Венер и Вильгельм (см. литературу на стр. 304) рассмотрели слой, которому предшествует бесконечно длинный интервал, где эффективный коэффициент продольной диффузии равен Еа, а реакции не происходит. Внутри этого интервала расчетным уравнением будет [c.293]

При рещении стационарной внешней задачи в приближении диффузионного пограничного слоя уравнение конвективной диффузии (4.42) преобразовывалось к виду (4.96) и функция тока раскладывалась в ряд Тейлора по степеням V = 1—/ . В качестве граничного условия по в гипотетически предполагалось, что концентрация в лобовой точке в =тг) равна концентрации набегающего потока. В данном приближении удалось получить решение только для д <б (1) ид > 1 - формулы (4.121) и (4.122). [c.202]

Приведенное дифференциальное уравнение интегрировали при следующих граничных условиях с=0 при т=0 и />0 с=св при т>0 и 1=а (с — концентрация пара на расстоянии I от центра капли а —радиус капли I — линейный размер пространства, в котором происходит испарение О — коэффициент диффузии т — время полного испарения капли). [c.105]

Перенос вещества вдоль оси потока вследствие молекулярной диффузии весьма невелик он осуществляется в основном за счет движения потока. При ламинарном режиме течения средняя скорость потока равна Ыо/2, поэтому через время х введенное вещество будет находиться на расстоянии Х1 = х+ (ио/2)х от плоскости отсчета х — расстояние от плоскости отсчета при отсутствии движения). После подстановки значения х в уравнение (П. 14) и использования граничных условий было получено выражение для переносимого количества вещества в направлении оси потока [c.33]

Вследствие отсутствия методов, позволяющих вычислить диффузию, коэффициент диффузии приходится определять экспериментальным путем. Решение дифференциальных уравнений, описывающих однофазные системы при различных граничных условиях, можно выразить через гауссовскую функцию ошибок или с помощью тригонометрического ряда. При решении (см., например, работу ) рассматривается главным образом лишь первый член бесконечного ряда функции ошибок Параметры дифференциальных уравнений материального баланса приведены в безразмерном виде. Такой приближенный метод дает хорошие [c.39]

Состояние сплошной движущейся среды описывается системой дифференциальных уравнений (включающей уравнения неразрывности, движения, энергии и диффузии) при определенных начальных и граничных условиях. Для каналов мембранных элементов граничные условия, помимо геометрических факторов, характеризуют входные профили скорости, концентрации и температуры, а также условия массопереноса через мембрану и пористую подложку. Кроме перечисленных соотношений, используют термическое уравнение состояния газовой смеси, а также дополнительные соотношения, позволяющие рассчитать коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии как функции температуры, давления и состава смеси. [c.121]

Значение градиента концентрации компонента в мембране находят решением дифференциального уравнения диффузии, которое получено при различных граничных условиях на поверхности мембраны [6]. В частности, для плоской мембраны в стационарном процессе градиент концентрации постоянен в сечении мембраны, если коэффициент диффузии D [c.242]

Составлена система дифференциальных уравнений в частных производных применительно к балансу растворимого вещества в процессе его переноса молекулярной диффузией из застойной поры в проточную и перемещения с промывной жидкостью по проточной поре. С использованием граничных условий, когда застойные поры целиком заполнены фильтратом, получено решение этой системы уравнений, которое здесь приведено в несколько измененном виде [c.253]

Другие параметры, зависящие от концентраций различных веществ в потоке и от их коэффициентов диффузии, будут входить в выражение для безразмерной скорости реакции / (с, Т). Граничное условие для уравнения (111.68) с (Г) = 1. [c.122]

Для описания процесса диффузии при помощи уравпения (III, 26) оно должно быть проинтегрировано совместно с уравнением движения и сплошности в заданных граничных условиях. Однако задание граничных условий в пределах турбулентного потока вызывает непреодолимые трудности, поэтому интегрирование этой системы уравнений заменяется критериальным уравнением. [c.200]

Уравнения (1.76)—(1.79) напоминают традиционные уравнения конвективного тепло- и массопереноса, однако существенно отличаются от них по своей структуре. Обычно уравнения конвективного теплопереноса и конвективной многокомпонентной диффузии записываются раздельно по фазам, а перенос тепла и массы через границу раздела фаз учитывается заданием соответствующих граничных условий на межфазной поверхности. Заметим, что постановка такой краевой задачи в условиях дисперсной среды обычно представляет сложную проблему. [c.66]

Мы рассмотрим только стационарные решения этого уравнения и будем считать коэффициент диффузии постоянным. В качестве граничных условий выберем следующие [c.66]

При решении дифференциального уравнения задаются формой тела (неограниченный цилиндр, неограниченная пластина, шар), аппроксимирующей форму реальных тел коэффициентами диффузии Д, массоотдачи Р и физическими свойствами среды (плотность, вязкость) на интервале, а также начальными и граничными условиями. В качестве ua4aju>Horo условия принимают, что концентрация в твердом теле на входе в первый интервал постоянна (4о = onst при т = 0). На всех последующих интервалах распределение концентрации задается результатом расчета на предыдущем участке. Граничные условия определяют условия взаимодействия твердых тел с жидкостью. Количество вещества, отведенное от поверхности тела в объем жидкости, равно количеству вещества, которое подводится к поверхности молекулярной диффузии (граничное условие третьего рода) [c.490]

Кристаллизация параболоида вращения из переохлажденного расплава. В исследовании, ставшем классическим, Папапетру [75] предположил, что вершина дендрита имеет форму параболоида вращения. Иванцов [61, 63] первым решил уравнение диффузии с граничными условиями на движущейся параболоидальной поверхности. Как он показал, если поверхность дендрита изотермична и его вершина перемещается вперед с постоянной скоростью, то форма параболоида вращения удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условиям задачи. Наряду с этим Иванцов рассчитал еще и распределение температуры в расплаве. [c.394]

Альтернативный способ определения скорострг роста состоит в том, чтобы измерить эффективные коэффициенты распределения элемента меледу кристаллом и расплавом, а затем применить уравнение, выведенное Бартоном и др. 1[47]. Эти авторы решили одномерное стационарное уравнение диффузии, выражающее условие сохранения массы растворенного вещества в направлении, перпендикулярном границе кристалл — расплав. Граничные условия решения в жидком слое, непосредственно окружающем кристалл, диффузия представляет единственный процесс массопереноса, в то время как вне этого слоя концентрация элемента в л<идкости сохраняется иа одном и том л е уровне за счет конвективного перемешивания. Окончательный вид этого уравнения следующий [c.207]

Для решения этого уравнения и определения с необходимо выписать граничные условия. Если концентрация вещества, которое подвергается превращению, до реактора равна й, то, по Данквер-тсу , в результате диффузии при х = О на входе в реактор она будет меньше Со. Тогда [c.37]

Из анализа дифференциальных уравнений движения, энергии и диффузии (1—5] следует, что при идентичных граничных условиях, отсутствии внешных силовых полей и соблюдения равенства чисел Шмидта, Прандтля и Льюиса [c.124]

Расчет процесса разделения смеси в мембранном модуле представляет сопряженную задачу, включающую решение системы уравнений, неразрывности, движения и диффузии (4.1ч-4.4) в напорном и дренажном каналах, которые взаимосвязаны граничными условиями в форме уравнений проницания (4.5- -4.8). Следует учесть, что скорость отсоса (вдува) и селективность мембраны являются функцией термодинамических и гидродинамических параметров газовых потоков, меняющихся вдоль канала и зависящих от выбранной схемы движения в мембранном модуле. Кроме того, в определенных условиях возможно возникновение свободной конвекции вследствие концентрационной неустойчивости диффузионного погранслоя. Численное решение системы дифференциальных уравнений весьма громоздко и в ряде случаев основано на существенных упрощениях реальной физической картины, например, не учитывается продольная диффузия и свободная конвекция. Процедуру вычислений можно упростить, если использовать одномерные уравнения расхода, импульса и диффузии (4.18), (4.21) и (4.29) и обобщенные законы массообмена, изложенные выше. [c.150]

Рассмотрены дифференциальное уравнение диффузии и соответствующие граничные условия [249] применительно к движению промывной жидкости в пучке капилляров, расположенных в осадке. Построены теоретические кривые в координатах Уп.ж Уо— См Со для различных значений безразмерного коэффициента диффузии Д=Д//госйУ, где В — коэффициент диффузии, гю — скорость промывной жидкости в капиллярах. [c.225]

На самом деле скорость потока плавно спадает по мере приближения к твердой поверхности, так что представление о существовании неподвижного диффузионного слоя не соответствует действительности. Чтобы найти поток вещества, диффундирующего на твердую поверхность, необходимо решить уравнение конвективной диффузий с граничными условиями, заданньйли на этой поверхности [12]. В случае ламинарного движения стационарное распределение концентрации вещества определяется уравнением конвективной диффузии [c.103]

Величину и направление скорости в каждой точке определяют решением уравнений гидродинамики. В правой части уравнения (1П.13) оставлена вторая производная только по координате X, нормальной к поверхности, так как по всем другим нацравлениям перенос вещества молекулярной диффузией пренебрежимо мал. Граничные условия для уравнения (П1.13) определяются тем, что диффузионный поток на твердую поверхность катализатора равен скорости химической реакции, а на достаточном удалении от поверхности концентрация равна С . [c.103]

Точность, вносимая граничными условиями (VI.27), является, однако, обманчивой. Дело в том, что при их выводе предполагается, что диффузионная модель справедлива повсюду, в том числе и для процессов переноса на малых расстояниях. На самом деле, однако, не существует систем, в точности описывающихся уравнением конвективной диффузии (VI. 14) или (VI. 15) с постоянными значениями линейной скорости потока и коэффициента диффузии. В случае турбулентного потока в реакторе без насадки скорость потока почти постоянна по всему сечению аппарата (кроме тонкого слоя близ его стенки), однако коэффициент турбулентной диффузии является переменной величиной, увеличиваясь пропорционально расстоянию от стенки реактора. В ламинарном потоке перенос вещества осуществляется молекулярной диффузией, так что коэффициент диффузии постоянен. Однако основная причина случайного разброса времени пребывания в реакторе — сильное различие локальных скоростей потока на различных расстояниях от стенки аппарата. Наконец, в реакторах с насадкой, отклонение времени пребывания в реакторе от среднего знйчения вызывается образованием турбулентных вихрей в промежутках между твердыми частицами, разбросом локальных скоростей потока за счет неоднородности упаковки слоя и задержкой вещества в застойных зонах. Во всех этих случаях распределение времени пребывания в реакторе делается близким к нормальному, если длина аппарата достаточно велика, и только в этих условиях диффузионная модель становится пригодной для приближенного описания процесса. [c.211]

Если определяемой величиной в процессе массопередачи является коэффициент массопередачи к, то его вводят в так называемый диффузиоиный критерий Нуссельта (Л Ид), получаемый аналогично тепловому критерию Нуссельта из граничных условий диффузии при сопоставлении уравнений (П1, 4) и (П1, 19). В этом случае получается безразмерное отношение [c.202]

Граничные условия прп г = /, не заданы, так как для всех практических целей молекулярной диффузией А в направленип потока [первый член уравнения (а)1 можно пренебречь по сравнению с конвективным переносом [второй член уравнения (а)1 поэтому опустим первый член уравнения (а), учитывая, что соблюдается условие < v L DJ > 1. [c.101]