Приложение А. Тензоры

Полученные выражения применимы к любой ориентации молекулы относительно приложенного поля. Если исследуется монокристалл, кристаллографические и молекулярные оси которого не совпадают, определить все компоненты тензора СТВ можно так же, как и при расчете д-тен-зора. Система координат, которая приводит к диагональному виду д-тензор, не обязательно совпадает с той системой координат, которая приводит к диагональному виду тензор А, и ни одна из этих систем координат может не быть молекулярной системой координат [176]. Если молекула характеризуется полной симметрией (т. е. в систему включаются все лиганды), тал что у нее есть ось вращения и-норядка, то эта же ось будет диагональной для д и А и она должна совпадать с молекулярной осью z. [c.37]

Процесс образования новых поверхностей в новом теле под нагрузкой связывают с явлением разрушения. Если тело изолировано от внешней среды, разрушение происходит без потери массы. В противном случае разрушение сопровождается с той или иной степенью потери массы в зависимости от активности внешней среды. В некоторых случаях для возникновения разрушения необязательно приложение внешней нагрузки, например, при коррозионном воздействии, хотя в ряде случаев существенно ускоряет его. Разрушение рассматривается не как элементарный акт, а как процесс постепенного образования новых поверхностей в микро- и макромасштабах. В связи с этим механизм разрушения изучают в двух аспектах физика разрушения, базирующаяся на атомных, дислокационных и других моделях и механика разрушения, в основу которой положены модели и реальные конструкции с макроскопическими дефектами (трещинами). В процессе нагружения твердого тела совершается работа и в материале возникают силы сопротивления деформированию, оцениваемые компонентами тензора напряжений и деформаций. В определенный момент времени какой-либо механический фактор Q (движущая сила разрушения) достигает некоторого критического значения К (рис.2.7), после чего конструкция переходит в новое состояние (текучесть, разрушение, изменение первоначаль- [c.75]

Если напряжение во всем теле однородно, объемные силы и объемные моменты отсутствуют, все части тела находятся в статистическом равновесии, то силу, приложенную к каждой грани единичного куба (см. рис. 70, б), можно разложить на три компоненты. Так как напряжение однородно, силы, действующие на куб через три заданные грани, должны быть равны и противоположны силам, действующим на остальные три грани куба (на рис. 70, б они не показаны). Здесь Стц, 022> < 33 — нормальные компоненты напряжения, а о д з- < 21> 023 и т. Д. — сдвиговые (касательные) компоненты. Перечисленные компоненты образуют тензор второго ранга Стг , называемый тензором напряжений. Так как напряжение однородно, то 0, = О/ц-, т. е. тензор напряжений симметричен. [c.161]

АР — шаровая часть тензора действующих макроскопических напряжений, зависящих от приложенной нагрузки [например, при одноосном растяжении АР (е) = а (е)/3 ]. [c.58]

Следующий этап анализа — это подстановка анизотропной формы тензора давлений (12) в уравнения (23) и отождествление компонент скорости изменения тензора деформаций 5,-/ с симметричной частью градиента поля скорости (подробно см. в Приложении /). В результате уравнения (23) преобразуются к виду [c.50]

Поведение сплошной среды описывается уравнениями, следующими из законов сохранения массы, заряда, количества движения, момента количества движения и энергии. Эти уравнения должны быть дополнены соотношениями, отражающими принятую модель сплошной среды, которые называются определяющими уравнениями или феноменологическими соотношениями. Примерами определяющих уравнений являются закон Навье — Стокса, который устанавливает линейную зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформаций закон Фурье, согласно которому поток тепла пропорционален градиенту температуры закон Фика, в соответствии с которым поток массы пропорционален градиенту концентрации вещества закон Ома, который гласит, что сила тока в проводящей среде пропорциональна напряженности приложенного электрического поля или градиенту потенциала. Эти определяющие уравнения были получены экспериментально. Коэффициенты пропорциональности — коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии, электропроводности, называемые коэффициентами переноса, могут быть получены экспериментально, а в некоторых случаях и теоретически с использованием кинетической теории [1]. [c.45]

В отличие от этого Дерягин предложил строго теоретически обоснованный метод расчета сил ионно-электростатического отталкивания. Он базируется на использовании выражений Максвелла для компонент тензора натяжений электрического поля, приложенных к поверхностям частиц и зависящих от плотности поверхностных зарядов. [c.7]

Подход классической динамики, по-видимому, более подходит для теоретических исследований. Предполагается, что справедлив релаксационный закон Максвелла, и его можно применить к межфазной поверхности, рассматривая поверхностное (межфазное) натяжение как двумерный тензор напряжений [2]. Отклонение последнего от равновесного значения представляет приложенное напряжение, [c.194]

Приложение формулы (1.38) к тензорам Оц и у,-/ дает следующие результаты [c.169]

Эта формула определяет тензор диэлектрической проницаемости суспензии 8 ., описывающий оптическую анизотропию суспензии, которая может быть вызвана или течением (эффект Максвелла), или приложенным полем (эффект Керра), или тем и другим вместе. Все эти эффекты для суспензии связаны с ориентирующим воздействием [c.108]

В табл. Ж-9 приложения содержатся значения бг и б для 12 веществ, вычисленные по уравнениям (8,6), (8,13) и (8,23). Там же имеются необходимые для расчета вспомогательные данные о степени деполяризации Аж, изотермической сжимаемости рГ и отношении изотермических сжимаемостей и, молярном объеме Vм, главных значениях тензора поляризуемости а, 2 и аз, среднем значении тензора поляризуемости а, анизотропии тензора поляризуемости В табл. Ж-10 для тех же 12 веществ содержатся значения ор.ж, найденные по экспериментальным данным с помощью формулы (8,28), и значения Ядр, вычисленные по уравнению [c.78]

В этом случае поляризуемость описывается тензором, который можно представить в виде эллипсоида поляризации. Свойство такого эллипсоида заключается в том, что поляризуемость молекулы в пространстве можно свести к поляризуемости в трех взаимно перпендикулярных направлениях аь аг, аз, соответствующих трем главным полуосям эллипсоида. Если вдоль каждого из этих трех направлений приложить электрическое поле единичной напряженности, то длины полуосей будут соответствовать значениям аг и аз. В случае, если приложенное электрическое поле единичной напряженности направлено под произвольным углом к трем главным полуосям эллипсоида, можно разложить поле на составляющие относительно трех главных направлений и определить поляризуемость для каждого из них в отдельности. Полное значение поляризуемости получается путем векторного сложения. [c.15]

Здесь D и g — тензоры, которые для данного орбитального состояния являются постоянными, р — магнетон Бора и Н — напряженность приложенного магнитного поля. Если полный электронный спин S равен половине, то первый член, который представляет расщепление в нулевом поле, исчезает (вырождение Крамерса [60]). В этом случае резонансное поле Н равно [c.459]

Для ряда приложений полезно выразить оператор квадрупольного момента в состоянии с заданным значением / через компоненты I. Тензор симметричен и имеет равный нулю след. Единственным тензором такого типа, который можно построить из компонент вектора /, является тензор [c.256]

У смазок в режиме установившегося течения отсутствуют заметные эластические деформации это несколько упрощает решение поставленной задачи, поскольку для уравнения течения следует получить математическую зависимость, определяющую связь тензора касательных напряжений с тензором скоростей деформаций. Однако и в такой постановке эта задача является достаточно сложной, поскольку течение смазок определяется большим числом взаимосвязанных факторов, зависящих от вязкости дисперсионной среды, концентрации и свойств загустителя, а также от механических разрушений на предшествовавших течению стадиях. Кроме того, роль этих факторов неодинакова на различных участках кривых течения. Попытки учесть даже часть этих факторов приводят к очень сложным уравнениям, которые полезны для качественной оценки некоторых закономерностей течения, но непригодны для инженерных приложений [111, 112]. [c.101]

Для многих приложений, связанных с малыми искажениями монокристаллов, вычисления при использовании гарвардского тензора напряжения несколько упрощаются, особенно из-за того, что вид о очень прост. С другой стороны, приближение ЭЛП дает более детальное выражение для внутренних моментов и т. д. [c.197]

Свойства многих систем не зависят от их ориентации в магнитном поле, т. е. такие системы изотропны. Однако имеются анизотропные системы, наблюдаемые свойства которых существенно зависят от ориентации. Для описания систем, обладающих анизотропией, обычно требуется шесть независимых параметров. Удобно расположить эти параметры в симметричную таблицу, называемую ЗХ 3-тензором. В приложении А приведены простые примеры тензоров. Другие многочисленные примеры будут встречаться в последующих разделах книги. [c.15]

Этот метод приведения к диагональному виду эрмитовой матрицы (в данном случае она симметрична) с помощью унитарной матрицы и матрицы, обратной ей, имеет общее значение для любых эрмитовых матриц. В этой книге чаще всего встречаются примеры диагонализации матриц гамильтониана (гл. 10—12 и приложение В), а также диагонализации матриц --тензора и тензора СТВ (гл. 7). [c.440]

Для приложений интересны частные виды спин-гамильтониана (VI. 21). В случае тетрагональной или тригональной симметрии тензор gij принимает два различных значения параллельное д и перпендикулярное g оси симметрии, а для Оц достаточно одного параметра О [c.159]

К объяснению физического смысла компонент тензора упругой податливости Стрелками показаны направления приложенного на-пряжения, пунктиром — вызванные ими деформации [c.282]

При вычислении тензора корреляции в подынтегральном выражении в правой части (5,3,40), можно в соответствии с (5.3.18) считать 9 = 0. Тогда (см. приложение 11.8) [c.250]

Тензор деформации. Под действием приложенных сил моно- [c.61]

Интересно применить эти уравнения к тензору анизотропного СТВ для ядра С, который зависит главным образом от плотности неспаренного электрона на р-орбитали атома. Рассмотрим знаки Т,, и для этой системы. Три ориентации р-орбитали в молекуле относительно направления приложенного поля показаны на рис. 9.20. Штриховыми ЛИНИЯМ указаны областп, где функция j os G - 1 равна нулю. Это позволяет учесть знаки для различных областей линий поля, создаваемого ядерным моментом. Поэтому, глядя на рис. 9.20, можно решить, каков знак [уравнение (9.34)]. Например, как следует из рис. 9.20,Л. если Pj-орбиталь направлена вдоль поля, почти полное усреднение дипольного взаимодействия ядерного момента по р,-орбитали происходит в положительной части конуса. Поэтому можно ожидать, что представляет собой большую положительную величину. Для ориентации [c.39]

Зависимость от Р, приводящая к существованию наибольшей и наименьшей ньютоновской вязкости, следует из правила логарифмической аддитивности и отражает непосредственное изменение структуры вязкой жидкости (т. е. сетки) под влиянием приложенного напряжения. Как правило, влияние это носит характер тиксотропии, хотя в отдельных случаях возможны и антитиксотроп-ные эффекты (здесь не имеется в виду продольное течение, при котором кажущаяся антитиксотропия обусловлена упоминавшимся на стр. 177 правилом тензоров см. гл. VI). С позиций, развитых в рл. I и II, этот тип аномалии связан с изменением релаксационного спектра, вызванным изменением структуры. [c.182]

ТО уравнение (26) можно записать в виде хорошо известного уравнения сохранения количества движения для однс-компонентных систем. Следовательно, величина о, - представляет собой тензор напряжений, а р/, — массовую силу, приложенную к элементарному параллелепипеду, движуш,емуся со средней массовой скоростью Кроме того, можно представить тензор сту в виде суммы парциальных тензоров напряжения и if [c.529]

Существенное упрощение в трактовке равновесия таких прослоек достигается, если исключить из рассмотрения силы, зависящие от расстояния, заменив их эквивалентными им силами близкодействия. Сведение сил электростатического взаимодействия, связанных с объемными зарядами ионного происхождения, к силам близкодействия производится с помощью тензора натяжений электростатического поля Максвелла. Заменить силами близкодействия силы молекулярного притяжения можно, пользуясь теорией, развитой Лифшйцем [2] и сводящей эти силы к флуктуациям электромагнитного полЯ. Включая и соответствующий этим последним тензор в тензор давления, мы исключаем силы дальнодействия, приложенные к элементам объема прослойки. [c.89]

Согласно выводу формула (П.1.43) приложима к любым площадкам выбранным внутри ооъема электролита, jio позьилпе взаимодействия между двумя частицами, суммируя давление, выражае мое формулой (П.1.43), по всем участкам любой поверхности, охватываю щей одну из частиц, или же по любой разделяющей их бесконечной плос кости (рис. П.1.2). Действительно, согласно принципу отвердевания Стевина равновесие не может нарушаться, если отвердевает (без изменения шютности и распределения зарядов) часть жидкости, заключенная между поверхностью и охватываемой ею частицей. Условие равновесия отвердевшей части требует, чтобы равнодействующая давлений на внешнюю и внутреннюю поверхности, ограничивающие ее. бьши равны, поскольку введение тензора Максвелла исключает из рассмотрения силы электрического дальнодействия, приложенные к зарядам ионных атмосфер. Но равнодействующая давлений на внутреннюю поверхность равна силе, действующей на саму частицу. В математическом отношении всего удобнее в качестве разделяющей поверхности в случае двух одинаковых сферических частиц брать плоскость симметрии, нормальную к их линии центров ( на рис. П.11.2). В этом случае надо интегрировать по этой плоскости давление, выражаемое формулой (П.1.45), что и было сделано автором работы [2], а также Духиным, Дерягиным и Семенихиным [5]. [c.194]

Правую часть равенства (6.27) часто называют тензором Озеена Тензор Озеена определяет скорость жидкости в точке г, вызван ную слабой силой, приложенной к началу координат. Как обычно, функция отлика может быть выражена через корреляционные функции -отсюда равенство (6.27). [c.195]

Граница области, в которой находятся микротрещипы, совпадает в хорошем приближении с контуром, отвечающим линиям постоянных значений наибольшего главного напряжения а . Это показано на рис. 12.14, где числа у контуров означают напряжения в расчете на единицу приложенного внешнего усилия. Следует отметить, что при малых значениях напряжения не представляется возможным провести различие между контуром постоянных значений и контуром, отвечающим постоянным значениям первого инварианта тензора напряжения /1 = + а . Однако в целом полученные результаты находятся в большем согласии с критерием образования микротрещин, исходящим из значения максимального напряжения, чем из значений / , и, кроме того, как говорилось выше, направление образования микротрещин согласуется с ориентацией максимального главного напряжения. [c.329]

Для двух дираковских частиц взаимодействие может быть представлено как разложение по пяти тензорам Дирака, определенным в Приложении 6 (а). Г — матрицы Дирака 4x4 с индексами / = (8, V, Т, А, Р) [c.469]

Напряжение как тензор. Если в окрестностй некоторой точки сплошной среды выделить бесконечно малый объем, то действие всех отброшенных частей среды на этот объем может рассматриваться как совокупность сил, приложенных к ограничивающей его поверхности. Говоря о бесконечно малом объеме или точке, подразумевают объемы с размерами, существенно большими тех, в пределах которых важна роль короткодействующих молекулярных сил. Именно поэтому можно считать, что взаимодействие отброшенной части среды с выделенным элементарным объемом происходит по его поверхности. [c.12]

Проделанные выше преобразования тензора (у из конвективной системы координат в пространственную, неспецифичны для тензора деформаций. Поэтому все полученные результаты и формулы в рав-. ной степени относятся к любому тензору, заданному в конвективной системе координат, если требуется преобразовать его в пространственную (фиксированную) координатную систему. Но приложение полученных результатов к тензору деформации позволяет получить очень важные простые формулы, определяющие компоненты тензора скоростей деформации в пространственной (фиксированной) системе координат через градиенты скорости grad v. Под градиентом скорости [c.45]

Уравнение такого общего вида много лет назад было предложено Бринкманом [20—24], а также Дебаем и Бюхе [34] и использовалось ими для того, чтобы иззтаить течение растворителя через состоящие из длинных цепей спутанные макромолекулы, рассматриваемые как пористая среда. (В макромолекулярных приложениях эта методика в значительной степени вытеснена методом Кирквуда [53], заключающемся в применении так называемого тензора Озеена.) Позже оно применялось для изучения по край- [c.61]

Аналогично, если при вычислении моментов Li, L2, Ls заменить ац на Ogn -f- pgZ6ij, то к моментам поверхностных сил, определяемых тензором Ggn, необходимо добавить моменты выталкивающей силы pgv grad приложенной к центру инерции объема частицы. [c.19]

Метод йгп г]) можно использовать и для рентгенографического определения Е и V. Дело в том, что упругие свойства большинства кристаллов анизотропны, т. е. зависят от кристаллографического направления. При рентгенографическом определении остаточных напряжений следует использовать значения Е и именно в направлении нормали к отражающей плоскости. Эти величины можно рассчитать, если известны упругие постоянные материала или их следует определить экспериментально. Для этого отожженный образец из испытуемого материала помещают в специальное приспособление, установленное в камере или на дифрактометре. С помощью приспособления образец подвергают одноосному растяжению или сжатию при трех-четырех заданных значениях напряжений в упругой области. При каждом значении напряжения методом з п2г1з определяют m=(l+v)Oф/ по уравнению (14.9), причем пучок рентгеновских лучей направлен так, чтобы его проекция на образец была параллельна приложенной нагрузке (ф = 0). В связи с тем, что дт/да,р = 1- -у)/Е, а ( еф=о/ 0ф =—vE из выражения (14.9) (при 113=0), можно определить раздельно и V, а значит, и модуль сдвига 0 = Е/2 1- - ) в направлении нормали плоскости Очевидно, что при вычислении значений частных производных дт/да и де1до(р можно учитывать только прирост т и еф=о при увеличении Оф, т. е. знание величины Оо в выражениях (14.2) или (14.10) необязательно. По известным значениям и V в нескольких кристаллографических направлениях (не менее двух для кубического кристалла) можно определить компоненты тензора модуля упругости. [c.346]

Для того чтобы рассчитать два других коэффициента Онсагера Lgp и Lpp, рассмотрим ситуацию, когда к каждому мономеру приложена сила (-цр, а на растворитель никакой силы не действует (цд = = onst). Фундаментальную роль играет тензор Озеена (г , Г2), который дает скорость растворителя в точке г за счет локализованной силы f, приложенной в точке г [c.217]

Допустим, что нормальное напряжение Т зз, приложенное к кристаллу, вызывает поперечное сжатие 823. Связь между ними долнгна определяться коэффициентом 52333. Повернем кристалл на 180° вокруг оси 2, параллельной оси Хз, и снова приложим то же напряжение Деформация должна изменить знак 833 —V -)—баз- Получается, что только из-за поворота вокруг оси симметрии деформация растяжения должна была измениться на деформацию сжатия. Но ЭТО физически абсурдно, а значит, такой деформации быть не может и 2333 также и 53333) могут равняться только нулю. Проверяя таким методом одну за другой все компоненты тензора 5 , получаем, что в кристалле, имеющем ось 2, параллельную оси Хз ( класс 2 моноклинной сингонии во второй установке), матрица принимает вид [c.283]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология