Больцмана функция распределения

Законы, уравнения, функции (уравнение Больцмана, функция распределения). [c.72]

Уравнение Энскога (12.1.8) можно решать методом, совершенно анав логичным примененному ранее в 5.2 при решении уравнения Больцмана. Функцию распределения можно разложить в ряд [см. (5.2.3)] [c.358]

Для газов при среднем давлении, когда время взаимодействия между молекулами значительно меньше времени изменения функции распределения р (х , х , <), уравнение (1.82) преобразуется в кинетическое уравнение Больцмана [44, 45) [c.69]

Рассмотрим многокомпонентную смесь газов, в которой могут происходить химические реакции. Под химической реакцией подразумевается неупругий процесс столкновения частиц, в результате которого происходит перераспределение масс и внутренней энергии сталкивающихся частиц. Нашей целью является нахождение условий равновесия на основе обобщенного уравнения Больцмана, поэтому на функции распределения налагаются обычные ограничения, определяющие возможность использования уравнения Больцмана. В частности, концентрации всех компонент смеси достаточно малы, чтобы можно было учитывать только бинарные столкновения. [c.20]

Доказательство -теоремы Больцмана для обычной нереагирующей смеси газов приводится во многих учебниках статистической физики и хорошо известно. При этом ход доказательства не зависит от того, рассматриваются функции распределения частиц по скоростям f (к) или по импульсам (р). [c.21]

Таким образом, учет в уравнении Больцмана столкновительного члена, связанного с химическими реакциями, приводит к дополнительным условиям (1.67) и (1.83), налагаемым на функции распределения реагирующих компонент. Полученное условие равновесия представляет собой запись закона действующих масс для рассматриваемой реакции. Обычно этот закон получают из термодинамики (используя представление о химических 26 [c.26]

Таким образом, сформулированы условия равновесия для рассматриваемой системы на основе чисто статистического подхода. Совокупность функций распределения (1.78) с дополнительным условием (1.79) действительно является не зависящим от времени решением системы уравнений Больцмана, т.е. решением, обращающим в нуль все интегралы столкновений (и упругие, и неупругие). Принципиально новым является то, что входящие в функции распределения fj(p) величины л,- не являются более постоянными интегрирования [75], постоянными плотностями [119], абсолютными постоянными [163] и т.п.. а представляют собой сложные неявные функции температуры и сечений неупругих процессов. Условие [c.27]

Как и в случае смеси нереагирующих газов, функции распределения, определяемые из условия минимума /У-функции, представляют собой решение системы уравнений Больцмана (1.57). В этом легко убедиться непосредственно подстановкой в (1.57) максвелловских функций (1.69) с коэффициентами л,, удовлетворяющими соотношению (1.83). Физический смысл полученного решения становится нагляднее при рассмотрении кинетических уравнений, описывающих увеличение или уменьшение числа частиц определенного типа. Для определения изменения концентрации /-Й компоненты (например, компоненты а ) необходимо проинтегрировать по импульсам р, соответствующее уравнение Больцмана из системы (1.57) [c.29]

Эволюция пространственно-однородной (но неравновесной по составу) газовой смеси в рассматриваемом случае будет описываться системой обобщенных уравнений Больцмана, аналогичных рассмотренным выше уравнениям (1.57). Уравнение для изменения одной конкретной функции распределения ( ,р) (для компоненты 5 в /-м состоянии) имеет вид [c.31]

Кинетику химических реакций, как неравновесных, так и равновесных, можно описывать либо в терминах концентраций, либо в терминах функций распределения. Соответственно этому возможно применять либо уравнение Паули, либо уравнение Больцмана. [c.38]

Метод Монте-Карло получил широкое применение для решения разнообразных задач кинетической теории газов. Одним из перспективных подходов к решению уравнения Больцмана лля многокомпонентного химически реагирующего газа является метод нестационарного статистического моделирования. Этот подход основан на результатах Каца [296] о существовании статистических моделей, асимптотически эквивалентных уравнению Больцмана. Суть методики состоит в построении случайного процесса, моделирующего решение кинетического уравнения. Вместо непосредственного решения уравнения Больцмана построенный случайный процесс многократно моделируется на ЭВМ, и по полученной статистике определяется искомая функция распределения. В работа) [70, 71] с помощью метода нестационарного статистического моделирования рассматривались процессы максвеллизации смеси газов, электронное возбуждение атомов, установление ионизационно-рекомбинационного равновесия. Метод предъявляет не слишком высокие требования к памяти и быстродействию ЭВМ, однако с его помощью, по-видимому, невозможно описывать кинетические процессы с существенно различными характерными временами и системы с большим числом уровней. В монографии Г. Берда [18], посвященной моделированию кинетических процессов методом Монте-Карло, приведен ряд полезных программ для ЭВМ. [c.204]

В каждом из расчетов прослеживалась история 5 10 молекул, поэтому статистическая ошибка полученных результатов не превышала 1%. Во всех вариантах результаты расчетов выводились из памяти машины через определенный временной шаг (общее число шагов равнялось 40). Величина шага была выбрана таким образом, что система приходила в состояние равновесия примерно за 20 шагов. В дальнейшем величины, характеризующие систему, испытывали слабые статистические флюктуации. Таким образом, были получены результаты, характеризующие как кинетику перехода системы из начального состояния в равновесное, так и само равновесное состояние. Контроль равновесности системы производился независимо по значениям функций распределения молекул по скоростям, средней энергии молекул, вкладу поступательных степеней свободы молекул в /У-функцию Больцмана и константе скорости химической реакции. Все эти величины принимали свои равновесные значения практически одновременно. [c.210]

Функция распределения Больцмана [c.295]

Форма функции распределения Больцмана [уравнение (388) или (390)] выбирается а зависимости от поставленной задачи. Физический смысл множителя р в уравнении (388), который в уравнении (390) предполагается уже известным, требует дополнительного объяснения. Для этого обратимся к уравнению (374) для энтропии и заменим N1 под логарифмом выражением (388), предварительно преобразовав его [c.297]

Легко представить, что в данном объеме вокруг иона с потенциалом оЬ концентрация ионов может увеличиваться не бесконечно, а до некоторого предела, которым является полное заполнение ионами этого пространства. Когда ионы начнут касаться друг друга, функция распределения Больцмана будет уже неприложима, ибо невозможно дальнейшее возрастание концентрации. Возрастание ограничивается тем количеством ионов, при котором они будут касаться друг друга. Чем число сольватации больше, тем раньше наступит явление насыщения. [c.211]

Более строго определение понятия температуры дается в статистической физике, где температура выступает в качестве главного параметра функции распределения по состояниям. Суть этого определения покажем на примере распределения Больцмана (см. 1.3). Температура есть макроскопическая характеристика системы, определяющая соотношение между заселенностями отдельных состояний, отличающихся энергией. Если заселенность двух состояний с разностью энергий Д 12 обозначить пх и п , то температура, согласно (1.30), определится как [c.150]

ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА — БОЛЬЦМАНА, [c.197]

Поскольку параметры аир описывают функцию распределения при всех Е , достаточно найти их в каком-либо одном случае. Наиболее просто это сделать для функции распределения Максвелла — Больцмана. Из условия [c.203]

Таким образом функция распределения Максвелла — Больцмана имеет вид [c.204]

Превращение активированных комплексов в продукты реак-[ши не нарушает распределения Максвелла — Больцмана. Поэтому концентрация активированных комплексов может быть вычислена из свойств активированного комплекса с помощью функции распределения Максвелла—Больцмана. [c.88]

Функции распределения по скоростям и уравнение Больцмана [c.539]

Рассмотрим систему многих частиц, характеризуемую их мгновенными координатами и скоростями Уг. Предположим, что система разрежена настолько, что столкновения между частицами можно считать мгновенными, и будем рассматривать только парные столкновения. Такие системы полностью описываются одночастичной больцмановской функцией распределения /(д г, Уг, ). Во внешнем поле сил Рг (на единицу массы) функция распределения / удовлетворяет уравнению Больцмана [30] [c.146]

Первое свойство состоит в том, что этот частный вид можно использовать для доказательства приближения к равновесию в разреженном газе, описываемом кинетическим уравнением Больцмана. Уравнение Больцмана нелинейно, и для доказательства того, что его решения стремятся к равновесным, нужна иная техника. Эта техника основана на выборе Н в виде (5.5.6) другие выпуклые функции в этом случае использовать нельзя . Между прочим, фав-нение Больцмана не является основным кинетическим уравнением для плотности вероятности, а является уравнением эволюции для функции распределения частицы в одночастичном шестимерном фа.зовом пространстве ( и-пространстве ). Однако линеаризованное уравнение Больцмана имеет ту же структуру, что и основное кинетическое уравнение (ср. с. П.5). [c.118]

В предыдущем параграфе мы доказали, что в классе нормальных решений уравнения Больцмана функция распределения однозначно определяется значениями своих первых пяти моментов, заданных в начальный момент времени t=tQ, (Это обстоятельство иногда называют па-радоксом Гильберта,) Следовательно, плотность, гидродинамическая скорость и температура в произвольный момент времени t определяются непосредственно их значениями в начальный момент Более того, так как взаимооднозначное соответствие между функцией распределения по скоростям и ее первыми пятью моментами сохраняется во времени, моменты выспшх порядков, в частности тензор напряжения и вектор теплового потока, могут быть выражены в любой момент времени непосредственно через плотность, гидродинамическую скорость и температуру. Следовательно, подстановка подобных выражений в общие уравнения сохранения, выведенные в 4.1, превращает их в замкнутую систему уравнений. [c.124]

Третий подход основан на теоретическом анализе псевдоожиженных систем методами кинетической теории газов [55, 56]. Конечной целью, к которой стремятся исследователи, развивая это направление, является получение шестимерной плотности распределения частиц по скоростям и координатам, полностью описывающей поведение каждой частицы в слое (см. 1.5). Знание этой функции дает возможность описать осредненпые пульсационные движения в рассматриваемой ФХС. В работе [55] предложено уравнение Больцмана для твердой фазы, дифференциальная часть которого включает диффузионный член. Это уравнение содержит много экспериментально определяемых величин, что затрудняет его практическое использование. Кроме того, на уровне кинетической задачи не рассматривается взаимодействие между твердой и газовой фазами. В работе [56 ] приводится кинетическое уравнение для твердой фазы п eвдooжижeннoгoJ слоя, полученное из уравнений Лиувилля и Гамильтона. При этом физические эффекты в системе в целом рассматриваются в масштабах изменения функции распределения частиц газовой фазы. Однако не учтено, что масштабы изменения функции распределения частиц газовой фазы значительно меньше масштабов изменения функции распределения частиц твердой фазы. Для устранения этой некорректности модели требуется осреднить функцию распределения частиц газовой фазы по объему, являющемуся элементарным для твердой фазы. При этом необходимо рассматривать уже не одно, а два кинетических уравнения — для газа и твердой фазы. Кроме того, корректное использование уравнения Лиувилля для вывода уравнения, описывающего движение твердой фазы, является затруднительным из-за неконсервативности поля сил, в котором движется отдельная твердая частица. [c.161]

Обычное уравнение Больцмана описывает эволюцию функции распределения в фазовом пространстве одной частицы. Уравнение содержит два члена потоковый, описывающий движение молекул по траекториям в фазовом пространстве и представленный дифференциальным оператором, и столкновительный, описывающий изменения скорости, обусловленные столкновениями последний представлен интегральным оператором. Уравнение Больцмана, следовательно, интегродифференциапьное уравнение, причем столкновительный член является нелинейным. В этой нелинейности главное препятствие при построении методов его решения, тем более что интеграл столкновений тесно связан с законом межмолекулярного взаимодействия, относительно которого имеется весьма неполная и зачастую противоречивая информация. [c.43]

Если рассматривать энергию как функцию координат пространства и импульсов г(д,р), то можно определить число частиц в интервале д+с1д и р, р+йр в виде больцм айовской функции распределения [c.297]

Равновесное распределение, ионов, которое устанавливается у твердой стенки, аналогично равновесному распределению молекул газа в атмосфере под влиянием силы тяжести с тем лишь различием, что гравитационное поле не зависит от распределения молекул, а электрическое поле в случае двойного электрического слоя само является функцией распределения заряженных ионов. Число противоионов, находящихся у заряженной поверхности твердой фазы, по мере увеличения расстояния от границы раздела по направлению внутрь раствора, уменьшается по закону распределения Больцмана, а число потенциалопределяющих ионов увеличивается согласно тому же закону. Отсюда следует, что если концентрацию положительных и отрицательных ионов в точке, потенциал которг "i равен фж, соответственно обозначить через с+ и (в молях на единицу объема), то для расстояния а =00 [c.178]

Для любой системы, находящейся в равновесии и подчиняющейся законам классической механики, число молекул, обладающих энергией болыие E/L. пропорционально фактору Больцмана s-eirt Для идеального газа, молекулы которого обмениваются только кинетической энергией, выполним закон Максвелла — Больцмана для распределения молекул по скоростям. Функция распределения молекул 1ю скоростям [c.73]

Есть три класса систем, соответствующих трем различным способам заполнения уровней энергии Г-пространства. В результате этого появляются три различные функции распределения — Максвелла— Больцмана, Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. Однако это не три различные статистики. Статистический метод здесь один, а отличия связаны только с различной природой изучаемых систем. С точки зрения решаемой здесь задачи конкретные различия систем классифицируют по трем основным признакам 1) по различимости или неразличимости изучаемых частиц 2) по различимости ячеек фазового пространства, отвечающих данному значению энергии 3) по наличию ограничений, налагаемых на заполнение отдельных ячеек данного уровня энергии. [c.199]

Функции распределения Максвелла — Больцмана, Бозе—Эйнштейна [c.319]

Можно предположить, что в постоянном ноле система находится в тепловом равновесии, и тогда нахождение функции распределения сводится к решению уразнений Блоха. В случае зависимости напряженности поля от времени для вычисления функции распределения необходимо введение соответствующих уравнений Больцмана. Рассмотренные процессы являются основой методов, используемых в химии для получения информации о строении и реакционной способности веществ методы статической магнитной восприимчивости, электронного парамагнитного резонанса. кдерного магнитного резонанса и др. [c.707]

Чтобы иметь возможность решать уравнения сохрЭ нения (см. Дополнение В или Г), необходимо уметь вы-числять фигурирующие в этих уравнениях диффузионные скорости, вязкие напряжения и тепловой поток, которые связаны с молекулярным переносом массы, импульса и энергии соответственно. Эти величины, вообще говоря, нельзя непосредственно связать с другими переменными, входящими в уравнения сохранения, поскольку они выражаются через высшие моменты функции распределения (см., например, уравнение (Г. 28)). В случае систем, близких к равновесию, Энског для того, чтобы из уравнения Больцмана получить явную связь между векторами (и тензором) переноса и градиентами гидродинамических переменных, воспользовался разложением функции распределения скоростей в ряд около максвелловского распределения. Полученная таким путем замкнутая система уравнений представляет собой уравнения Навье — Стокса, которые оказываются применимыми при весьма больших отклонениях от равновесия ). Так как строгий вывод уравнений Навье — Стокса по Энскогу очень громоздок, здесь приводится лишь физическое обоснование уравнений, до некоторой степени аналогичное тому, которое содержится в работах [ ] и [ ]. Строгое изложение можно найти в работах [Ч и [ ]. Хотя упрощенный подход, по-видимому, позволяет лучше понять существо дела, он приводит к неточным выражениям для коэффи- [c.553]

Как видно, выражение (4.36) совпадает с формулой (4.29). Это означает, что в данной области значений [М] измеряется усредненная по больцмановскому распределению /в(е. У) константа скорости распада активных молекул А (е, У). То обстоятельство, что функция распределения Де., У) остается больцма-новской, означает при этих значениях [М] процессы энергообмена идут так быстро, что мономолекулярная реакция практически не нарущает больцмановское распределение. Методы расчета к2(е, У) и более детальное выражение для Аоо(7) будут приведены в разд. 4.2.4 и 4.2.6. [c.76]