Уравнение вязко-упругого тела

Рассмотрим свойства простейшего вязко-упругого твердого тела.. Для этого предположим, что в модели обобщенного тела Максвелла имеются всего два элемента, причем модуль упругости во втором из них бесконечно велик. Эта вырожденная модель обобщенного тела Максвелла называется моделью Кельвина — Фойхта. Она показана на рис. 1.18. Ее физический смысл состоит в том, что развитие упругих деформаций происходит с запаздыванием, ибо оно тормозится вязкостью среды. Реологическое уравнение состояния вязкоупругого твердого тела, описываемого моделью Кельвина — Фойхта, устанавливается из рассмотрения рис. 1.18. Очевидно, что суммарное напряжение а, приложенное к модели, складывается из напряжений в ее ветвях, т. е. сг = -f сГа- Тогда, если и сГа Г1у,то [c.96]

Вязкоупругие жидкости проявляют упругие свойства, свойственные твердым телам, и свойства необратимого течения, характерные для жидкостей. Реологическое уравнение вязкоупругих жидкостей имеет два параметра один описывает вязкое течение, другой — упругие свойства [c.143]

Предложен ряд уравнений, описывающих деформацию систем, способных релаксировать. Наиболее простым является уравнеиие Максвелла, вытекающее из его теории упруго-вязкого тела [c.332]

Из уравнения (27), называемого законом вязкости Ньютона 1, действительно, следует, что при увеличении скорости деформации происходит увеличение напряжения. Кроме того, увеличение деформации образца со временем при постоянном напряжении также напоминает течение очень вязкой жидкости. С другой стороны, наличие обратимости деформации отвечает. механическим свойствам упругих тел. Поэтому было предложено много различных теорий, описы(вающих деформацию релаксирующих материалов (в том числе, каучука) как деформацию сложной системы, состоящей из упругих и вязких элементов. Наиболее простой является предложенная Максвеллом -теория упруго-вязкого тела. [c.204]

При выводе уравнения (4.56) предполагалось, что давление пропорционально смещению, в то время как по теории Герца давление должно быть пропорционально смещению в степени 1/2. В последнем случае повышается точность определения глубины погружения [9]. Уравнение (4.56) выведено на основании упрощенной модели вязко-упругого тела (модели Фойгта), показанной на рис. 4.19, а. Эта модель описывает природу вязкоупругости, но она, конечно, не может полностью характеризовать данный вязкоупругий материал, для более точного описания поведения которого необходима модель со сложным набором пружин и демпферов. [c.77]

Не рассматривая другие частные случаи упругого последействия, покажем, что уравнения упруговязкого тела Максвелла и вязко-упругого тела Кельвина—Фойхта—Мейера органически вытекают из общего уравнения Больцмана при надлежащем выборе функции Ф ( — т). [c.111]

Разделяя переменные в уравнениях (60) и (61) и интегрируя, получаем в общем виде уравнения термомеханических кривых соответственно для упруго-вязкого и вязко-упругого тела [c.100]

Подставляя выражение (67) в соотношения (64) и (65), после преобразований, аналогичных выполненным выше, получаем уравнения термомеханических кривых соответственно для упруго-вязкого и вязко-упругого тела [c.102]

Дифференциальное уравнение для этого линейного вязко-упругого тела может быть записано в следующем виде [c.332]

Переход от описания с помощью уравнения кривой ползучести к описанию линейными интегральными уравнениями Вольтерра может быть осуществлен следующим образом. Представим себе, что на линейное вязко-упругое тело действует напряжение, изменяющееся во времени, график которого представлен на рис. 1.36. В момент 1 было приложено напряжение Ас (до 5] напряжения на тело не действовали), в момент 2 — напряжение Аог и т. д. Требуется определить деформацию в момент времени t, если известно, что тело — линейное и его функция ползучести есть Ч ( ), а /(О =/о + (0 --Согласно принципу [c.67]

Еще один способ описания вязко-упругих свойств, в частности стандартного линейного тела, связан с нижеследующим. Запишем операторное уравнение (6.10) в виде [c.63]

S=S ющие наиболее существенные свойства реальных тел — упругость, пластичность (пластическое течение) и вязкость (вязкое течение). Упругие свойства тела обычно изображают пружиной (рис. 53). В условных единицах это уравнение можно представить в виде тела массы т, подвешенного на пружине, жесткость которой численно равна 2G = [c.146]

Рассмотрим модель (тело Шведова — Максвелла), представляющую собой последовательное соединение пружины и порщня с отверстиями, помещенного в вязкую жидкость (рис. 106, а). Приложение к системе постоянного усилия приводит вначале к мгновенной упругой деформации пружины (е = 1Е), а затем к равномерному движению всей модели [с1г/сИ = /т), согласно (XIV. 3)], определяемому вязким сопротивлением. Зависимость е от 1, изображенная на рис. 106,6, описывается суммарным уравнением, следующим из уравне- [c.276]

Если время воздействия на тело (или систему) значительно превышает время релаксации ( >т), тело обладает свойствами жидкости, если < С т, то же самое тело является твердым. Так, лед, представляющий собой твердое кристаллическое тело, при длительных воздействиях течет и течение ледников полностью описывается закономерностями, характерными для истинно вязких жидкостей [см. уравнение (XIV. 3)]. Наоборот, жидкая вода ири мгновенных воздействиях обладает упругостью и хрупкостью, характерной для твердых тел. Так, камень, брошенный иод малым углом, упруго отражается от поверхности воды (так называемые блинчики ), пуля разбивает текущую струю с хрупким разрывом. [c.279]

Примером такого тела может служить полиизобутилен. Приложение к системе постоянного усилия т приводит вначале к мгновенной упругой деформации пружины (y = t/G), а затем к равномерному движению всей модели [dy/dt = х/ц, согласно (XIV. 3)], определяемому вязким сопротивлением. Зависимость у от t, изображенная на рис. XIV. 5, б, описывается суммарным уравнением,-следующим из уравнений (XIV. I) и (XIV. 3) [c.269]

ВолР1чина деформации, развившаяся за данный отрезок вре-рассчитывается по уравнению Кельвина [уравнение (25) в пгкдположеник, что релаксирующий материал ведет себя как простейшее вязко-упругое тело, и деформация постепенно достигает равновесного значения езл, > = сг/Я. Уравнение Кельвина при этом приобретает вид [c.169]

Формула (4.13) является новым результатом, не следующим непосредственно из теории механических свойств линейного вязко-упругого тела, поскольку здесь нормальные напряжения возникают только как следствие перемещения деформируемого элемента среды в пространстве. Это обусловливает появление диагональных компонент тензора напряжений при простом сдвиговом течении. Согласно формуле (4.13) нормальные напряжения пропорциональны квадрату скорости сдвига, как это имело место и при применении оператора Олдройда к реологическому уравнению состояния с дискретным распределением времен релаксации. Поэтому эффект нормальных напряжений в вязкоупругой жидкости оказывается квадратичным (или эффектом второго порядка) по отношению к скорости деформации. [c.337]

Даже чистые полимеры, не говоря уже о технических продуктах (композиции с разнообразнымп наполнителями), только после значительных упрощений и допущений могут быть отнесены к вязкоупругим телам. При этих условиях можно было попытаться создать неполную теорию прочности полимеров, и то только для случая малых деформаций. Наиболее полные исследования в указанном плане сделаны Т. Алфреем (в его работе использованы также многочисленные экспериментальные данные и других исследователей). И тем пе менее по данным этой работы нельзя вывести более или менее простых уравнений для расчетов на прочность реальных полимерных материалов, так как их поведение пе описывается теорией, справедливой для простейшего вязко-упругого тела. [c.88]

Для эласто-осмотических сократительных структур решающее значение имеют процессы набухания и спада молекулярной сетки (матрицы) полимерного геля, следующие за изменением химического состава окружающей жидкой среды. Будем юходить из современных представлений о набухании ионитов [43—45],которые необходимо расширить в область нестационарных процессов, опираясь на принципы динамики деформирующегося вязко-упругого тела. Это позволит вывести уравнения продольной деформации эласто-осмотических полимерных структур и сопоставить их с уравнениями (1) и (2), отображающими экспериментальные данные. [c.133]

Примером тела, проявляющего вязкие или упругие свойства в зависимости от напряжения, является вязкопластическое тело Бингама. Модель Бингама представляет собой комбинацию из всех трех идеальных элементов к соединенным параллельно элементам Ньютона и Сен-Венана — Кулоиа последовательно присоедииеи элемент Гука (рис. VII. 7). В этой модели при малых напряжениях развиваются только упругие деформации, а ири достижепии Р > Рт имеет место пластическая деформация, растущая до бесконечности (течение) (см. рис. VII. 76). Еслп проанализировать изменение скорости деформации в зависимости от напряжения, то окажется, что модель Бингама можно представить и без упругого элемента, деформация которого не зависит от времени. Иногда его и представляют только в виде параллельно соединенных вязкого элемента (модели Ньютона) п элемента сухого трения. Сложение деформаций и учет независимости упругой деформации от времени приводит к математической модели вязкопластического тела — уравнению Бингама [c.363]

Итак, для предсказания различных экспериментально наблюдаемых характеристик поведения, зависящих от времени, необходима более сложная теория или модель . Простейшая модель, которая дает общее представление о релаксации напряжения, ползучести и явлении внутреннего трения, представляет собой линейное вязко-упругое тело, дифференциальное уравнение которого включает напряжение, деформацию и время и их первые производные по времени. Поведение такого твердого тела идентично поведению элемента Кельвина — Фойхта, объединенного с простым элементом упругости. Поведение этой модели можно охарактеризовать тремя константами модулем упругости Сь вязкостью щ и вторым модулем упругости Оо. Из этих констант можно составить характерное время процесса , в качестве которого может быть выбрано либо время, связанное с ползучестью, %з (эквивалентное x IG ), либо время, связанное с релаксацией, т., [эквивалентное т11/(0о + 01)1. либо, наконец, время, непосредственно связанное с динамическими эффектами [т = (ТуТв) / ]. [c.332]

С другой стороны, уравнения типа (6.19) или (6.21) могут быть получены на основе принципа линейного наложения. Поэтому линейным вязко-упругим телом можно назвать тело, подчиняющееся зависимостям (6.19) и (6.21). Это определение принадлежит Лидерману и Шварцлю [120, 121]. Можно дополнить определение Лидермана—Шварцля и считать линейным вязко-упругим тело, механическая модель которого состоит из линейных упругих и вязких элементов, или тело, для которого удовлетво- [c.69]

Простейшими реологическими уравнениями состояния идеальных упругих тел и вязких жидкостей являются законы Гука и Ньютона. Линейные соотношения в них принимаются только при малых напряжениях и скоростях деформаций. Реальные эластомеры обладают и упругими, и вязкими свойствами в разных сочетаниях, которые зависят не только от деформации, но и от времени. Временная зависимость модуля упругости проявляется в релаксации напряжения. Обратимое изменение вязкости во [c.66]

Коэффициент 2 в уравнении ( .42) связан с принятым определением материальных констант О и т). Константа О представляет собой модуль упругости, а т) — коэффициент вязкости. Индексы т и ж относятся соответственно к твердому и жидкому состояниям и, следовательно, является мерой вязкого сопротивления деформированию твердого тела, а 0 — мерой упругости жидкости. Если отсутствует Г).г1 то первый материал превращается в твердое тело Гука если отсутствует С , то второй материал сводится к ньютоновской жидкости. Материал, описываемый уравнением ( .42), называется телом Кельвина, а материал, описываемый уравнением ( .43) — телом Максвелла. [c.261]

Закон Гука описывает поведение линейного упругого тела, а закон Ньютона — линейной вязкой жидкости. Простое уравнение состояния линейного вязкоупругого тела получается комбинированием этих двух [c.78]

Реологическое уравнение состояния (1.108) представляет собой аналог уравнения вязкой жидкости Ривлина [см. формулу (1.71)] я соотношения между компонентами тензоров напряжений и деформации упругого тела Рейнера [см. формулу (1.61)]. Таким образом, это уравнение состояния представляет собой обобщение для вязкоупругой среды потенциалов Рейнера и диссипативной функции Ривлина. Поэтому при малых временах воздействия поведение среды, реологические свойства которой описываются уравнением (1.108), такое же, ак упругого тела Рейнера, а при больших — как вязкой жидкости Ривлина. Характер изменений напряжений во времени определяется видом релаксационных функций — линейной ф и бинарной фа. [c.106]

Понятия о мгновенно-упругих и высокоэластич. деформациях представляют собой идеализацию, поскольку деформирование реальных полимерных тел всегда сопровождается диссипативными эффектами — часть работы внешних сил необратимо рассеивается в виде тепла. Поэтому реальные полимеры являются вязко-упругими или упруговязкпми (см. Кельвина модель, Максвелла модель, Больцмана — Вольтерры уравнения). Эффекты, связанные с вязкоупругими релаксационными явлениями, наиболее резко выражены в переходных областях между стеклообразным и высокоэластическим и высокоэластическим и вязкотекучим состояниями. [c.114]

Функции Ф и 25 имеют различный вид для разных групп материалов, и отдельные материалы в каждой группе различаются значениями параметров в реологических уравнениях. В частности, этими параметрами могут быть механические материальные константы. Так, например, материалы, представляющие собой идеальные упругие тела, подчиняющиеся закону Гука, различаются по модулю сдвига О. В другой группе, образованной простыми вязкими жидкостями, подчиняющимися закону Ньютона, отдельные жидкости различаются по величине коэффициента вязкости Т). [c.408]

О, то тело под действием мгновенно приложенного напряжения получает некоторую мгновенную деформацию, определяемую деформацией первого элемента. Если имеется только один вырож-денный элемент, например второй, у которого Сг = О, то деформация тела под действием конечного напряжения неограниченно возрастает за счет деформации вырожденного второго элемента, т. е, тело является вязко-упругой жидкостью, не способной, однако, к мгновенной деформации. Если модель содержит два вырожденных элемента (например, первый и второй) при ц,1 = О и Ог = О, то тело является вязкоупругой жидкостью, способной к мгновенной деформации. При наличии двух вырожденных элементов такого рода реологическое уравнение (15-П) должно быть представлено в виде [c.49]

Выше рассмотрены реологические уравнения упругого тела Гука (3-11) и вязкой ньютоновской жидкости (4-11). Эти уравнения определяют линейную зависимость между напряжением и деформацией или скоростью деформации (модули О и ц постоянны). Их величина может зависеть от температуры тела, которая не является реологической переменной, и реологические уравнения останутся линейными. В других случаях, модуль упругости и коэффициент вязкости могут зависеть от самих реологических переменных (напряжение, деформация). Тогда зависимость между этими переменными не будет линейной. Это возможно в случае изменения физических свойств тела в процессе или вследствие деформации (физическая нелинейность). Однако нелинейность может быть обусловлена также выбором меры деформации (геометрическая нелинейность). Например, уравнение упругого тела, линейное в случае применения меры деформации Коши, будет н инейным при использовании меры Генки. Несмотря на принципиальное различие между понятиями физической и геометрической нелинейности, такое подразделение довольно условно, так как в случае конечных деформаций трудно указать предпочтительную меру. [c.54]

В предыдущих главах были показаны попытки создания уравнения, описывающего деформацию полимеров в различных физических состояниях. Такое уравнение, или закон деформации, помогло бы рассчитать напряжение или деформацию в той области, где экспериментально измерения не проводились. Однако законы деформации были надежно установлены лишь для идеальных тел, таких как идеально упругое тело (закон Гука) или идеально вязкое тело (закон Ньютона). Многочисленные попытки найти закон течения псевдопластичных жидкостей успеха не принесли. Наибольшее распространение получил так называемый степенной закон течения, или уравнение Оствальда — [c.166]

Достаточно широкое применение для описания вязко-упругих свойств линейных полимеров получила четырехэлементная модель (Бюргерса), представляющая собой последовательное соединение элементов Гука, Фойгта и Ньютона [68]. Эта модель, по крайней мере качественно, описывает явления мгновенной и запаздывающей упругости (упругого последействия) и вязкого течения. Схема модели Бюргерса представлена на рис. 1.34. Для того чтобы получить операторное уравнение для тела Бюргерса, будем считать деформацию е состоящей из мгновенно-упругой еь деформации упругого последействия ег, связанной с Фойгтовым элементом, и деформации вязкого течения ез, т. е. [c.64]

Модель Кельвина. Модель Ма ксвелла можно рассматривать как модель, воспроизводящую наиболее простым образом свойства жидкости, обладающей упругостью. Для промежутков времени, малых по сравнению с временем релаксации, превалирует упругий эффект, в то время как для промежутков времени, больших по сравнению с временем релаксации, в основном обнаруживаются вязкие эффекты. Другая модель предложена Кельвином и независимо от него Фохтом. Она состоит из пружины и вязкого демпфера, скрепленных параллельно. Ее можно рассматривать в качестве прототипа вязкого твердого тела. Она описывается дифференциальным уравнением [c.201]

В результате таких наблюдений 1У[аксвелл предложил аддитивно объединить закон Гука (для упругого тела) и закон Ньютона (для вязкой жидкости) в одно реологическое уравнение состояния, которое в одномерном случае записывается так [c.255]

График зависимости напряжения сдвига от меры сдвига (графическое представление реологических уравнений) называется реологической линией (реологической кривой или реограммой). Иногда реологическую линию называют еще кривой консистентности. На рис. 1.1 приведены реологические линии для трех идеальных тел. Стрелки на линиях указьшают направление, в котором изменяется напряжение сдвига. Как видно из рис. 1.1, если для упругого и вязкого тел линия нагрузки совпадает с линией разгрузки, что свидетельствует о полной обратимости реологического поведения этих тел, то реологическая линия пластического тела имеет упругий участок лишь до предела текучести т , что свидетельствует об обратимости только этой части полной деформадии, а те деформации, что были накоплены в процессе течения, являются необратимыми (остаточные деформации), [c.6]

В зависимости от условий деформирования уравнение (6) должно выражаться по-разному и обуславливаться тхгм, имеет ли место активный процесс деформирования(нафужение), пассивный(разгружение) или объемная ползучесть. Используя принцип суперпозиции Больцмана теории вязкоупругости, будем считать, что при возрастающем во времени силовом воздействии на дисперсное тело напряженное состояние складывается из налряже1шй за счет мгновенной деформации упруго-жестких связей и напряжения за счет вязкого объемного деформирования. Тогда применительно к компактированию дисперсных материалов давлением связь между компонентами функционала (6) при нагружении представим в следующем виде [c.40]

Т1Щ0= 1,002-Па-с при 293 К и 8,902-10- Па-с при 298 К). Некоторые коллоидные системы (золи и суспензии с асимметричными частицами, эмульсии и др.) и растворы ВМВ не подчиняются уравнениям Ньютона и Пуазейля. Их называют аномально вязкими или неньютоновскими (рис. 24.2, кривая 2). На участке АВ течение отсутствует вследствие упругого сопротивления образовавшейся в растворах ВМВ структуры и система ведет себя как твердое тело. Когда давление станет больше ре, структура разрушается и система начинает течь на участке ВС. Разрушение структуры прогрессирует, эффективная вязкость падает с ростом давления и в точке С достигает постоянного минимального значения, соответствующего наиболее полному разрушению структуры и оптимальной деформации ВМВ. По наклону линейного участка СО находят наименьшую пластическую вязкость исследуемой системы [c.224]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология