Дискретные формулы

В предыдущих главах статистическая теория спектрального оценивания была развита в предположении, что данные х 1) непрерывны Однако во многих случаях данные являются дискретными по существу, как, например, данные о партиях продукта на рис 5 2, и, следовательно, необходимы дискретные формулы Кроме того, все более широкое распространение в настоящее время получают цифровые вычислительные машины благодаря своей точности, универсальности и относительной доступности Поэтому можно предположить, что в большинстве случаев спектральный анализ будет теперь проводиться с помощью цифровых вычислительных машин Следовательно, непрерывный, или аналоговый, сигнал нужно отсчитывать в дискретные моменты времени, как это описывалось в гл 2, и отсчитанные значения переводить в числа, содержащие конечное число цифр Процесс перевода из аналоговой в цифровую форму называется квантованием Детальный разбор влияния этого процесса на корреляционный анализ можно найти в [1] Мы будем предполагать, что квантование производится с достаточно малым шагом, так что при переводе из аналоговой в цифровую форму не вносится никаких ошибок Практически это означает, что данные нужно отсчитывать с точностью, равной одной десятой (или одной сотой) от полного диапазона изменения сигнала [c.8]

Для нахождения явного вида равновесной функции распределения закрытой макросистемы воспользуемся принципом максимума энтропии, сформулированным в предыдущем разделе. При этом роль ограничений (1.3.36) играют соотношения (1.4.1), (1.4.2). Для простоты изложения рассмотрим вначале вывод равновесной функции распределения закрытой макросистемы, множество возможных состояний которой дискретно. Формулы (1.4.1) и (1.4.2) в данном случае принимают, соответственно, вид [c.75]

Аналогично записывается дискретная формула для свертки [c.172]

С помощью дискретной формулы вычисляется функция автокорреляции [c.174]

В гл. I мы подчеркивали статистический характер структуры зернистого слоя, а так же то, что даже его основные характеристики — удельная поверхность а и порозность е — являются усредненными величинами с существенным разбросом от места к месту, т. е. флуктуациями. В разделе I. 4 указывалось, что эти флуктуации обусловлены, с одной стороны, дискретностью системы, состоящей из отдельных зерен, а с другой — макроскопическими неоднородностями укладки. Сами понятия о средних локальных значениях, например порозности е, имеют смысл лишь для достаточно представительных объемов V, содержащих сотни и более зерен. Однако и эти средние локальные характеристики подвержены макроскопическим флуктуациям. Физический и математический эксперимент указывают на то, что эти флуктуации подчиняются обычному статистическому закону Гаусса со средним относительным разбросом до 20% от определяемой величины [см. формулы (I. 6, а) и (1.6,6)]. [c.82]

Все упоминавшиеся до сих пор силикаты построены из дискретных анионов. Другой класс силикатов содержит бесконечные цепочки связанных между собой кремнекислородных тетраэдров. В некоторых минералах содержатся отдельные силикатные цепочки, описываемые формулой (8Юз) " . Одна из форм асбеста имеет двухцепочечную структуру, показанную на рис. 14-31. Двойные цепочки связываются друг с другом электростатическими силами, действующими между этими цепочками и упакованными вокруг них катионами На , Ре и Ре . Разъединение цепочек осуществляется гораздо легче, чем разрыв ковалентных связей внутри отдельной цепочки. Это объясняет нитевидную легко расщепляемую текстуру асбеста. В кремнекислородных тетраэдрах до одной четверти ионов кремния может замещаться ионами алюминия. Однако каждое такое замещение требует добавления одного положительного заряда путем введения другого катиона (например, К чтобы скомпенсировать заряд на силикатных атомах кислорода. Физические свойства силикатных минералов очень сильно зависят от того, какая доля ионов замещена ионами А1 и сколько дополнительных катионов необходимо в связи с этим для компенсации заряда. [c.634]

Дискретная фаза состоит из сферических пузырей с гидродинамическим следом. Долю объема пузыря, занятую следом, обозначим / и- Скорость подъема пузыря может быть рассчитана по формуле [c.555]

Сравнение формул ( 1.57) и ( 1.60) позволяет выразить параметры диффузионной модели через параметры дискретной ячеистой модели. Как мы убедимся, результаты существенно зависят от соотношения между константой скорости реакции и двумя временными масштабами, имеющимися в рассматриваемой системе — средним временем пребывания в ячейке и характерным временем проникновения в застойную зону д. [c.231]

Формулы ( 1.90)—( 1.94) были выведены при самых общих предположениях о зернистом слое как дискретной случайной среде, без каких-либо специальных предположений о геометрической структуре слоя и характера перемешивания внутри ячеек. Для определения численных значений коэффициентов переноса необходимо конкретизировать рассматриваемую модель. Рассмотрим сначала формулу для эффективного коэффициента продольной диффузии В ц. В системе идентичных ячеек идеального смешения < 1 > = и < 2 ) = = 25 . Поэтому первый член в квадратных скобках в формуле ( 1.91) обращается в нуль. Если шаг в продольном направлении I строго фиксирован, формула ( 1.93) дает Рец = 2. Увеличение эффективного коэффициента продольной диффузии и уменьшение числа Пекле Рец может быть вызвано, вообще говоря, тремя причинами. [c.239]

От недостатков общей схемы метода динамического программирования можно, однако, в значительной мере избавиться, используя аналитический метод поиска оптимума на каждой стадии. Именно этот способ будет применен к решению задач оптимизации цепочек реакторов, рассматриваемых ниже. Отметим, что основные расчетные формулы, которые получим, могут быть выведены не только с помощью метода динамического программирования, но и на основе дискретного варианта принципа максимума Понтрягина [18] или классических вариационных методов. [c.384]

Чаще, чем начальные моменты, применяются центральные моменты. Центральный момент /г-го порядка для дискретной случайной величины определяется формулой [c.13]

Формулы (91.14) или (91.16) и являются ответом на поставленный вопрос (см. с. 293) и называются формулами канонического распределения Гиббса для дискретных квантовых состояний. Это достаточно общие формулы. Из них следует и квантовый закон распределения Больцмана и закон распределения скоростей Максвелла. Каноническое распределение в форме (91.14) или (91.16) определяет вероятность одного квантового состояния I. Возникает вопрос, какова вероятность рп п) реализации одного энергетического состояния с энергией Еп- Эта вероятность будет больше в раз вероятности реализации [c.294]

Если функция дискретна, то последнее уравнение переходит в эквивалентные формулы [c.248]

С помощью модели дискретной сыпучей среды и теории вероятности получены формулы для расчета напряжений в некоторых простейших случаях действия внешних нагрузок. Однако на этой основе пока не удалось получить более точные решения задач механики грунтов или более удобные для практического применения расчетные формулы. Большинство исследователей применяют поэтому различные варианты модели сплошной среды. Вместе с тем результаты анализа схем передачи усилий в слое сферических частиц используются для разработки теории прессования порошков, расчета давления сыпучего материала на стенки емкостей и решения других задач. [c.73]

Для определения производных (У,6) и (У,7) существуют два метода. Легко видеть, что онп являются дискретными аналогами методов вычисления производных (1У,45) и (1У,46) для случая, когда реакторы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Действительно, формулы (У,15) и (У,16) представляют собой соответственно дискретные аналоги формул (ГУ,72) и (ГУ,73) а формулы (У,21) и (У, 22) — дискретные аналоги формул (ГУ,42). В частности, систему уравнений (У,17) по аналогии с системой (ГУ,37) можно назвать сопряженной системой разностных уравнений. [c.156]

Формула (VII,57) является аналогом принципа максимума для дискретных систем. Необходимо отметить, что более полным аналогом формулы (VII,9) для дискретных систем была бы следующая формула [c.192]

Легко видеть, что формулы (68) и (72) являются дискретными аналогами соответственно формул (21) и (25). [c.235]

Этот пример иллюстрирует возможности решения основного кинетического уравнения при наличии моделей с относительно узкими ядрами, которые приводят к ленточной структуре матриц в системе дифференциальных уравнений. При расчете моделей с широкими ядрами, возможно, понадобятся более сложные методы аппроксимации интегралов. Однако при использовании более сложных кубатурных формул на процесс дискретизации уравнения должны быть наложены такие ограничения, чтобы дискретное уравнение сохраняло основные физические свойства непрерывного уравнения. [c.200]

Для разных эластомеров на температурной зависимости механических потерь наблюдаются максимумы, соответствующие у-, р-, а- и Л-процессам релаксации. Установить природу Я-процессов, обычно проявляющихся на дискретных релаксационных спектрах (см. рис. 5.1, 5.5 и 5.6), можно лишь использовав независимые методы и в первую очередь метод внутреннего трения. Тщательные исследования температурно-частотных зависимостей механических потерь эластомеров показали, что на температурной зависимости фактора их механических потерь при Т>Тс наблюдается несколько. максимумов, меньших по высоте, чем а-максимум, проявляющийся в области механического стеклования при Тм- При этом проявляются три максимума, температурное положение которых (значения Т ) может быть рассчитано, напрпмер, для каждого Я-процесса из уравнения (5.6) с учетом формулы (5.2), и для каждого времени т,-методами релаксационной спектрометрии могут быть определены величины и В . Расчет значений Г, из спектров дает хорошее согласие с экспериментально наблюдаемыми при исследованиях методом внутреннего трения температурами релаксационных переходов [7]. [c.135]

Задание. Рассчитайте для двухатомной молекулы колебательную сумму по состояниям. Учтите, что по законам квантовой механики энергия гармонического колебания дискретна и выражается формулой [c.107]

Ранее (см. гл. XII) была рассмотрена энергия осциллятора по теории Бора—Зоммерфельда и было показано, что следствием уравнения (XX.1) является дискретный спектр энергии, что привело к формулам Планка для излучения абсолютно черного тела, а Эйнштейна и Дебая — для теплоемкости. Теория Бора — Зоммерфельда позволила объяснить основные черты спектра атомов. Линейность спектров являлась следствием дискретности энергий, а квантовые числа оказались непосредственно связанными с числами П в уравнении (XX. 1). [c.424]

Определение энергии химической связи по электронно-колебательному спектру. По волновому числу границы дискретного и сплошного поглощения можно определить энергию кванта излучения, необходимого для разрушения химической связи. Однако при фотодиссоциации один или иногда оба атома будут в электронновозбужденном состоянии. Электронное возбуждение атомов в продуктах диссоциации происходит за счет энергии того же кванта, который при действии на молекулу вызвал ее диссоциацию. Энергию разрыва химической связи рассчитывают по формуле [c.19]

Колебательная сумма по состояниям. Согласно законам квантовой механики энергия гармонического колебания дискретна и выражается формулой [c.121]

Атомные спектры. Согласно модели Резерфорда, энергия атома должна уменьшаться непрерывно за счет излучения, образующего сплошной спектр. Однако экспериментально установлено, что все атомные спектры имеют дискретный (линейчатый) характер. Спектр служит одной из важнейших характеристик атома и отражает его внутреннее строение. На рис. 1.1 приведен линейчатый спектр водорода. В видимой области спектра атома водорода имеются только четыре линии, они обозначаются Н , Нр, Н , Н . В прилегающей к видимой ультрафиолетовой области имеется еще несколько линий, которые вместе с указанными четырьмя образуют серию линий. Волновые числа линий этой серии выражаются формулой [c.10]

При дифференцировании по температуре получаем формулу (IV. 73), т. е. правило Дюлонга — Пти. В области высоких температур дискретность энергетического спектра осциллятора не имеет значения и становятся справедливыми формулы классического приближения. [c.185]

Поскольку функция является комплекснозначной, необходимо пояснить, в каком смысле понимается действие оператора А на эту функцию. По формуле Эйлера функцию можно представить в виде = os t + i sin ai. Формально, применив к этой формуле дискретный принцип суперпозиции (2.2.1), получим [c.62]

Замечание. Приведенные выше рассуждения и последняя формула справедливы для нормально вязких, так называемых ньютоновских , жидкостей. Если же рассматривать, напри мер, дискретные системы или растворы полимеров, представляющих собой пространственные структуры, образованные сцеплением частиц или макромолекул, приведенные рассуждения не годятся. При течении таких жидкостей работа внешней силы затрачивается не только на преодоление ньютоновской вязкости, но и на разрушение структуры. [c.59]

Легко видеть, что дискретный минимум кривой распределения (рис. 9.8) при = 1,43 А соответствует известному значению длины связи С—О. Площадь под ним равна 146 ед., что согласуется с теоретическим значением, вычисленным по формуле [c.238]

Существует еще один вариант способа вычисления i называемый способом прореживания по час Другой вариант способа БПФ, описанного выше, называв собом прореживания по времени 1381 ], В прореживания по частоте все множество данных, под.п анализу, делится на неперекрывающнеся отрезки и для отрезка вычисляется спектр. Для вычисления спектров использовать те же самые дискретные формулы, что и Затем находятся средние по всем отрезкам, от способ с особенно полезным при обработке записей, полученных с и сейсмогра( юв, распределенных по площади 1338, 857). [c.184]

Формулы данного раздела записаны в интегральном виде. Для. г рактического использования их следует заменить дискретными формулами. Перевод формул в дискретный вид осуществляется ир емами, изложенными в разделе 4.5.1, и приводить их здесь нет необходимости. [c.209]

Вид ортогональных многочленов при аппроксимации зависимостей, заданных дискретным множеством точек, может быть различным. В частности, они могут быть получены из линейнонезависимой последовательности 1, х, х методом ортогонализа-ции Грама — Шмидта [30J. Однако с целью сокращения времени лучше использовать многочлены, которые могут быть вычислены по рекуррентным формулам, что благоприятно сказывается, кроме того, и на точности вычислений. Нами были избраны из числа известных ортогональные многочлены Чебышева первого рода [c.165]

Использование ЭВМ для расчета речзлфикационной установки, включающей колонну, теплообменнм-кн, насосы и вспомогательное оборудование, позволяет решить более сложную проектную задачу. В частности, могут быть просчитаны два или несколько вариантов решения одной и той же задачи с последующим выбором наилучшего из цих или даже оптимального в технико-экономическом отношении. В качестве критерия оптимальности можно принять минимум приведенных затрат, которые рассчитываются по формуле (11.38). При проектировании ректификационной установки можно ограничиться выбором наилучшего варианта конструкции колонны при фиксированном, например, условно-оптимальном флегмовом числе [минимизирующем функцию N Я 1) или пу (Р +1)]. При этом можно варьировать такие конструктивные характеристики, как тип и параметры контактных устройств, диаметр колонны, межтарельчатое расстояние, в соответствии с дискретными значениями их нормализованных размеров и пределами устойчивой работы контактных устройств. При такой постановке решения оптимальной задачи из расчета приведенных затрат можно исключить затраты на пар, воду и электроэнергию, поскольку они практически не зависят от конструкции колонны, а-)также часть капитальных затрат, мало зависящих от конструкции колонны — стоимость арматуры, трубопроводов, КИП, фундаментов и т. д. Приведенные затраты будут определяться только переменной частью капитальных затрат К, нормативным сроком окупаемости Гн, а также отчислениями на амортизацию Ка и ремонт Кр, определяемыми в долях капитальных затрат. Принимая [19] 7 н = = 5 лет. Ка = 0,1 и Кр = 0,05, получим [c.135]

Ван Демтер учитывал различие эффективных констант скорости в гидродинамическом следе пузыря и в непрерывной ф)азе (они требуют экспериментального определения). По двухфазной и порншевой моделям реакция в пузыре отсутствует. Облако, гидродинамический след и остальная непрерывная фаза рассматриваются не раздельно, а как единая фаза, в которой реакция протекает после обмена газом с дискретной фазой. В этом. случае конверсия (при непрерывно возрастающей активности катализатора и прочих неизменных условиях) должна характеризоваться константой скорости, превышающей значение к — соответственно формуле (VII,108). [c.319]

В литературе эту формулу иногда приводят как аналог принципа максимума для дискретных систем Однако в общем случае формула (VII,59) оказывается несправедливой [даже если ограничиться рассмотрением некоторой окрестности точки и (/с) Это выте- [c.192]

Каждый релаксационный процесс в реальных системах характеризуется не дискретными значениями Тр, а определенным набором ( спектром ) времен релаксации, в котором дискретные величины однозначно связаны между собой. Поэтому удобнее всего описывать релаксационные характеристики через наибольшее время релаксации Тр п1ах- Эта величина может быть вычислена по формуле [c.203]

Свет несет энергию. Но какое количество энергии переносится светом На этот вопрос можно дать ответ, если воспользоваться квантовой теорией, выдвинутой М. Планком (1900). Планк исследовал зависимость энергии, излучаемой абсолютно черным телом, от частоты излучения. Основные положения теории квантов Планка сводятся к выводу, что энергия поглощается или излучается атомами не непрерывно, а дискретно, небольшими порциями — квантами, являющимися кратными некоторого наименьшего возможного количества/ , названного постоянной Планка. Постоянная Планка входит в формулы современной теоретический физики А = 6,6256х X 10 Дж-с. [c.52]

Графическое изображение электронных формул. В основу кладут представление об орбитали, как энергетической ячейке в дискретном поле ядра. Подобные ячейки графически изображают в виде клеток, а электроны с определенным сппном — в виде стрелок, направленных соответствующим образом [c.38]

Возможен случай, когда при выполнении неравенства (VIII. 19) дискретность состояний учитывать необходимо. Этот случай описывается статистикой Больцмана для дискретного ряда состояний [формулы (VIII.20) и (VIII.21)]. Напротив, имеются системы, для которых существенна специфика распределения, обусловленная типом частицы ( фермион или бозон), но энергетический спектр можно считать квазинепрерывным. В этом случае следует исходить из распределения [c.174]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология