Краевой А е методом

Важный фактор эффективного использования численного моделирования— специально разрабатываемые методы вычислений. Наиболее широкое применение для решения краевых задач подземной гидромеханики получили метод конечных разностей и метод конечных элементов. [c.381]

После дискретизации области и построения дискретного аналога краевой задачи необходимо оценить сходимость конечно-разностного решения к точному решению исходной задачи, а также получить конечно-разностное решение, т.е. решить систему конечно-разностных уравнений. Реализация этих двух этапов представляет основные принципиальные трудности при практическом использовании метода конечных разностей. [c.387]

Метод проб и ошибок наиболее распространен при решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако во многих случаях этот метод поиска начальных условий приводит к задаче с неустойчивым решением. Тогда единственно возможным методом решения краевых задач на АВМ становится метод конечных разностей, приводящий к алгебраическим уравнениям. Моделирование же последних связано с большими трудностями и значительными погрешностями. Поэтому, несмотря на ряд очевидных достоинств, применение аналоговых машин для целей математического моделирования химических процессов из-за указанных причин является весьма незначительным по сравнению с цифровыми вычислительными машинами. [c.12]

Таким образом, несмотря на относительную простоту формального математического аппарата вариационного исчисления, использование его для решения практических задач связано с преодолением значительных вычислительных трудностей, обусловленных, в основном, необходимостью решения краевых задач для нелинейных диф -ференциальных уравнений. Попыткой избежать этих трудностей и являются прямые методы решения вариационных задач, некоторые из которых приведены ниже. [c.220]

Полагается, что капля начинает двигаться из состояния покоя. Тогда в начальный момент времени скорость жидкости внутри и вне капли равна нулю. Краевые условия такие же, как и в стационарной задаче Адамара. Поскольку в уравнении (1.94) переменные по времени разделяются, то и для капли решение осуществляется с помощью методов операционного исчисления. [c.27]

Решение краевой задачи как для противотока, так и для прямотока может быть получено методом последовательных приближений. Дпя этого решают задачу Коши, определяя величину Vi таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия (8.15) или (8.16). Нахождение Kj методом последовательных приближений может быть запрограммировано. [c.303]

Известен [30, 40, 95] метод определения параметров продольного перемешивания путем сопоставления опытных и расчетных С-кривых. Для построения последних по той или иной теоретической модели необходимо располагать их аналитическими выражениями или же численными решениями уравнений материального баланса трассера с краевыми условиями. [c.46]

В ОСТ 26-01-1271 —8 дан метод расчета толщины стенки цилиндрической оболочки в зоне, удаленной от узла сопряжения на расстояние /5- 0,7 Rs, т. е. практически вне зоны влияния краевых сил и моментов. В случае неудовлетворения условиям прочности необходимую толщину цилиндрической оболочки предлагают определять по выражению [c.359]

Следует, впрочем, заметить, что значения смоченной поверхности, найденные описанным выше методом, относятся к насадкам из нафталина, а эффективную поверхность определяли на основании опытов по абсорбции на фарфоровых насадках вряд ли действительная степень смачивания последних такая же, что и для нафталиновых поверхностей, из-за различий величин краевых углов в обоих случаях. [c.216]

Для определения краевого угла 6о по этому уравнению надо знать разность удельных межфазных энергий твердой подложки на границе с газовой фазой osi/ и с жидкостью Osi.. Так как не существует независимых от (13.4) методов определения ни каждой из межфазных энергий, ни их разности, уравнение Юнга, в отличие от уравнения (13.3), не позволяет определить величину краевого угла. Его используют обычно для нахождения разности osv—osL на основании измеренных значений 6о. [c.213]

До сих пор рассматривались состояния термодинамического или механического равновесия системы мениск — пленка. При движении капель или менисков распределение давлений в переходной зоне и пленке меняется, что приводит к изменению также и поверхности мениска. Если теперь продолжить невозмущенный профиль мениска до пересечения с подложкой, то определенное этим формальным методом значение краевого угла обнаруживает зависимость от скорости V смещения периметра смачивания. Динамические краевые углы 0а начинают отличаться от статических 0о и превышать их при и>10 см/с. Теория динамических краевых углов развита пока только для случая полного смачивания, когда мениск наступает с постоянной скоростью на равновесную смачивающую пленку. Решение удается получить численными методами на основе уравнения (13.1) [564]. Полагая, что условие пологости профиля переходной зоны сохраняется и при течении, из (13.1) можно получить следующее выражение для градиента давления в направлении течения [c.221]

Для поиска оптимального циклического процесса можно попытаться применить метод сопряженных градиентов, а для определения скользящих и квазистационарных режимов использовать известные методы нелинейного программирования. Таким образом, решение краевой периодической задачи представляет серьезные трудности из-за больших затрат на вычисление циклического режима, если таковой вообще удается найти. [c.292]

Полученная таким образом замкнутая система дифференциальных, интегральных и алгебраических уравнений при соответствующих начальных условиях и составляет полную математическую модель ДЖР. Подобная система уравнений, как правило, не имеет аналитического решения п должна решаться численными методами. В случае противоточного реактора начальные условия задаются на обоих концах реактора и поэтому речь идет о решении краевой задачи. Эта задача всегда имеет решение [6], так как выполняется условие Липшица [7]. [c.118]

Метод улавливания имеет несколько разновидностей. Одной пз них является метод улавливания капель твердой поверхностью, на которой диспергированное вещество имеет постоянный краевой [c.277]

Рассматриваемая задача представляет собой двухточечную краевую задачу для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Используем для решения метод Ньютона, а в качестве промежуточных звеньев в программе — модифицированный метод Эйлера для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и метод Гаусса для решения систем алгебраических уравнений. [c.309]

Будем считать, что эта система имеет решение, притом единственное. Наиболее часто такое решение находят численными методами, которые сводят краевую задачу к задаче с граничными условиями на одном конце (задача Коши). Если, например, к—р граничных условий заданы при х = а, ар условий — при X = Ь (фиксированные условия), то, выбрав р произвольных условий при X = а, будем решать задачу с условиями при а = а (при этом р условий при X = Ь яе используются). Произвольные условия при X = а меняют таким образом, чтобы рассчитываемые У (Ь) удовлетворяли отброшенным фиксированным условиям. [c.148]

И система уравнений (У.5), (У.6) — краевая задача — заменяется алгебраической линейной системой (У.8), в которой содержится п— неизвестных уу в точках 1, 2,. .., п—1 и столько же уравнений. Хотя систему (У.В) можно решить методами, описанными [c.148]

Теперь легко осуш ествить итерационную программу вычислений Mj, Nj, а затем по ним и у в точках 1, 2,. .., и—1. Создан ряд вариантов сочетания методов конечных разностей и прогонки, когда краевые условия заданы не только в виде чисел, но и в виде функций. [c.149]

Уже отмечалось, что производные 1 по х ж х можно найти методами численного интегрирования. Решение последней системы относительно величин х во всех промежуточных точках экстремали дает решение вариационной задачи. Хотя такое решение достаточно сложно (см- поиск экстремума функции многих переменных), оно требует меньших затрат машинного времени, чем решение краевой задачи. [c.214]

Удобным численным методом решения вариационных задач является метод локальных вариаций [9], развиваемый в последнее время для решения технических задач. Он отличается от метода кусочно-линейной аппроксимации использованием последовательных приближений при поиске точек экстремали. Поиск начинается с замены экстремали произвольной ломаной, проходящей через краевые точки и удовлетворяющей заданным ограничениям на величины х (т) (начальное приближение). Начальное приближе- [c.214]

Возникающую краевую задачу при численном счете можно решить, например, подбирая произвольное условие (0) = Г таким образом, чтобы в результате рассчитанное (У ,) было близко к Гок- Такой метод использован в работе [14]. Решение можно значительно упростить, если Ту. ш Т каждом сечении близки. Тогда изменение температуры описывается одним уравнением [c.104]

Структуры, являющиеся подструктурами более сложных структур, должны удовлетворять условию взаимной совместимости. Условия совместимости различных структур таковы идентичность граничных, краевых условий, областей применимости методов, заложенных в структуры [c.34]

Однако знание строгих решений для наиболее важных случаев принесло большую пользу, позволив разработать простые приближенные, но практически вполне достаточные, методы решения краевой задачи для некоторых важных частных случаев, которые приводятся ниже. [c.87]

В качестве базового метода для решения задач химической технологии можно использовать метод квазилинеаризации, эффективность которого для расчета динамики процессов, оценки параметров дифференциальных уравнений, для расчета многостадийных процессов доказана [19, 20]. Этот метод удобен для решения краевых задач, часто возникающих, например, при моделировании реакторов вытеснения с учетом продольного перемешивания, использования диффузионной модели для описания условий массопередачи и т. д. [c.275]

Для решения краевых задач имеется широкий выбор методов, пригодных для использования на вычислительных машинах, к которым относятся методы, основанные на сведении краевой задачи к начальной [27], а также методы, основанные на конечноразностном представлении исходных уравнений [33, 40]. [c.380]

В случае линейной формы задания последних членов в правых частях уравнений (3.23), (3.24) (например, для реакций первого порядка в изотермических условиях) задача (3.23)—(3.26) допускает аналитическое решение стандартными методами. При этом удобнее пользоваться постановкой задачи, которая вытекает из диагонализированной формы уравнений (3.19), (3.20) в результате применения к ним интегрального преобразования (3.22). В случае более сложной формы последних членов в правых частях уравнений (3.23), (3.24) (например, при нелинейной зависимости скоростей реакций от состава фаз или когда процесс протекает в неизотермических условиях) решение краевой задачи (3.23)—(3.26) целесообразно искать численными методами. [c.145]

А.С.Краевым. Метод может быть использован для определения первичной структурт ДНК однонитевых или двунитевых фрагментов различных размеров, включая и олигонуклеотиды. Все реакции проводят в пробирках "эппендорф", осадки получают на центрифуге 5414 этой же фирмы. [c.42]

Н. И. Павловскому (1884-1937 гг.) принадлежит определяющая роль в развитии теории фильтрации в гидротехническом направлении. В опубликованной монографии Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные приложения изложена разработанная им строгая математическая теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями. Им впервые многие задачи фильтрации воды были сформулированы как краевые задачи математической физики. Н. И. Павловский впервые обосновал и прдложил применение метода электрогидродинамической аналогии (ЭГДА) для решения фильтрационных задач, что в последующем нашло широкое применение для решения задач фильтрации воды, нефти и газа в неоднородных коллекторах. [c.4]

Решения различных краевых задач неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде в условиях как бесконечного, так и конечного пластов можно получить при помощи хорошо известных методов интегрирования линейного дифференциальйого уравнения в частных производных-уравнения теплоп юводности (5.14). [c.159]

На вытеснении нефти водой или газом основана технология ее извлечения из недр при разработке месторождений. Этот процесс является основным как при естественном водонапорном режиме (при вторжении в пласт краевой воды или газа газовой шапки, продвигаюших нефть к забоям добывающих скважин), так и при так называемых вторичных методах добычи нефти - закачка вытесняющей жидкости или газа через систему нагнетательных скважин для поддержания давления в пласте и продвижения нефти к добывающим скважинам. [c.228]

В отличие от ЦВМ аналоговые машины позволяют отыскивать не только конечный результат решения, но и дают возможность моделировать ход самого процесса во времени в соответствии с его действительным протеканием в физической модели. Различие может быть лишь в масштабе физико-химических величин и, в отдельных случаях, в масштабе времени. Для этих машин характерны сравнительнб простые методы решения, экономия времени при расчетах (решение практически осуществляется мгновенно), наглядность получаемых результатов и, наконец, относительная дешевизна их. Однако аналоговая машина решает уравнения только с начальными условиями, в то время как многие задачи математического моделирования являются краевыми. Для решения последних на АВМ обычно пользуются методом проб и ошибок, т. е. последовательно подбирают начальные условия такими, чтобы условия в конце интервала интегрирования были выполнены. [c.12]

Заслуживают внимания прямые методы решения задач оптимизации функционалов (см. главу V, стр. 220), обычно позволяю1цне свести исходную вариационную задачу к задаче нелинейного нро-грамкшрования, решить которую иногда проще, чем краевую задачу для уравнения Эйлера. [c.31]

Вьпле уже брлли рассмотрены трудности, возника[ощие прп решении краевых задач, к которым приводит математический аппарат вариационного исчисления. Однако этим еще не исчерпываются недостатки классического вариационного исчисления. Гораздо более серьезные препятствия на пути решения оптимальной задачи вариационными методами возникают тогда, когда в данной задаче присутствуют ограничения типа неравенств [c.241]

Теоретические исследования силы сопротивления, действующей на твердую сферическую частицу, которая стационарно осаждается в дисперсной смеси и испытывает влияние окружаюншх частиц, начались ра-тами Смолуховского [22]. Как известно, точное решение этой задачи принципиально невозможно из-за необходимости удовлетворения граничных условий сразу на нескольких поверхностях. Поэтому Смолухов-ский предложил метод последовательных итераций, в котором краевую задачу можно бьшо решить в любом приближении, рассматривая каждый раз граничные условия только на одной из частиц. Этот метод получил название метода отражений и позволил решить целый ряд задач, связанных с гидродинамическим взаимодействием частиц друг с другом и со стенками канала [22]. Метод основан на линейности уравнений Стокса, описывающих установившееся течение вязкой жидкости, когда значение критерия Рейнольдса, рассчитанное по диаметру частицы, мало по сравнению с единицей. Решение задачи обтекания частицы в облаке, состоящем из N частиц, ищется в виде суммы основного возмущения, вносимогг) в поток произвольно выбранной (пробной) частицей, и последовательных, ,отражений этого возмущения от имеющихся в наличии поверхностей [c.64]

Шаманский В. Е. Методы чпсленного решения краевых задач. Киев Наукова думка, 1966. [c.370]

Численное решение системы уравнений (9.31)—(9.34) при граничных условиях (9.35)—(9.40) всегда представляет собой краевую задачу, для решения которой могут быть использованы методы, описанные в разделе 7.2. Следует, однако, отметить, что система уравнений математической модели неизотермического реактора даже в простейшем случае одной реакции нулевого порядка не имеет аналитического решения, так как решение задачи связано с вычислением интегра.пов, которые не берутся в элементарных -Ьункциях. [c.171]

Уравнение (12.38) прп краевых условиях (12.43)—(12.50) может быть решено чпсленБЮ либо методом дробных шагов (Ке 40), либо методом установления (40 < Ке < 200). Таким образом определяется поле скоростей в фазах. [c.236]

Поскольку при описании процессов дифференциальными уравнениями второго и более высоких порядков граничные условия могут быть заданы в разных точках (так называемая краевая задача), численные методы для этих случаев должны быть модифицированы. Например, химический процесс в зерне пористого катализатора радиусом Л, описываемый уравнением О С = = f С), обычно характеризуют краевыми условиями для концентрации у внешней поверхности С (Н)х=н = в центре зерна д,С1д.х)х о = 0. Поскольку одно уравнение к-то порядка можно заменить эквивалентной системой к уравнений первого порядка [например, приведенное уравнение второго порядка можно заменить системой <1С1йх = у, В д.у1д,х = / (С)1, рассмотрим систему [c.147]

Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. Часть 1. Киев, Изд-во АН УССР, 1963. 180 с. [c.174]

Поскольку найденная оптимальная последовательность определяемых величин Уу 1 и т- д- обеспечит оптимум всего -функционала У = 2 / одновременный поиск 1 величины д ,-заменяется 1 поиском одной величины. Такой алгоритм является наиболее простым, но он не позволяет выполнить оптимизацию на последнем от конца, т. е- первом от начала, интервале. Действительно, оптимизация N2 даст величину х на конце первого интервала- Однако в начале этого интервала величина х =х задана краевым условием, т- е- величина У и положение прямой на первом интервале не являются независимыми- Этот недостаток несущественен при достаточно большом числе интервалов тУ, но затрудняет исследование сходимости метода- [c.216]

Решая эту систему численными методами, описанными в главе V, можем определить эффективную структуру зерна. Подчеркнем, что решение удобно осуществлять от центра зерна к поверхности. В этом случае решение краевой задачи упрощается, так как используется условие на производную d (0)/ г = dT (0)/йг = 0. Это проще, чем использовать условие на функцию [например, С (К) = Со, Т (К) = Гц1 и уточнить условие на производную. Упрощенный (но достаточно точный) метод расчета неизотер>ш-ческой регенерации зерен закоксованного катализатора рассмотрен в главе IX. [c.292]

Смещение кромок приводит к возникновению краевых сил и моментов, распределенных по периметру сосуда. Обычно их определяют методами тонких оболочек путем составления уравнений совместности радиальных и угловых деформаций [11]. Особенностью напряженного состояния оболочек, вызванного краевыми нагрузками, является быстрозатухающий характер изменения напря- [c.279]