Разложение в ряд Тейлора

Для приближенного решения системы (11—69) иногда используется метод линеаризации, т. е. разложения в ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка в окрестности начальных значений параметров. Для того чтобы воспользоваться этим методом, необходимо располагать начальным приближением. Чем точнее будет задано начальное приближение, тем быстрее может быть найдено точное решение. Начальное приближение, в окрестности которого производится разложение функции, может быть найдено различными способами, исходя из физических соображений и предварительных расчетов. [c.345]

Математическим описанием колонны является система уравнений, включающая уравнения баланса общего и покомпонентного, уравнения для фазового равновесия. Уравнения покомпонентного материального баланса тарелок можно рассматривать как систему нелинейных разностных уравнений первого порядка. Неизвестными здесь будут составы и отношение потоков пара и жидкости. Линеаризация системы уравнений производится разложением в ряд Тейлора до членов первого порядка. Для системы нелинейных разностных уравнений первого порядка [c.329]

Пусть функция и задана на начальной кривой Г(,, проходящей через точку (Хд, /о) и требуется ее определить в некоторой окрестности Г(,, т. е. решить задачу Коши для уравнения (п. 9). В общем случае можно вычислить первые и высшие производные из уравнения (п.9) в точке (Х(), о). Тогда функцию и можно найти на близкой соседней кривой посредством разложения в ряд Тейлора в окрестности точки на начальной кривой. [c.411]

С использованием разложения в ряд Тейлора. Задав небольшое изменение х—Аж = А, так что —а - х —-. .. = к, запишем ряд Тейлора в окрестности точки к (х = х + кк) [c.145]

Элементы Р/, стохастической матрицы Р равны вероятности того, что частица за время Дт не покинет ячейку к. Закон распределения вероятностей для любой ячейки идеального смешения имеет экспоненциальный характер, и поэтому элементы Р можно записать с учетом первых членов разложения в ряд Тейлора [c.449]

Интегрирование дифференциальных уравнений разложением в ряд Тейлора. Пусть для заданного интервала изменения аргумента требуется вычислить ряд значений функций у = у х), являющийся решением уравнения (12—8), если известно начальное условие г/о = у х ). [c.351]

Предположим, что правая часть уравнения (12—8) является аналитической функцией в области определения решения, тогда решение дифференциального уравнения является аналитическим и допускает разложение в ряд Тейлора. [c.351]

Аппроксимируя Л(Г, у, Л) той или иной функцией, например ограничиваясь в разложении членами порядка р и заменяя точные функции приближенными значениями у , получим численный метод, использующий производные р-го порядка. Если мы ограничимся первым членом по Л разложения в ряд Тейлора и пренебрежем членами высших порядков, то получим явную схему Эйлера [c.134]

Принципиально формула (12—12) может быть использована при интегрировании любого дифференциального уравнения с произвольной наперед заданной точностью, от которой будет зависеть число членов ряда. Однако с увеличением числа членов ряда увеличивается количество подлежащих определению производных, а следовательно, и объем вычислений. Вычисление производных с практической точки зрения весьма трудоемко, поэтому формулы разложения решения в ряд как метод решения дифференциальных уравнений не получили широкого распространения. Обычно вместо разложения используются методы, опирающиеся па разложение в ряд Тейлора, но позволяющие получать решение без вычисления производных. Метод же отыскания решения с помощью рядов Тейлора главным образом используется как способ оценки точности других формул интегрирования. [c.352]

Из сравнения (12—16) и (12—24) мо/кно заключить, что видоизмененные формулы Эйлера согласуются с разложением в ряд Тейлора с точностью до членов стенени /г включительно, т. е. обеспечивают точность на порядок выше, чем формула (12—17). Можно также показать, что формула Эйлера—Коши с итерационным уточнением на каждом шаге нозволяет получить точность порядка к [271. [c.356]

В рассмотренных выше реологических моделях реологические модули были постоянными. Можно получить модели с переменными модулями. Для этого / (и, Р, Р, е, е, т, ) = О рассматривают как функцию переменных Р, Р, , е. Тогда все коэффициенты будут функциями от и, т, i, а само разложение в ряд Тейлора принимает вид [c.150]

В левой части этого равенства выполним операцию обратного преобразования Лапласа, а в правой — заменим функцию у (1—х) ее разложением в ряд Тейлора относительно точки I до порядка N включительно [c.483]

Следующая часть задачи — определение координат точек Т — х проекций и их надежности. Температура фазового превращения твердое — жидкость находилась совместным решением соответствующих эмпирических уравнений двух- и трехфазных равновесий методом Ньютона. Начальным приближением служило рассчитанное значение температуры для предыдущего состава, а для крайних составов системы — либо графически найденное значение Г, либо взятая из литературы температура плавления соответствующего вещества. Разложением в ряд Тейлора в окрестности точки пересечения линий с использованием свойств независимых случайных ошибок получены формулы для дисперсии погрешности определения температуры Т — х проекции предлагаемым методом [c.156]

Представляется интересным получить предельную форму условия-критичности (11.50) для очень тонких стержней Ъ—>0). Использование разложения в ряд Тейлора различных функций Бесселя и случае малого аргумента позволяет приближенно записать [c.543]

Предполагаем, что при разложении в ряд Тейлора функции О тЦ) (2-25) в точке t членами выше первого порядка можно пренебречь. Предполагаем также, что величины То, взаимно независимы и не зависят от погрешности ИП. [c.72]

Теперь уже просто найти передаточную функцию гомогенного реактора. Подставляя в формулу (XI,32) величины а и г/ из уравнения (Х1,4), после разложения в ряд Тейлора получим [c.238]

Линеаризация около профилей стационарного состояния требует только подстановки r(xi, х ) из разложения в ряд Тейлора [c.159]

Линейное приближение. Используя для описания температурной зависимости свойств линейное приближение (первый член разложения в ряд Тейлора) и предполагая перепад температуры малым, можно получить линейные поправки к формулам для постоянных свойств (см. 2.1.5). В табл. 2 2.2.1 приведены температурные зависимости свойств воды и воздуха. [c.125]

Все остальные методы локальны и уточняют положение какого-то минимума, который иногда может не быть глобальным. Их успешно применяют лишь в случае, когда известно достаточно хорошее приближение к структуре исследуемой молекулы. Это методы поочередного уточнения параметров, наибыстрейшего спуска и др. Наиболее распространен среди них метод минимизации функционала (6.15) по схемам Ньютона—Гаусса и Ньютона—Рафсона. При этом после разложения в ряд Тейлора выражения (6.15) для 8М(з) и пренебрежения всеми членами, начиная с квадратичного, возникает система линейных уравнений относительно искомых параметров. Эту систему решают известными методами, что позволяет, применяя итерационную процедуру, уточнять значения структурных параметров. Достоинством данного метода наряду с уточнением геометрических параметров является возможность оценить величину случайной ошибки при их определении. [c.150]

Вычислительные операции четвертой и пятой стадий сводятся к решению многомерной смешанной задачи нелинейного программирования (5.2) — (5.6). Для ее решения при невыпуклой целевой функции предложен новый многоуровневый метод [160], основанный иа создании декомпозируемой модифицированной функции Лагранжа. Для сепарабельного разложения функции штрафа применяется специальное геометрическое равенство параллелограмма, а не разложение в ряд Тейлора. [c.143]

Энергию системы можно представить в виде разложения в ряд Тейлора подобно (5.16). Однако поскольку в общем случае ядерная конфигурация Q ) не обязательно принадлежит точке минимума, [c.177]

Предварительные замечания. Для полного описания более или менее произвольной функции нун<но задать бесконечный набор чисел (коэффициенты разложения в ряд Тейлора, коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по синусам и косинусам, значения непрерывной функции во всех рациональных точках и т. п.). Однако при решении задач с помощью ЭВМ имеют дело только с конечными совокупностями чисел, поэтому возникает необходимость приближенно охарактеризовать функцию конечным набором чисел. [c.16]

Весовая же функция разложения в ряд Тейлора [c.176]

Параметры нелинейных моделей могут, также, находиться итеративно, причем, на каждой итерации исходная функция линеаризуется путем разложения в ряд Тейлора. Пусть требуется определить параметры нелинейного регрессионного уравнения вида [c.42]

Существование в вязком подслое турбулентных пуЛ1>саи.ий и их постепенное затухание с приближением к межфазной границе имеют принципиальное эваче-, ние для проблемы массопередачн, особенно в тех случаях, когда процесс массо-пгредачи лимитируется переносом в жидкой фазе. Действительно, поскольку а жидкостях коэффициент молекулярной диффузии обычно значительно меньше коэффициента кинематической вязкости, турбулентные пульсации, несмотря на свое достаточно быстрое затухание в вязком подслое, дают заметный вклад в массовый поток вещества к границе раздела фаз. Влияние пульсаций на массоперенос становится пренебрежимо малым лишь в пределах так называемого диффузионного подслоя, толщина которого для жидкостей мала по сравнению. с толщиной вязкого подслоя. Скорость межфазного массообмена существенно зависит от характера изменения эффективного коэффициента турбулентной диффузии Pt вблизи межфазной границы. Если предположить, что функция Dt (у) достаточно хорошо описывается первым членом разложения в ряд Тейлора [c.177]

Необходимо отметить, что переход от 2п независимых переменных (Гу, А у) к n независимым переменным (Tj ) за счёт разложения в ряд Тейлора значений энтальпий паровых и жидких потоков в окрестности точки Tj, значительно (в 2-3 раза) сокращает время расчёта сложных рюдели-тельных систем. Однако, при этом устойчивость сходимости сильно зависит от первоначально принятых значений Tj и K"j. Надёж ный метод первоначального задания значений Tj и i j удалось разработать толь.ко для случая закреплённых отборов продуктов разделения. Исходя из этого, описанный метод расчёта сложных разделительных систем, предлагается использовать только в случае заданных - закреплённых отборов продуктов разделения. [c.65]

Таким образом, применение соотношений типа (3.111) основано на том, что элемент, представляемый явной схемой Эйлера в методе Рунге — Кутта, заменяется на неявный элемент, разрешаемый Ньютоновскими итерациями. Конкретный выбор значений параметров в (3.111) определяется процедурой регуляризации, состояш ей в установлении соответствия между численным решением и формальным разложением в ряд Тейлора с заданным порядком точности по к (порядок не может быть больше второго). Применяя формулы вычислительного процесса У п+1 = ФУп к исходному уравнению у = —Ку, всегда можно удовлетворить требованию ф < 1 выбором значений параметров в (3.111). Другие параметры выбираются либо пз сообра-жеиий простоты процедуры, либо регуляризацией иного типа, наделяющей численную схему дополнительными желательными свойствами. Таким образом, вычислительный процесс (3.102) легко управляем и является балансным, однако не имеет свойства положительности, т. е. в решении возможно появление отрицательных концентраций, продемонстрированное на примере (3.83). [c.188]

Если же модель нелинейна относительно подбираемых коэффициентов, применение критерия Фишера становится неоправданным. В этом случае можно строго проверить адекватность модели, перейдя к линеаризованному относительно коэффициентов описанию. Последнее можно получить по линейной части разложения в ряд Тейлора, а для химических процессов и более простыми методами [2]. Прй таком подходе дискриминация моделей заключается в отбрасывании тех из них, для которых Р-Отдать же предпочтение какой-либо -модели с Р нельзя. Этот подход был использован для анализа моделей паровой конверсии метана было найдено, что из двенадцати предложенных в литературе моделей лишь четыре можно считать адекватными 13]. [c.55]

Оценим ошибку расчета по методу Эйлера. Из разложения в ряд Тейлора ясно, что замена (f х h) — ф (х) на ф Л при малых h дает ошибку, пропорциональную h , т. е. равна onst-/г, . Если интервал х —х разбит на п частей и h = х—х 1п, то такая ошибка совершается п раз, и суммарная ошибка будет пропорциональна x—XqY ji. Таким образом, увеличение точности в п раз требует увеличения в то же число раз точек деления. Именно этот недостаток ограничивает применение метода Эйлера. Если, однако, зависимость у (х) близка к линейной (что довольно часто имеет место в прикладных расчетах), то коэффициент пропорциональности onst мал, и метод Эйлера даже при небольших п даст точное решение. [c.146]

Для изучения процесса смешения в рассматриваемой системе, описываемой произвольной топологической ячеечной структурой, проследим поведение меченых частиц, введенных с питающим потоком в виде ступенчатого возмущения. Будем характеризовать процесс смешения вектором F (т) с координатами (тп) — вероятностью полного заполнения мечеными частицами г-й ячейки. Как и в случае изменения состояния системы, примем, что частицы с некоторой вероятностью могут перейти только из i-й ячейки в /-Ю, соединенную с i-й ячейкой потоком остальные переходы за малый промежуток времени At невозможны. Тогда вероятность изменения концентрации меченых частиц в -й ячейке за счет /-й, при разложении в ряд Тейлора и выделении первого члена, составт Pj = QjJVf) At, а вероятность того, что концентрация не изменится, с учетом выражения (4.49) можно представить в виде Pii=i+(QiilVf) At. [c.263]

Если функция 5](Х, 0) нелинейна относительно коэффициен-тон, то применяют соответствующие приемы линеаризации. Наиболее общим является разложение в ряд Тейлора [5] [c.10]

Даймонд и Смит [140а] обобщили работы Лоули и Смита [140] на случай модели Леннарда-Джонса с нецентрально внесенными диполями. По существу эта модель является усовершенствованием потенциала Штокмайера, хотя в математическом отношении она является более сложной. Если удастся преодолеть математические трудности и применить модель к другим свойствам, например транспортным, то она может оказаться очень полезной. Используя разложение в ряд Тейлора, модель с нецентрально расположенным диполем можно свести к модели, полученной в результате суперпозиции центрально расположенных диполей, квадруполей и других моментов более высокого порядка. В тех случаях, когда диполь расположен достаточно далеко от центра, сходимость разложения достаточно слабая, однако, как показали расчеты, проведенные Сперлингом и Мейсоном [1406], такую модель (с диполем, вынесенным из центра) часто можно заменять эквивалентной центральной диполь-квадрупольной моделью, для которой легче выполнить все расчеты. И наконец, рассмотрим вопрос об учете мультиполей более высокого порядка и других зависящих от ориентации эффектов в схеме использования потенциала п—6). [c.229]

Вся процедура описания экспериментальных данных может быть существенно механизирована с помощью обычных численных методов, которые становятся все более популярными по мере распространения быстродействующих ЭВМ. Обычно как критерий описания выбирается метод наименьших квадратов, но применяемое аналитическое определение нельзя использовать, так как теоретическая зависимость параметров нелинейна. При наличии большой вычислительной машины минимизация среднеквадратичного отклонения может быть выполнена непосредственно численным методом [104]. Если такие вычисления невозможны, то используется аналитический метод последовательных приближений [183—1836]. Первое приближение для параметров потенциала берется, например, из графического метода, затем относительно этих параметров производится разложение в ряд Тейлора. При сохранении первых членов разложения относительно корректирующих поправок к параметрам потенциала получается система линейных уравнений. Если первое приближение параметров оказывается слишком грубым, то всю процедуру можно повторить, начиная со второго приближения, полученного в первом цикле. Уолли и Шнейдер [183а] применяли этот метод для определения параметров потенциала из вторых вириальных коэффициентов, а также в расчетах для некоторых инертных газов. Этот же метод расчета применялся для метана и закиси азота [1836]. [c.247]

Процесс решения в системе МИНОС [95] состоит из последовательности главных итераций , в каждой из которых осуществляется линейная аппроксимация нелинейных ограничений в базисной точке с помощью разложения в ряд Тейлора [c.235]

Таким образом, для проверки пригодности той или иной схемы необходимо установить ее порядок аппроксимации (эта задача решается, как уже отмечалось, с использованием разложений в ряд Тейлора) и исследовать устойчивость. Для нсследова-пия устойчивости развиты спектральные методы [27] и методы апергетических оценок [28]. Отметим некоторые свойства приведенных выше разностных схем [c.249]

Отметим, что входные координаты при етом могут входить в модель нелинейно. Проведя соответствупщие переобозначения, как это сделано в параграфе 2, мы всегда сможем привести модель к воду (2.3). В этом случав первые два члена разложения в ряд Тейлора будут определять не приближенное, а точное значение , сле- [c.66]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология