Дифференциальные уравнения условия однозначности

Уравнения, описывающие химический процесс в реакторе, учитывают только наиболее принципиальные особенности, присущие множеству родственных, но отличающихся одно от другого явлений. При этом независимо от вида дифференциального уравнения его решение (при условии, если оно существует) в общем случае должно удовлетворять всем явлениям данного класса. Другими словами, уравнение имеет бесчисленное множество различных решений. Но лишь одно из них отражает именно ту связь между переменными, которая отвечает данному конкретному явлению. Это решение и будет представлять собой не только решение данного уравнения, но и решение данной задачи, связанной с конкретным процессом. Математически отыскание указанного однозначного решения сводится к нахождению решения уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, которые в большинстве случаев определяются физико-химической сущностью задачи. Дополнительные условия обычно принято называть граничными (краевыми) и начальными условиями. [c.8]

Обычно объекты проводимых нами исследований сложны и, кроме того, изучается влияние многих параметров, а экспериментально найденную зависимость чаще всего можно представить лишь в виде системы дифференциальных уравнений, решить которые не всегда удается. В этих случаях приходится пользоваться физико-математическими методами на основе теории подобия. Использование теории подобия позволяет определить условие однозначности (т. е. наименьшее число параметров, однозначно характеризующих явление), обобщить результаты исследований на другие, подобные системы и установить пределы применимости найденных обобщений. [c.15]

Для того, чтобы от общего математического описания группы однотипных процессов (например, сорбции) перейти к конкретному описанию одного процесса (например, сорбции пропана цеолитом в аппарате определенных размеров), исходная система дифференциальных уравнений должна быть дополнена начальными и краевыми условиями (т. е. условиями поведения функции в начале или в конце процесса и на геометрических границах аппарата) и физическими характеристиками обрабатываемых веществ. Эти дополнения называют условиями однозначности. [c.134]

Масштабные факторы и критерий подобия при описании процесса перемешивания. Теория подобия позволяет распространить данные единичного опыта на определенную группу подобных процессов в пределах рассматриваемого класса особым заданием условий однозначности. Для описания единичного процесса необходимо дифференциальное уравнение, описывающее рассматриваемый процесс. [c.266]

Расчеты по тем или иным аналитическим решениям возможны, разумеется, только при наличии численных значений всех коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения и в условия однозначности. [c.110]

В случае особых управлений условие максимума (VI, 8) не позволяет однозначно исключить параметры управления из задачи и свести последнюю к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных а и г з. Особые управления часто появляются в случае, когда процесс описывается системой дифференциальных уравнений, линейных относительно управлений [c.125]

Условия однозначности, заданные в виде конкретных численных значений, в соединении с дифференциальным уравнением выделяют из всего класса один конкретный процесс. В этом случае решение дифференциального уравнения, если его удается получить, справедливо только для заданных численных условий однозначности. [c.22]

Дифференциальные уравнения описывают целый класс однородных по своей сущности явлений, н для выделения из него конкретного явления необходимо ограничивать указанные уравнения дополнительными условиями (условиями однозначности). [c.64]

Таким образом, дифференциальные уравнения должны решаться в совокупности с условиями однозначности в устанавливаемых последними пределах. [c.64]

Зная дифференциальное уравнение, / = описывающее данный класс явлений, формулируют подобие условий однозначности для группы подобных явлений, т. е. задают константы подобия, выражающие отношения физических величин, входящих в это уравнение,— k (для сил), (для масс), (для скоростей) и (для времен). [c.72]

Третья теорема по д.о бия, или теорема М. В. Кирпичева и А. А. Гухмана, формулирует необходимые и достаточные условия подобия явлений подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности. Подобию же условий однозначности при идентичности дифференциальных уравнений, описывающих процессы, отвечает [c.73]

Уравнение Шредингера — дифференциальное уравнение в частных производных и может иметь множество решений. Однако физический смысл имеют лишь те Ч -функции (так называемые собственные функции), которые удовлетворяют ряду условий. Во-первых, эти функции должны быть непрерывными, конечными, однозначными и обращаться в нуль на бесконечном расстоянии. Наложение перечисленных условий называется нормированием -функции . Во-вторых, собственным -функциям соответствуют не любые, а только дискретные значения полной энергии Е. Как дискретные значения энергии, так и вид собственных Т-функций определяются совокупностью квантовых чисел п, I, т, которые хотя и не содержатся в самом уравнении Шредингера, но вводятся в него при решении. Таким образом, квантование энергии естественно и неизбежно вытекает из коренных свойств материальных объектов и не нуждается в особом постулировании, которое было сделано И. Бором при разработке планетарной модели атома. [c.10]

Интерпретация величины a 5 i ) как плотности вероятности и, в частности, вытекающее отсюда условие (VII.3) налагают определенные ограничения на функцию Требования состоят в следующем функция должна быть однозначна, конечна и непрерывна. Математическая задача нахождения возможных состояний системы с заданной энергией Е [возможных зависимостей я (i/)] сводится к решению дифференциального уравнения (VII.7) при заданном значении Е, причем требуется найти такие решения, которые удовлетворяют условиям однозначности, конечности и непрерывности. Из математической теории уравнений типа (VII.7) известно, что функция al), удовлетворяющая названным условиям, в случае если система заключена в конечном объеме, может быть найдена только для определенных дискретных значений Е. Эти значения энергии носят название собственных значений оператора Гамильтона. Совокупность всех возможных значений fi, 2, называют энергетическим спектром системы. Функции т] г (q), удовлетворяющие уравнению (VII.7), называют собственными функциями. Задание волновой функции q) есть определение квантовомеханического состояния системы энергия системы в заданном квантовом состоянии фиксирована. [c.150]

Из системы двух трансцендентных и одного обыкновенного дифференциального уравнения (136), (138) однозначно определяются значения Хо(г ), с "(хо(0), Из условия на с-скачке вдоль тыла оторочки (137) определяются значения насыщенности за тылом оторочки ( о(О)- В область проталкивающей воды х<Хо(г) значения насыщенности распространяются с тыла оторочки вдоль -характеристик. Решение в этой зоне описывается формулой (127). [c.198]

Указанные выше функции, описывающие поля названных величин, могут быть получены в результате интегрирования системы дифференциальных уравнений, выражающих основные физические за1<оны — закон сохранения и превращения энергии, второй закон динамики и закон сохранения массы. Если система уравнений записывается для каждой фазы в отдельности — а рассматривается именно такой подход, то одноименные поля требуют увязки, на границах раздела фаз такая увязка обеспечивается сформулированными математически условиями взаимодействия фаз. Постановка задачи дополняется условиями однозначности для всей системы в целом. [c.5]

Другое дело — моделирование геометрии аппаратов и гидродинамики процессов. Здесь кроме дифференциальных уравнений (движения вязкой жидкости, неразрывности потока и др.) приходится вводить ряд условий однозначности, в которых связь между параметрами установлена лишь функционально и определяется эмпирически. В этих случаях единственным выходом является пока физическое моделирование на основе эмпирического решения критериальных уравнений. [c.292]

Интегрирование уравнений (1—24в), (1—24г) и (1—24д), в которые входят четыре неизвестных ц)у, и,, и р, если заданы условия однозначности (см. ниже), должно дать значения неизвестных как функций времени и координат. Однако методы решения таких дифференциальных уравнений в общей форме еще не найдены, и поэтому возможны лишь отдельные частные их решения. [c.42]

Анализом явлений при помощи теории размерности невозможно определить условия однозначности. Последние могут быть установлены только путем вывода дифференциальных уравнений, характеризующих рассматриваемое явление. В этом заключается ограниченность метода. [c.59]

Задача о распределении температуры в монокристалле германия в процессе его выращивания сводится к решению дифференциального уравнения теплопроводности с соответствующими условиями однозначности. Выберем начало координат (точка в центре, см. рис. 37), Тогда задача может быть сформулирована следующим образом. Основное уравнение для нестационарных условий в цилиндрических координатах может быть представлено в виде [c.111]

Получаем дифференциальное уравнение (4.58) второго порядка. При его интегрировании появятся две неопределенные константы интегрирования. Чтобы решение было однозначным, необходимо иметь еще два уравнения для их определения. Такую роль выполняют дополнительные условия на фаницах рассматриваемой области (фаничные условия). [c.138]

Разумеется, одного уравнения (8.8) недостаточно, чтобы решить конкретную диффузионную задачу. Однозначные решения дифференциальных уравнений подобного типа в частных производных возможны лишь при задании дополнительных (краевых) условий. В данном случае такие условия (начальные и граничные) оговорены и могут быть представлены в следующем виде [c.274]

При адсорбции сферическим зерном, имеющим радиус / , дифференциальное уравнение внутренней диффузии и условия однозначности, соответствующие отсутствию адсорбтива в зерне в начальный момент, условию симметрии нестационарных профилей концентрации в центре шара и условию конвективного массообмена наружной поверхности шара с потоком газа постоянной концентрации Со, имеют вид [c.297]

Полагая, что в каждой точке пространства равновесие между газовой и адсорбционной фазами устанавливается мгновенно, можно а исключить из уравнения (4.18) согласно уравнению (4.1). Тогда дифференциальное уравнение диффузии примет вид (1.65) или (4.15). Решение этого уравнения с условиями однозначности [c.178]

Система соответствуюших дифференциальных уравнений и условий однозначности в безразмерных переменных имеет вид [c.248]

Дифференциальные уравнения описывают целый класс однородных явлений (например, одним уравнением - Навье - Стокса - описываются такие разные, на первый взгляд, явления, как движение жидкости по трубопроводам и каналам и перемещение больших объемов океанической воды и атмосферного воздуха). Для практического использования этих уравнений следует при их решении учитывать ограничения, вытекающие из свойств конкретного явления (процесса). Для химико-технологических процессов такими ограничениями могут быть пределы изменений геометрических характеристик аппаратов, физических свойств веществ и т.п. Поэтому для выделения конкретного явления из класса явлений, описываемых единой системой дифференциальных уравнений, необходимо эти уравнения ограничить дополнительными условиями, которые называют условиями однозначности, т. е. условиями, которые полностью, однозначно характеризуют данное явление (например, температура насыщенного пара полностью, т.е. однозначно определяется его давлением). [c.63]

Однако многие химико-технологические процессы настолько сложны, что удается лишь составить систему дифференциальных уравнений для их описания и установить условия однозначности. Решить же эти уравнения известными в математике методами обычно не представляется возможным. В подобных случаях используют метод моделирования. В широком смысле под моделированием понимают исследование объектов познания на их моделях, поэтому моделирование неотделимо от развития знания. [c.63]

При решении основных уравнений переноса — типа (1.20) — (1.22), а также ряда других, менее общих дифференциальных уравнений, встречающихся в курсе ПАХТ, необходимо отыскать постоянные интегрирования (или установить пределы интегрирования), дабы полученное в общем виде решение конкретизировать применительно к определенному интересующему нас технологическому процессу. С этой целью должны быть зафиксированы условия однозначности, вьщеляющие конкретное решение из более общего, записанного для группы сходных процессов. В широком смысле к условиям однозначности относят физические свойства рабочих тел (среды и др.), конфигурацию и размеры рабочей зоны аппарата. Без этого не удастся сформулировать начальное и граничные условия. [c.97]

Существенное сходство характерно и для дифференциальных уравнений переноса импульса (Навье — Стокса), теплоты (Фурье — Кирхгофа) и вещества (Фика), а также для условий однозначности к этим уравнениям. При этом в выражениях (а), [c.488]

Уравнение (2.104) - дифференциальное второго порядка. При его интегрировании появятся две неопределенные константы интегрирования. Чтобы решение было однозначным, необходимо иметь еше два уравнения для определения констант интегрирования. Ими являются дополнительные условия на границах рассматриваемой области - половины пластинки (граничные условия). Дифференциальные уравнения с необходимым числом граничных условий называют замкнутой системой уравнений. [c.89]

Дифференциальные уравнения, описывающие нестационарные поля температуры, для своего однозначного решения (нахождения констант интегрирования) требуют условий однозначности, число которых определяется порядком высшей производной по каждой из независимых переменных. Существенно, что сами условия однозначности должны быть сформулированы на основе дополнительной физической информации о процессе, не зависящей от основного дифференциального уравнения, описывающего процесс в каждой точке вещества. [c.229]

Такой способ интегрального преобразования имеет и свое физическое обоснование. Дело в том, что любое интегральное преобразование, взятое по пространственным координатам, является с физической точки зрения некоторым усреднением исследуемой физической величины. Вполне естественно, что это усреднение должно быть сделано не только в соответствии с характером прсцесса и формой тела (видом дифференциального уравнения), но и в соответствии с граничными условиями. В этом случае решение для изображения функции будет представлять самостоятельный интерес, поскольку такое преобразование в физическом отношении будет представлять переход от анализа актуальных значений исследуемых функций (дифференциальное уравнение, условия однозначности) к усредненным значениям, сделанным в соответствии с конкретной постановкой той или иной физической задачи. Таким образом, методы интегрального преобразования приобретают новое весьма су-ществгнное преимущество перед классическими методами, так как они дают возможность получить ряд закономерностей протекания физических процессов на оснсве анализа решения для усредненных значений исследуемой физической величины (анализ решения для изображения). Это обстоятельство сближает данные аналитические методы с методами теории подобия. [c.58]

В случае материала фойхтовского типа, поведение которого-при объемных деформациях является упругим, Р = R = I, я напряжения fij могут быть выражены непосредственно через смещения щ. Во всех других случаях, чтобы получить выражения для напряжений, нужно решать обыкновенные дифференциальные уравнения. Частные интегралы этих уравнений, соответствующие правой части уравнения (6), дают псевдохарактеристические времена, которые будут обсуждаться позднее, а сопряженные функции, т. е. решения однородных уравнений, дают основные характеристические времена релаксации. Очевидно, что начальные условия нужно выбирать таким образом, чтобы решения этих обыкновенных дифференциальных уравнений были однозначны, т. е. их число должно равняться порядку р + г оператора PPR . [c.502]

Чтобы описать единичный процесс, нужно дополнить дифференциальное уравнение данными, харант( ризующими этот единичный процесс. Эти дополнительные данные называются условиями однозначности. При решении дифференциального уравнения с учетом условий однозначности процесс конкретизируется. [c.21]

При проведении опыта изучаемый процесс проходит в аппарате, имеющем конкретные размеры и форму, в среде, обладающей определенными физическими свойствами, при конкретных граничн1>1х и начальных условиях. Полученные в опытах данные соответствуют конкретным условиям однозначности и дают практическое решение вопроса для единичного процесса, точно так же, как и решение дифференциального уравнения при конкретных численных значениях условий однозначности. [c.22]

Пусть, нанример, при исследовании какого-то процесса было выведено дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс. Из дифференциального уравнения и условий однозначности были найдены критерии, характеризующие процесс неопределяющий и определяющие и К 2- Кроме того, из анализа условий задачи исследования был получен параметрический определяющий критерий / 03 (параметрические критерии нсегда являются определяющими). Связь менаду физическими величинами, характеризующими процесс, может быть представлена гритериальным уравнением в виде степенных функций [c.29]

Теория подобия применяется при изучении сложных процессов и дает возможность получать критериальные уранения, описывающие эти нроцессы. Применять теорию подобия можно лишь тогда, когда удается составить дифференциальное уравнение, описывающее изучаемый процесс, и сформулировать условия однозначности. Однако при изучении очень сложных процессов в ряде случаев не удается составить даже дифференциальное уравнение, описывающее [c.29]

Решая уравнение (16.39), получим бесчисленное множество решений, отличающихся друг от друга различными индивидуальными признаками. Для полного описания конкретного случая сушки дифференциальное уравпение (16.39) долиию быть дополнено условиями однозначности — физическими и геометрическими характеристиками, начальными и граничными условиями. [c.423]

Применение ЭВМ для численного интегрирования системы дифференциальных уравнений позволяет охватить практически неограниченные диапазоны и количество сочетаний условий однозначности и тем самым получить требуемую общность, не меньшую, чем при наличии общего ре шевия. Учитывая, что получение последнего достигается ценой дальнейших упрощений модели, следует признать реализацию математической модели с помощью ЭВМ более правильной и перспективной. [c.119]

Очевидно, что условия однозначности не только выделяют данное явление из общего класса явлений, ио и, дополняя дифференциальные уравнения, дают возможность получить полную характеристику явлений. Более того, дифференциальные уравнения могут быть решены лишь при помощи условий однозначности в устапавлидаемых ими пределах. [c.52]

Решение уравнений конвективного теплообмена при соответствующих условиях однозначности позволяет определить температурное поле в потоке, а затем вы Птелить и остальные искомые значения дс, а, а. Точное решение уравнений движения и энергии, составляющих систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, возможно лишь в ограниченном числе простейших случаев. [c.154]

В последующих разделах представлены выводы общих дифференциальных уравнений переноса субстанций. Существуют различные пути анализа, приводящие к конечному результату. Выберем наиболее наглядный путь, использующий балансовые соотнощения типа (1.8) он основан на рассмотрении неподвижного бесконечно малого постоянного объема в движущейся жидкости (при необходимости — газа, твердого тела). Удобнее всего вести анализ в декартовой системе координат (рис. 1.7), выделяя в качестве пространственного контура элементарный прямоугольный параллелепипед с ребрами с1х, йу, dz и рассматривая (для единицы времени или бесконечно малого промежутка ёт) потоки соответствующей субстанции через пары граней хйу, с1л с1г и дубг, а также изменения, происходящие внутри вьщеленного элементарного объема <1У = (1х(1>ч1 . В зависимости от рассматриваемой субстанции получают дифференциальные уравнения неразрывности и переноса субстанции. Интегрирование этих дифференциальных уравнений с установленными условиями однозначности должно привести к уравнениям, которые можно использовать в инженерных расчетах. Формулирование упомянутых условий и процедуры интегрирования (или [c.73]