Интеграл функции ошибок

Интегрирование функции Гаусса дает гауссов интеграл ошибок. Площадь, получаемая при интегрировании в пределах — со < х < + со, равна единице (рис. 2.1). Если интегрируют в пределах от —иа до + ыа, то находят только часть этой площади. Тогда внутри этих пределов находятся 100-Р % от бесконечного числа результатов измерения. Для единичного результата величина Р одновременно представляет собой вероятность, с которой вследствие случайной ошибки р отклоняется от истинного значения. Для средней величины х из Пр, параллельных определений разброс результатов составит [c.22]

Если предположить, что 2(/)—белый шум, то для непрерывного времени выборочная оценка наименьших квадратов для функции /г(ы) получается с помощью минимизации интеграла от квадрата ошибки- [c.211]

Интеграл перекрывания показывает степень перекрытия волновых функций атомов водорода и изменяется от нуля при межъядерном расстоянии Д = оо до единицы (Я = 0). При равновесном расстоянии между атомами водорода в молекуле он равен 0,75. Поэтому без большой ошибки можно принять, что полная энергия системы равна алгебраической сумме кулоновского и обменного интегралов [c.68]

В этом методе неточные измерения отдельных ординат функций У Ф на каком-либо участке времени влияют через операцию интегрирования на все к уравнений (IX. 45) с индексом / . Для того чтобы ошибки измерения г/ ( ) на интервале [О, не влияли на величину интеграла, взятого на другом отрезке, [О, / +1], можно интегрировать соотношения (IX. 46) на участках [/д, /д+1] (а = О, 1, [c.241]

Введение интеграла (использование ПИ-регулятора) устраняет статическую ошибку, но мало улучшает динамику процесса. Добавление импульса по производной (применение ПИД-регуля-тора) существенно повышает быстродействие системы, но при большом коэффициенте усиления возникает значительное перерегулирование и САР становится более чувствительной к внешним возмущениям. Для устранения этих недостатков возможны два пути усложнение САР (создание многоконтурной системы с дополнительными перекрещивающимися обратными связями) или создание регулятора со специальной характеристикой. При этом передаточная функция регулятора должна иметь вид [21] [c.711]

В фокальной плоскости линзы квадрат функции распределения амплитуд Ф(у) пропорционален интенсивности света. Поэтому интерференционные минимумы (темные полосы) соответствуют нулевому значению интеграла (19), а максимумы (светлые полосы) появляются, когда Ф(у) достигает экстремальных значений. Для того чтобы взять интеграл (19), можно сделать некоторые упрощения. Для достаточно малых величин z(z << 1) определенный интеграл от ехр (- с незначительной ошибкой можно представить в виде усеченного ряда Тейлора, оборванного на кубическом члене. [c.136]

Уравнение (1У-150) связывает значение интеграла Редлиха — Кистера с ошибками в определении состава пара. Как видно, значение интеграла зависит не только от величины Аг/х, но и от характера равновесия в данной системе, т. е. от вида функции = f (хх). Однако уравнение (1У-150) неудобно для установления связи между значением интеграла Редлиха — Кистера с величиной систематических ошибок в экспериментальных данных, так как оно включает также составы раствора Хх = О и = I, для которых состав пара известен всегда совершенно точно, т. е. Аух = О при Хх = О или 1. Чтобы учесть это обстоятельство и избавиться от неопределенности, в которую обращается Ау УгУ , если у или 1/3 О, представим уравнение (1У-150) следующим образом [c.172]

Следует отметить, что истинные кривые интенсивности поглощения или испускания можно получить лишь в том случае, если внесены поправки на все ошибки, связанные с аппаратурой, в виде так называемой аппаратурной функции F (X). Для данного прибора эта функция определяется как распределение бесконечно узкой спектральной линии, даваемое его детектором. Экспериментальные кривые /(X) и [л(Х) можно представить в виде контурного интеграла истинных кривых и функции F(l). Функция F никогда не известна точно, однако в случае двухкристального спектрометра 5 [c.131]

Преимущество функций распределения такого типа заключается в том, что их можно интегрировать в конечных пределах. Мы можем пользоваться ими, например, для того, чтобы рассчитать долю полимера со степенями полимеризации х, лежащими в определенных пределах—от х до л а суммирование уравнений (8-3) и (8-4) в этих пределах было бы более трудной математической задачей. Ошибки, вносимые в расчет при замене суммирования интегрированием, описываются формулой Эйлера—Маклорена, рассмотренной в работе . Ошибки становятся пренебрежимо малыми, если сумма или интеграл берутся в достаточно широком интервале, настолько широком, что общее количество полимера гораздо больше, чем количество полимера, молекулы которого характеризуются любым данным целым значением х. [c.169]

Подобные расчеты в настоящее время возможны лишь для очень простых систем либо для двухатомных, либо для линейных трехатомных молекул, состоящих из элементов первых периодов периодической системы. Основная трудность связана с оценкой интегралов (г/, Ы). Дело не только в том, что приходится вычислять огромное количество таких интегралов (их число приблизительно равно числу функций базисного набора в четвертой степени), но и в том, что, если функции ф , ф,, фи, Ф1 — орбитали трех или четырех атомов, вычисление такого интеграла становится чрезвычайно сложной задачей. Дальнейшие возражения против такого подхода определяются специфическими ограничениями метода ССП, а именно тем, что в этом методе не учитывается электронная корреляция. Метод Хартри — Фока, даже в наиболее точной форме, не позволяет найти электронные энергии связи с точностью, большей одного процента. С точки зрения химика такая погрешность абсолютно неприемлема. Даже для сравнительно небольшой молекулы, например бензола, такая ошибка составляет много сотен килокалорий на моль, тогда как разница в энергии даже в несколько сотен калорий на моль может привести к важным химическим следствиям. [c.102]

Если спектр приблизительно симметричный, т. е. F — Я) == = — F (Я) 6 (Я), где е (Я) — ошибка записи, то второй интеграл мал, а в первом интеграле стоит сумма двух приблизительно одинаковых функций. Отсюда видно, что если спектр F (ff) изотропный и симметричный, но содержит ошибку записи, то нет необходимости предварительно его симметризовать и искать центр спектра. Достаточно перенести начало координат в точку, где интенсивность спектра близка к нулю, а в вариационной программе дополнительно включить константу СТС для спина I = V2, примерно равную протяженности всего спектра. Программа автоматически уточнит оптимальный центр спектра. Определение двух параметров ширины, шести констант СТС и положения центра спектра заняло 40 мин. на ЭВМ М-20. Были получены следующие значения констант (э) [c.58]

Квантование сигналов по времени и уровню. Ошибка квантования входных и выходных сигналов объекта управления по времени и по уровню и дискретного представления весовой функции этого объекта связана с приближенным вычислением интеграла свертки- [c.175]

Это пятиточечная формула, где функция /(х ) предполагается известной в равноотстоящих друг от друга точках х = — 1, — /г, О, /г, 1. Используя значения функции в этих пяти точках, можно приближенно вычислить интеграл по отрезку (—1, 1). При некоторых предположениях ошибка Е, возникающая при вычислении интеграла по формуле (1), не превосходит [c.235]

Вероятность наблюдения отклонения, большего чем ка, определяется путем интегрирования функции распределения И (е) от е = ка до е = оо. Численные значения этого интеграла как функции к можно найти в справочниках. В качестве примера в табл. 10 приведены некоторые характерные значения. Следует заметить, что ошибки, ббльшие и меньшие чем [c.188]

Результат нужно считать вполне удовлетворительным, так. как относительная ошибка равна всего лишь 0,25%. Этот результат не следует считать типичным. С увеличением частоты ю точность вычислений быстро падает. Надо учесть еще, что число ординат при вычислении интеграла должно быть достаточно большим, После того как в преобразовании Фурье бесконечный интервал заменен конечным интервалом интегрирования, мы получаем формулу, которая с точностью до постоянного множителя совпадает с формулой для коэффициентов ряда Фурье. В нашем случае в отличие от формулы для коэффициентов интервал интегрирования не будет кратным периоду тригонометрических функций. Преобразование Фурье для больших значений частоты будет соответствовать коэффициентам Фурье при гармониках высокой частоты. Хорошо известно, что выделение гармоник высокой частоты в ряде Фурье связано с большими вычислительными трудностями, так как требует большого числа ординат высокой точности для вычисления соответствующего интеграла. [c.151]

В выражение для кулоновского интефала входят квадраты волновых функций ф и фу, которые определяют плотности размазанных облаков электронов, находящихся на орбиталях с индексами i и у. Поскольку максимальная электронная плотность сосредоточена в основном в окрестности ядер и распределение ее в этой области с точностью до постоянных коэффициентов передается квадратами атомных орбиталей, то, по-видимому, не сделаем слишком большой ошибки, если в выражении для распределения плотности заряда, соответствующего электронному облаку, оставим только члены, содержащие квадраты атомных волновых функций. Тогда интеграл [c.299]

Этот интеграл определяет время, необходимое, чтобы ошибка по фазе изменилась от ее начального значения до значения ф его можно выразить через элементарные функции. [c.66]

Обычно независимо оценивают ошибку измерения (этим занимается теория оценок), а затем переходят к проверке годности модели и уточнению значений ее параметров (теория решений). Источниками теоретико-расчетных ошибок являются следующие причины — сама теоретическая модель, исходные данные, приближенность метода вычисления и округления при расчетах. Ошибки модели вызываются ее неадекватностью и обусловлены наличием в модели элементарных процессов, не имеющих место в действительности, или, напротив, неучетом тех или иных реальных процессов. Ошибки исходных данных имеют экспериментальную природу, связаны с неточностью измерений и, присутствуя в задаче во все время ее решения, сохраняются до конечного результата. Они иногда называются неустранимыми ошибками. Погрешность метода вычисления вызывается тем, что точный оператор заменяется приближенным (интегра.т1 — суммой, производная — разностью, функция — многочленом, замкнутая ана.чити-ческая зависимость — итерационным процессом, обры- [c.134]

Для организации поисковой процедуры при адаптации модели к объекту применяется большое число различных критериев оценки погрешностей. Среди них — критерий среднеквадратичной ошибки, минимаксные критерии (когда выбором параметров минимизируется максимальное значение ошибки), интеграл от квадрата ошибки, интеграл от абсолютной величины ошибки, различные варианты названных критериев с использованием функций веса, средневзвешенные критерии высших порядков, статисти- [c.436]

Поскольку данное уравнение не интефируется в элементарных функциях из-за необходимости вычислять на каждом шаге интеграл ошибок, то в вычислительном алгоритме приходится хфибегать либо к итерационным методам, либо к использованию табличных данных. И то, и другое приводит к увеличению времени вычислений и к накоплению ошибки округления, которая из-за очень большого числа шагов может привести к значительной погрешности. Поэтому в практике используются упрощенные зависимости для генерации псевдослучайных смещений частицы. Возможность использовать данные упрощенные зависимости базируется на центральной предельной теореме теории вероятности [17]. В [14, 18, 19] при моделировании движения газовых пузырей в барботажной колонне предлагаются следующие зависимости [c.164]

Как правило, чем меньше длина каждого интервала, т. е. чем больше число этих интервалов, тем меньше различаются приближенное и точное значения интеграла. Это справедливо для большинства часто встречаюшихся функций. В методе трапеций обычно считают, что ошибка приблизительно пропорциональна [c.79]

Оценка 61 и 62 сопряжена с серьезными затруднениями, так как эти величины существенно зависят от старших производных функций / и 1х —х (и , а)] и, следовательно, от неизвестного параметра а. Однако величины 61 и 62 можно сделать сколь угодно малыми [9] путем уменьшения шага интегрирования системы (У-5), вычисления определенного интеграла (У-10а) и использования более точных а.тгоритмов нахождения решений х (и , а, t) и X (и , а). Поэтому в дальнейшем будем полагать бц = 62 0. Тогда оказывается, что Фб (а) = Ф (а) и (а) = 2 (а), так как функция й при выборе ее в форме (У-17) не зависит от х и помехи г. Попутно отметим, что ошибка вычисления 2 вообще очень слабо влияет на точность определения а [14]. [c.267]

Правда, в методе МОХ не учитываются матричные элементы между несвязанными атомами, однако, маловероятно, что это может привести к значительным ошибкам. Поскольку функции Попла для четного альтернантного углеводорода подчиняются теореме 6.1, матричные элементы между атомами одинаковой четности обращаются в нуль. Поэтому недиагональные элементы для атомов, находящихся в положениях 1,3 по отношению друг к другу (например, лгета-положения в бензоле), также равны нулю. Остаются только члены, соответствующие взаимодействиям 1,4 или взаимодействиям с еще более удаленными атомами. Такие члены должны быть малы, поскольку интеграл и, Ц) быстро уменьшается при увеличении расстояния между атомами г и / и порядки связи между парами атомов, не соединенных непосредственно Друг с другом, обычно также малы. Кроме того, порядки связи могут быть как положительными, так и отрицательными величинами, поэтому вполне вероятно, что общий вклад таких взаимодействий дальнего порядка совершенно незначителен. [c.312]

Интеграл (3) можно решать для известной зависимости скорости от размеров частиц. В случае применения закона Стокса характеристическая скорость является функцией среднего значения 53, а при использовании более вероятного переходного закона — функцией среднего значения 43. Нельзя рассчитывать характеристическую скорость, применяя в качестве среднего размера капель величину 32, как это до сих пор делает преобладающее большинство авторов, и в частности Стрэнд, Олней и Аккерман [3]. Ошибка, которая таким путем вкладывается в предложенное ими решение, обесценивает их выводы, касающиеся величины так называемого конструкционного фактора (вплоть до полной непригодности). Неправильно также применять среднее значение 1 ]- [c.287]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология