Область устойчивости или неустойчивости

Области 1 и 2 соответствуют одному положению равновесия типа узел или фокус в области 1 это положение равновесия устойчиво, в области 2 — неустойчиво. [c.98]

Области 3—6 соответствуют трем положениям равновесия, среднее из которых, как было выше показано, является седлом. Два других положения равновесия в области 3 устойчивы, в области 5 — неустойчивы. В области 4 устойчиво положение равновесия А и неустойчиво В, в области 6, наоборот, устойчиво положение равновесия В и неустойчиво А. [c.98]

Области 1 к 2 соответствуют одному положению равновесия типа узел или фокус / — устойчивому, 2 —неустойчивому. Области 3—6 соответствуют трем положениям равновесия пронумеруем их в порядке возрастания ординаты. Среднее из них, т. е. 2-е, как было показано выше, является седлом. В области 3 1-е и 3-е положения равновесия устойчивы, в области 5 —неустойчивы. В области 4 устойчиво 1-е положение равновесия и неустойчиво 3-е, в области 6 устойчиво 3-е и неустойчиво 1-е положение. [c.109]

Распад тяжелых, неустойчивых элементов, расположенных в верхнем правом углу области устойчивости, которая показана на рис. 23-4, дает начало образованию одного из четырех рядов радиоактивности. Два из них, начинающиеся изотопами и и заканчивающиеся устойчивыми [c.419]

Линии а и б на диаграммах соответствуют электрохимическим равновесиям воды с продуктами ее восстановления — водородом и окисления — кислородом. Область, заключенная между этими двумя линиями, является областью устойчивости воды. При потенциалах, лежащих вне этой области, вода термодинамически неустойчива при потенциалах, лежащих выше линии б, вода окисляется, а ниже линии а восстанавливается. При обратимых потенциалах алюминия, которые отрицательнее потенциалов, соответствующих линии б (в соответствии с гл. 12, п. 1, эта линия на рис. 151—153 нанесена для ро, = 0,21 атм), термодинамически возможна коррозия с кислородной деполяризацией, а для тех, ко- [c.220]

Кривые М (9п), соответствующие разным могут иметь в области 0п 1 минимумы (точки 7 и 5) и максимумы (точки 2) и выходят во внутридиффузионной области на единую асимптотическую кривую, определяемую формулой (III.127). Наличие на кривой М (0п) экстремумов означает существование в рассматриваемой задаче множественных режимов, причем значения 0п, при которых йМ 4% = — О (точки 1—3 на рис. III.11 и III.12), разделяют чередующиеся области устойчивых и неустойчивых режимов. Заметим, что точки 4 и 5 (соответствующие значениям о, при которых в задаче с заданными значениями поверхностных концентраций Со и температуры То происходил перескок между режимами) попадают в область неустойчивых режимов, разделяющих внутрикинетическую и внутридиффузионную области. Таким образом, наличие сопротивления теплоотводу на внешней поверхности катализатора приводит к расширению области неустойчивых режимов. Это проявляется также в возникновении неустойчивой области при 0 <С 4,5, когда задача без внешнего сопротивления вообще не имеет неустойчивых режимов. Скачкообразные переходы во внутренних режимах могут наблюдаться, как это видно из рис. III.12, до 0 = 2. [c.137]

При конечных температурах выше 2500 °С процесса графи-тации с получением кристаллического графита кривые ист. имеют второй максимум. Этот экстремум должен соответствовать абсолютно устойчивому состоянию, а первый максимум <в пределах 1300—1450°С) — метастабильному или относительно устойчивому состоянию, которые отделены друг от друга областью промежуточного неустойчивого равновесия. Эта область характеризуется максимумом потенциальной энергии и находится для кривых ист- коксов в пределах температур от 1300—1450 до 2000—2200 X (см. рис. 76). [c.203]

Вместо (Vni.7) рассмотрим уравнение det IE — рЬ (р)] = О, где р >0—скалярный параметр. Пусть область устойчивости по параметру р представляет собой промежуток [О, Ро ]. Очевидно, что исходная ХТС устойчива при 1 < Ро, и неустойчива при 1 Pq. Таким образом, исследование устойчивости можно свести к построению оценки Р для величины Ро, причем р < Ро. Для устойчивости ХТС достаточно, чтобы выполнялось соотношение 1 < Р. [c.326]

Рассматривая области устойчивости, необходимо четко определить то, что уже сделано нами при изучении устойчивости в малом, и то, что еще предстоит сделать в этом разделе. Значительные области представлены на рис. 1Х-7 и помечены как области неустойчивости, чтобы показать локальный характер стационарных состояний. Однако эти результаты получены для малых возмущений. Отклики на возмущения большой величины могут быть исследованы одним из двух способов. [c.239]

В практических случаях важно знать границы между областями устойчивых и неустойчивых решений. [c.388]

Из уравнения (2.20) следует, что добавление малого вращения приводит к неустойчивости течения Пуазейля при < О, а область устойчивости появляется вновь только при достижении достаточно быстрого вращения, когда выражение в уравнении (2.20) становится положительным. [c.41]

Случай Сг = О соответствует нейтральным колебаниям и кривая i(a, к) = 0 в плоскости а, Я отделяет область неустойчивости ламинарного пограничного слоя от области устойчивости. Эта кривая называется нейтральной. Наименьшее число Рейнольдса на нейтральной кривой является критическим числом Рейнольдса для данного течения. При числах Рейнольдса, меньших критического, возмущения любой длины волны затухают. При числах Рейнольдса, больших критического, имеются возмущения с определенной длины волны, которые нарастают. [c.311]

На диаграмме состояния воды линия ОО характеризует неустойчивое (метастабильное) состояние переохлажденной воды и области устойчивости льда (равнове- [c.183]

На рис. 5.6 приведена пограничная кривая аЬ, которая условно делит поле расчетных режимов абсорбционной установки на две области. Слева от кривой аЬ находится область неустойчивой работы водоаммиачных абсорбционных холодильных установок. В этой области небольшое изменение температуры генерации приводит к резкому изменению удельного расхода тепла на выработку холода. Справа от кривой аЬ — область устойчивой работы. В этой области изменение температуры генерации не сказывается существенно на удельном расходе энергии и производительности установки. [c.125]

На рис. 6 изображены (с точностью до четного числа циклов) возможные варианты картины, которая получается на сфере Пуанкаре. Рис. 6, а соответствует области 2 плоскости уо,Хо- Для этой области единственное неустойчивое с.р. окружено устойчивым предельным циклом. Рис. 6, б соответствует области 5 здесь устойчивый предельный цикл охватывает все три с.р. Области 4 соответствуют рис. 6, е и г рис. 6, в относится к части области 4, примыкающей к ее границам с областями 5 и 1, рис. 6, г— к части области 4, примыкающей к границе 4—2. Эти две части области [c.135]

В предельном состоянии существуют как диффузия, описываемая (11.99), так и гидродинамическая конвекция. Схематически полная картина возникновения неустойчивости показана на рис. 11.4, где приведена зависимость числа Релея Я.а от отношения 0 10. На кривых / и 2 локализованы критические состояния, а область устойчивости находится между этими кривыми [167]. В зависимости от того, нагреваем ли мы жидкость снизу или сверху, будем иметь соответственно 52а > О или 52а < 0. Далее, в зависимости от того, мигрирует ли более плотная компонента к холодной или горячей границе, будем иметь соответственно (0 10)> О или 0. Как следует из (11.96), прн 52а > О и [c.171]

Рис. 2.3. а—область устойчивости б — область неустойчивости в — нейтральная устойчивость г — неопределенная область, связанная с погрешностями [c.185]

Грубой мерой вероятности гигантской флуктуации является высота настоящего стационарного распределения в ф . Точная формула для нее выводится в следующем параграфе. Для систем макроскопического размера это время перехода запросто может оказаться в несколько раз превышающим возраст Вселенной. Однако для отдельных молекул оно определяется множителем Аррениуса. Для систем, в которых области устойчивости и неустойчивости смазаны, как на рис. 33, трудно провести различие между двумя масштабами времени и такое разделение теряет свое значение. Это критическая область, ее мы обсудим в 11.5. [c.279]

На основании проделанных выкладок можно утверждать только то, что при положении конца вектора У на изображенной окружности колебания будут нейтральными. Вопрос о том, по какую сторону окружности лежит область устойчивости, а по какую область неустойчивости, требует дополнительного исследования. В большинстве практических случаев не возникает необходимости проводить такое исследование, поскольку ответ бывает ясен из физической сущности задачи. [c.152]

Диаграммы устойчивости для простейших случаев Располагаясь внутри или на границах найденных полос границы устойчивости, построенные с учетом краевых условий, могут давать различные конфигурации областей устойчивости. Покажем это для предельных случаев. Пусть длина пренебрежимо мала, т. е. вся труба занята горячими газами, а горение происходит во входном сечении. Тогда перед зоной горения должно выполняться принятое выше краевое условие pi = 0. Это сразу приводит к обращению в нуль второго слагаемого уравнения (24.5), и единственными границами устойчивости (вне зависимости от величины Uj) будут прямые ац = О и aji = О- Соответствующая диаграмма устойчивости приведена на рис. 35, а. Поскольку известно, что начало координат соответствует устойчивому режиму, область неустойчивости (заштрихованная часть диаграммы) находится сразу. На том же рисунке (диаграмма б) для полноты приведен случай, когда краевое условие при = О имеет вид 1 = О (закрытый конец). Тогда совершенно так же получаем границы в виде равенств ajg = О и agg = О для всех р . [c.188]

Как видно из приведенного примера, конфигурация областей устойчивости может в рассматриваемом случае изменяться весьма сильно в зависимости от того, каковы величины />1, 01, и Оа в плоскости подвода тепла. Такое разнообразие конфигураций связано, в частности, с тем, что границы устойчивости могут уходить в бесконечность. Если построить аналогичные границы в системе координат, принятой в 19, то случаи р = 0 и >1 = 0 дали бы совершенно однотипные конфигурации областей неустойчивости — окружности. Эти окружности приведены, например, на рис. 28. Что касается случаев />2 = О и О2 = О, то в системе координат 19 построение областей неустойчивости не дало бы столь простых границ. Дело в том, что эта система предполагает ориентировку векторов и 1 в положительных направлениях осей координат, в то время как положение векторов р и остается произвольным. Это и ряд дополнительных трудностей делает нецелесообразным подробное рассмотрение границ такого рода. [c.190]

Не следует думать, что для отделения областей устойчивости от областей неустойчивости необходимо, помимо, линий V = О, строить еще линии v > О и v < 0. Такой более ограниченный результат можно получить и проще, воспользовавшись так называемым правилом штриховки. Это правило часто используется в теории автоматического регулирования, где иногда носит название метода )-разбиения пространства параметров системы. Хотя этот метод используется в теории регулирования для характеристического уравнения, имеющего вид полинома, он остается справедливым и для трансцендентных уравнений. Желающим более полно ознакомиться с этим методом, полезно обратиться к специальным руководствам ). Здесь будет дано лишь краткое понятие об этом методе и указаны практические приемы пользования им. [c.199]

В предыдущем параграфе был подробно рассмотрен вопрос о конфигурации областей устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров колебательной системы [c.204]

Основываясь на сказанном, легко построить диаграммы, дающие наглядное представление о распределении областей устойчивого и неустойчивого протекания процесса сгорания при перемещении зоны горения вдоль оси течения. Подобное построение дано на рис. 48 для двух типов краевых условий трубы с открытыми копнами и трубы с одним закрытым концом. Отложенные по оси абсцисс значения /з дают ноложение зоны горения, по оси ординат отложены частоты колебаний . Собственные частоты системы даны пунктирными линиями, около которых поставлены номера гармоник. Области неустойчивости показаны [c.227]

Во-первых, чем выше номер гармоники, тем большее число чередующихся областей устойчивости и неустойчивости помещается на длине трубы (при этом первая гармоника имеет одну область неустойчивости, вторая — две, третья — три и т. д.). Во-вторых, видно, что одновременно могут быть неустойчивыми несколько гармоник, причем при положении фронта пламени у открытого конца все гармоники устойчивы (хотя для высоких гармоник области неустойчивости и подходят сколь угодно близко к открытому концу). [c.228]

Начнем увеличивать длину холодной части трубы сохраняя все размеры горячей части постоянными. Тогда диаграмма распределения областей устойчивости, аналогичная приведенной на рис. 54, может иметь вид, показанный на рис. 56. Пусть исходная полная длина трубы будет, например, =2,5 м (линия АА на рис. 56). Это соответствует отсутствию колебаний, поскольку линия А А не пересекает областей неустойчивости (изображенных на диаграмме сплошными линиями). Удлиним теперь входной участок трубы, сохраняя размеры зоны горения и участка трубы, по которому текут продукты сгорания, неизменными. При //>3,1 м любая длина Ь будет соответствовать какой-либо области неустойчивости (линия ВВ на рис. 56), т. е. при достаточно большом удлинении входного участка трубы, первоначально стабильный процесс может стать неустойчивым. Правда, это предполагает, что система в целом склонна к возбуждению, т. е. обладает [c.244]

Что же последует за синтезом трансурановых элементов Появятся ли новые радиоактивные и очень краткоживущие частицы, подобные элементам с порядковыми номерами от 97 до 105 В настоящее время существует мнение, что есть возможность достичь новой области устойчивости, которая может включать даже нерадиоактивные элементы. Расчеты, основанные на существующих моделях оболочечного строения ядра, заставляют предположить, что элемент ffJXX со 114 протонами и 184 нейтронами (оба эти числа являются магическими в оболочечной теории адра) должен представлять собой островок устойчивости среди области неустойчивости. На рис. 23-6 дано трехмерное изображение графика, представленного на рис. 234 вдоль вертикальной оси отсчитывается мера устойчивости ядер. Если удастся найти средства получения элементов в окрестности i xx, это должно привести к целому набору сравнительно долгоживущих ядер. Поиски в указанном направлении предпринимались в Беркли в числе возможных реакций рассматривались такие [c.423]

Исключив безразмерную температуру 0 из неравенств (VIП.23), (VIII.24) с помощью первого из соотношений (VIII.22), можно выделить области устойчивости в плоскости ti, 0. Пример разбиения плоскости (А, 0 (при = 0,4) показан на рис. VIII.3. В области I процесс имеет один устойчивый стационарный режим в области II — один неустойчивый, в области III — два устойчивых (высоко-и низкотемпературный) и один неустойчивый (промежуточный), в области IV — один устойчивый (низкотемпературный) и два неустойчивых (высокотемпературный и промежуточный) наконец, в очень узкой области V (в масштабе рисунка она неразличима) все три имеющихся стационарных режима неустойчивы. [c.331]

Расчет границ области устойчивости [2] показал (рис. 4.1), что с увеличением с (с = 0, с = с,) область устойчивости сначала уменьшается, а затем увеличивается (граница области устойчивости проходит через минимум). Причем при с =1 система становится абсолютно устойчивой (случай, когда не происходит кристаллизации, и поэтому не представляющий интереса для практики), а при с = смф0— абсолютно неустойчивой. [c.334]

Таким образом, если имеются три решения, то первое (в порядке возрастания 6) отвечает устойчивому состоянию в кинетической области, второе — неустойчивому, а третье — устойчивому в области внешней диффузии. Критические значения параметров А0ад. в Ik, при которых происходит переход из одного устойчивого режима в другой, определяются условиями касания в точках максимума и минимума линий, отображающих функцию г , к прямым, параллельным оси абсцисс (Авад, = onst). [c.513]

Так, например, если в окрестности неустойчивого режима увеличивают начальную температуру или начальные концентрации исходных реагирующих веществ, то новый стационарный режим отвечает более низким значениям температур. Общий анализ устойчивости стационарных решений указанным методом удается провести для пористого зерна, адиабатического слоя неполного смешения и реактора с внутренним теплообменом. Некоторь1е результаты нахождения области устойчивых стационарных режимов для экзотермических реакций первого порядка приведены на рис. 27 и в табл. 62. [c.515]

На рис. 12 приведены границы потери устойчивости для параметра массообмена В = Ъ при разных значениях параметра теплопроводности. Безразмерный параметр теплопроводности Ь выбран таким образом, чтобы оп не содержал высоту слоя. Кривая Ь = оо разделяет устойчивую и неустойчивую области при бесконечной теплопроводности. Считается, что причиной неустойчивости является обратная связь, влияние последующих участков реактора на предыдущие. По мере ослабления обратной связи (в данном случае теплопроводности) область устойчивости расширяется. Данные рис. 12 подтверждают это положение, но только в области невысоких степеней превращения. По мере уменьшения с =1 характер зависимости меняется на противоположный ослабление обратной связи (уменьшение Ь) расширяет область неустойчивости. Причина этого странного на первый взгляд явления состоит в следующем. В случае достаточно высокого слоя (большая степень превращения) и небольшой теплопроводности имеется слабая обратная связь по теплу и нижняя часть слоя может независимо от всего реактора потерять устойчивость, что приведет к разогреву (или остыванию) сначала этой части, а затем и всего слоя. Переходные кривые такого рода были получены численным счетом нел1шеаризованной системы (25"), (26). Еще одна [c.60]

В заключение укажем, что области (б, е), полученные с помощью метода составных фазовых плоскостей, являются областями практической устойчивости в смысле ограничений, соответствующих инженерным требованиям. Заметим, что внутри области устойчивости, как это уже было в случае проточного реактора с перемешиванием, может возникнуть предельный цикл (неустойчивое в малом стационарное состояние). Этот частный случай исследован Вангом и Перлмуттером (1968 г.). [c.240]

Переход от ламинарного к турбулентному движению характеризуется критическим значением Ке р. Так, при движении жидкостей по прямым гладким трубам Ке р = 2320. При Re << 2320 течение обычно является ламинарным, поэтому данную область значений Не называют областью устойчивого ламинарного режима течения. При Не 2320 ча1це всего наблюдается турбулентный характер движения. Однако при 2320 <1 Ке <3 10 ООО режим течения еще неустойчиво турбулентный (эту область изменения значений Не часто называют переходной). Хотя турбулентное движение при таких [c.41]

Наряду с получением алмаза в условиях, когда он является термодинамически устойчивым веществом (при высоких давлениях), алмазы можно синтезировать в области его неустойчивости, т.е. при относительно низких давлениях. Для этого проводят термическое разложение углеродсодержащих газообразных веществ, например метана, ацетилена, оксида углерода и др. В реакционный сосуд предварительно вводят кристаллы алмаза. Если имеется граш. кристалла алмаза, вблизи которой концентраты атомов углерода в виде пара превышает соответствующую равновесную, то избыток атомов углерода будет осаждаться на этой грани, воспроизводя кристаллическую структуру алмазной решетки. Процесс этот очень медленный. Кроме того, рабочие условия благоприятствуют образованию на поверхности подложки графита, который нужно периодически удалять с нее. Удельная производительность таких установок невелика, и сам процесс пока не нашел промышленного применения. [c.50]

При 1470 °С а-тридимит переходит в а-кристобалит. Область устойчивости а-кристобалита — 1470—1728 °С. При охлаждении он переходит в р-кристобалит (тоже неустойчивая форма, но может сохраняться неопределенно долго при обычных условиях). Состояния, отмеченные на диаграмме пунктиром,— неустойчивы. При 1728 X а-кристобалит плавится, но при 1800 °С и до 2000 °С расплав еще остается очень вязким. Кремнеземистый расплав легко переохлаждается в кремнеземистое (кварцевое) стекло. При нагревании до температуры выше 1000 °С оно расстекловывается с выделением метастабильного кристобалита. [c.33]

Точки О и В — тройные точки. Рис. 53. Диаграмма серы В каждой ИЗ НИХ В равновесии существуют три фазы, и, согласно правилу фаз, система будет нонвариантной. Кривая ОС характеризует изменение температуры перехода Зр Зм с давлением, а кривая ВС соответствует изменению температуры плавления Зм сдавлением. В точке С находятся в равновесии Зр, Зи, 3 . Для серы характерна легкость продвижения ряда кривых в метастабильные области. Кривая Оа—продолжение ОВ в область Зр — показывает изменение давления паров моноклинной серы в неустойчивом состоянии. Эта кривая проходит над кривой давления пара устойчивой при данной температуре ромбической серы. Кривая ОН — продолжение АО в область устойчивости Зм дает изменение давления параЗр в метастабильном состоянии. В точке Н ромбическая сера плавится (/ = П2,8° С). Точка Н — мета-стабильная тройная точка равновесия фаз Зр 3 Зц. [c.176]

В области гетерогенных равновесий диаграммы систем жидкость-пар и жидкость - твердое тело характеризуются наличием особых точек различной компонентности, что налагает определенные ограничения на процессы ректификации и кристаллизации. Синтез сложных технологических схем, как однородных, так и неоднородных, позволяет выявить оптимальные схемы. Все перечисленные объекты исследования нелинейны, зачастую имеют прямые и обратные связи, и их моделирование впрямую исключает возможность обобщения полученных результатов. Привлечение различных топологических приемов и методов, основанных на топологических инвариантах, позволяет создать общую качественную теорию в области колебательных химических реакций, где в параметрическом пространстве наряду со стационарными точками наблюдают, устойчивые, неустойчивые, а также устойчиво-неустойчивые предельные циклы. В области гетерогенных равновесий появляется возможность создать общую теорию распределения стационарных точек и сепаратрических многообразий, ограничивающих развитие процессов ректификации и кристаллизации и разработать алгоритмы синтеза оптимальных схем разделения. [c.57]

Эти функции удовлетворяют заданным граничным условиям, а интегралы (12.38) легко вычисляются. Задача о собственных значениях для с, соответствующая уравнениям (12.36) и (12.37), была решена численно на ЭВМ для 450 значений а и в работе [136]. Этой информации достаточно, чтобы определить с высокой точностью область устойчивых ( <С 0) и область неустойчивых состояний (с > 0) на плоскости а,, 5 е. Для каждой точки (а, 5 е) была исследована сходимость полученных значений основной частоты вплоть до матрицы порядка 20 X 20. Оказалось, что сходимость метода вполне удовлетворительна при малой величине произведения но с его увеличением она ухудшается. Вблизи критической точки, т. е. при малых j (рис. 12.3), численные погрешности для i становятся того же порядка, что и сами . Однако при очень больших величинах a0ie (например, прн a0te >50 000) метод неприменим в связи с потерей точности в этой области. [c.184]

Как видно из ириведеппой диаграммы, распределение областей устойчивости (V < 0) и неустойчивости (V > 0) наноминает распределение их на рис. 35, в иг. Диаграмма 38 указывает на одно существенное обстоятельство, которое всегда следует иметь в врвду. Линии равных V (на рис. 38 три группы линий, условно помеченные V < О, у=0 и V > 0) пересекаются в плоскости параметров колебательной системы ((>р, Следовательно, в точке пересечения линий V > О и V < О система должна быть одновремен- [c.198]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология