Собственные значения параметра

Понятие резонанса в значительной степени родилось из такой же неправильной формулировки задачи. Меня всегда удивляло, как люди, знающие или делающие вид, что они знают квантовую механику, могут говорить о том, что существует, например, обменная энергия. Что такое энергия данной атомной системы с математической точки зрения Это — собственное значение параметра некоторого дифференциального уравнения, которое — вы можете прочесть об этом в. любом учебнике математики — зависит от пограничных условий и коэффициентов дифференциального уравнения. [c.135]

Уравнение (1.1.1) — это уравнение на собственные функции и собственные значения. Его решения, принадлежащие классу существуют только при определенных собственных значениях параметра . Такие решения называются собственными функциями оператора Н, а соответствующие им значения параметра Е — собственными значениями параметра, /< в данном случае они являются значениями энергий возможных стационарных состояний рассматриваемой электронной системы. Отметим, что Н — эрмитов оператор. Подробно свойства таких операторов рассматриваются ниже в гл. 2. Укажем здесь, однако, сразу же, что любые две собственные функции эрмитова оператора, которые соответствуют различным значениям энергий я Е , ортогональны друг другу [c.12]

Матрицу > (д) принято называть динамической. Равенство нулю детерминанта системы уравнений (15) дает уравнение для определения собственных значений параметра со . [c.17]

В другой тепловой задаче о распространении пламени — мы раньше встретились с аналогичным положением, когда из граничных условий на бесконечности удалось определить собственное значение параметра, входящего в уравнение, а именно скорости распространения пламени v в этом случае уравнение имело простейшую группу преобразований — группу переносов по оси X, благодаря тому что переменная х входила только под знаком дифференциала. Поэтому одна из констант (С ) входи- [c.45]

Каждым трем числам m, n, p соответствует некоторое число тпр называемое собственным значением параметра k для данной задачи. [c.60]

Часто предварительный выбор химической концепции метода не основывается на результатах собственных исследований. Однако, как правило, после предварительного анализа возможных вариантов концепции, выбирается наиболее многообещающий. из них и проводятся исследования с целью экспериментальной проверки концепции и установления оптимальных значений параметров процесса. [c.14]

В итоге мы приходим к такой задаче найти значения параметра 6, при которых существуют нетривиальные решения уравнения (1вб), удовлетворяющие граничным условиям (19). Эти значения параметра Ь называются собственными, а соответствующие им решения — собстве ныл( функциями уравнения (186). [c.31]

Собственные значения е,п(Я) и собственные функции Ф,п г Н) этого уравнения характеризуются набором квантовых чисел электронного состояния (т) и зависят от ядерных координат не как от динамических переменных, а как от параметров, поскольку от них как от параметров зависит Й . По этой причине ядерные координаты в формуле (55) отделены от коорди нат электронов вертикальной чертой. [c.110]

В процессе прогнозирования активности с использованием метода нечетких множеств условно можно выделить два этапа. Первый этап заключается в синтезе нечеткой модели. В основе этой модели лежит априорная информация о процессе, а также информация качественного характера, которая сводится к экспертным оценкам. Второй этап — это собственно процесс прогнозирования. Для построенной нечеткой модели задают входные данные (т. е. значения параметров, определяющих активность), а выходом модели является значение активности исследуемого катализатора. [c.108]

При (1 = 0 все его собственные числа X отрицательны. По мере увеличения ц спектр уравнения ( 111.168) сдвигается вдоль действительной оси. Для того чтобы собственные значения возрастали с увеличением (I [так чтобы при некотором значений этого параметра уравнение ( 111.126) имело бы ненулевые решения при Я, = О, когда оно совпадает с ( 111.122)] необходимо, чтобы по крайней мере в некоторой области внутри зерна функция (х) была положительной. [c.359]

Программа, реализующая метод Якоби, представлена на стр. 288. Она состоит из процедуры и обращения к ней. Формальным и параметрами процедуры являются N — порядок матрицы А — матрицы коэффициентов LAM — вектор собственных значений S — матрица собственных векторов. [c.287]

Пусть А — заданный оператор. В математике его собственными значениями называют те значения параметра а, при которых функции /, входящие в уравнение [c.12]

Параметр р выбирается таким образом, чтобы матрица Р / -f была положительно определена. Собственные значения матрицы + О -, [c.270]

Заметим, что выражение (VI, 53) является решением задачи для любого значения коэффициента А . Когда конкретно выбранный параметр дает такое решение, он называется собственным значением. Другие собственные значения этой задачи имеют вид [c.135]

Л может рассматриваться как параметр. В гл. III указывалось, что собственные значения — это такие значения Я, для которых существует решение и при том иное, чем тривиальное х = 0. [c.135]

Следовательно, значения й, которые удовлетворяют уравнению (VI, 58а), являются собственными значениями, и при таком выборе параметров результатом будут множественные решения в форме (VI, 47а) для любых 2. [c.136]

Как правило, а отличается приблизительно в 250 раз (в трубчатом реакторе с продольным перемешиванием), а длина приблизительно в 100 раз. Подстановка показывает, что собственное значение в случае трубчатого реактора с продольным перемешиванием меньше по крайней мере на порядок, даже если параметр 5 имеет возможную [c.148]

Нам, однако, не представляется целесообразным ставить задачу поиска точных решений линеаризованных уравнений, описывающих малые колебания системы, а не реальные автоколебания с учетом нелинейности исходных уравнений. Фактически лишь из этой полной системы нелинейных уравнений процесса можно будет найти условия, определяющие реальные частоты устанавливающихся автоколебаний, т. е. численные значения параметра ax Llg. Приведенный выше анализ подтверждает справедливость достаточно грубой оценки (П. 16) порядка величины собственных колебаний частот кипящего слоя и дает некоторые качественные объяснения наблюдаемых на опыте закономерностей [c.73]

Все термодинамические процессы характеризуются собственными значениями скорости и движущей силы. Однако если в системе одновременно протекает несколько термодинамических процессов, процессы могут взаимодействовать друг с другом. В результате скорость каждого из них, иными словами, поток каждого термодинамического параметра будет зависеть не только от своей термодинамической силы, но и от движущих сил всех других процессов, происходящих в системе. Данное заключение о возможности взаимовлияния и, следовательно, взаимодействия различных необратимых термодинамических процессов является принципиальным для термодинамики неравновесных процессов. В частности, ею многих случаях оно позволяет достаточно корректно описывать сложные и/или трудно интерпретируемые другим способом явления. [c.323]

Дифференциальные уравнения, связывающие переменные системы, имеют решения, содержащие некоторые параметры, которые принимают целочисленные значения для устойчивых состояний. Другим выражением той же закономерности является дискретность собственных значений оператора энергии в уравнении Шредингера. [c.333]

Однако структура кинетических моделей, как правило, такова, что оценки кинетических констант сильно коррелируют между собой. Это ведет к тому, что функции меры, характеризующие степень совпадения экспериментальных и расчетных данных, обнаруживают в пространстве параметров в окрестности точки минимума наличие оврагов, затрудняющих определение точечных оценок констант. Детерминантные критерии значительно уменьшают объем доверительного эллипсоида, не изменяя коэффициентов корреляций и, следовательно, не исправляя овражной ситуации. В этом отношении критерий формы, максимизируюпщй наименьшее собственное значение информационной матрицы Л/(е), представляется более предпочтительным, так как стремится придать доверительной области сферичность посредством минимизации длины большой полуоси доверительного эллипсоида. [c.189]

Второй класс автоколебательных систем характеризуется тем, что автоколебания в них существенно зависят от скорости подачи исходных реагирующих веществ в реактор. В этом случае колебательное поведение системы обусловливается соотношением скоростей транспорта реагирующих веществ в реактор и собственно химической реакцией. Для описания динамического поведения реактора идеального смешения наряду с системой уравнений типа (7.18), описывающей протекание процессов на элементе поверхности, необходимо рассматривать уравнения, описывающие изменения концентраций реагирующих веществ в газовой фазе [116, 131]. Взаимодействие реакции, скорость которой нелинейна, с процессами подачи реагирующих веществ в реактор идеального смешения обусловливает при определенных значениях параметров возникновение нескольких стационарных состояний в режимах работы реактора. При наличии обратимой адсорбции инертного вещества (буфера) в системе возможны автоколебания скорости реакции. При этом на поверхности сохраняется единственное стационарное состояние, и автоколебания обусловлены взаимодействием нелинейной реакции и процессов подвода реагирующих веществ в реактор. [c.319]

Наименьшее значение (i, при котором могут появляться мнимые собственные значения, соответствует р = О, га = 1, и равно Из условий (VIII.139) видно, что появление мнимых собственных значений в кинетическом режиме практически не может наблюдаться. Прежде всего, обычные значения р для пористых катализаторов превосходят единицу. Кроме того, поскольку Ф1 > 1 (в частности для плоской пластинки я] = л74, а для сферической частицы ф = л ), даже при Р 1 мнимым корням соответствуют значения параметра fi, при которых нарушаются условия протекания реакции в кинетическом режиме. Таким образом, на непрерывной ветви решений, начинающейся с ц = О и соответствующей кинетическому режиму протекания реакции, не возникает явлений колебательной неустойчивости и решения из этой ветви устойчивы вплоть до точки ветвления решений стационарных уравнений. Хотя мы пользовались [c.361]

Задача (VIII.147) всегда икеет действительный спектр. Таким образом, па непрерывных ветвях решений, соответствующих диффузионному режиму, также невозникает явлений колебательной неустойчивости. При А <С0 все собственные значения отрицательны, и соответствующий стационарный режим устойчив. При. 4 > О в спектре задачи (VIII.147) есть положительное собственное значение, и стационарный режим неустойчив. При изменении параметра А смена устойчивости происходит в результате перехода собственного значения через нуль в точке ветвления. 4=0. Области А ]>0 соответствует область неустойчивых режимов, разделяющих внутри- и внешнедиффузионную области протекания реакции. [c.363]

Программа на стр. 290 реализует метод унитарных преобразований для нахождения собственных значений действительных несимметрических матриц. Вычислительная часть программы оформлена в виде процедуры UNITIM, входными параметрами которой являются порядок матрицы Р, матрица U, точность расчета EPS. Выходным параметром процедуры является матрица L размерности Р X 2, строки которой содержат действительные и мнимые части найденных собственных значений исходной матрицы. В процедуре UNI TIM используются две процедуры SDM и СОМР, первая из которых реализует сложение и вычитание матриц, а вторая — преобразование комплексных чисел из алгебраической в тригонометрическую форму и обратно. [c.295]

Таким образом, мы пришли к семейству (11,193), (11,194) с р = 1. Следовательно, Яф положительно определена для любого Ф 5= 0. Теперь ограничим диапазон изменения параметра Ф отрезком [0,1]. Это связано со следующим интересным свойством матрицы Нф для Ф [0,1] и квадратичной функции (11,9) собственные значения матрицы к = А НфА % расположенные по порядку, стремятся монотонно к единице для любой последова-телЪности векторов я, определяемой соотношениями (1,40), (11,272). Причем это справедливо независимо от того, проводится одномерный поиск или нет. [c.113]

При использовании взвешенного разностного метода существенным является определение необходимой степени аппроксимации, т. е. отыскание значения п, достаточно малого для обеспечения легкости вычислений и достаточно большого для получения необходимой точности. Естественно предположить, что для изучения устойчивости системы, описываемой моделью частицы катализатора, достаточно довольно малого значения п. Куо и Амундсон (1969 г.) в результате тщательного исследования получили профили четырех стационарных состояний с помощью метода Галеркина. В любом случае заключение об устойчивости системы было корректным уже при п = 1 и ни в одном из случаев не потребовалось значения /г > 3, чтобы получить собственные значения с точностью до трех значащих цифр. Для изучения той же системы Макговин (1969 г.) также использовал метод Галеркина, но он в основном исследовал влияние изменений числа Льюиса. В качестве примера был выбран случай с тремя стационарными состояниями, приведенный на рис. У1-10. Эти профили оказались справедливыми для любых чисел Льюиса при следующих значениях остальных параметров [c.174]

Может показаться, что наличие двух граничных условий увеличивает размер матрицы А. Однако Макговин доказал, что две вспомогательные точки коллокации могут быть исключены с помощью одновременного решения уравнений (IX, 37) и (IX, 38) с тем, чтобы выразить все переменные как функции, вычисляемые только в п точках. Используя параметры, выбранные Рейли и Шмитцем (1966 г.) для исследования трубчатого реактора идеального вытеснения с рециклом и подбирая подходящие числа Пекле, Макговин применил ранее полученные результаты к изучению трубчатого реактора с продольным перемешиванием и рециклом. Он определил характер устойчивости в малом для различных стационарных состояний, вычисляя наибольшее собственное значение матрицы А при разной степени аппроксимации п. Типичный пример представлен на рис. 1У-6, из которого следует, что сходимость носит затухающий колебательный характер. [c.231]

Интересный пример излагается в работе Искола (1970 г.), который моделировал реактор каталитического крекинга с помощью четырех обыкновенных дифференциальных уравнений материального и теплового балансов реактора и регенератора. При тщательном рассмотрении пары уравнений проточного реактора с перемешиванием существование рецикла не становится очевидным, но характер действительных потоков, как показано на рис. 1Х-10, такой, что каждый из них является внутренним рециклом для другого. С помощью тщательного исследования собственных значений Искол (1970 г.) показал, что система может быть неустойчива как при наличии колебаний параметров в довольно широких пределах, так и без этого. Изученные им свойства системы напоминают эффект упругого последействия. Численные результаты исследования Исколт могут быть использованы при управлении установкой промышленного крекинга. [c.241]

Параметры ППЭ были выбраны по аналогии с соответствующими параметрами близких соединений СН, I, СР,1 и СН, Р [27, 198, 335]. Значения параметров ППЭ приведены в табл. 4.12 и 4.13. При таких параметрах потенциала частоты собственных колебаний молекулы СН2Р1. вычисленные методом Р—О-матрицы [451], равны 229, 566, 812, 1015, 1179, 1407, 2973 и 3049 см" . [c.124]

На рис. 3.6 видно сближение пар частот II—III, IV—V при значении величины 2,1 10 H/м соответствующие этим частотам коэффициенты демпфирования (нри том же значении параметра Е2) пересекаются между собой. Коэффициент демпфирования б = — СО/, прямо связанный с логарифмическим декрементом затухания, служит мерой рассеяния энергии процесса. Наибольший практический интерес в решении поставленной задачи представляет минимальное значение коэффициента демпфирования (определяющий коэффициент демпфирования) для рассматриваемых собственных частот б = н11п(—сохл), где к — номера [c.150]

Задача заключается в оиродолепии значений параметра при которых уравнение (4.98) (с пулевым граничным условием для и(х)) имеет ненулевое решение этп значения называют, как известно, собственными значениями уравнения (4.97), соответствующие частоты со — частотами свободных колебаний, тгснулевые решеиия и х), отвечающие собственным значениям (которые оиределяются с точностью до И0СТ0ЯН1С0Г0 миожителя), называют собственными формами свободных колебаний. [c.171]

Выражение матричных элементов секулярной матрицы через радиальные интегралы кулоновского и спинюрбитального взаимодействий — это в определенном смысле законченный этап исследования. Возможности упрощения задачи, вытекающие из ее сферической симметрии, использованы полностью. Не зная численных значений радиальных интегралов, найти собственные значения секулярной матрицы в общем случае невозможно. Однако во многих интересных для физики случаях задача фактически содержит малый параметр. Если воспользоваться этим обстоятельством, можно написать приближенное решение секулярной задачи, все еще оставляя радиальные интегралы свободными параметрами. [c.171]

Операторы симметрти в общем случае не коммутируют между собой. Установим систему коммутирующих операторов, собственные значения которых определяют тип симметрии волновой функции. Эти операторы играют в теории молекул ту же роль (в смысле классификации электронных состояний), что и операторы (Ь , Ьг) или (Я, 1 ) в теории атома. Оператор энергии электронной подсистемы зависит от электронных переменных г и от координат ядер как от параметров. Рассмотрим преобразования симметрии электронных переменных под знаком интеграла [c.188]

Уравнение (81) называется дифференциальным уравнением возмущающего движения. Исследование устойчивости решения этого уравнения представляет собой задачу о собственных значениях дифференциального уравнения (81) при граничных условиях (78). Предположим, что основное течение задано, то есть известно распределение скоростей в ламинарном пограничном слое и (у). Тогда уравнение (81) будет содержать четьтре параметра Я, а, Сг, Си Для каждой выбранной пары Я и а можно найти собственную функцию ф и комплексное собственное значение с = Сг + Сг, причем здесь Сг — безразмерная скорость распространения возмущений, а С — безразмерный коэффициент [c.310]

Вычисление вероятности нахождения электрона в данной точке и его энергии — сложная математическая проблема. Оно предполагает решение дифференциального уравнения — уравнения Шредин-гера, в котором используются в качестве параметров масса и потенциальная энергия электрона. Решение уравнения Шредингера дает функцию координат электрона х, у, г ж времени известную как волновая функция электрона г з = / (ж, у, г, 1). Эта волновая функция полностью описывает электрон. Ее называют орбиталью. Единственной физической интерпретацией волновой функции является, как это будет видно из дальнейшего, соответствие квадрата модуля этой функции вероятности нахождения электрона в точке с координатами X. у, 2 в момент времени 1. Функции г — решения уравнения Шредингера — необходимо дополнить некоторыми математическими условиями, чтобы они имели физический смысл. Из этого следует, что уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие этим условиям только для некоторых значений полной энергии электрона Е. Это — разрешенные или собственные значения энергии (соответствующие волновые функции называются собственными волновыми функциями). Фактически эти разрешенные значения энергии показывают, что в квантовой механике принцип квантования уровней энергии вытекает из математической формы уравнений, а не вводится произвольно, как в квантовой теории. [c.26]