Уравнение затухающей волны

Для индукционного нагрева металлов или металлодиэлектрических композиций используют также установки средней или повышенной частоты (150-10 ООО Гц). Плоская синусоидальная волна, падающая по нормали к проводящему полупространству, как следует из уравнений (2.49-2.51), затухает по экспоненте [c.82]

Волновое уравнение (3.3.2.78) описывает ситуацию, когда в системе могут существовать волны различных порядков. Волны второго порядка, распространяющиеся со скоростями С1 и Сг, при выполнении условия устойчивости быстро затухают. Основное возмущение [c.195]

Рассмотрение приведенных зависимостей приводит к выводу, что, как правило (за исключением случая 1%. 1), распространяются несколько типов волн, характеризующихся различными значениями фазовых и групповых скоростей. Каждый тип волны, в соответствии с выражениями (3.5) и (3.6), имеет определенное распределение колебаний по сечению. У всех типов волн, кроме низшей, соответствующей минимальному корню уравнения (3.4), существуют так называемые частоты среза, ниже которых волновое число становится мнимым, т.е. волна не распространяется в стержне, и процесс колебаний затухает на малых расстояниях от источника. Это явление можно использовать для устранения нежелательных типов волн. При выборе рабочей частоты ниже наименьшей частоты среза /ср можно из всех продольных волн выделить низшую и использовать ее в качестве рабочей волны. Выражение для определения этой частоты легко получить из уравнения (3.4), положив в нем с —> оо (х —> °°), что после несложных преобразований дает [c.59]

Групповая скорость соответствует скорости распространения вершины импульса. Часть энергии распространяется со скоростью, превышающей групповую, и возможно частичное наложение сигналов, переносимых различными волнами. Поэтому особое значение приобретает рассмотрение нестационарных процессов, обусловленных импульсным возбуждением звукопровода. Соответствующая задача может быть решена применением к уравнениям движения, а также начальным и граничным условиям двойных интегральных преоб -разований - синус-косинусного преобразования Фурье для пространственных координат и преобразования Лапласа по времени. Решения в замкнутом виде получены лишь для простейших случаев, имеющих ограниченное практическое значение. Однако можно предположить, что на значительном расстоянии от места возбуждения для не слишком высоких частот характер возмущения практически не зависит от распределения возмущающей нагрузки по возбуждаемому сечению стержня. Показано, что если изменение возбуждающей функции/(0 происходит за время, которое велико по сравнению с наибольшим периодом собственных колебаний тела, эффекты, обусловленные пространственным распределением приложенной силы, затухают на расстояниях, сравнимых с размерами тела, определяющими наименьшую частоту собственных колебаний (динамический принцип Сен-Венана). [c.122]

Оба состояния щ и и устойчивы по отношению к малым возмущениям, но одно из них, отвечающее более высокому значению Ф (см. рис. 5.5), метастабильно, т. е. неустойчиво по отношению, к достаточно сильным возмущениям. Если создать такое достаточно сильное возмущение (см. рис. 5.7), оно не будет затухать со временем. Вместо этого по среде побегут две расходящиеся волны переключения (рис. 5.6, б) и по прошествии некоторого времени в ней установится новое однородное стационарное состояние. Когда размеры среды велики по сравнению с шириной фронта такой волны и фронт находится еще вдали от границ среды, естественно предположить, что скорость движения фронта постоянна, и искать решение уравнения [c.160]

Формула (3.13) выведена с использованием уравнения (3.11). Те, кто знаком с классической электродинамикой, понимают, что оно совершенно аналогично волновому уравнению — следствию уравнений Максвелла. Минус — знак коэффициента перед функцией ф — соответствует отрицательной диэлектрической проницаемости, то есть чисто мнимому показателю преломления. В среду с мнимым показателем преломления световая волна проникает, но при этом экспоненциально затухает. Об этом свидетельствуют формула (3.12) и гиперболический синус вместо обычного. [c.190]

Для изучения распада струй, пленок и капель применяют метод малых возмущений, широко используемый в механике при решении задач об устойчивости движения. После линеаризации и интегрирования уравнений гидромеханики решения подставляют в граничные условия задачи, в результате чего получают систему линейных, однородных относительно произвольных постоянных уравнений. Характеристическое уравнение дает возможность исследовать изменение колебаний в зависимости от частоты или длины волны возмущения, т. е. можно установить при каких условиях колебания нарастают (когда это происходит особенно интенсивно) и затухают. Далее делают заключение о наиболее вероятном для исследуемого случая механизме распада и о возможных размерах капель, на которые распадется струя, пленка или капля жидкости. [c.132]

Анализируя уравнения (4-2) и (4-3), видим, что электрическая волна по мере удаления от поверхности затухает с увеличением координаты г тем быстрее, чем больше величина к или меньше глубина проникновения 8. [c.134]

При 5 = 1/2 и X > 1 из (2.5) следует, что решение разностного уравнения колеблется около точного с амплитудой, не большей ао —а , и при увеличении шагов эти колебания затухают медленно. Тем не менее разностная схема при 5 = 1/2 дает решения, близкие к точному в тех областях, где величина ао а мала по сравнению с а. Такие области соответствуют малым значениям т и течениям, близким к равновесию. В тех же областях, где т велико, а течение суш,ественно отклоняется от равновесного (например, в угловой точке или за ударно волной), величина ко—а может быть сравнима с а и использование разностной схемы нри 5 = 1/2 может приводить к большим ошибкам. Кроме того, как показывает рассмотрение модельного уравнения при 5 = 1/2 и больших X, ошибка в начальных данных затухает лишь после значительного числа шагов. Это обстоятельство может затруднять отход от начальных точек вблизи равновесия, особенно для многокомпонентной смеси. [c.63]

Вне зоны действия вынуждающих сил уравнение потенциальной завихренности без учета трения уже нельзя применять. Дело в том, что решения (11.14.1) и (11.14.2) по оси х меняются медленно, а это противоречит предположениям, которые использовались при выводе (11.14.6). Уравнение (11.14.11) фактически представляет собой уравнение для вынужденной волны Кельвина, которая, выходя из зоны генерации, распространяется на восток со скоростью с и одновременно затухает со скоростью г. Другими словами, на единице длины волна затухает со скоростью г/с. Из этого следует, что поскольку волны Кельвина могут переносить информацию только на восток, следует искать такое решение уравнения (11.14.11), которое равняется нулю в западной конечной точке зоны действия вынуждающих сил л = —I. Аналогично, (11.14.12) характеризует длинную вынужденную планетарную волну с я = 1. Она распространяется на запад со скоростью с/3 и затухает со скоростью г. Поэтому требуемое решение должно удовлетворять нулевому граничному условию на восточном конце зоны. [c.197]

Длинные планетарные волны могут распространяться из района действия вынуждающих сил на запад. Однако они затухают быстрее, чем волны Кельвина, и поэтому покрывают меньший район. В них также происходят и меридиональные движения, поэтому на западе обнаруживается зона возврата к экватору воздуха, который был отнесен к полюсу в районе нагрева. (Можно сравнить с потоками, зарегистрированными на уровне 850 мб, см. рис. 11.21). Решения, обладающие аналогичными свойствами, были найдены Вебстером [840] в численных экспериментах с двухслойной моделью, воспроизводящей возмущения зонального потока. В работе [530] были построены решения для периодических изменений нагрева вдоль оси х. Решения уравнений теории мелкой воды с учетом трения на [c.198]

Первое из этих уравнений выполнимо, только если волны затухают, т.е. со, < О, а из второго следует непосредственно, что скорость распространения волн завихренности лежит между минимальной и максимальной скоростями течения. Поэтому, как и в двумерном случае, для ответа на вопрос об устойчивости течения можно ограничиться уравнением Орра — Зоммерфельда и решать уравнение нормальной завихренности, только если необходимо знать распределение поперечной компоненты скорости или нормальной завихренности в волне или волновом пакете . [c.31]

Задача о потенциальном течении идеальной сжимаемой жидкости в трубах переменного сечения, а также задача о периодических установившихся колебаниях газа в трубах Вентури, изложенная в разделе 12.2, решаются с помощью уравнений акустического четырехполюсника. Звуковое поле здесь описывается дифференциальным уравнением продольных колебаний газа в трубе с переменным сечением в предположении, что волны, возникающие в результате отражения и в сумме дающие картину дифракции, затухают очень быстро вблизи наклонной поверхности. Влияние этих неучтенных эффектов на [c.46]

Что касается волновых свойств плазмы в ИЦР-установках, то уместно представить здесь два вида волн, с помощью которых можно осуществить селективный нагрев изотопных ионов. Во-первых, это электромагнитная волна левой поляризации, называемая обыкновенной . Вектор электрического поля вращается в ней в том же направлении, в котором происходит ларморовское вращение. Этой волне при и = oJ i сопутствует аномальная дисперсия и её фазовая скорость падает. В диапазоне частот вблизи ( с1, где волна испытывает влияние ионного циклотронного резонанса и затухает, её называют ионно-циклотронной. Дисперсионное уравнение электромагнитных волн в этой области исследовал Стикс [16]. В резонансе длина циклотронной волны минимальна и может быть оценена (в сантиметрах) по формуле [11] [c.313]

Соотношения (2.181), (2.182) показывают, что первые и последние возмущения, распространяющиеся со скоростями С1 и с , при выполнении условия устойчивости (2.180) быстро затухают и становятся пренебрежимо малыми на расстояниях С1Х Чос Те и СгХ Чо Те- Так как Х,р 1/7 е, то характерные расстояния затухания возмущений не зависят от частоты возмущающего сигнала, а определяются только размером частиц, физическими свойствами фаз и объемной концентрацией дисперсной фазы. При эти возмущения становятся пренебрежимо малыми для всех й >0 в соответствии с упрощенным уравнением описания. Поскольку сигналы, переносимые волнами второго порядка, быстро затухают, основное возмущение переносится кинематической волной. В процессе перемещения основное возмущение диффундирует за счет членов второго порядка в соответствии с уравнением (2.183), что приводит к размьшанию волновых фронтов. Характер распространения [c.143]

Стуррок [146, 147] пришел к выводу, что конвективная неустойчивость в основном связана с возмущениями такого же типа, как и пространственно нарастающие волны. При этом для системы уравнений, описывающих конвективную неустойчивость, решение в виде функций (11.2.26) может существовать лишь при определенной связи между м и а. Уравнение О (со, а)=0, при котором имеется решение, было названо дисперсионным. Существуют один или несколько корней этого дисперсионного уравнения, которые соответствуют нарастающим волнам при этом (О является действительным числом, а а —комплексным. Был предложен критерий, который позволяет определить, затухает или нарастает возмущение. Однако этим критерием нелегко воспользоваться, если дисперсионное соотношение не представлено в явной форме. [c.24]

Отсюда видно, что не гидродинамические движения, соответствующие малым отклонениям не гидродинамического характера от распределения Максвелла, затухают за время порядка времени релаксации. Если же они поддерживаются каким-либо внешним возбуждением в данном месте, то они исчезают на расстояниях порядка среднего пробега от места возбуждения. Наоборот, если в среде существуют гидродинамические движения с временными и пространственными масштабами, определяемыми (15,1), например звуковые волны с длиной Ь и периодом колебания Т, удовлетворяющие условию (15,1), то они затухают вследствие вязкости и теплопроводности на расстояниях, больших по сравнению с их длиной, а время их существования велико по сравнению с периодом. Это вытекает из теории затухания звуковых волн на основе уравнений газодинамики (10,1) и подтверждается опытом. Так, пространственный коэффициент зату- [c.69]

При отражении от поверхности металла, свободного от пленки, как обычно, применимы уравнения Френеля с комплексным показателем преломления. Амплитуда юлны света в металле затухает пропорционально множителю ехр (-2пкг/ Л), где г - координата, отсчитываемая в глубь металла Поскольку коэффициент поглощения к(п = п - 1к) для большинства металлов равен по крайней мере единице, волна должна почти полностью угасать не далее, чем на расстоянии Л, а обычно еще раньше [121]. Коэффициент отражения г можно представить через отношение амплитуд р и изменение фазы Д (г = р ехр Д), причем обе эти величины могут быть определены с большой точностью. Тронстад и Фичем [129] измерили параметры отражения от чистой поверхности чистой жидкой ртути в атмосфере N2 как функции угла падения (р (рис. 26,а). Егер и сотр. [126] показали, что изменение потенциала золотого электрода вызывает значительное изменение отражения в той области, где нет поверхностных пленок (рис. 26,5), так что проникновением межфазного поля в металл прнебрегать нельзя (ср. [121]). [c.452]

На основании граничного условия, согласно которому величина j для оо принимает некоторое определенное конечное значение, корень У 2В/а) должен иметь положительный знак. Из уравнений (2. 169) и (2. 170) следует, что за один период амплитуда койцентрационной волны уменьшается в = 1,8-10 раз, т. е. волна чрезвычайно быстро затухает. [c.228]

Для данной зоны пламени было найдено, что для темпе-]затур, вычисленных по уравнению Планка из различных опре-де.тений спектральной яркости для различных длин волн, наблюдалось согласие между самими температурами, а также между ними и температурой пламени. Это устанавливает тепловой характер инфракрасного излучения для газовой смеси, примененной Шмидтом, и поскольку измерения производились на небольшом расстоянии над конусами, то очевидно, что любое хеми-люминесцентное излучение от газа, выходящего из пламени, при этом быстро затухает. Поскольку светильный газ содержит окись углерода, водород и углеводороды, то вышеприведенное заключение можно распространить и на пламена каждого из этих горючих газов. [c.357]

Если стоксова и антистоксова волны не взаимодействуют между собой, то антистоксова волна затухает, а для Ео н 1 нз нелпнейиых уравнений Максвелла и (17), пренебрегая вторыми производными от амплитуд, получим систему уравнений [9, 45] [c.191]

Как и рассмотренные в гл. 6 гравитационные волны, капиллярные волиы затухают в глубь жидкости на длине волны К — единственном характерном размере длины в рассматриваемой задаче. Конечно, есть еще амплитуда волны (напрнмер, высота ее гребня). Однако вследствие линейности уравнений движения нз-ад малых чисел Рейнольдса амплитуда волиы входнт в выражение для скорости частиц жидкости в волне линейным образом. Следовательно, амплитуда волны не может фигурировать в показателе экспоненты, определяющей затухание волны в глубь жидкости так как это приводило бы к существенно нелинейной зависимости скорости частиц от амплитуды волны. [c.178]

Разложение по нормальным модам применено, в частности, для изучения бароклинной реакции океана на движущиеся возмущения, например на ураганы. Этому вопросу посвящен разд. 9.11. Поведение решений сильно зависит от того, движется ли шторм быстрее или медленнее, чем бароклинные волны. Если он движется медленнее, то уравнения, воспроизводящие реакцию, относятся к эллиптическому типу, и отклик затухает по мере удаления от источника. При этом явления, движущиеся вместе со штормом, должны быть сосредоточены в его окрестности. Если шторм движется быстрее (что обычно и происходит), то уравнения получаются гиперболическими, и за штормом тянется волновой шлейф. Из-за связанных с циклоном экманов-ских вертикальных движений шторм оставляет на своем пути зону подъема вод с компенсационным опусканием на периферийных участках траектории шторма. [c.7]

Величина А(, в уравнении (12.14) представляет собой максимальную амплитуду колебаний давления и равна р при со5(со/ — Рх) = 1 и X —0. Коэффициент х показывает, как быстро затухает колебание по ходу сосуда. В самом деле, амплитуда колебаний в точке х равна Лоехр(—хх), т. е. уменьшается по ходу сосуда по экспоненте, показатель которой пропорционален х. Величина Рх в уравнении (12.14) показывает сдвиг фазы на расстоянии X от начала отсчета, а коэффициент р связан со скоростью распространения волны а и, следовательно, с длиной волны Я соотношениями [c.234]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология