методом сходимости система

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого или второго порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона—Рафсона, обладающим квадратичной сходимостью. Методам этой группы свойственна высокая чувствительность к начальному приближению. [c.135]

Таблица 10.3. Результаты уточнения значений констант устойчивости для системы никель(П) — этилендиамин по методу сходимости Бьеррума

Для сложных систем (У.2) при больших к нахождение точного решения потребует выполнения большого числа расчетов поэтому часто ип ут не точное, а приближенное решение этой системы, используя различные итерационные методы. Как правило, программы для ЭВМ при использовании итерационных методов значительно компактнее и время вычислений гораздо меньше. Известен [1] ряд итерационных методов решения системы (У-2), однако каждый из них применим лишь в ограниченной области условий, позволяющих быстро свести итерационным процессом плохое решение к хорошему. Вне этой области сходимость решения будет медленной. [c.142]

В гл. 1 было показано, что математическое описание типовых процессов обычно выражается определенным классом уравнений (конечные системы уравнений, системы дифференциальных уравнений и т. д.), решение которых возможно с единых методологических позиций. Примерами такого подхода являются методо-ориентированные пакеты прикладных программ, в основе которых используется определенный метод, обладающий достаточным быстродействием и уверенной сходимостью. В примерах 1—4 (см. гл. 1) показано, что центральным звеном пакета, позволяющего решать системы дифференциальных и конечных уравнений, является метод решения системы линейных алгебраических уравнений. При этом нелинейные уравнения некоторым образом приводятся к ли-нейному виду и решаются с использованием итеративных схем. [c.301]

Как видно из таблицы, больщинство методов одновременно решают систему нелинейных уравнений математического описания взаимосвязанных колонн разделения. Однако некоторые процедуры расчета в отдельности обеспечивают одновременную сходимость системы общим 0-методом. При этом, если колонны рассчитывают отдельно, для обеспечения общей сходимости применяют методы разрывных уравнений, блочной релаксации и/или одновременной коррекции. Сходимость достигается использованием комбинации метода релаксации или демпфирующего фактора с методом Ньютона или его модификациями. [c.237]

Метод сходимости для сложных колонн применяется аналогично тому, как для простых колони (см. главы IV и VI). Системы, состоящие из распределяющихся, нераспределяющихся и однофазных комионентов, характеризуются приведенными ниже уравнениями, соответствующими 0-методу сходимости. Однако прежде чем эти уравнения применять для систем, содержащих [c.161]

Метод применим для определения констант фазового равновесия легких углеводородных систем Q—и азота [25]. По этому методу КФР углеводородов определяют по серии графиков в зависимости от температуры, давления системы и давления сходимости. На этих графиках по оси абсцисс отложены величины давления системы, по оси ординат — константы фазового равновесия того или иного компонента системы (на рис. II. 1 приведен один из таких графиков для метана при давлении сходимости 800 фунт/дюйм ). В этих координатах построены изотермы, которые сходятся в одной точке при /С = 1 и давлении, равном давлению сходимости системы. Для различных смесей, имеющих одинаковые давления сходимости, константы равновесия идентичных компонентов имеют одинаковые значения при равных температурах и давлениях. Поэтому давление сходимости используют как параметр, учитывающий влияние состава смеси на величину константы фазового равновесия. [c.57]

При выборе метода решения системы уравнений математического описания обычно руководствуются требованиями обеспечения максимальной быстроты получения решения, надежной сходимостью алгоритма решения к истинному и минимальной памяти ЭВМ. При этом должна обеспечиваться заданная точность решения. [c.19]

Выбор новых значений потоков и температур зависит от принятого метода сходимости. В качестве метода сходимости при решении системы уравнений (6.20) в настоящее время используется метод простых итераций и метод Ньютона (метод линеаризации). Рассмотрим более подробно некоторые практические аспекты применения обоих методов сходимости, [c.289]

Одновременное решение общей системы уравнений независимо от принятого метода сходимости требует большого объема вычислительных операций. Поэтому на вычислительных машинах [c.293]

Численная проверка метода Ньютона на различных примерах разделения многокомпонентных смесей показала, что он обеспечивает квадратичную сходимость [12, 16]. Таким образом, метод линеаризации является достаточно эффективным и универсальным методом сходимости при решении общей системы уравнений многокомпонентной массопередачи в тарельчатых ректификационных и абсорбционных аппаратах. [c.298]

Если дифференциальные уравнения линейны, исследование сходимости системы уравнений в конечных разностях, которыми они могут быть заменены, не представляет труда. Обычно невозможно проводить исследования, если дифференциальные уравнения (167) являются нелинейными. В этом случае лучше всего использовать методы интегрирования, при которых система уравнений в конечных разностях для линейных дифференциальных уравнений хорошо сходится. При этом мы можем надеяться, что методы приведут к сходимости и в случае нелинейных дифференциальных уравнений. [c.230]

Математическое моделирование физических явлений обычно выражается в составлении уравнений в частных производных. Нередко эти уравнения сводятся к обыкновенным дифференциальным либо потому, что имеется всего одна переменная, либо за счет применения специальных методов, таких, как преобразование подобия или метод разделения переменных. Доступность быстродействующих цифровых вычислительных машин и наличие общего метода решения дифференциальных уравнений позволяют рассматривать такого рода задачи без тех грубых упрощений, которые часто приходится допускать, чтобы получить аналитическое- решение. Исходные задачи могут быть нелинейными и содержать несколько зависимых переменных. Однако должным образом выполненная линеаризация таких задач часто приводит к ряду сходящихся последовательных приближений, хотя в общем случае сходимость его гарантировать невозможно. Поэтому вначале имеет смысл обсудить метод решения системы линейных дифференциальных уравнений и проиллюстрировать метод линеаризации. [c.446]

Явная разностная схема при неустойчивости матрицы Гесса. В случае неположительно определенной или вырожденной квадратичной формы применение метода Ньютона — Рафсона невозможно. Для того чтобы это оказалось возможным в качестве М обычно используют такую матрицу, которая 1) являясь положительно определенной, обеспечивает уменьшение на траектории системы (3.161) 2) будучи неким аналогом матрицы обеспечивает хорошую сходимость минимизации. Рекомендуется [93, 101] опреде-р [c.216]

Разработка эффективной стратегии итерационной процедуры. Известно, что задача расчета замкнутой ХТС эквивалентна решению системы нелинейных конечных уравнений. Поэтому стратегия итерационной процедуры расчета замкнутой системы может строиться на основе методов решения системы нелинейных уравнений простой итерации, метода Ньютона, метода Вольфа и др. Таким образом, конечная цель данной проблемы — разработка такой стратегии расчета ХТС, которая обеспечивала бы быструю сходимость итерационного процесса. [c.443]

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ КОНЕЧНОРАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ. СХОДИМОСТЬ МЕТОДА [c.387]

Для улучшения сходимости к решению системы здесь применен метод релаксации, заключающийся в том, что новое значение температуры Ту. . 2 при итерациях берется меньшим, чем Ту. ,, полученное в результате решения системы при заданном значении Ту. к,, и вычисляется по формуле Ту. . 2 + + ( у.к,+1 — к,)/5, реализованной в операторе 31. [c.187]

Для плохо обусловленной матрицы 5 1 величина е близка к единице и сходимость может быть чрезвычайно плохой. Однако если не очень велико, то подход к методу минимизации с точки зрения решения градиентных систем оказывается более эффективным, так как позволяет перейти от довольно неясной проблемы выбора шага А к более ясной проблеме выбора границы точности решения системы дифференциальных уравнений [27]. [c.215]

Особое место среди других занимает метод релаксации, заключающийся в том, что стационарное решение получается в результате решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений материального и теплового балансов. Метод обладает устойчивой сходимостью независимо от сложности задачи, однако по мере приближения к решению скорость сходимости очень низкая. В конкретных случаях иногда удается, исходя из специфики решаемой задачи, все-таки ускорить сходимость [47]. [c.135]

Методики расчета и методы сходимости, предлагаемые в книге, опробованы путем решения большого числа разнообразных задач. В большинстве глав (VII —ХУП) для расчета применен 0-метод сходимости, поскольку никаким другим единым методом нельзя решить описанные в этих главах случаи. В первых пяти главах представлены другие методы сходимости. Описаны также специальные случаи применения методик расчета (для слолшой колонны, Д]гя колонн с полным возвратом флегмы и при минимальной флегме для системы колонн с рециркуляцией и, наконец, методика определения эффективностей тарелок). [c.12]

Здесь для упро1Г ,ения предполагают, что система пе содержит одггофазных тяя елых компонентов. Составы определяют при помощи метода сходимости как х Ь Второе уравне- [c.193]

При решении уравнений фильтрации используются два метода (по выбору). По умолчанию используется полностью неявный метод решения, обеспечивающий устойчивость вычислений при больших временных шагах. При использовании этого метода обеспечивается заданная точность решения нелинейных уравнений, и погрешность материального баланса сохраняется пренебрежительно малой. Для решения нелинейных уравнений используется метод итераций Ньютона, при этом матрица фильтрационных коэффициентов разложима по всем переменным, что обеспечивает квадратичную (высокую) скорость сходимости. При решении сильно нелинейных задач используются различные методы ускорения сходимости. Система линейных уравнений на каждой ньютоновской итерации решается методом Nested Fa torisation с ускорением за счет применения метода Orthomin. [c.178]

Мы рассмотрели метод решения системы линейных разностных уравнений. Однако на практике часто встречаются задачи, сводящиеся к системам нелинейных дифференциальных уравнений. Во многих случаях показано, что реп1ение линеаризованной формы уравнений методом последовательных приближений (или итерациями) дает правильный ответ. Иначе говоря, если линеаризовать уравнения вблизи некоторого пробного решения, то в результате решения линеаризованных уравнений мы приближаемся к решению нелинейной задачи. Найденное решение можно рассматривать как пробное для получения второго приближения, и дальше весь процесс повторяется, пока не будет достигнута нужная точность. Как показывает опыт, сходимость метода не очень чувствительна к выбору первого пробного решения. [c.451]

В табл. 4.6 были приведены результаты обучения по такой трехзвеньевой системе голосования на тех же выборках данных, что при классификации образов другими методами. Эти результаты свидетельствуют о быстрой сходимости системы к высокой (100%) прогнозирующей способности. Однако такая система голосования очень чувствительна к изменениям состава обучающей выборки, что видно по доле верных распознаваний. [c.72]

Анализ сходимости различных методов решения системы уравнений химического равновесия дан в работе Кулешова и Европина [275]. В этой работе отмечается надежная сходимость градиентного метода. Однако скорость сходимости существенно падает при приближении к решению, поэтому градиентный метод рекомендуется использовать в сочетании с методом Ньютона. [c.38]

При представлении нефтяных смесей в виде условных фракций, гфоцесс рекгиф1икации описывается системой алгебраических уравнений. Системы уравнений обычно записываются для теоретических тарелок, на которькх предполагается выполнение условия равновесия между уходящими с тарелки потоками пара и жидкости. Рассматриваемые системы уравнений обладают сильной степенью нелинейности. Решение их любым из известш.гх методов является трудоемкой вычислительной задачей и не всегда прж(), 1ит к заданной сходимости. [c.8]

Для обеспечения устойчивой сходимости решения систем нелинейных 3 равнений используют метод Вольфа [127], сснованный на линейной аппроксима1дии уравнений с истемы по вычислен1шм значениям функций (невязок) для конечного числа точек. Для системы /(X) -О, (1.3) [c.19]

Такая стратегия эффективна при удачном приближении начальных значений неизвестных и, если система (1.3) близка к линейной Улучгаить сходимость этого метод возможно при увеличении степени Х , однако это неприемлемо ввиду необходимости решать новую нелинейную систему уравнений. [c.20]

Таким образом, коэффициенты (3.61) систсмы (3.58) по главной диагонали меньше или равны 2, гс побочным диагоналям меньше или равны 1. Однако, это не гарант фуе) достаточное ь условия сходимости к точному ренгеннк) при решении системы (3.58) с элементами из (3.61) методом прогонки, м<згут найтись гакие коэффициенты, где достаточное условие сходимости (3.55) не выпо [няется. [c.81]

Для решения дифференциальных уравнений с помош ью неявной разностной схемы требуется, чтобы эта матрица была близка к единичной, для минимизации же достаточна лишь ее положительная определенность. Очевидно, что это требование выполняется для выпуклой поверхности Ф(0) при сколь угодно большом Т. В этом случае траектория, даваемая неявной разностной схемой, обеспечивает достижение инфинума. При Г —оо неявная разностная схема приводит к известному условию (3.159), и задача опять может быть сведена к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Известно довольно много методов минимизации, основанных на решении этой системы [8, 69]. Однако сходимость подхода обеспечивается далеко не всегда даже для выпуклой поверхности Ф(0). [c.218]

В частности, методы разделяются по количеству иерархических уровней (одноуровневые и многоуровневые), по порядку производных, используемых в процессе поиска решения и т. д. Наиболее широкое распространение в задачах анализа и синтеза ХТС находят методы нулевого (без вычисления производных) и первого порядков. Наряду с ними все более широкое применение получают и многоуровневые методы (в частности, двухуровневые), в основе которых лежит идея декомпозиции исходной задачи на ряд подзадач меньшей размерности. Использование линеаризации уравнений математического описания на первом уровне позволяет эффективно применять хорошо разработанный аппарат линейной алгебры. На первом уровне подсистемы рассчитываются независимо друг от друга, а второй уровень служит для координахщи оптимальных решений с целью достижения общего оптимума системы. Стратегия координации решений в целом может осуществляться с использованием алгоритмов явной или неявной декомпозиции. Одно из важных преимуществ метода многоуровневой оптимизации заключается в том, что с его помощью можно существенно сократить время решения общей задачи и требуемый объем оперативной памяти. Сокращение времени расчета может быть достигнутю за счет одновременной оптимизации подсистем с помощью параллельна работающих продессов ЭВМ. Однако следует отметить, что мыо-гоуровневые методы обеспечивают сходимость итерационного процесса только при определенных условиях, налагаемых как на целевую функцию и математическое описание, так и на декомпозицию исходной ХТС на подсистемы (4, 53]. К тому же доказательств условной сходимости многоуровневых методов практически нет. [c.143]

Алгоритм проектного расчета. Как отмечалось ранее, математическое описание колонны представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений высокой размерности, решение которой производится итеративными методами, причем скорость сходимости зависит как от начального приближения, так и от режима работы колонны. Поэтому исключение итеративного расчета по отдельным переменным в процессе поиска оптимального решения позволит существенно сократить объем вычислений. Ниже предлагается метод расчета, основанный на формулировании задачи как системы нелинейных разностных уравнений с граничными условиями, решение которой осуществляется по методу квазилинеаризацпп с использованием принципа суперпозиции. Особенностью метода является пригодность для расчета колонн любой сложности с учетом всевозможных алгоритмов описания отдельных явлений (фазовое равновесие, кинетика массопередачи и т. д.), а также возможность исключения итерации по поиску флегмового потока, обеспечивающего заданное качество продуктов разделения при известном числе ступеней разделения. Оптимальное положение тарелки питания в смысле некоторого критерия (например, термодинамического или технологического) определяется непосредственно в ходе потарелоч-ного расчета колонны. [c.328]