Численное решение линейной задачи

Устойчивость стационарных режимов. Вследствие высокой теплопроводности слоя следует ожидать, что высшие гармоники возмущения стационарного решения быстро затухают и устойчивость режима вполне определяется одпой-двумя низшими модами возмущения. Это подтверждается прямым численным решением нестационарных уравнений (25) из состояния, близкого к стационарному. С целью исследования устойчивости в широкой области параметров модели была применена дискретизация линеаризованной вблизи стационара задачи с последующим анализом по Раусу — Гурвицу матрицы полученной системы линейных уравнений [27] [c.59]

Задача решения линейных алгебраических систем очень тесно связана с задачами обращения матриц, вычисления определителей, нахождения ранга матриц и определения линейных зависимостей. Поэтому для решения всех этих задач, как правило, используются одни и те же методы или различные модификации того или иного метода. Обычно при численном решении линейная алгебраическая система [c.87]

Численное решение линейной задачи [c.195]

Трудности численного решения этой задачи связаны с наличием растущего положительного корня у линеаризированной системы. Положительный корень характерен для кинетических уравнений, описывающих взрывные процессы. Наличие растущего положительного корня затрудняет оценки точности решения и выбора величины шага интегрирования, что было проиллюстрировано на примере модельной одномерной линейной системы. [c.155]

Рассмотрим процедуру численного решения нестационарной задачи. После дискретизации кинетического уравнения задача сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, задача сводится к вычислению матричной экспоненты от плохо обус- [c.197]

Проведен также ряд исследований случая вертикальных цилиндрических кольцевых областей. Получены, в частности, численные результаты для изотермических поверхностей [70, 264] опубликованы обширные экспериментальные данные по этому вопросу [183, 250]. При численном решении этой задачи [245] получены результаты, качественно близкие результатам для вертикальных прямоугольных полостей. При Ra > 5-10 , где число Рэлея вычислялось по толщине зазора d, было установлено, что в полости существует полностью развитый пограничный слой. Опубликованы результаты измерений теплопередачи в воздухе и гелии при 10 < Ra С 2,3-10° для случая, когда на внутренней стенке задавался постоянный тепловой поток, а внешняя стенка считалась изотермической [136]. Проведены экспериментальное и численное исследования переноса в концентрических и эксцентрических цилиндрических кольцевых областях различной высоты [46, 257]. С использованием линейной теории проведено исследование устойчивости течения в вертикальном цилиндрическом кольцевом слое [51]. Расчеты показали, что число Прандтля влияет на возникновение неустойчивости, причем наличие предсказанного режима неустойчивости было экспериментально подтверждено для воздуха. [c.294]

Линейные многошаговые методы отличаются от методов Рунге—Кутта тем, что для вычисления последующих значений Уи + 1 нужно использовать ранее вычисленные значения у , у 1, у 2 Идея получения формул численного решения состоит в том, что задача Коши записывается в интегральной форме [c.135]

Схема циклов нагружения (рис. 4.6) может быть построена и на основе численного решения линейных и нелинейных краевых задач — методами конечных элементов, конечных разностей, интегральных уравнений. В этом случае по результатам численного анализа для заданного режима эксплуатационного нагружения получают непосредственно распределения и значения местных упругих или упругопластических напряжений или деформаций. По этим распределениям могут быть определены номинальные напряжения или деформации, которые в дальнейшем используют при оценках прочности и ресурса. Вместе с тем следует признать, что для многих режимов и вариантов геометрических форм элементов конструкций такие расчеты чрезвычайно трудоемки, а их точность определяется заданием исходных краевых условий — по усилиям, температурам, физико-механическим свойствам материалов. [c.136]

В данном параграфе строится полное а.1 р. по степеням е и ц решения линейного уравнения в случае простейшего -мерного каркаса. Построение высших приближений связано с численным решением некоторых задач типа пограничного слоя и позтому довольно громоздко и трудоемко. Тем не менее а. р. решения позволяет детально изучить качественное поведение последнего при 8, ц 10. [c.296]

Несмотря на богатый арсенал численных методов, разработанных для решения задач оптимального управления, алгоритмическое и программное оснащение этих задач существенно уступает современному программному обеспечению задач линейного и нелинейного программирования. Лишь для наиболее простых классов задач, в которых нет ограничений на фазовые координаты, построены достаточно эффективные алгоритмы, осуществляющие поиск управлений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности. Эти алгоритмы, как правило, основаны на применении градиентных процедур или принципа максимума и допускают простую программную реализацию. Применяя метод штрафных функций или модифицированную функцию Лагранжа, с помощью этих алгоритмов можно получить решение некоторых задач и с фазовыми ограничениями, например с условиями на правом конце. Однако такой способ не всегда эффективен, поскольку требует многократного решения задачи при различных значениях параметров и далеко не всегда позволяет получить управление, на котором с заданной точностью выполнялись бы условия оптимальности и ограничения задачи. [c.191]

Годунов С. K. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений Ц Успехи мат. наук.- [c.269]

Для решения небольшой системы дифференциальных уравнений (2.159), описывающих с принятыми допущениями переходные процессы в приводах с дроссельным управлением, нет необходимости использовать названные сложные методы расчета. Приемлемые результаты можно достигнуть более простым при малом числе уравнений методом припасовывания. Такой метод успешно применяют для решения некоторых задач механики [4, 20]. Состоит оп в следующем. Полное время переходного процесса разделяют на малые временные интервалы (шаги). В пределах достаточно малого шага коэффициенты дифференциальных уравнений принимают постоянными. Получаемую при этом систему линейных дифференциальных уравнений решают совместно в каждом временном интервале методом преобразования по Лапласу. Формулы для вычисления конечных значений переменных содержат их начальные значения. Процесс припасовывания состоит в том, что значения переменных, полученные в конце предыдущего шага, принимают начальными дли последующего. Совместное решение системы уравнений в пределах каждого шага исключает возникновение численной неустойчивости решения и этим устраняет искажение переходного процесса. [c.150]

Наименьшее критическое число Рейнольдса для плоской пластины, получаемое при численном решении линейной плоскопараллельной задачи устойчивости, составляет [c.65]

Одним из самых важных вопросов, относящихся к векторам и матрицам цепи и вообще к математическому описанию и методам расчета потокораспределения, является их рациональная декомпозиция (разложение, расщепление) на части с выделением тех или иных групп переменных и блоков в матрицах. Именно с этим прежде всего и связаны такие теоретически и практически важные вопросы, как строгое математическое описание преобразований основных переменных к контурным или узловым величинам, сокращение размерности задач о потокораспределении и анализ общих свойств их решений, получение замечательных соотношений между матрицами и векторами, учет специфических особенностей сетевых задач при применении численных методов линейной и нелинейной алгебры и др. [c.55]

Удобным численным методом решения вариационных задач является метод локальных вариаций [9], развиваемый в последнее время для решения технических задач. Он отличается от метода кусочно-линейной аппроксимации использованием последовательных приближений при поиске точек экстремали. Поиск начинается с замены экстремали произвольной ломаной, проходящей через краевые точки и удовлетворяющей заданным ограничениям на величины х (т) (начальное приближение). Начальное приближе- [c.214]

В случае линейной формы задания последних членов в правых частях уравнений (3.23), (3.24) (например, для реакций первого порядка в изотермических условиях) задача (3.23)—(3.26) допускает аналитическое решение стандартными методами. При этом удобнее пользоваться постановкой задачи, которая вытекает из диагонализированной формы уравнений (3.19), (3.20) в результате применения к ним интегрального преобразования (3.22). В случае более сложной формы последних членов в правых частях уравнений (3.23), (3.24) (например, при нелинейной зависимости скоростей реакций от состава фаз или когда процесс протекает в неизотермических условиях) решение краевой задачи (3.23)—(3.26) целесообразно искать численными методами. [c.145]

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что [c.271]

Метод статистической регуляризации. Разработаны методы решения некорректных задач [66—71], которые позволяют подойти к проблеме решения интегрального уравнения (2.25) с обш их позиций, т. е. независимо от вида ядра Р (р, р). При численном решении уравнения (2.25) его обычно сводят к системе линейных алгебраических уравнений [58] [c.35]

В работах [138, 139] предложена процедура численного решения основного кинетического уравнения. Численный алгоритм состоит в дискретизации задачи и сведению ее к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При численном решении этой системы получается функции распределения, зависящая от [c.195]

Выбор численного метода, в свою очередь, связан с характером решаемой задачи и часто диктуется возможностями имеющейся вычислительной машины. Например, нельзя решить систему линейных уравнений сотого порядка на малой вычислительной машине прямыми методами, поскольку матрица ее коэффициентов может не поместиться в запоминающем устройстве или не может быть получена высокая точность. Таким образом, при анализе возможности решения математической задачи на ЦВМ требуется детальное знакомство с численными методами решения. С другой стороны, математическая задача в конкретной постановке является отображением физической сущности протекающего процесса со свойственными ему особенностями и ограничениями. Учет особенностей при составлении алгоритма решения часто значительно упрощает вычислительную процедуру без ограничения общности решения для процессов данного типа. Например, если известно, что решение лежит в области действительных чисел, то комплексные решения будут исключаться из рассмотрения при помощи логических операций. [c.98]

Здесь будут кратко изложены некоторые часто употребляемые численныс методы решения краевых задач для линейных систем дифференциальных уравнений 131. Однако, прежде чем переходить к изложению этих методов, нам хотелось бы, не претендуя на строгость изложения, остановиться иа одном вопросе, играющем большую роль при численном решении краевых задач, а именно на вопросе о чувствительности решений системы дифференциальных уравнений (к погрешностям в начальных условиях, в коэффициентах, к погрешностям в счете и др.). Этот вопрос важен потому, что прп численном решении нужно знать влияние погрешностей на окончательный результат. [c.307]

Погруженность диффузионного слоя в гидродинамический позволяет приближенно считать, что в пределах толщины 3 скорость ш является линейной функцией расстояния от стенки. Явный вид такой линейной зависимости для простых случаев получают из решения гидродинамической задачи, а затем используют этот линейный профиль скорости для подстановки его в дифференциальное уравнение (5.12), которое после этого может быть решено приближенными аналитическими или численными методами. [c.356]

Задачи о распределении тока решаются аналитически обычно в случаях простой геометрии и в отсутствие поляризации или при линейной зависимости тока от потенциала. Использование некоторых аналитических решений облегчается вычислением интегралов и бесконечных рядов с помощью ЭВМ. В ряде методов, например в методе Вагнера, использующем интегральное уравнение, или при решении в виде бесконечных рядов с неопределенными коэффициентами, необходимо прибегать к численному нахождению распределения тока на электроде или коэффициентов ряда. Такие методы менее трудоемки и дают более точные результаты по сравнению с численным решением уравнения Лапласа методом конечных разностей. [c.385]

В настоящее время микрокомпьютеры не обладают достаточной мощностью для быстрого выполнения сложных теоретических расчетов, но их можно использовать для решения более простых задач по расчету молекулярных орбиталей, аналогичных расчетам по простому [10] или расширенному методу Хюккеля [11]. Они особенно удобны для статистического обсчета данных анализов, в котором вычисления просты, но слишком монотонны для выполнения вручную. Микрокомпьютеры также могут быть очень полезны для получения численных решений полиномиальных уравнений, систем линейных уравнений, для точного расчета pH [12] или численного интегрирования дифференциальных уравнений в химической кинетике [13]. [c.90]

Отмечена некорректность теории послойной отработки твердой фазы как приближенного подхода к решению задачи Стефана. Вопрос о том, в какой области значений параметров процесса и в какой степени приближение теории о стационарности или линейности профиля концентраций в отработанной зоне допустимо, может быть решен только прямым сопоставлением с численным решением задачи. При сопоставлении результатов, полученных разработанным быстрым методом решения задачи Стефана, с известными результатами теории послойной отработки сделан вывод о том, что теория послойной отработки дает существен- [c.182]

Для линейной Т—/г-задачи в системе (VI. 13) получаются три зацепляющиеся уравнения. Их численное решение позволило получить систему уровней энергии как функцию Я, приведенную на рис, VI. 14, Позднее [297] на основе этих данных была также рассчитана форма полос ожидаемого электронного спектра (см. рис. VII. 11). [c.225]

Рис. VI.19. Факторы вибронной редукции для линейной Т — <2-задачи как функции параметра X == [3 д Й(о полученные по данным численного решения [296]. Прерывистые линии соответствуют приближенным значениям по формулам (VI, 94) [282].

Решение этой задачи наталкивается на определенные трудности с одной стороны, чтобы повысить точность, необходимо в эксперименте снимать большое число точек, с другой — это является причиной некорректности задачи вследствие избыточности информации для данной теоретической модели. В этом случае сумма квадратов отклонений имеет несколько минимумов, даже одному минимуму может соответствовать разный набор параметров теоретической модели. Кроме того, теоретические модели могут быть сложны по своей структуре, только в редких случаях удается произвести преобразование координат, что дает простую линейную зависимость. В связи с этим приходится прибегать к численной реализации этого метода, что можно сделать путем нелинейного программирования. Целью нелинейного программирования является нахождение минимума или максимума некоторой нелинейной функции. Эта функция называется целевой, поэтому реализовать метод наименьших квадратов методами нелинейного программирования не представляет затруднений. Целевой функцией здесь будет выступать сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от теоретических. [c.99]

Лин Шин-лин и Амундсон приводят пример численного решения этой задачи при следующих исходных данных массовая скорость 0 = 2930 кг1 м -ч)-, линейная скорость и= 12,47 м1мин радиус зерна катализатора г — 4,24 мм порозность слоя е = 0,35 полное давление р — ат-, удельная теплоемкость зерна катализатора с, = 0,196 ккал кг-град)-, плотность газа рг=1,12 кг/м -, теплота реакции (—АЯ) = 0,667-10 ккал1моль-, средний радиус пор зерна Гпор = 40А коэффициент теплообмена сквозь газовую прослойку г = 97,6 ккал м-ч-град)-, пористость зерна еч = 0,40 теплоемкость газа с,-= 0,25 ккал кг-град)-, плотность катализатора рч = 960 кг м -, масса одного моля газа Л1 = 48 кг моль-, высота единицы теплопередачи Яс =0,018 м-, коэффициент теплопередачи г = 9,88 моль мР--ч-ат)-, константа скорости реакции к = = 22,5 ехр (—12200/Гч) моль м -ч-ат) поверхность зерна катализатора, приходящаяся на 1 объема, а = 402 м м -, б = ехр [12.98 —(12 200/г чЯ 1ч—температура частицы катализатора, °С т — время, мин. [c.268]

Для линейного уравнения кинетики дaIдt = Р (с — а/Г) метод характеристик может быть реализован аналитически [23, с. 134], решение представлено в разд. 3.3. Этот метод используется также при численном решении многокомпонентных задач [40]. [c.42]

Основанный на Л-функциях структурный метод решения краевых задач может служить основой для разработки подсистем автоматизированного поиска рационального варианта численного решения задачи. Примером соответствующей системы программирования является генератор программ (ГП) Поле-1 [39—42]. В состав ГП, кроме транслятора с библиотекой систем программирования, входит магнитная лента Архив — Поле-1 , на которой хранятся программные модули и управляющие программы, обслуживающие ГП Поле-1 . Принципы построения ГП Поле-1 позволяют ставить задания генератору как в виде приказа решать конкретную краевую задачу, так и в виде ряда предписаний, позволяющих сформировать новый алгоритм решения. В Архиве записаны отлаженные блоки различных алгоритмов и методов решения, а также различные вспомогательные программы, предусматривающие модификации этих методов (методы интегрирования, полиномы, i -oпepaции, программы линейной алгебры и т. п.). ГП Поле-1 реализует быструю и удобную смену структуры решения (10). Выбор неопределенной компоненты в структуре может быть определен одним из вариационных методов, сеточным, разностноаналитическим и т. д. ГП Поле-1 располагает аналитическими методами Ритца и Бубнова — Галеркина и допускает возможность просчета одной и той же задачи разными методами. При этом каждая из неопределенных функций представляется в виде [c.14]

Предлагаемый алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений основан на методе локальной линеаризации [140]. На каждом шаге интегрирования исходная ППЭ аппроксимируется квадратичной формой, возникающая при этом новая система дифференциальг ных уравнений является линейной и, следовательно, допускает точное решение. Улучшая аппроксимацию, можно добиваться сходимости нового решения к решению исходной задачи на всем интервале интегрирования. Так как близкие поверхности определяют практически одинаковые модели, то в смысле "траекторной нормы решения должны сходиться. Сохранение аддитивных интегралов движения исходной задачи на численных решениях обеспечивается специальным выбором аппроксимирующей ППЭ. [c.79]

Многие задачи (особенно динамические) в области математики, физики и химии сводятся к решению систем дифференциальных уравнений — как линейных, так и нелинейных. Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в Math ad введены следуюш,ие функции [c.97]

Первое теоретическое исследование стабилизирующего влияния поверхностно-активных веществ на течение в пленке было проведено Бенджамином [101]. Он решал задачу об устойчивости в линейном приближении, т. е. применял подход, основанный на использовании уравнения Орра — Зоммерфельда. Предполагалось, что поверхностно-активное вещество является нерастворимым. Основной результат состоит в том, что стабилизирующий эффект связан с поверхностной упругостью. К аналогичным выводам пришли Уитекер и Джонс [111], теоретически изучавшие стабилизирующее влияние растворимых и нерастворимых поверхностно-активных веществ с помощью численного решения уравнений Навье — Стокса. Подобное же исследование провел Линь [102], решая линейное уравнение (3.7). Он нашел, что стабилизирующий эффект проявляется слабее, если поверхностно-активное вещество является растворимым. Этот вывод легко объясним, поскольку в случае растворимых поверхностноактивных веществ градиент поверхностного натяжения на поверхности пленки относительно невелик благодаря компенсации неоднородной и неравновесной поверхностной концентрации за счет массообмена с объемом жидкости (см. уравнение (2.80)). [c.58]

Метод моментов ншроко используется и для решения обратной задачи — задачи определения параметров процесса из опытных динамических выходных кривых [1, 3]. Наряду с методом моментов для решения обратной задачи определения коэффициентов переноса и параметров изотермы в случае линейной динамики адсорбции предложен ряд других методов взвешенный метод моментов, метод передаточной функции, метод, основанный ьа преобразовании Фурье.-Эти методы являются уже численными. Хотя в принципе они более точны, чем метод моментов (особенно это относится к последнему методу), но менее наглядны- [c.86]

Полное решение системы вибронных уравнений (VI. 13) весьма сложно и проведено до сих пор только в двух случаях — линейной Е—е-задачи [295] и линейной Т — г-задачи [296]. В первом случае для молекулярной системы с потенциалом вида мексиканской шляпы система (VI. 13) состоит из двух зацепляющихся уравнений. Численное решение последних позволило получить таблицы уровней энергий и коэффициентов волновых функций для различных значений константы линейной вибронной связи, которая в данном случае представлена в виде Я, = 2 ят/йсор, где йшр — квант колебаний в желобе (вдоль координаты р). С этими данными были вычислены вероятности электронных переходов с участием -терма и невырожденного Л-терма А- Е и Е— А (см. рис. VII. 5). [c.224]