Нормальный закон ошибок

Уравнение нормального закона распределения содержит лишь один параметр, характеризующий точность измерений а . Чем больше этот параметр, тем вероятнее большие ошибки (см. рис. 1-1). Величину называют дисперсией, а — стандартной (квадратичной) ошибкой. [c.12]

Для статического метода с мембранным нуль-манометром измерения давления (Рд ) и температуры (Гэг) можно считать элементарными. Ввиду этого, рассматривая только случайную составляющую ошибки измерения, для экспериментальных величин разумно предположить нормальный закон распределения. Тогда очевидно, что распределение любой нелинейной функции от этих величин будет отличаться от нормального. По этой причине применение метода наименьших квадратов с произвольной целевой функцией не всегда приводит к оценкам искомых параметров, обладающим требуемыми статистически-АШ свойствами (см., например, [1 ]). При выборе целевой функции следует принять во внимание также и тот факт, что случайные ошибки, а следовательно, и дисперсии экспериментальных величин в общем случае различны для каждой экспериментальной точки. [c.99]

Нормальный закон распределения случайных ошибок. Случайные ошибки измерения характеризуются определенным законом их распределения. К наиболее простым и достаточно точно отражающим действительность, относится нормальный закон распределения, или закон Гаусса [c.313]

Тело взвешивается на аналитических весах, не имеющих систематической ошибки. Вследствие наличия несистематических ошибок результат каждого взвешивания — случайная величина с нормальным законом распределения и параметрами а и ст. В качестве приближенного значения веса берут среднее арифметическое результатов п взвешиваний [c.140]

Рассмотрим теперь случай, когда все или некоторые параметры fig являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону со средними значениями Хд, дисперсиями бдд и ковариациями брд-Такая трактовка применима, очевидно, не только когда эти параметры действительно флюктуируют во времени (как, например, начальные концентрации при неточной дозировке исходных веществ), но и когда они, хотя и остаются постоянными, но определены неточно, с некоторой ошибкой опыта. Функция случайных величин ул(ц) есть также случайная величина, дисперсия которой вычисляется по формуле [c.226]

Активность промышленного катализатора - функция некоторого числа параметров, которые могут меняться в процессе его приготовления. Можно допустить, что изменение параметров процесса имеет случайный характер, а распределение активности отдельных зерен партии соответствует нормальному закону распределения [51], характеризуемого средней активностью а и ее дисперсией Од. Можно считать, что разность между результатом измерения и истинным значением активности также будет соответствовать нормальному закону распределения с дисперсией ошибки о . В результате измеряемая активность катализатора будет случайной величиной с дисперсией о2 = [52], [c.26]

Результаты измерений обычно содержат случайные ошибки, поэтому статистич. оценки вьшолняют только при наличии серии измерений-т. наз. случайной выборки. Для оценки измеряемого значения к.-л. величины или исследуемой зависимости ее от внеш. условий по данным выборки рассчитывают т.наз. выборочные параметры, характеризующие статистич. распределение ошибок в проведенном эксперименте. Такое распределение, как правило, подчиняется т. наз. нормальному закону, конкретный вид к-рого определяют два параметра-выборочное среднее и выборочная дисперсия (см. ниже). [c.323]

Оценивание с помощью наименьших квадратов эквивалентно оцениванию методом максимального правдоподобия при условии, что ошибки распределены по нормальному закону Чтобы показать это, рассмотрим простую однопараметрическую модель [c.151]

Если предположить, что ошибки независимы, имеют нулевое среднее значение и дисперсию а , а также распределены по нормальному закону, то плотность вероятности для данных до того, как проведен эксперимент, имеет вид [c.151]

Квадратичные правдоподобия. Логарифмическая функция правдоподобия (4 4 11) квадратична по параметру 6 В более общем случае, если модель линейна по параметрам, а ошибки распределены по нормальному закону, логарифмическая функция правдоподобия является квадратичной формой от параметров 9г. Следовательно, функция правдоподобия сама является многомерным распределением, и ее можно описать с помощью средних значений (выборочных оценок максимального правдоподобия) и матрицы ковариаций этого распределения Из (3 1 19) мы видим, что матрица вторых производных [c.154]

Согласно нормальному закону распределения, вероятность того, что в процессе измерений подучены ошибки, заключенные между Х Х1 и X — х(- йх(1= 2.....л), равна [c.453]

Опыт показал, что случайные ошибки измерения действительна подчиняются нормальному закону распределения. [c.629]

Согласно нормальному закону распределения, вероятность того, что в процессе измерений получены ошибки, заключенные между X — XI ж X — х X (1 =1,2,. . п), равна [c.630]

Ошибки измерения есть случайная величина, подчиненная нормальному закону с параметрами т—1,2 а = 0,8. Найти вероятность попадания этой величины в интер-вал (-1,6 +1,6). [c.27]

В результате проверки точности работы прибора установлено, что 80% ошибок не выходит за пределы 5°С. Определить среднюю квадратичную ошибку прибора, если известно, что систематических ошибок прибор не имеет, а случайные ошибки распределены по нормальному закону. [c.27]

Если ошибки опытов распределены по нормальному закону, то применяя теорему Байеса, можно получить соотношение, определяющее точную верхнюю границу ожидаемого изменения А5 [136, 159] [c.130]

В условиях, когда экспериментальные значения скоростей подвержены случайным ошибкам, для оценки сходимости целесообразно использование предложенного Фишером принципа максимума правдоподобия. При распределении экспериментальных ошибок по нормальному закону, максимуму правдоподобия соответствует минимум взвешенной суммы квадратов отклонений вычисленных значений скоростей реакций от экспериментально определенных [31]. Тогда критерием близости [c.371]

Классическая теория ошибок, развитая Гауссом, базируется на предположении, что результаты измерений, подверженных случайным ошибкам, следуют нормальному закону распределения (распределению Гаусса) [c.417]

В литературе по теории вероятностей [40] подчеркивается, что использование нормальной техники в случае логарифмически нормального закона распределения может привести к существенным ошибкам, особенно при обработке небольшого числа экспериментов. В статье [41] приводится перечень некоторых критериев, соответствующих различным распределениям, которые могут встретиться в экспериментальной работе. Другие примеры [c.91]

В тех условиях, когда ожидают отклонения от нормального закона распределения, ошибку кинетического параметра можно оценить такой величиной сг (9), чтобы при изменении 0 от 0—о (в) до 6 0 (0) вычисляемые на ЭВМ концентрации оставались в пределах коридора их опытных ошибок. [c.111]

Согласно этой программе, отыскиваются такие значения констант скоростей, которые обеспечивают достижение минимума суммы квадратов отклонений расчетных величин концентраций от опытных. Если ошибки последних подчиняются нормальному закону, то определяемые таким образом константы скоростей являются наиболее вероятными д.пя данного механизма. [c.144]

Расчет релаксации системы с начальным распределением X (0) = [О, О, О, О, 1, 0], проведенный нами на ЭВМ типаМ -20, дал близкие к опубликованным в работе [6] результаты . К величинам X (Тр), X (2Тд) и X (4То) добавляли отклонения, распределенные по нормальному закону, характеризующемуся нулевым средним и 5%-ной ошибкой. Получаемые таким образом значения рассматривались как опытные. Далее из разных начальных точек, в которых и отличались от принятых значений, проводили методом оврагов поиск наиболее вероятных значени и>. В данном случае необходимо было определить пять величин и , так как остальные пять находятся из соотношения (2). Неизвестными считали над-диагональные элементы матрицы А. Для начала поиска необходимо задать какие-либо численные значения ш, причем чем сильнее они будут отличаться от истинных значений, тем дольше будет идти их машинный поиск. Для сравнения мы начинали расчет методом оврагов из начальных точек, в которых все и отличались от известных значений на 20% и 100% (один из оврагов показан на рис. 93). В первом случае на решение задачи затрачено около 15 мин машинного времени, во втором — около 60 мин. В обоих случаях были получены близкие к истинным значения вероятностей переходов (табл. 3) и хорошее описание эксперимента (рис. 94). Была также проведена обработка результатов, в которые вносили не 5%-, а 10%-ную ошибку. Время вычислений при этом практически не изменилось, а значения искомых параметров несколько ухудшились. [c.250]

Ошибка определения уг слагается из двух частей во-первых, экспериментальной ошибки измерения масс-спектра, и во-вторых, ошибкой выбора коэффициентов хщ. Предполагается, что обе ошибки подчинены нормальному закону распределения. [c.340]

Нормальный закон ошибок. В генеральной или выборочной совокупности величина ошибки, определяемая разностью между отдельными измерениями и некоторым средним, может принимать различные значения. [c.223]

Уравнение, связывающее величину ошибки и вероятность ее появления, известно под названием нормального закона ошибок [c.223]

Таким образом, из нормального закона ошибок следует вывод при оценке случайной ошибки необходимо указывать величину самой ошибки и величину доверительной вероятности. [c.224]

Так как различие между 5 и ст уменьшается по мере увеличения числа измерений, то можно считать, что когда число измерений больше 20. Поэтому в дальнейшем величину выборочной средней квадратичной ошибки в приложении к нормальному закону распределения будем обозначать символом ст и рассчитывать ее по формуле (11). [c.225]

Наибольшая возможная ошибка. Пользуясь таблицами нормального закона ошибок, можно вычислить вероятность того, что ошибка измерения по абсолютной величине не превзойдет За, т. е. [c.226]

В тех случаях, когда число измерений меньше 20, порядок обработки результатов остается таким же. Однако для оценки точности отдельных измерений и среднего арифметического следует пользоваться выборочной средней квадратичной ошибкой, обозначаемой не а, а 5, так как различие между ними становится существенным. При этом нормальный закон распределения ошибок становится уже не применимым для оценки надежности измерений. [c.228]

Так как величина t в этом выражении не подчиняется нормальному закону распределения ошибок из-за различия между 5 и (Т, то вероятность появления ошибки при малом числе измерений должна оцениваться по другому уравнению. Это уравнение известно под названием распределения Стьюдента или распреде-ления и имеет вид [c.228]

Если статистической обработке подвергаются большие выборки, функция распределения которых не сильно отличается от нормального закона, то в этом случае для выборочных квадратичной и средней арифметической ошибок можно пользоваться тем соотношением, которое имеет место для соответствующих величин в генеральной совокупности, так как при достаточно большом п величина /(п—1)/п в выражении (4.10) мало отличается от единицы. Но этот прием становится совершенно непригодным, когда материал, подлежащий обработке, представляет совокупность, состоящую из небольших групп измерений. Если мы подсчитаем две средние арифметические ошибки для одного и того же множества измерений. [c.76]

Например, при гидрокрекинге н-парафинов осуществляется гидрогенолиз различных С—С-свяэей, и в продуктах содержатся низкомолекулярные парафиновые углеводороды с разным числом углеродных атомов. Можно охарактеризовать продукты гидрокрекинга нормальным законом распределения, выбрав в качестве распределяемой величины п—число углеродных атомов в продуктах гидрокрекинга. Тогда р (п)—доля продукта с числом углеродных атомов п. Подбирая по экспериментальным данным параметры закона распределения ц и а , удалось [1] получить хорошее соответствие рассчитываемых и экспериментальных величин выходов продукта с определенным числом углеродных атомов, причем ошибка расчета (4%) была меньше ошибки эксперимента. Ниже приведены величины х и а для гидрокрекинга индивидуальных углеводородов [c.94]

Сравнение и ранжирование катализаторов проводилось по максимальной активности и селективности отдельных образцов в выбранной области экспериментирования. При этом ввиду того, что образцы обычно показывают достаточно близкие характеристики как по активности, так и по селективности, то обязательным является использование статистических методов. Когда ошибки измерений основных характеристик катализаторов распределены по нормальному закону, для установления статистической значимости различия между небольшими совокупностями катализаторов используют статистику Хотеллинга Т . В этом случае для ранжирования катализаторов требуется проведение их попарных сравнительных испытаний. Как известно, статистика имеет вид [c.71]

Тогда, полагая, что случайные ошибки измерения величии Р(1гп н Рщ постоянны И ПОДЧИНЯЮТСЯ нормальному закону распределения, МНК-решение моделп (3) — (6) с нрименениел целевых функций (7) — (9) будет оптимальным, в то время как решение модели с использованием целевой функции (10) должно быть смещенным. Последний вывод следует из того, что значения 1пКт неравноточны. Действительно, согласно (И) выборочная дисперсия воспроизводимости От величины 1пКт зависит от температуры, являясь функцией дисперсий воспроизводимости переменных Р и Рот- [c.108]

Анализ точности построенной таким образом модели проводят разньпмги методами в зависимости от характера и св-в факторов и отклика. Наиб, распространен т. наз. регрессионный анализ, к-рый состоит в выделении относительно значимых факторов сопоставлением их вклада с погрешностью эксперимента и в проверке мат. модели на адекватность описания изучаемого объекта исходным данным путем сравнения погрешности вычисления значений отклика по полученному ур-нию регрессии с воспроизводимостью опытов. Использование регрессионного анализа требует выполнения след, условий, предъявляемых к обрабатываемым эксперим. данным а) ошибки измерений факторов пренебрежимо малы в сопоставлении с ошибкой измерения отклика б) ошибки измерений отклика распределены по нормальному закону в) выборочные дисперсии откликов во всех опытах однородны (соизмеримы). [c.325]

Согласно положениям математической статистики (см. раздел 8.2), в случае нормального закона распределения погрешностей случайной величины х, 68 % ее измеренных значений попадает в интервал >с 95 % — в интервал х. 2 ,, 99,7 % — интервал х + З ,. Поэтому критерий 1У > 3 означает, что вероятность ошибочном принятия нулевого элемента за ненулевой (уровень значимости нулевой гипотезы, вероятность ошибки 1 рода) составляет 0,003. Для критерия П > з такая вероятное составляет 0,32. Казалось бы, критерий О > 3 имеет очевидное преимущество, однако при таком жестком условии гначительно больше вероятность ошибочного принятия ненулевого элемента за нулевой (ошибка II рода). По мнению авторов, для рассматриваемого типа задач более подходящим является компромиссный критерий О > 28, так как он соответствует обычно принимаемому в химии уровню значимости 0,05. [c.44]

Предполагая, что ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения, найдем, какое значение для неизвестной измеряемой величины будет наивероятнейшим. [c.452]

Предположим, что уравнение истинной регрессии выражается формулой ту = (р (х), а экспериментальные точки отклоняются от этой зависимости вследствие случайных ошибок измерения. Допустим, что ошибки измерения подчиняются нормальному закону распределения. Тогда результат 7-го опьта есть случайная величина У(, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием Шу- = ( >(хО и средним квадратичным отклонением а,, характеризующим ошибку воспроизводимости. [c.126]

Точность результата есть его воспроизводимость, правильность— его близость истинной величине. Систематическая ошибка вызывает уменьшение правильности, и ее влияние на точность результата определяется тем, постоянной или переменной является ошибка. Случайные ошибки понижают воспроизводимость, но, проводя наблюдение более точно, можно уменьшить рассеяние в такой степени, что это не отразится на правильности. Строго говоря, статистическая обработка может быть применена только к случайным ошибкам. Даже в том случае, когда заранее неизвестно, являются ли ошибки действительно случайными, то и тогда могут быть применены законы вероятности для того, чтобы определить является ли неслучайность (тенденции, скачки, группы и т. п.) определяюшим фактором или нет. В этом случае необходимо выявлять и корректировать систематические причины. Даже случайные ошибки могут не следовать нормальному закону ошибок, который является основной отправной точкой для анализа данных. И опять-таки статистические исследования можно использовать для того, чтобы определить, имеется ли значительное отклонение от нормального закона, и соответственно этому интерпретировать данные. [c.581]

Экспериментальный закон распределения износов имеет вид нормального закона, описуемого формулой Гаусса, Коэффициент вэриации (относительная величина средней квадратичной ошибки) равен 4, . [c.116]

На рис. 1-3 представлены результаты расчета вероят юстей ошибок контроля при условии, что действительные значения показателя качества подчиняются нормальному закону распределения со средним значением и средним квадратическим отклонением Стл. Из рис. 1-3 видно, что вероятность ошибки контроля растет с увеличением и, следовательно, среднего квадратического отклонения результатов испытаний среднего квадратического отклонения действительных значений показателя качества отклонения центра распределения действительных значений пока- [c.32]

Это ПОСТОЯННО наблюдаемое явление легко объяснить, исходя из нормального закона, согласно которому вероятность появления малых отклонения значительно больше, чем вероятность появления больших отклонений. Вероятность появления погрешностей по абсолютной величине, превышающих 2а, равна 0,05, поэтому, если мы сделаем 20 измерений, то здесь можно будет ожидать появления одного такого отклонения. Если же экспериментатор сделал всего два измерения, то естественно ожидать, что среди них таких больших отклонений не будет. Подсчет выборочных дисперсий производится простым суммированием квадратов отклонений, поэтому естественно, что ошибка, подсчитанная по малой выборке из генеральной совокупности, в большинстве случаев будет меньше, чем ошибка соответствующей ей генеральной совокупности. Если мы в выражение (4.13) подставим вместо а ее оценки, полученные по малым выборкам, то не получим нормального распределения. В силу этих обстоятельств классическая теория ошибок, основанная на нормальном распределении, неприменима для обработки малого числа измерений. Она нашла очень широкое применение в метрологии, астрономии и геодезии, где всегда выполняется большое число измерений, и ока.зывалась мало полезной при анализе вешества, где, как правило, делается небольшое число параллельных определений. Только с начала XX века стало развиваться новое направление в математической статистике, которое можно назвать статистикой малых выборок или микростатистикой. [c.79]