Основные правила интегрирования

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Основные правила интегрирования [c.101]

Как уже отмечено в Предисловии, основной целью данного издания является рассмотрение важнейших аспектов повышения эффективности использования топлива в энерготехнологиях. При этом также важно отметить, что топливо, энергетика и транспорт, а также энергосберегающие технологии являются, в соответствии с Основами политики Российской Федерации в области развития науки и технологий на период до 2010 г. и дальнейшую перспективу , приоритетными направлениями развития науки, технологий и техники Российской Федерации. В число перечня критических технологий Российской Федерации входят также технологии, тесно связанные с рациональным использованием топлива добыча и переработка угля, производство электроэнергии и тепла на органическом топливе, энергосбережение, технологические совмещаемые модули для металлургических мини-производств, природоохранные технологии, технологии переработки и утилизации техногенных образований и отходов, поиск, добыча, переработка и трубопроводный транспорт нефти и газа, прогнозирование биологических и минеральных ресурсов, нетрадиционные возобновляемые экологически чистые источники энергии и новые методы ее преобразования и аю мупирования и др. В связи с тем, что, как правило, использование топлива связано с применением высоких температур для обработки материалов, то при этом рассматриваются высокотемпературные технологические процессы. Основной упор в данном издании сделан на анализ эффективного использования топлива в металлургических процессах и энергетических установках, но, как уже отмечалось, многие материалы и принципиальные положения могут с успехом использоваться и в любых других технологических процессах. Это наше утверждение основывается на двух положениях. Во-первых, ряд глав достаточно общего характера напрямую может использоваться при решении проблем топливного энергосбережения при решении проблем в любой отрасли или технологии. Как уже отмечалось, к этому списку относятся главы достаточно универсального характера топливно-энергетические ресурсы, топливо и его характеристики, методики теплотехнических расчетов при использовании топлив, стратегия развития энергообеспечения и потенциал энергосбережения, интегрированный энергетический анализ, полная энергоемшсть, методы матемагичес1юго моделирования процессов тепломассообмена (общие подходы), основы теории факельных процессов, общие требования к горелочным устройствам и примеры расчетов, принципы регенерации теплоты и использования ВЭР, стандартизация и сертификация при использовании топлив, энергоаудит и методы оценки работ по энергосбережению, учет энергоресурсов, системы и приборы, использование топлива и экологические проблемы. [c.21]

В университете штата Канзас (где преподает автор—доп. ред.) в начале семестра одна неделя отводится ознакомлению студентов с математическими методами, примерно в объеме, соответствующем объему главы XII этой книги. Сюда относится знакомство с типами дифференциальных уравнений, часто встречающимися в учении о химической кинетике, и методами численного интегрирования. Приближенные методы расчета находят широкое применение, так как экономят время и труд, а точность получаемых решений обычно вполне соответствует точности исходных экспериментальных данных. Применение указанных методов в тексте сохраняет элементарный характер изложения, принятый нами для настоящей книги. Точные решения, как правило, настолько сложны, что их использование могло бы оттолкнуть начинающего и затруднило бы понимание основных идей. [c.10]

Конечно-разностные формулы. Формулы Рунге—Кутта четвертого порядка получили наибольшее распространение в практике интегрирования дифференциальных уравнений с исполь-зованием вычислительных машин. Однако даже при относительно высокой точности их применение связано со значительным объемом вычислений, особенно если правые части уравнений являются сложными выражениями. Основным недостатком этих формул является то, что приходится вычислять три-четыре значения функции и усреднять на каждом шаге интегрирования. Прогноз решения осуществляется исходя из информации лишь в данной точке, и совсем не используется информация о решении в предыдущих точках. В прикладных задачах, например, связанных с нестационарными процессами, решения часто представляют собой монотонные функции, приближающиеся к стационарному состоянию, причем значительные изменения тангенса угла наклона интегральной кривой наблюдаются только на начальном участке интегрирования. Поэтому для вычисления значения интегральной кривой в последующей точке иногда целесообразно аппроксимировать решение, используя информацию о нем в предыдущих точках, т. е. его предысторию. [c.365]

При не слишком сложной геометрии потока возможно полное интегрирование уравнений гидродинамики идеальной жидкости [3]. Анализ решений, полученных для идеальной жидкости, дает, как правило, хорошее совпадение с опытными данными для основной массы потоков. Это позволяет рассчитывать распределение скоростей и давлений при обтекании потоком тел различной конфигурации и при течении жидкостей в каналах переменного сечения. [c.7]

Автозаправочные станции. Система распределения бензина в США крайне сложна. Большие интегрированные компании производят в основном маркированный бензин трех типов, а также небольшое количество немаркированного бензина, потому что в состав каждой компании, как правило, входят заводы, которые не могут выполнять высокие требования по качеству, а компания в таком случае не хочет ставить свое имя на недостаточно качественный бензин [74]. [c.114]

Что касается диффузионного равновесия, которое устанавливается в твердом теле с очень малой скоростью, то оно может и не быть достигнутым. Этот факт отражен в пятом члене правой части (7), где — локальная плотность к-то компонента адсорбента ( Л) также имеет локальный смысл формально интегрирование проводится по всему объему системы, но фактически — до граничной поверхности адсорбента, определяемой условием Рй = 0). Поскольку величина этого члена не зависит от положения разделяющей поверхности, отсутствие диффузионного равновесия внутри адсорбента никак не сказывается на введении поверхности натяжения. Ясно, что основную роль в выяснении возможности такой операции играет второй член правой части (7). [c.175]

Сущность метода состоит в интегрировании уравнения (1.45) по одной из переменных после умножения на соответствующее ядро интегрального преобразования. Так, при умножении на ехр(—рт), где р — некоторое произвольное комплексное число, и интегрировании по времени от нуля до бесконечности (преобразование Лапласа) уравнение (1.45) преобразуется в уравнение в полных производных, но относительно некоторой новой искомой функции — изображения искомой концентрации, которое оказывается функцией только координаты. После аналогичного интегрального преобразования граничных условий определяется вид дифференциального уравнения для изображения и его правая, неоднородная часть, получающаяся из функции, соответствующей неравномерному начальному распределению концентрации в твердом теле. Неоднородное уравнение решается, после чего совершается обратный переход от изображения к искомой концентрации целевого компонента. Основная трудность при использовании метода интегральных преобразований состоит в математической процедуре этого обратного перехода. Правда, в большинстве стандартных случаев оказывается возможным использовать существующие таблицы обратного перехода, но в общем случае необходимо совершать операцию вычисления контурного интеграла на комплексной плоскости [5]. [c.54]

Отдельные узлы прибора монтировались в двух отделениях ящика, как показано на рис. 5. Источник газа-носителя, регулятор скорости потока, детектор и колонка смонтированы в правой части ящика. Приспособление для ввода видно в правом нижнем углу. Регулятор температуры расположен в нижней левой части прибора, под измерительным мостом детектора. Интегратор [3] расположен также на панели измерительного моста для интегрирования площадей под пиками. Скорость нагрева задается переключателем, расположенным левее гальванометра для измерения температуры нагреватель и основные выключатели источника питания расположены под самописцем. [c.131]

В подпрограмме 10000, исходя из кинетической схемы, рассчитываются значения производных, т. е. правых частей дифференциальных уравнений. Подпрограмма 11000 рассчитывает элементы матрицы I - А-Д/, а подпрограмма 50900 обращает эту матрицу. Для построения на экране кинетических кривых после расчета координат соответствующих точек вызывается подпрограмма 15000. Подпрограмма 20000 выводит результаты расчета в числовой форме. Участок программы до строки 999 служит для ввода исходных данных и подготовки вывода графической информации. Единичный шаг итерации реализован в подпрограмме 1100. Эта подпрограмма вызывается из основной программы, которая начинается со строки 5000. Интервалу времени соответствует переменная ВВ. Итерационная процедура проводится N1 раз с шагом DD/N1. Если при удвоении числа шагов N1 решение удовлетворяет требованиям точности, то итерационная процедура заканчивается (строка 5240). В противном случае N1 опять удваивается. Если N1 станет больше 50, то интервал времени ВО делится на 1000 и итерационная процедура начинается заново (строка 5160). Если требуемая точность достигается при N1 = 2, то интервал времени ВВ увеличивается в два раза. После каждого итерационного шага N1 уменьшается примерно в два раза (строка 5420). Переменный шаг интегрирования, организованный довольно простыми программными средствами, необходим здесь потому, что на начальном этапе вьшолнения программы (т. е. при очень малых степенях превращения) за очень малые промежутки времени концентрации промежуточных продуктов существенно меняются, тогда как изменение концентраций других веществ в начальной стадии реакции происходит гораздо медленнее. В строках 5430 и 5440 ограничивается длина шага интегрирования, поскольку кинетические кривые, построенные при слишком большой длине шага, будут выглядеть на экране слишком грубыми. Кроме того, эти строки позволяют приостановить вьшолнение программы, когда достигается заданная граница временного интервала. [c.403]

Перейдем к вычислению статистической суммы Q, следуя в основном результатам работ [44, 45]. Учитывая определение (1.4.32) и осуществляя в правой части (1.4.32) интегрирование по импульсам всех молекул, получаем [ср. с формулой (2.1.13)] [c.128]

Какова бы ни была причина неточности функций возбуждения, сам факт ее присутствия вызывает большое беспокойство из-за явного влияния на основные функции отклика, например, Рр ( ), Ра ), P t), -Рд(0 И Т. д. раздела 3.2.2. Хороший пример дан на рис. 3.4, а. Истоки этой проблемы заложены в природе уравнений (3.3), (3.4), (3.5) и т. д. Значение у () для какого-то определенного tl вычисляется интегрированием правой части уравнения в пределах от О до tl. Для этого необходимо, чтобы произведение [c.48]

Не вдаваясь в детали метода, с которыми можно познакомиться в монографиях [93, 94] и обзорах [95, 96], отметим, что суть его заключается в численном интегрировании уравнений движения всех частиц, составляющих данную систему и взаимодействующих по выбранному межмолекулярному потенциалу. Так как интегрирование осуществляется на ЭВМ, то число частиц системы оказывается ограниченным обычно в пределах 10 . Для того чтобы результаты могли быть распространены на макроскопические системы, используют периодические граничные условия, которые реализуются следующим образом. Выбирается кубическая ячейка объемом V, содержащая N частиц, взаимодействующих по заданному закону. В периодической структуре выбранная ячейка будет окружена 26 аналогичными кубическими ячейками с идентичным расположением частиц. Если в процессе счета одна из частиц основной ячейки выйдет, например, через правую грань, то аналогичная ей частица войдет в основную ячейку через левую грань из соседнего куба. Таким образом, плотность и энергия системы сохранятся, т.е. имеет место имитация бесконечности системы. [c.335]

При расчете по уравнению (П.57) основным этапом является определение флегмового числа R, необходимого для поддержания постоянного состава дистиллята при изменении состава кубовой смеси. Практически не составляет затруднений вьшолнение расчетов колонны методом от тарелки к тарелке при известном составе пара, покидающем верхнюю тарелку, и фиксированном значении флегмового числа, проводя расчет сверху вниз. Однако если интеграл в уравнении (П.57) находится численно, то, как правило, используются рмулы с равноотстоящими узловыми точками. Поэтому потарелочный расчет колонны должен производиться итерационно, когда при фиксированном значении концентрации определяется соответствующее значение флегмового числа. Такой подход не является единственным, так как существуют методы вычисления определенного интеграла, для которых не требуется разбиения функции на равные интервалы по переменной интегрирования. [c.51]

Указанные выще процедуры предопределяют основные затраты мащинного времени на решение задачи идентификации. Уравнения чувствительности, как правило, являются жесткими , и это создает дополнительные трудности при численном интегрировании. [c.83]

Вычисления гораздо более громоздки, чем при расчете равновесного течения, так как вводится дополнительная переменная — пространственная координата х и уравнения кинетики — система нелинейных дифференциальных уравнений вида (18.40). Все это значительно усложняет расчетное исследование неравновесных течений не только за счет увеличения числа уравнений, а в основном из-за того, что система релаксационных уравнений вблизи равновесия является системой с малы-м и параметрами при старших производных. В связи с этим при расчете неравновесных течений в тех областях, где течение близко к равновесному (неравновесное течение в сопле, как правило, начинается из состояния, близкого к равновесному), возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования уравнений химической кинетики [135, 211, 225]. [c.181]

Учет вращений реагирующей системы позволил выразить эффективный потенциал взаимодействия через реальный, определить положение и величину потенциального барьера. Однако результат (2.47) справедлив в предельном случае у->0. Действительно, с ростом энергии из-за ангармоничности колебаний частота со(Е) падает и на вершине потенциального барьера она становится равной нулю. Рассмотрим поведение со(Е) вблизи вершины барьера. Учитывая, что основной вклад в интеграл дает область интегрирования вблизи правой точки поворота, представим (2.37) в виде [c.95]

Как уже отмечалось, в начале 80-х годов 19-го века был создан трест Стандард Ойл, состоящий из большого числа отдельных нефтяных компаний, работающих в основном в пределах своих штатов. В 1889 г. в трест была введена компания Стандард Ойл штата Индиана. Штаб-квартира ее располагалась в Чикаго (штат Иллинойс, там же компания начала строительство крупного нефтеперерабатывающего завода. Период становления компании проходил в составе треста, что позволило руководству компании быстро адаптироваться, и к 1911 г., году распада треста Стандард Ойл, компания Стандард Ойл штата Индиана представляла собой самостоятельную, обладающую всем необходимым фирму, способную решать крупные проблемы нефтяной промышленности. Фирма получила название СО Ко (Стандард Ойл Компани). Завод, построенный под Чикаго, стал частью компании. Все дальнейшие действия компании были подчинены одному-стать интегрированной компанией, то есть обладать своими нефтяными месторождениями, нефтеперерабатывающими заводами, системой транспортирования нефти и нефтепродуктов, автозаправочными станциями и проводить самой маркетинг своего продукта. Для этого в 1917-1920 гг. СО Ко покупает права на бурение в Канзасе, нефтедобывающую компанию Дикси и еще несколько нефтеперерабатывающих заводов. Данные покупки способствовали значительному увеличению производства сырья и нефтепродуктов. Одновременно большое внимание уделялось модернизации технологических процессов нефтеперерабатывающих заводов. [c.18]

Позднее на базе основной модели Нуссельта была предпринята попытка теоретического решения основного уравнения Нуссельта для средней нагрузки трубы в конденсаторе круглого сечения с расположением труб по углам квадрата, повернутого квадрата и равностороннего треугольника при обычном симметричном распределении вертикальных пучков [25]. Начиная с (10.22а), показатель степени при N в правой части уравнения, равный 1/4, заменялся на обобщенный показатель степени 1/л . В результате интегрирования местных коэффициентов теплоотдачи для различных схем расположения труб 1в пучке установлеию, что средний коэффициент теплоотдачи зависит от схемы расположения труб, а величина х непостоянна даже для заданной схемы расположения труб. Показатель степени х изменяется даже при изменении диаметра кожуха. Установлено также, что несмотря на различные площади поверхности на единицу длины гладкой и оребренной труб коэффициент теплоотдачи для труб с низкими ребрами можно также рассчитывать по (10 226). Правда, показатель степени может быть несколько меньше 1/6. [c.372]

Основные отличия формулы (2.3.14) от формулы (2.1.14), определяющей величину О для газов, заключаются в следующем 1) в (2.3.14) вместо интегрирования по координатам молекул осуществляется более простая операция — суммирование по всем возможным значениям 12 2) правая часть (2.1.14) содержит простой множитель 1/Л , возникающий в результате отбора физически неразличимых состояний однокомпонентной системы. Аналогичные множители, входящие в каждое слагаемое суммы в правой части [c.128]

Интегральные преобразования, рассмотренные в предыдущих параграфах, имеют бесконечные пределы интегрирования. Если преобразование Лапласа, как правило, применяется для решения нестационарных задач и производится по времени t, а поэтому пределы интегрирования от нуля до бесконечности становятся естественными, то интегральные преобразования Фурье, Ханкеля, Мелина и др. ио пространственным координатам с бесконечными пределами интегрирования ограничивают возможности их примеиеиия. Отметим, что применение интегральных пре-образоваипп с конечными пределами интегрирования к дифференциальному оператору Лапласа второго порядка L [Г (Л1, /)] в уравнении теплопроводности позволяет в области изображений свести решение исходной задачи к решению задачи Коши для обыкновенного диффе-ренциа.тьного уравнения первого порядка. А это значительно облегчает решение основной задачи в целом. Однако следует отметить, что не всегда удается найти явный вид такого ядра интегрального иреобра-зоваиия, с помощью которого можно решить поставленную задачу. [c.37]

Как видно из предыдущих параграфов, в случае реакций, протекающих в две и более стадии, уравнения кинетических кривых, как правило, не могут быть выражены в элементарных функциях и могут быть рассчитаны только численно, т. е. путем вычисления интегралов или численного интегрирования систем дифференциальных уравнений. В связи с этим в химической кинетике широко используются приближенные методы, позволяющие упростить системы дифференциальных уравнений сложного химического процесса и свести их к одному уравнению. Основным методом такого рода является предложенный Боденштей-ном метод стационарных концентраций. [c.225]

Для вычисления интегралов следует замкнуть контур интегрирования, добавив к линии Res= полуокружность большого радиуса, правую или левую, в зависимости от того, интересует нас асимптотика поля напряжений при или г- оо, и устремить радиус окружности к бесконечности. При этом нужный нам интеграл выразится через сумму вычетов в охваченных полученным контуром полюсах, т. е. для напряжений — в точках, соответствующих корням функции (9.20). Основные члены интересующей нас асимптотики решения приг->оо определяются, таким образом, корнями уравнения (9.20), имеющими наименьшую действительную часть. [c.152]

Заканчивая данный раздел, сделаем некоторые замечания относительно использования явных методов для численного решения жестких систем дифференциальных уравнений. В ряде случаев возникает необходимость применения явных формул для решения жестких задач. Это требуется, например, при большой размерности дифференциальной задачи. Алгоритмы на основе неявных или полуявных формул, как правило, используют обращение матрицы Якоби, что в данном случае есть отдельная трудновыполнимая задача. В такой ситуации предпочтительнее использовать алгоритмы на основе явных формул, если жесткость задачи позволяет за разумное время получить приближение к решению. Современные алгоритмы на основе явных формул в большинстве своем не приспособлены для решения жестких задач по следующей причине. Обычно алгоритм управления величиной шага строится на контроле точности численной схемы. Это естественно, так как основным критерием является точность вычисления решения. Однако при применении алгоритмов интегрирования на основе явных формул для решения жестких задач этот подход приводит к потере эффективности и надежности, ибо вследствие противоречивости требований точности и устойчивости шаг интегрирования раскачивается, что приводит либо к большому количеству возвратов (повторных вычислений решения), либо к АВОСТу. Этого можно избежать, если наряду с точностью контролировать и устойчивость численной схемы. Может быть предложен способ контроля устойчивости явных методов и алгоритм интегрирования с контролем точности и устойчивости на основе явной формулы типа Рунге—Кутта второго порядка точности [c.279]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология