Ван-дер-Поля в частных производных

Величина проекции на направление поля магнитного момента электрона д в квантовом состоянии п выражается частной производной энергии этого состояния Е по полю Н, что и демонстрирует уравнение (11.12) [c.135]

Решение (4.61) можно получить также из уравнения (4.57). В случае медленного изменения внешнего поля частной производной по времени в (4.57) можно пренебречь и решить уравнение [c.182]

В уравнениях (5.11)-(5.13) искомая функция - это нестационарное концентрационное поле целевого компонента в движущейся среде-носителе С(т х, у, г Z) w , w , wj, определяемое значениями независимых переменных % , х, у, г я параметров процесса D Wy, IV,. Значения параметров процесса массопереноса -коэффициента диффузии и проекции скорости потока на декартовы оси координат - должны быть известными. Если компоненты скорости неизвестны, то уравнение (5.12) следует рассматривать совместно с дифференциальным уравнением движения (1.29) вязкой жидкости, при этом уравнение (5.12) невозможно решить в общем виде аналитическими методами. Впрочем, даже при известных и постоянных величинах компонент скорости w , Wy и W, получить аналитические решения дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно четырех независимых переменных в общем случае также невозможно. [c.350]

Проблема автоматизации расчета тензорных полей различной физической природы (тепловых, массовых электростатических, магнитных, кинематических, силовых и т. п.) стала привлекать внимание исследователей начиная с появления электронных вычислительных машин. С математической точки зрения проблема эта сводится к построению эффективных алгоритмов численного решения краевых задач для уравнений с частными производными. [c.10]

Это уравнение в частных производных называется уравнением конвективной диффузии во внешнем силовом поле. Как частные случаи из него получаются 1) уравнение конвективной диффузии при =0 2) классическое диффузионное уравнение при и=0, Р=0] 3) уравнение диффузии в силовом поле при у=0. [c.190]

В [35] применялся численный метод [36 для решения систем эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных для задачи о потоке, падающем на поверхность из единичного щелевого сопла. Система уравнений должна быть замкнута с помощью более или менее произвольной гипотезы о взаимосвязи между корреляциями турбулентных пульсаций (например, и и, о р, v T ) и средними значениями скоростей, давлений, температур и т. д. Метод дает множество подробной информации о всем поле течения линиях тока, линиях равной завихренности, изотермах и линиях равной энергии турбулентности. К сожалению, расчеты были выполнены только для одного фиксированного относительного расстояния от сопла до пластины Я/В=8. Числа Нуссельта находятся в хорош ем согласии с данными измерений [20[. Однако их поперечное изменение значительно отличается от измеренных кривых, особенно для низких чисел Рейнольдса. [c.269]

Если перемешивание в реакционной смеси отсутствует и теплопередача от внутренних слоев реакционной смеси к стенке осуществляется в основном за счет теплопроводности, то в реагирующей системе создается поле температур, т. е. температура в данной точке оказывается функцией не только времени, но и координат точки. В этом случае приходится пользоваться уравнением теплопроводности, которое представляет собой уравнение в частных производных. [c.381]

Родственной, но более сложной концепцией является понятие случайного поля, которое возникает в теории излучения . Пусть и (г, О -поле, подчиняющееся некоторому не зависящему от времени линейному дифференциальному уравнению в частных производных, например [c.73]

С математической точки зрения составляющие поля скоростей в уравнении (1) выступают как сложные переменные коэффициенты. Решение уравнений в частных производных с переменными коэффициентами связано со значительными трудностями, которые резко возрастают при сложном виде функций. Дальнейшее упрощение задачи достигается за счет того, что в пределах диффузионного пограничного слоя можно существенно упростить вид функций, характеризующих распределение составляющих поля скоростей, так как много меньше того характерного расстояния, на котором существенно изменяется скорость (б — толщина диффузионного пограничного слоя, б , <1 а). [c.130]

В виду того что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры частные производные в уравнении (2 7) следует заменить на полные Поэтому для идеального газа полу чаем [c.65]

Как следует из последнего уравнения, частная производная по числу молей данного вещества при постоянных Г и Р обозначается специальным символом С,, полу- [c.123]

При изучении стандартного теплового поля камеры синтеза известно использование как расчетных, так и экспериментальных методик, основанных на непосредственном измерении температуры в камере высокого давления. В случае расчетного метода тепловая модель камеры представляется системой тел с внутренним источником тепла. Модель описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с определенными начальными и граничными условиями. При решении система аппроксимируется однородными разносными уравнениями, решая которые, получают значения температуры в узлах расчетной сетки, покрывающей заданное сечение камеры высокого давления. Иногда систему дифференциальных уравнений решают методом электро-аналогий. Этот подход позволяет получить картину изотерм теплового поля в камере, детальность которой определяется плотностью расчетной сетки. Однако математические сложности решения системы дифференциальных уравнений заставляют ограничивать число тел в тепловой модели. Недостаточно изученное при воздействии высокого давления и температуры изменение условий теплообмена элементов модели, их электрических и тепловых констант вынуждает при расчетах использовать значения, определенные при нормальных условиях. Эти факторы обусловливают приближенный характер получаемого распределения поля температур. Поэтому ниже представлены результаты экспериментальных исследований, полученных по непосредственным измерениям температуры при давлении 3,7—4 ГПа в камерах, схемы компоновки реакционного объема которых представлены на рис. 110. Детальность экспериментальных распределений температуры вполне достаточна для анализа условий кристаллизации алмаза. [c.333]

При математическом моделировании нестационарных физических процессов, когда время протекания процесса I сопоставимо со временем релаксации 0, часто используют гиперболические системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [39, 40]. Однако при численном решении гиперболических уравнений методом конечных разностей получают неадекватную с реальным физическим процессом картину — например, несоответствие профилей концентрационных полей в диффузионных процессах. [c.665]

Рассмотрим обтекание затупленного тела гиперзвуковым потоком газа в условиях, когда за отошедшей ударной волной около его каталитической поверхности образуется многокомпонентный частично ионизованный химически неравновесный пограничный слой. При отсутствии внешних электромагнитных полей систему уравнений многокомпонентного химически неравновесного асимптотически тонкого пограничного слоя и замыкающие ее соотношения Стефана-Максвелла в случае частично ионизованной смеси можно записать в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [c.171]

Решение этой системы уравнений — функция, описывающая поле концентраций компонентов, т. е. их распределение в пространстве и времени. Поскольку рассматриваемые уравнения — дифференциальные, для их решения должны быть заданы начальные и граничные условия. Начальные условия отражают состояние системы в момент, принятый за начало отсчета, а граничные условия определяют геометрические характеристики системы, а также условия ее взаимодействия с окружающей средой на границе раздела. При заданных начальных и граничных условиях рассматриваемая система уравнений становится определенной,так как число неизвестных равно числу уравнений. Следовательно, решить ее в принципе можно. Однако решение связано с большими математическими трудностями, поскольку эти уравнения являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Решение такой системы уравнений возможно лишь численными методами, причем трудоемкость расчетов быстро возрастает с увеличением числа компонентов. К этому следует добавить, что перенос вещества приводит к изменению физических свойств среды и для получения точных решений система дифференциальных уравнений должна быть дополнена уравнениями, описывающими зависимость физических свойств среды от состава. [c.405]

В тех случаях, когда необходимы расчеты нестационарных концентрационных полей для малых времен от начала массообменного процесса (точнее — для малых значений критерия Фурье), лучшую структуру результатов дает интегральный метод решения уравнения в частных производных (1.45). [c.53]

Процесс эволюции описывается системой трех нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. В резу.чьтате чис.ченного анализа модели установлено, что вязкость жидкости определяет натяжение, но не влияет на эволюцию формы. Теоретические результаты находятся в соответствии с экспериментальными данными согласно которым наблюдается усиление обрывочности волокнистого наполнителя с повышением вязкости среды, скорости деформации и начальной длины волокон. На эволюцию формы влияюг поле скоростей жидкости и исходная конфигурация нити. В условиях чистого сдвига скорость эволюции вьш1е, чем при простом сдвиге. [c.141]

Уравнение энергии. Модель взаимопроиикагощих сред позволяет описать тепловое состояние теплообменника уравнениями в частных производных. Например, для первого теплоносителя поле темпера1 ур описывается следующим уравнением [c.29]

Некоторые сведения о строении атомов. Атомная система, состоящая из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженной оболочки, устойчива лишь в состоянии движения. Движение электронов в электростатическом поле ядра и оболочки описывается в квантовой механике функцией или так называемой волновой функцией. Последняя в случае устойчивого атома зависит только ot пространственных координат, например х, у, г, и может быть найдена в вИде так называемой собственной функции путем рещения некоторого дифференциального уравнения в частных производных (независимого от времени уравнения Шредингера). Обычно существует большое число таких решений, н каладой собственной функции соответствует определенное собственное значение энергии Однако бывает и так, чto одному собственному значению соответствует несколько различных собственных функций. Этот случай называется вырождением. Собственное значение энергии и соответствующая собственная функция каждого электрона определяют его состояние (орбиту) в атоме. Наглядная интерпретация собственных функций, по Борну, заключается в следующем квадрат значения х, у, г), умноженный на элемент объема = йхйуйг в точке х, у, г, т. е. представляет собой критерий ве- [c.47]

На практике приходится решать смешанные стационарные задачи, когда в поле течения имеются области как дозвукового, так и сверхзвукового потока. Такого рода задачи возникают при внешнем сверхзвуковом обтекании затупленных тел с отошедшей ударной волной, во внутреннем течении в сопле Лаваля и в других каналах. В этом случае математическая модель имеет наиболее сложный вид — течение газа описывается системой квазилинейных уравнений в частных производных, имеющей смешанный эллиптико-гинерболический тип. При этом положение поверхности перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому заранее неизвестно. Расчет таких течений является затрудни- [c.267]

II том случае, когда U достигает условного минимума. Записывая частные производные ф ции Ф по соответствующим параметрам состояния и приравнивая их нулю, получают условия Ф. р. при отсутствии внеш. снловых полей [c.608]

Для определения величины Yp необходимо решить уравнение (25) для ар. Коэффициенты и ш w, фигурирующие в этом уравнении, известны из решения для поля скоростей. Температура и концентрации также входят в это уравнение, фигурируя в члене м, учитывающем скорость химической реакции эти функции связаны с и известными функциями от и z соотношениями (62) и (63). Таким образом, остается решить довольно сложное дифференциальное уравнение в частных производных. Решение этого уравнения является центральным моментом проблемы Марбла — Адамсона и отличает ее от задач типа задачи Эммонса. Методы решения уравнения (25) обсуждаются в пункте д 4. [c.411]

Задача о линейной устойчивости несжимаемой невязкой жидкости в форме бесконечно длинного щминдра кругового сечения, окруженного воздухом, была впервые рассмотрена Релеем [22]. Эта и последующие за ней работы [23, 24] по гидродинамической устойчивости включают четыре этапа. Первый состоит в определении параметров основного невозмущенного течения полей скоростей, давлений, температур. Следующим этапом является предположение о малости возмущений этих параметров и линеаризация уравнений и граничных условий. В итоге получается однородная линейная система уравнений в частных производных, коэффициенты которой могут зависеть от пространственных координат, но не зависят от времени. Третий этап состоит в определении элементарного решения для выбранного начального возмущения. Обычно решение ищется в виде комплексного Фурье-представления периодических функций. Например, элементарное репгение можно искать в виде нормальной моды [c.448]

Решение уравнений конвективного теплообмена при соответствующих условиях однозначности позволяет определить температурное поле в потоке, а затем вы Птелить и остальные искомые значения дс, а, а. Точное решение уравнений движения и энергии, составляющих систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, возможно лишь в ограниченном числе простейших случаев. [c.154]

С целью исследований тепло- и массообмена в технол. аппаратах созданы АСНИ для изучения аэро-и гидродинамики потоков. Важнейшая задача-выбор конструктивного оформления аппаратов, обеспечивающего оптимальную организацию потоков в-ва и тепла. Поведение системы прогнозируется на основе решения ур-ний аэро-и гидродинамики (в частных производных). На отдельных этапах исследований используются модельные идеализи-ров. представления гидродинамики (модели идеального вытеснения и смешения, многофазные циркуляционные модели), для к-рых из эксперимента определяются статистич. оценки коэф. диффузии, межфазного обмена и др. Принципиальное улучшение исследований достигнуто в результате одновременного измерения локальных характеристик потоков (полей скоростей, давлений, концентраций специально вводимых в-в). [c.27]

Из-за трудности получения аналитичес ких решений этих определяющих уравне ний в частных производных считается, что большинство инженерных проблем по теплопроводности могут быть удовлетворительно решены с помощью уравнения Фурье в предположении одномерности или двумерности температурного поля. [c.41]

Приближенные уравнения (11) н (12), определяющие комноиеиты силы Е, и 2, можно вынести и пз прнблпя.ешюго выражения для ф, если взять частные производные по а п 0. Полная сила Е, действующая на едииину заряда, 1. е. напряженность поля в точке находится из уравнепия для параллелограмма сил [c.275]

Система нелинейных уравнений (1.4) в частных производных второго порядка, определяющая поля скорости и давления в потоке жидкости как функции пространственных координат и времени, в общем виде не может быть аналитически рещена [5], поэтому анализ течения несжимаемой ньютоновской жидкости основан на упрощениях, справедливых для конкретных задач. Возможность тех или иных упрощений должна следовать из физических соображений, а окончательная справедливость сделанных упрощений оценивается сопоставлением полученных теоретических результатов с экспериментальными данными. [c.7]

Развивается еще один метод анализа задач нестационарной теплопроводности для полубезграничных тел, основанный на понятии дробной производной [10]. Этот оригинальный метод позволяет теоретически находить потоки теплоты внутрь полубезграничного тела без предварительного решения задачи о нахождении нестационарного температурного поля внутри тела. При этом рассмотрение уравнения (4.1.2.3) нестационарной теплопроводности в частных производных оказывается возможным заменить более простым анализом граничного соотношения, представляющего собой обыкновенное дифференциальное уравнение с дробными производными по времени. За счет относительно более простого анализа условий на границе тела класс решаемых задач может быть расширен вплоть до некоторых типов нелинейных условий на границе тела с окружающей средой. [c.234]

Решение системы уравнений (Х.7—X. 10) с учетом начальных условий (X.11) позволяет рассчитывать как температурные поля, так и все кинетостатические и энергетические параметры процесса. Система уравнений (Х.7—X. 11), представляющая полную математическую модель неизотермического каландрования, состоит из нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Аналитическое решение такой системы, по-видимому, невозможно. [c.409]

Диффузионная компонента намагниченности, а стало быть диффузионная компонента фактора порядка, устраняется обобщенным магнитным полем. Связь обобщенного поля и внешнего поля с некоторой постояннной, которая характеризует остатки обменного взаимодействия через матрицу, можно получить при решении уравнения в частных производных (12), которое имеет общее решение вида (15). Однако помимо решения (15) возможно также решение вида [c.230]

Решение волнового уравнения в замкнутом виде можно получить лишь для некоторых частных форм потенциала. Например, нельзя решить волновое уравнение для всех атомов, за исключением водородоподобных, для которых предполагается, что электрон движется в поле эффективного заряда ядра. Это затруднение становится особенно значительным в случае молекул. Сложность волнового уравнения для молекул можно проиллюстрировать следующим простым примером. В молекуле метана СН4 имеются пять ядер и десять электронов, поэтому волновое уравнение содержит 3X15 = 45 независимых переменных. Дифференциальное уравнение в частных производных с таким числом переменных совершенно безнадежно пытаться точно решить даже в том случае, если оказывается возможным несколько уменьшить число независимых переменных в результате учета свойств симметрии системы. [c.67]

Различные члены параболических уравнений в частных производных, определяющих течение в пограничном слое, записываются в конечно-разностной форме для каждой точки сетки ячеек, на которые разделяется область течения. Решение полу чается маршевым методом в направлении течения, начиная от сечения, в котором заданы граничные условия. Определяются компоненты скорости и темнературга в точках сетки, покрывающей область течения. [c.168]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология