Навье-Стокса уравнения движения

Движение реальной несжимаемой жидкости описывается уравнением Навье- Стокса. Для потока / его можно записать следующим образом [c.18]

Уравнения гидродинамики реальных потоков обычно очень сложны (например, уравнения Навье-Стокса для однофазных потоков) или даже вообще не могут быть записаны в общем виде (например, для двухфазных потоков типа газ—жидкость ) из-за отсутствия возможности задания граничных условий на нестационарной поверхности раздела фаз. Поэтому на практике прн составлении математических описаний обычно используют приближенные представления о внутренней структуре потоков. С одной стороны, это облегчает постановку граничных условий для уравнений, а с другой— позволяет наметить определенные экспериментальные исследования, необходимые для нахождения параметров уравнений движения потоков. [c.56]

Для иллюстрации этого метода рассмотрим переход от уравнения для -компоненты в системе Навье—Стокса (уравнение сохранения количества движения в проекции на направление вдоль пограничного слоя) к уравнению для -компоненты пограничного слоя в сжимаемой смеси газов. Как показано ча рис. 2.1, 5 и — ортогональные координаты. Скорости в направлениях 8 п у обозначим соответственно через ы и и. Уравнение для [c.38]

Уравнения (11,48) представляют собой уравнения Навье — Стокса, описывающие движение вязкой капельной жидкости. [c.53]

Уравнение Навье — Стокса при движении несжимаемой жидкости в направлении оси х [c.23]

Можно видеть, что выражения лапласиана для продольной оси (заметим, конвективной составляющей — также) в случае величин скалярной и векторной природы совпадают. Иначе обстоит дело с уравнениями относительно осей г и ф. Приведем в качестве примера запись уравнения Навье—Стокса для движения в направлении [c.93]

Многочисленные попытки получить систему дифференциальных уравнений для двухфазных потоков, аналогичную системе Навье — Стокса для движения непрерывной среды, чтобы с ее помощью найти обоснованные критерии подобия, до настоящего времени не увенчались успехом. Главная причина такого положения объясняется чрезмерной схематизацией и упрощением в теории сложных явлений, лежащих в основе двухфазных потоков [30. [c.73]

Примем ось капилляра за ось 2 цилиндриче ской системы координат. Точка г = О соответствует положению границы жидкость — газ на оси капилляра (рис. 73). Функция б = б (г) описывает форму пленки, причем б (0) = а. Радиус капилляра а примем за единицу измерения для Ь ) и г — радиальной координаты системы. Уравнение Навье — Стокса, описывающее движение жидкости в пленке, приобретает вид [c.96]

Уравнения движения для неньютоновских течений могут быть получены из уравнений Навье - Стокса, записанных в компонентах тензора напряжений зависимостями (1.101), (1.102). В случае осесимметричного обтекания уравнения Навье - Стокса в сферических координатах можно записать в виде [c.32]

Чтобы оценить по достоинству значение работ Н. П. Петрова, нужно учесть, что в то время работы Рейнольдса о сущности ламинарного и турбулентного течения жидкости были мало известны. Позже, проведя глубокий анализ движения вязкой жидкости в канале, образованном двумя поверхностями, находящимися в относительном движении, Рейнольдс показал, что шип может поддерживать нагрузку только при эксцентричном его положении. Свое приближенное уравнение ГТС, разработанное на основании уравнения механики вязкой жидкости Навье — Стокса, Рейнольдс вывел на основании следующих допущений гравитационными и инерционными силами можно пренебречь вязкость смазочной среды постоянна жидкость (смазка) несжимаема толщина пленки смазки мала по сравнению с другими размерами скольжение на границе жидкость— твердое тело отсутствует влиянием поверхностного на--тяжения можно пренебречь смазка является ньютоновской жидкостью. [c.229]

Вывод уравнения для ламинарного движения вязкой несжимаемой жидкости приведен в ряде монографий и учебников по гидродинамике -см., например, [1,2]. В векторной форме уравнение Навье-Стокса при пренебрежении объемными силами по сравнению с поверхностными имеет вид [c.5]

Для вращательного движения жидкости систему уравнений Навье- Стокса можно записать в виде [c.277]

Неустановившееся движение твердой, жидкой или газообразной сферической частицы при Ке < 1 рассматривалось в работах [43, 44]. Обтекание капли описывалось уравнениями Навье — Стокса [c.27]

Кинетика расслаивания жидкофазных систем. В связи с распространенностью многофазных систем большое внимание уделяется разработке теории их движения, причем в последнее время наблюдается бурное развитие этой области знаний. Обзор многочисленных работ, посвященных этой теме, изложен в [23, 24—26]. Сложность общего математического описания заставляет при решении конкретных задач делать те или иные допущения, вносящие определенные погрешности в решение задачи. Так, во многих случаях течение двухфазной системы может рассматриваться как ползущее, т. е. числа Рейнольдса, рассчитанные по диаметру частиц, очень малы (седиментация тонких эмульсий, суспензий и т. д.). Тогда возможна линеаризация уравнения Навье—Стокса, если пренебречь инерционными членами. Такое допущение справедливо и в случае, когда течение смеси в целом по отношению к внешним границам характеризуется большими числами Рейнольдса, тем не менее можно говорить о малости чисел Рейнольдса для движения частиц относительно сплошной фазы. Кроме того, инерционные эффекты менее существенны в системах, состоящих из группы частиц в органической жидкой среде. [c.288]

Баланс действующих в потоке сил выражается в случае движения идеальной жидкости уравнениями Эйлера, а в случае движения реальной жидкости — уравнениями Навье—Стокса. [c.276]

Использование уравнения движения реальной жидкости совместно с уравнениями неразрывности позволяет решить основную задачу гидродинамики — определить поля скоростей, давление и плотность жидкости, движущейся под действием заданных внешних сил. Однако решение уравнений Навье—Стокса получено только для простейших случаев одно- и двухмерного потока. Кроме того, это уравнение ие описывает течение жидкости при турбулентном режиме. [c.276]

Уравнения движения Навье — Стокса рассматривают локальные и конвективные ускорения элементарной массы газа и имеют следующий вид [c.70]

Уравнения Навье — Стокса. Уравнения движения вязкой несжимаемой >нидкости (в отсутствии внешних [c.35]

Характеристики, при помощи которых описывают движение фаз в псевдоожиженном слое, предЬтавляют собой переменные, осредненные по физически бесконечно малому объему для слоя (содержащему достаточно большое число твердых частиц), поэтому уравнения для этих величин могут быть получены методом осреднения уравнений, описывающих изменение гидродинамических характеристик на масштабах, по порядку величины сравнимых с размером твердых частиц. Такими уравнениями являются уравнения Навье—Стокса, описывающие движение газа (жидкости) в промежутках между твердыми частицами, и уравнения Ньютона, описывающие движение твердых частиц. В настоящем разделе методом осреднения этих уравнений, описывающих изменение локальных характеристик движения газовой и твердой фаз, будут получены уравнения гидромеханики псевдоожиженного слоя. Изложение этого материала основывается в значительной степени на работе Андерсона и Джексона [7, 1967, № 4]. [c.17]

При описании движения совокупности твердых частиц, взвешенных в потоке газа, можно использовать различные подходы. С одной стороны, движение твердых частиц и движение газа в промежутках между частицами можно исследовать, используя уравнения Ньютона, описывающие движение каждой отделБной частицы, и уравнения Навье—Стокса, описывающие движение газа. Однако возникающие при этом вычислительные трудности практически непреодолимы,, а избыточная информация, которая получается при таком подходе, бесполезна при решении практических задач. [c.39]

В связи с этим некоторые разделы книги пришлось дополнить изложением основных диференциалъных уравнений, что в предыдущих трех иэда ниях гае вызывалось необходимостью. Это относитоя к диферен-циальным уравнениям равновесия и движения Эйлера, уравнениям дви-<1 жения Навье-Стокса, уравнению теплопроводности и др. [c.3]

Приведенные в этом разделе уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой несжимаемой жидкости вокруг одиночной сферы в изотермических условиях, когда [х = onst. Для ньютоновских жидкостей вязкость зависит главным образом от температуры, а в некоторых случаях и от давления. Для жидкостей, обладающих неньютоновскими свойствами, вязкость прояв ляет зависимость не только от температуры, но и от деформацион- но-прочностных свойств течения. Законы движения неньютонов- ских жидкостей описываются модифицированными уравнениями Навье — Стокса, в основе которых лежит обобщенный закон Ньютона, представляющий зависимость между напряжением трения и скоростью деформации. Нелинейные свойства вязкости жидко-сти учитываются с помощью различных физических моделей. Для задачи обтекания сферической частицы такие уравнения приводятся в разделе 1.4. [c.11]

Движение жидкости плотностью р (кг/м ) со скоростью и (м/с) в промежутках между частицами зернистого слоя подчиняется основным законам гидродинамики— уравнениям Навье— Стокса [1, 2]. При этом жидкость и даже газ можно считать практически несжимаемыми (р = onst), поскольку скорости потоков в аппаратах малы по сравнению со скоростью выравнивания деформаций — скоростью звука. Особенности течения неньютоновских жидкостей в зернистом слое [3] изучены недостаточно и реологические свойства потока будем считать целиком определяющимися вязкостью j,[H/(m- )]. [c.21]

Приступая к составлению условия задачи, отмечаем, что для целей нашего анализа можно ограничиться рассмотрением одного только динамического уравнения движения (уравнения Навье — Стокса). Уравнение неразрывности движения, в силу своей линейности по отношению к скорости, при переходе от актуальных величин к усредненным не видоизменяется ( 22) и, следовательно, оставаясь однородным,- не может дать ни одного условия для определения характеристических масштабов. Далее, легко видеть, что из трех строк уравнения движения, расписанного по компонентам, для нас интерес представляет лишь одна. Действительно, приняв наиболее подходящую для нашего случая цилиндрическую систему координат х, г, <р, начало которой поместим на оси трубы в некотором сечении, расположенном за пределами участка стабилизации, замечаем, что две составляющие обеих усредненных"- переменных гайгр, гас1 р и Шг, йУ — равны нулю. Но правые части уравнений, представляющие суммы линейных членов, не могут содержать пульсационных составляющих и, следовательно, для второй и третьей строки обращаются в нуль. Поэтому два последних уравнения (для осей г и <р) сводятся к своим левым частям, которые представ- [c.269]

Все коэффициенты переноса в строгой теории Чепмена—Энскога выражаются через систему интегралов Допущения, принятые при их нахождении, накладывают определенные ограничения на теорию Чепмена— Энскога, которые в основном касаются свойств газов с высокой плотностью и весьма низкими температурами. Метод решения Чепмена—Энскога дает приближение в виде ряда. В условиях, когда градиенты скоростей и температур по средней длине свободного пробега молекул очень малы, справедливо первое приближение. В этом приближении потоки пропорциональны первой производной от плотности, скорости и температуры. Уравнения переноса, которые описывают изменение плотности, скорости и температуры по времени, называются уравнениями Навье—Стокса. Уравнения переноса, соответствующие второму приближению, это уравнения Барнетта. Уравнения Барнетта вводят в систему уравнений движения и теплового потока принципиально новые члены. В этом случае в какой-то степени уже учитывается изменение градиентов скоростей и температур на средней длине свободного пробега молекул. Решение уравнения Больцмана в третьем приближении обычно называется супербарнеттовским решением и вносит дополнительные поправки к уравнениям движения и потока тепла. [c.26]

К сожалению, из-за сложности решения уравнени Навье — Стокса для движения вязкой жидкости даж [c.24]

Дифференциальные уравнения движения жидкости с учетом трения — уравнения Навье — Стокса. При учете сил трения в дифференциальное уравнение движения жидкости Эйлера необходимо ввести дополнительное слагаемое, которое получаем из уравнения Ньютона. Сила внутреннего трегн я То при одномерном двин<енни жидкости на единицу поверхности выражается по Ньютону, как [c.98]

Турбулизация межфазной границы может быть обусловлена- также возникающими при тепло- или массопередаче локальными изменениями поверхностного натяжения. Учет влияния концентрационных и температурных изменений поверхностного натяжения на гидродинамику вблизи межфазной границы представляет собой весьма сложную и в настоян1ее время еще не решенную задачу (необходимо исследовать устойчивость решения уравнения Навье — Стокса по отношению к малым возмущениям — локальным изменениям скорости). Пока сделаны лишь первые попытки решения этой задачи [72, 73]. В частности, показано [72], что возможность возникновения неустойчивости существенно зависит от знака гиббсовой адсорбции растворенного вещества в состоянии термодинамического равновесия, а также от соотношения между кинематическими вязкостями соприкасающихся фаз и коэффициентами диффузии веществ, которыми обмениваются эти фазы. Объяснено явление стационарной ячеистой картины конвективного движения, вызванного локальными градиентами поверхностного натяжения [73].. Дальнейшие исследования в этой области наталкиваются на серьезные математические трудности. [c.183]

Плоские и пространственные поля скоростей и давлений определяются интегрированием уравнений Навье — Стокса с учетом граничных и начальных условий. Решение ряда подобных задач в области преобладания сил вязкости, когда уравнения становятся линейными, излагается, например, в следующих книгах [22, Л. С. Лейбензон и А. Е. Шейдеггер 45, 72] и мы здесь, на этих вопросах не останавливаемся. В этих же книгах освещается вопрос о пространственном движении жидкости в зернистом слое в условиях, когда нельзя пренебрегать силами инерции и основные уравнения движения перестают быть линеи-ными. [c.71]

Основой математического описания КГТС деталей машин (например,, абсолютно гладких цилиндров, показанных на рис. 5.5) служат дифференциальное уравнение движения жидкости Навье —Стокса и условие неразрывности установивши гося потока жидкости, следствием которых является известное уравнение Рейнольдса, относящееся к установившемуся плоскому потоку вязкой жидкости в узком клиновом зазоре между двумя плоскостями [c.235]

Для исследования массо- и теплообмена в вертикальных дисперсных двухфазных системах необходимо вначале рассмотреть гвдродинамику движения одиночных частиц в потоке вязкой жидкости или газа. В разделе 1.1 приведены точные и приближенные решения уравнения Навье — Стокса в сплошной и дисперсной фазах для малых и промежуточных значений критерия Рейнольдса. [c.5]

Результаты расчетов по уравнению (1.97) для частищ>1, начинающей движение с нулевой начальной скоростью, приведены на рис. 1.10. Кривая 6 построена для Re < 1 по уравнению (1.96). Штриховая линия нанесена По данным работы [43]. Здесь использован пример расчета, полученный в [43] для твердой сферы с плотностью p /p2 1. Как следует из рисунка, времена выхода на стационарный режим при Re< 1, рассчитанные в работе [43] путем точного решения уравнений Навье-Стокса и с помощью изложенного выше приближенного подхода, близки. При увеличении Re время гидродинамической стабилизации заметно уменьшается. Так, для Re>50 оно уже на порядок меньше, чем при Re[c.30]

Задача определения силы сопротивления, действующей на частицу в суспензии, сводится к задаче отыскания полей скоростей и давлений вокруг частицы, движущейся в замкнутой оболочке. Течение жидкости в ячейке должно удовлетворять уравнениям Навье-Стокса. Рещение в аналитическом виде удается получить только для двух предельных случаев режима ползущего движения, описываемого уравнениями Стокса, и инерционного режима движения, описываемого уравнениями идеальной несжимаемой жидкости. На поверхности частицы должно удовлетворятся обычное условие отсутствия скольжения, т. е. скорость движения жидкости должна быть равной средней скорости движения частицы. Условия на внещней границе ячейки, отражающие воздействие всего потока на выделенную ячейку, не могут быть определены однозначно, поскольку механизм этого воздействия недостаточно понятен. В основном используются три типа условий 1) предполагается, что возмущение скорости, вызванное наличием частицы в ячейке, исчезает на границе ячейки [105] 2) ставится условие непротекания жидкости через границу ячейки (обращается в нуль нормальная составляющая скорости) и предполагается отсутствие касательных напряжений на границе ячейки (модель свободной поверхности) [106] 3) условие непротекания жидкости сохраняется, но предполагается, что на границе ячейки обращаются в нуль не касательные напряжения, а вихрь [107]. [c.68]

В принципе, движение массы частпц, взвешенных в ожижающем агенте, полностью определяется начальным состоянием системы (в механическом п тепловом аспектах) и граничными условиями. Оно должно удовлетворять уравнению Навье—Стокса в любой точке системы, а также уравнениям сплошности и энергетического состояния, уравнениям 11ьютона, описывающим движение ка-я дой отдельной частицы, и уравнениям ее теплопроводности. Однако, кагда система состоит из массы частиц (например, про-мышлепные суспензии), то задача становится слишком сложной для прямого решения на основе указанных уравнений. [c.74]

Первый и второй интегралы в правой части уравнения (7.83) характеризуют соответственно прибыль капель объемом V за счет коалесценции более мелких капель и их убыль вследствие коалесценции капель объемом и с другими каплями. Для определения горизонтальной составляющей скорости движения дисперсной фазы будем рассматривать горизонтальное течение двухфазной смеси как квазигомогенное. Такое допущение справедливо, когда частицы имеют малый размер и отношение вязкостей невелико. Тогда для ламинарного горизонтального потока квазигомогенной смеси по де-кантатору можно использовать решение уравнения Навье—Стокса для ламинарного течения жидкости в открытом канале прямоугозн — ного. сечения при свойствах жидкости, вычисленных через свойства фаз. В этом случае профиль горизонтальной составляющей скорости Ых (г) но высоте канала будет определяться ь/2 [c.301]