Система линейная оптимальная

В соотношениях (X, 50) величины б/ представляют собой значения весов, максимизирующих двойственную функцию (X, 49) с учетом условий ортогональности (X, 47) и нормализации (X, 43), а величины х. определяют оптимальное решение задачи, которое также может быть найдено решением системы линейных уравнений (Х,26). [c.554]

Уравнения, описывающие работу отдельного теплообменника. Система теплообменников без обратной связи. Нагревание одного потока. Нагревание двух потоков. Нагревание произвольного числа потоков. Системы теплообменников с обратной связью. Система линейных уравнений для определения неизвестных температур. Отличие детерминанта этой системы от нуля. Оптимизация СТ. Оптимальное распределение поверхностей нагрева СТ. Примененпе метода штрафов . Решение задачи градиентным методом. [c.179]

Тем самым первоначальная оптимальная задача оказывается сведенной к краевой задаче специального вида для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К сожалению, при одновременном интегрировании систем (VII,1) и (VII,6) часто наблюдается высокая чувствительность по отношению к начальным условиям, что затрудняет решение краевой задачи. Причина этого становится очевидной, если система (VII,1) является относительно х системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.187]

Оптимальные линейные оценки определяются из системы линейных алгебраических уравнений [38] [c.120]

Раздельное решение задач не обеспечивает нахождения оптимальных плановых решений, и это нашло отражение в структуре системы моделей оптимального текущего планирования нефтеперерабатывающего производства [1], включающей отраслевую модель оптимизации производства и распределения нефтепродуктов, модель линейного программирования комплекса НПП и модель линейного программирования НПП, обеспечивающих расчет производственной программы отдельных предприятий, распределение плановых заданий между комплексами предприятий. [c.12]

Основной метод решения общей задачи линейного программирования — так называемый симплекс-метод, состоящий из алгоритма отыскания какого-нибудь решения среди решений системы линейных неравенств (39), т. е. вершины многогранника О и алгоритма последовательного перехода от полученного уже решения системы (39) к новому решению, для которого форма (38) имеет большее (меньшее) значение до получения оптимального решения. Основу вычислительной схемы симплекс-метода составляют преобразования таблицы исходных данных, организованных на базе модифицированных жордановых исключений. Схематизированное преобразование таблицы определяет основной шаг симплекс-метода. [c.60]

В ряде работ [1—4] принцип максимума формулируется как необходимый признак оптимальности для процессов, описываемых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Показано, что если процесс характеризуется системой линейных уравнений, принцип максимума является достаточным условием оптимальности. [c.310]

В общем случае указанные вычислительные задачи решаются методами математической теории оптимальных процессов, а при замене дифференциальных уравнений равновесия (или совместности деформаций) системой линейных алгебраических уравнений — методами линейного программирования с использованием соответствующих стандартных или специальных подпрограмм для ЭВМ. [c.330]

На выбор оптимальных значений переменных Xj (/= 1,. .., п) накладываются дополнительные условия, которые заключаются в том, что искомая совокупность значений независимых переменных должна удовлетворять системе линейных соотношений, включающей в общем случае как неравенства, так и равенства [c.407]

Задачи составления плана О. и. п. м. могут решаться математически методами линейного программирования. Для этого составляется математич. модель задачи в виде системы линейных уравнений и неравенств, выражающих условия данной задачи. Эти уравнения решаются на минимум соответственно установленному критерию оптимальности приемами, выработанными в линейном программировании [c.112]

Суш ественным преимуш еством метода является то, что он позволяет свести сложную задачу оптимизаций нелинейного соотношения к решению системы линейных алгебраических уравнений. Кроме того, в результате вычисления чисел б сразу определяется минимальное значение критерия оптимальности без вычисления значений переменных доставляющих этот минимум. [c.147]

Решение системы линейных нормальных уравнений (3.15) можно выполнить на ЭВМ по стандартной программе на базе метода Гаусса, включаемой обычно в набор стандартных программ, входящих в программное обеспечение ЭВМ. Решение дает следующие значения оптимальных параметров процесса в кодированной форме [c.77]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Это уравнение определяет спектральную плотность при любом выборе частотных характеристик Я/ линейной системы с постоянными параметрами. Система называется оптимальной, если ей соответствует минимальное значение спектральной плотности 5пп при всех возможных выборах частотных характеристик Я/. Как показано в разд. 5.1.1, оптимальные частотные характеристики определяются из условий [c.202]

Это уравнение можно упростить. Но, прежде чем делать это, заметим, что правая часть уравнепия содержит пять членов. Следовательно, можно будет привести в точное соответствие правую и левую части уравнения по крайней мере по пяти отдельным точкам М (/с = 1,. . ., 5) путем обращения системы линейных уравнений относительно с . Степень соответствия конечного разложения по уравнению (14-53) функции F М) в точках М, отличных от Мй, будет изменяться в зависимости от М , поэтому М следует выбрать так, чтобы свести ошибки к минимуму. Эту проблему решил Гаусс [33], который показал, что оптимальными будут точки Mj = XJa, где — пять корней присоединенного полинома Лаггера пятой степени, т. е. [c.385]

Известно, что процесс текущего планирования на химических предприятиях включает две стадии технико-экономическое планирование, завершающееся разработкой техпромфинплана, и оперативно-производственное, обеспечивающее комплектное и ритмичное выполнение производственной программы. Последнюю стадию можно описать с помощью системы линейных уравнений, характеризующих технологическую структуру производства, и уравнений материального баланса сырья и материалов, поступающих со стороны. При этом составляют технологическую и нормативную матрицы, которые после обращения на ЭВМ трансформируют в матрицы полных расходных коэффициентов. Наличие последних дает возможность рассчитать несколько вариантов техпромфинплана и выбрать из них оптимальный. [c.37]

Существенным преимуществом метода является то, что ов позволяет свести сложную задачу оптимизации нелинейного соотношения к решению системы линейных алгебраических уравнений. Кроме того, в результате вычисления чисел 6 сразу определяется минимальное значение критерия оптимальности без вычисления значений переменных, определяющих этот минимум. Более подробно о геометрическом программировании см. в работах [11—13]. [c.209]

У = АХ—V должны удовлетворять системе линейных уравнений RX = Z. По существу сам метод наименьших квадратов можно рассматривать как задачу отыскания минимума евклидовой нормы вектора V—V при дополнительных ограничениях АХ— = 0. Подобные по конструкции задачи — отыскание минимума (экстремума) некоторой функции при заданных ограничениях на изменения переменных — довольно часто встречаются при практических исследованиях. Ограничения имеют форму равенств или во многих случаях — форму неравенств, например типа 0 ( =1, 2,. .., к). Так, при решении задачи наилучшего приближения нас могут интересовать лишь те значения параметров, которые являются неотрицательными. Более того, может потребоваться, чтобы параметры ие только принимали положительное значение, но и были целочисленными и т. п. Такие задачи встречаются в физической химии, например, при отыскании соединений с заданными физико-химическими свойствами, когда парциальные величины свойства, приходящиеся на структурные фрагменты молекулы, известны и требуется из соединений данного множества выбрать то, которое обладает оптимальными свойствами. Другими словами, надо найти такие (целые) значения чисел структурных фрагментов, при которых достигается экстремум некоторой функции этих чисел. [c.128]

Полимеризация изопрена под влиянием катализаторов Циглера-Натта. Характерной особенностью реакций полимеризации изопрена в присутствии каталитической системы R3AI + Ti U является резкая зависимость скорости процесса от состава катализатора (рис. 6). Максимальный выход полимера наблюдается при строго эквимолекулярном содержании алюминия и титана. Это соотношение оптимально и с точки зрения получения высокомолекулярного стереорегулярного полимера. При избытке Ti U превалируют процессы катионной полимеризации, приводящие к малорастворимым полимерам, содержащим циклические фрагменты. Катализаторы, полученные при отношениях Al/Ti > 1, приводят к образованию наряду с ч -1.4-полиизопренами олигомерных продуктов — циклических и линейных димеров (тримеров) изопрена. Выход [c.211]

Обе эти задачи относятся к типу задач Чебышевского приближения несовместной системы линейных уравнений, решение которых может быть найдено в рамках методов линейного программирования (МЛП). Оптимальному решению, получаемому в этом случае с помощью МЛП, соответствует к длин волн (й га), для которых достигается [c.257]

Для большего быстродействия регулирующей системы жела тельно увеличение величины Кс- Существует, однако, максимальное значение Кс, при превышении которого могут наступить неустойчивые колебания. Оптимальная величина Кс составляет примерно половину ее максимального значения. При работе реактора в устойчивом режиме максимальное значение Кс можно найти по частотной характеристике открытой системы (график Боде). Воспользовавшись упрощающим допущением о том, что скорость реакции и тепловыделение линейно зависят от температуры, запишем уравнение теплового баланса для трубчатого ре актора [c.281]

Система уравнений в вариациях как система линейных уравнении обладает важным свойством, а именно сумма любых двух ее реншний, найденных нри неодинаковых начальных условиях, также является ре(не-нием. Таким обра ом, если начальное условие риаций оптимального управления. [c.327]

Алгоритмы оптимальной фильтрации находят применение в многошаговых стратегиях управления. Так, щирокое распространение получил алгоритм управления, в котором при появлении каждого нового наблюдения, сначала, пользуясь алгоритмами фильтрации, определяют оценки ненаблюдаемых переменных состояния, а затем подставляют эти оценки в модель объекта и отыскивают управление, решая детерминированную экстремальную за.вдчу. Строго говоря, такое разделение исходной задачи на оценивание и управление является оптимальным только в системах, линейных относительно ненаблюдаемых переменных с квадратичным критерием управления и при гауссовском щуме ( теорема разделения [120]). Тем не менее, этот прием широко используют н в различного рода субоптимальных стратегиях. [c.127]

В последнее время успешно применяют так называемые бесстандартные методы идентификации, в которых для веществ с однотипной функциональной группой подбирается система колонок, обеспечивающая оптимальные условия разделения и позволяющая математически выразить зависимость газохроматографического поведения вещества от его физико-химических свойств. Эта зависимость выражается системой линейных уравнений, связывающих /уд с числом углеродных атомов веществ-гомологов. Бесстапдартпые методы идентификации надежно зарекомендовали себя при анализе сложных смесей неизвестного еостлпа, таких, например, как конденсаты запаха пищевых продуктов, продукты загрязнения окружающей среды и разложения полимерных материалов. Подобные смеси могут содержать по нескольку десятков веществ различных классов. При этом требования к полноте и точности ГХ-данных возрастают, а сроки проведения исследований сокращают- [c.365]

Рассмотрим методику использования принципа максимума для выбора оптимального температурного профиля в реакторе идеального вытеснения максимизирующего функцию F, заданную уравнением (Н,115). Общая процедура решения состоит в том, что вводится система вспомогательных функций -ф,-, которые являются решениями системы линейных дифференциальных уравнений [c.165]

Если система описывается линейными дифференциальными уравнениями и удовлетворяет условиям управляемости и наблюдаемости, то выбор структуры и параметров регулятора, обеспечивающих оптимальное управление системой в соответствии с заранее принятым критерием, составляет задачу об оптимальном линейном регуляторе. В реальных системах обычно не удается выполнить измерение всех необходимых переменных состояния, кроме того, измерения текущих значений переменных состояния всегда дают информацию с какой-го ошибкой, к которой добавляются ошибки вследствие неточн(Зсти действия элементов регулятора. По этим причинам решения задачи об оптимальном линейном регуляторе требуют дополнительного анализа и проверки при создании реальных систем. Несмотря на указанное ограничение, теория построения линейных оптимальных регуляторов может служить основой для более общих случаев, когда состояние систем точно неизвестно. [c.231]

Теорема 8 была доказана в предположении, что если число неизвестных меньше числа уравнений, то система линейных уравнений не имеет решения. Однако такое предположение в реальной ситуащш не всегда выполняется и может случиться, что такая система линейных уравнений будет иметь решение. Тогда при числе критериев, равном к, могут быть эффективными и грани, имеющие размерность больше /с-1. В однокритериальной задаче линейного программирования сказанное соответствует тому, что оптимальным решением задачи может бьггь не только вершина допустимого множества, но и вся грань (т. е. не только грань нулевой размерности, но и грани большой размерности). В этом случае доказывается следующая теорема. [c.45]

После выполнения расчетов по первому плану в распоряжении исследователя появляется первый вариант обобщенного степенного уравнения. Последнее можно применить с целью целенаправленного выбора подач, поскольку на основании (VIII,35) и (11,13) система уравнений стационарности для участников реакции линейна по подачам После расчета точного оптимального плана становятся известными концентрации с,- (или Р,), при которых необходимо провести дополнительные эксперименты. По имеющемуся кинетическому уравнению предсказываемые значения скоростей рассчитываются в точках плана, а затем подачи находятся решением системы линейных уравнений (11,13). Например, для гидрирования фенола (VIII,37) линейная система уравнений относительно подач N + опыта имеет вид [c.216]

ПО J i(0 I 2г/ 522-1 =yVi5w.i есть часть спектра выходного процесса y(t), обусловленная входом X2-i t) после прохождения, его через систему с частотной характеристикой Ь у, определяющей оператор оптимального линейного прогноза процесса y t) по X2. t) Snn=Syy., 2 есть часть спектра выходного процесса y t), обусловленная шумом n(t), который отражает все независимые внешние шумы на выходе, не связанные линейно с вкладом входных процессов X (t) и Хг 1) после прохождения их через соответствующие системы, осуществляющие оптимальный прогноз выходного процесса y t). [c.249]

При выборе метода существенным моментом является размерность задачи. Некоторые методы эффективны при решении небольших задач, однако с увеличением числа переменных объем вычислений настолько возрастает, что от них приходится отказаться. Задачи такого класса обычно встречаются при решении систем уравнений, поиске оптимальных значений параметров многомерных функций. При соответствующем выборе метода можно уменьшить время, затрачиваемое на решение задачи, и объем занимаемой машинной памяти. Так, еслиЛ — число неизвестных решаемой системы линейных алгебраических уравнений, то для точных методов (типа метода Гаусса) объем вы- [c.43]

Для успешного применения Л. п. необходимо точно определить и математически выразить характер взаимозависимости переменных, значения к-рых надо определить ясно сформулировать критерий оценки искомого оптимального результата. Этот критерий имеет особенно большое значение, т. к. план использования ресурсов, оптимальный при одном критерии, может оказаться пеоитимальным при другом. Критериев оптимальности искомого решения может быть множество. В практике планирования такими критериями могут быть, напр. наибольшая рентабельность произ-ва наименьшие издержки произ-ва или наименьшая себестоимость изготовления наивысшая производительность труда наилучшее использование оборудования наименьший срок выполнения задания и т. п. Что касается характера взаимозависимости переменных, то Л. п. предъявляет требование, чтобы эти взаимозависимости были элементарно простыми, так что изменения одних переменных вызывали такие же или пропорциональные изменения других. Такая взаимозависимость переменных выражается системой линейных уравнений. Одно из условий возможности применения Л. п. заключается в том, чтобы все условия задачи (ограничения) можно было выразить системой линейных уравнений или неравенств. [c.397]

Отыскание оптимального плана использования ресурсов методами Л. п. сводится к составлению системы линейных уравнений (или неравенств), в к-рой математически формулируются ограиичения в использовании этих ресурсов, вытекающие из условий задачи, и к решению этой системы относительно всех входящих в нее неизвестных при дополнительном условии приведения к минимуму или к максимуму нек-рой функции искомых неизвестных. Решение таких задач методами Л. п. основано на след, общей идее, позволяющей достичь строгого математич. решения. Избирается пек-рый исходный вариант решения, т. е. нек-рая система значений отыскиваемых переменных X, заведомо не являющаяся оптимальной, но строго соответствующая всем поставленным ограничениям в использовании наличных ресурсов разработка такого варианта обычно не представляет никакого затруднения. Этот вариант подвергается анализу по определенным правилам, к-рые позволяют обнаружить пеоптимальность анализируемого варианта. Признаки неоптимальности устраняются путем систематич. изменения значений X, принятых д. ]я исходного варианта, увеличения одних и соответствующего уменьшения других, в результате чего вариант улучшается, приближается к оптимальному при строгом соблюдении ограничений, наложенных условиями задачи. Полученный вариант вновь подвергается по тем же правилам анализу, к-рый обнаруживает другие слабые места, также устраняемые путем изменения значений X. Такой анализ повторяется до тех пор, пока в полученном варианте пе исчезнут признаки неоптимальности, что будет указывать на достижение оптимального варианта. [c.398]

В рассмотренном примере У1П-2 число ограничений типа равенств было на единицу меньше числа независимых переменных исходной задачи максимизации линейной формы (VIII,21), что позволило получи ь в конечном итоге одномерную задачу, решение которой очевидно. Разумеется, что в обидем случае исключение части независимглх переменных за счет наличии в системе ограничений условий типа равенств может и не привести к существенному упрощению решении задачи. Однако при этом возможно и некоторое уменьшение чис,ла ограничений отбрасыванием более слабых неравенств из общего числа первоначальных и вновь получаемых при исключении рида переменных. Общие замечания относительно решения задачи линейного программирования с ограничениями типа неравенств. Как показано выше, задача с ограничениями ти[[а неравенств и равенств может быть сведена к задаче с ограничениями только типа неравенств, т. е. можно считать, что оптимальная задача сформулирована как задача максимизации критерия [c.421]

Сказанное выше означает, что и решение системы уравнений (УП1,42), оптимизирующее значение линейной формы (УП1,43), может содержать не более чем т значений величин х/ (/ 1,. . ., . . ., п Ь т), которые могут быть отличны от нуля. Это следует нз того, что если, например, в иершипе многогранника условий удовлетворе1гы все уравнения системы (У1П,37а), то дополнительные переменные все тождественно равны нулю и, следовательно, число отличных от нуля составляющих оптимального ренюпия системы (УП1,42) не превышает т. Более того, поскольку разбираются только невырожденные задачи, отличны от пуля в оптимальном решении в точности т значений величин х/. Остальные п тождественно равны нулю. Последнее можно пояснить следующим- рассуждением. [c.425]

Для случая, когда аналитический вид соотношений (IX, 1) и (IX,2) известен и не слишком сложен и если, в особенности, число независимых переменных п невелико, всегда можно с большим или меньшим успехом использовать для решения оптимальной задачи аналитические методы, ио крайней мере, для того, чтобы свести ее решение к решению системы конечных уравнении. Примеры решения подобных задач уже приводились (см. главы III и IV). Кроме того, вьиие также был описан весьма важный класс задач, когда соотношения (IX, 1) и (IX,2) являются линейными, для решения которых применяется математический аппарат линейного программирования (см. главу VIII). [c.480]

Заметим, что число ограничений типа неравенств (IX,26) в постановке оптимальной задачи может быть любым, т. е. меньше и бол1,п1е числа независимых переменных. В качестве примера на рис, 1Х-30, а показано ограничение допустимой области изменения независимых переменных X системой пяти линейных неравенств вида [c.541]

Обратный клапан разгружает компрессор от высокого давления нагнетания при автоматической остановке, а также защищает от прорыва аммиака в рабочее помещение при авариях. Расположенный ниже конденсатора линейный ресивер является сборником конденсата и выполняет две функции сохраняет теплообменную поверхность конденсатора незатопленной и создает запас рабочего тела для компенсации неравномерности расхода жидкости при колебаниях тепловой нагрузки. Автоматическое дроссельное устройство /V постоянно обеспечивает оптимальное заполнение испарителя жидкостью, обычно на уровне верхнего ряда труб. Тепло конденсации аммиака отводится охлаждающей водой, циркулирующей в оборотной системе. Подогретая в конденсаторе вода подается на орошение насадки вентиляторной градирни VII. Охлажденная вода отсасывается насосом VI и подается i трубное пространство конденсатора VIII. [c.174]

В линейном программировании пользуются понятием об опорных решениях. К ним относят такие базисные решения, у которых все базисные переменные являются положительными, так как обычно в задачах линейного программирования нужно, чтобы x >0. Довольно очевидно, хотя может быть и доказано [8], что оптимальное решение совнадает с одним из опорных. Является ли базисное решение опорным, легко установить по виду единичного базиса — системы (VI.31). Поскольку с1 ,. .., <1 определяют значения базисных переменных, то если среди (1 есть отрицательные величины, базисное решение не будет опорным. Можно перейти от такого базисного решения к опорному следующим образом выберем из с1 отрицательное наибольшее по абсолютной величине, и вычтем уравнение для с1 из остальных, включаюпщх отрицательные Тогда свободные члены разностных уравнений станут положительными. [c.202]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология