Среднее значение случайная ошибка оценки

Грубые ошибки из ранжированного ряда исключают, оставшиеся значения используют для определения среднего арифметического случайной величины, дисперсии выборки и нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения. [c.15]

Результаты измерений обычно содержат случайные ошибки, поэтому статистич. оценки вьшолняют только при наличии серии измерений-т. наз. случайной выборки. Для оценки измеряемого значения к.-л. величины или исследуемой зависимости ее от внеш. условий по данным выборки рассчитывают т.наз. выборочные параметры, характеризующие статистич. распределение ошибок в проведенном эксперименте. Такое распределение, как правило, подчиняется т. наз. нормальному закону, конкретный вид к-рого определяют два параметра-выборочное среднее и выборочная дисперсия (см. ниже). [c.323]

Статистические ошибки счета. При использовании счетчика с известной эффективностью счета (см. ниже) измеренное число распадов в единицу времени никогда не равно средней скорости, определяемой основным законом распада, но колеблется около нее с некоторой статистической погрешностью. Это происходит от того, что каждый акт распада является независимым случайным событием. Измеренная интенсивность счета приближается к среднему значению только при очень большом количестве импульсов. Для Оценки точности измерения ограниченного числа [c.140]

При этом разброс вариант х. вокруг среднего х характеризуется величиной стандартного отклонения 8. В количественном химическом анализе величина 8 часто рассматривается как оценка случайной ошибки, свойственной данному методу анализа. Квадрат этой величины 8 называют дисперсией. Величина дисперсии может рассматриваться как мера воспроизводимости 1>езультатов, представленных в данной выборке. Вычисление величин 8 и 8 проводят по уравнениям 9.5 и 9.6. Иногда для этого предварительно определяют значения отклонений и число степеней сйо-боды (число независимых вариант) i [c.270]

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке отдельных факторов, вызывающих изменчивость изучаемой случайной величины. Для этого производится разложение суммарной выборочной дисперсии на составляющие, обусловленные независимыми факторами. Каждая из этих составляющих представляет собой оценку дисперсии генеральной совокупности. Чтобы решить, значимо ли влияние данного фактора, необходимо оценить значимость соответствующей выборочной дисперсии в сравнении с дисперсией воспроизводимости, обусловленной случайными факторами. Проверка значимости оценок дисперсий проводится по критерию Фишера (см. гл. II, 11). Если рассчитанное значение критерия Фишера окажется меньше табличного, то влияние рассматриваемого фактора нет оснований считать значимым. Если же рассчитанное значение критерия Фишера окажется больше табличного, то рассматриваемый фактор влияет на изменчивость средних. В дальнейшем будем полагать, что выполняются следующие допущения 1) случайные ошибки наблюдений имеют нормальное распределение 2) факторы влияют только на изменение средних значений, а дисперсия наблюдений остается постоянной эксперименты равноточны. [c.75]

Правило математической статистики при аналитических работах применяют редко. Прежде всего это происходит потому, что при обычных анализах редко ведут более двух параллельных опытов, а применение правил математической статистики требует большего количества данных. Для оценки метода часто достаточно сравнить средние арифметические данные с данными, полученными при анализе, выполненном каким-либо методом, который принят, как стандартный. В некоторых случаях необходимо более строго сравнить новый метод анализа какого-либо материала с известным надежным методом. Важно установить, в какой мере случайные ошибки укладываются в допуски, установленные для данного материала при его техническом применении. Аналогичные вопросы возникают при обработке данных анализа стандартных образцов. Для точной оценки чувствительности необходимо установить значения колебаний фона. [c.37]

Ахх может иметь как положительные, так и отрицательные значения относительно среднего результата ряда измерений. Случайную ошибку рассматривают, как частный случай случайных величин, которые подчиняются некоторым математическим законам. Статистические оценки случайной ошибки, которые получили наибольшее распространение, — это среднее отклонение ср и среднее квадратическое отклонение 5. [c.233]

Измерения для оценки их достоверности необходимо повторить несколько раз. Если результаты измерений различаются между собой не очень значительно, то можно полагать, что эти различия обусловлены случайными ошибками. В этом случае наиболее вероятным значением измеряемой величины принято считать среднее арифметическое, вычисленное из всех измеренных величин. [c.33]

Формулы (2.41) и (2.42) отражают ту же самую зависимость случайной ошибки от Л , Г и В, что и аналогичные формулы для оценок среднего значения и среднего квадрата из табл. 2.1. Но в этом случае в знаменателе Вг появляется дополнительный член, а именно ширина интервала Ах, а в формуле для систематической ошибки (2.40) Ах стоит в числителе. Поэтому при выборе значения Д с для оценивания плотности всегда [c.52]

Это свойство метода наименьших квадратов объясняется тем, что при его использовании для определения а случайные ошибки измерения отфильтровываются. Действительно, входящие в систему ( -20) коэффициенты Ъц, есть средние арифметические некоторых выражений из наблюденных случайных величин х], uf, а поэтому дисперсия этих оценок значительно меньше дисперсий х], щ. Даже при существенных разбросах Х/, и относительно своих истинных значений оценки Ы , я] , оказываются достаточно близкими к точным величинам Ъц, и если матрица В хорошо обусловлена, то и близки к истинным коэффициентам а,, математической модели. Здесь и далее под близостью двух векторов понимается малость нормы их разности. [c.281]

Случайные ошибки доставляют значительно больше хлопот по сравнению с систематическими, поскольку они обычно возникают от нескольких взаимосвязанных, но неопределенных или неопознанных источников. Там, где выполняют большое число условно идентичных испытаний, получают распределение результатов, среднее значение которых может быть определено статистическими методами, для которых, в свою очередь, необходимо большое число испытаний. Степень достоверности, которая может быть принята для оценки, будет возрастать с увеличением этого числа, однако ясно, что должен существовать компромисс между массой результатов и экономией экспериментальных усилий. [c.18]

Величина случайной ошибки определяется приемами математической статистики. Основной задачей здесь является нахождение наиболее вероятного значения результата и рациональная оценка распределения ошибок, их величины и частоты появления. Это делается заранее, при разработке методики. Оказывается, что если по сравнению с измеряемой величиной ошибки достаточно малы, то при многократных определениях (более 20, причем, казалось бы, в одинаковых условиях) они распределяются симметрично относительно среднего значения и по [c.157]

Каждую подсчитанную среднюю квадратичную ошибку можно представить как случайную величину, т. е. при повторении опыта всегда получают различные числовые значения 5. Поэтому возникает вопрос, как можно установить доверительны интервал для оценки х аналогично доверительному интервалу среднего значения х. Если обозначить верхнюю границу такого интервала о, а нижнюю то / -распределение дает следующие соотношения (ср. разд. 3.3.2) [c.104]

Значения средних квадратичных ошибок при анализе стали приведены в табл. 5.3. Указанные там данные являются результатами долголетней и очень тщательной исследовательской работы Стандартный анализ проб стали и ферросплавов управления по проведению измерений и проверки изделий в Магдебурге. Все эти данные были получены на основании статистической оценки большого числа анализов, выполненных аналитиками на различных предприятиях в течение нескольких лет. Эти значения справедливы только для отмеченных содержаний и типов сплавов. Однако они дают определенные ориентировочные указания об ожидаемой случайной ошибке при исследовании проб другого рода. [c.110]

Из формулы (11,75) следует, что средний квадрат ошибки состоит из двух частей. Первый член правой части является дисперсионной функцией и представляет собой дисперсию О Yi x ] условных математических ожиданий случайных величин У на х . Этот член обусловлен случайным характером входа при фиксированном значении случайного оператора, равном его несмещенной оценке. Из определения дисперсионной функции ползшим [c.125]

Альтернативой статистической оценке качества аналитических данных служит простой и наглядный графический метод Юдена [76, 163, 647], позволяющий легко и быстро оценить качество аналитических результатов и выяснить причины их отклонений от истинных или средних значений. Он позволяет оценить роль систематических и случайных ошибок, а также точность и правильность измерений. Суть его заключается в следующем оценка результатов проводится по двум пробам, линии средних значений которых параллельны осям координат и делят графическое поле на четыре квадранта. На график в виде точек наносятся результаты анализов двух проб для каждого участника эксперимента. Сосредоточение точек к пересечению линий средних значений показывает хорошую воспроизводимость результатов. Если в общей ошибке определений какой-либо лаборатории превалируют систематические погрешности, точки расположены в нечетных квадрантах новых координат, а если в четных — доминирующими погрешностями являются случайные ошибки. Точность определения в этом методе [c.143]

Параметр порог — еще одно средство фильтрации входного сигнала. Он устанавливает такое значение среднего изменения сигнала детектора за интервал времени, заданный параметром ширина, превышение которого система принимает за начало переднего фронта или конец задней ветви пика, т. е. определяет начало и конец интегрирования пика. Задание меньшего значения порога способствует более правильной оценке площади, но в то же время чревато ошибкой принять за пик случайное изменение сигнала. Величина порога задается в виде амплитуды сигнала в единицах счета высоты. [c.141]

Дисперсия сглаженной оценки будет уменьшена в TAf раз. Независимые спектральные составляющие новой оценки будут разделены по частоте величиной порядка Af, имеющей смысл ширины полосы частот спектрального окна. (Возникающая в процессе сглаживания ошибка смещения проявляется в том, что сглаживается и само среднее, при этом узкие детали в исследуемом спектре могут быть утрачены. Для характеристики искажений такого рода часто используют понятие разрешающей способности анализа. Это понятие удобно лишь в применении к анализу линейчатых спектров две спектральные линии считаются разрешенными, если ширина окна меньше расстояния между линиями. При исследовании случайных процессов, употребляя термины разрешение , разрешающая способность , необходимо учитывать следующее. Если ширина полосы частот спектрального окна имеет тот же порядок, ято и ширина самой узкой существенной детали спектра (а не просто расстояние между пиками), то получают малую степень искажения спектра. В этом случае имеет смысл говорить о разрешении деталей спектра, об удовлетворительной разрешающей способности. В дальнейшем мы все же используем термин разрешение , подразумевая не обычное его значение, а просто ширину полосы частот спектрального окна [Л. 34]. [c.91]

Как отмечалось, чем больше случайное отклонение, тем реже оно встречается. Так, маловероятным является появление случайных отклонений, превышающих Зсг, и весьма маловероятным — отклонений, больших 4а. Это обстоятельство используется для оценки значительных отклонений с помощью так называемого критерия грубых ошибок (критерия Райта, называемого иногда правилом трех сигм ). Согласно этому правилу, можно принять, что если в ряду параллельных определений есть результат, отклоняющийся от среднего арифметического на величину, превышающую по абсолютно-му значению За, то есть основание считать, что подобный результат получен в нестандартных условиях и может рассматриваться как промах. Его можно отбросить или обсудить опытные данные, относящиеся к ходу анализа при выполнении данного определения, чтобы выявить обстоятельства, способствовавшие появлению грубой ошибки. Если же рассматриваемый результат отклоняется на величину, большую по абсолютному значению, чем 4а, то соответствующее определение, несомненно, содержит промах. [c.34]

Примечание 6. В процессе моделирования случайные компасные числа создавались, как описано в примечании 8. Во всех случаях предполагалось, что компасные числа подобраны так, чтобы отражать отклонение от ожидаемого значения . Таким образом, все V-критерии можно было использовать обычным образом, рассматривая 0° (отсутствие ошибки) как предсказанное направление. У нас было то же число испытуемых и испытаний , что и в табл. 26.3 у Бэкера. Например, в опыте Бэкера от 20 ноября 1976 г. шесть испытуемых произвели по три оценки направления. При моделировании создавалось шесть наборов, каждый из которых состоял из трех случайных чисел, и эти данные комбинировали (по три одновременно), чтобы получить шесть средних векторов первого порядка. Затем векторы первого порядка объединяли в средний вектор второго порядка, что соответствует данным, представленным Бэкером для каждого из 31 испытаний и определяли вероятность V-критерия для этого среднего вектора второго порядка. По Бэкеру 31 средний вектор можно затем комбинировать двумя разными способами. Во-первых, можно рассчитать большой средний вектор (операция, обозначаемая Бэкером как анализ на уровне 2 ) путем комбинирования 414 векторов первого порядка, как если бы все они были независимыми (они не были таковыми см. примечание 3). [c.411]

Как было показано в разд. 44.3, при измерении какого-либо параметра различными аналитическими методами происходит небольшой,, но неизбежный случайный разброс результатов. При оценке результатов измерений, например, методами, приведенными в разд. 44.7, этот разброс тем или иным образом сказывается на результатах анализа. Из данных по случайному разбросу результатов анализа эталонной пробы можно определить случайный разброс, или точность, метода анализа, а из отклонения среднего значения от известного теоретического найти лравильность, или систематическую ошибку, метода. Если аналогично оценить операции отбора пробы и подготовки ее к анализу, то можно сделать соответствующие выводы о методе анализа в целом. Эти выводы имеют особенно важное значение для аналитической практики, но на их получение тратится много времени, поскольку необходимо осуществить весь ход анализа. Часто соответствующие рекомендации касаются только принципа проведения анализа или в лучшем случае собственно метода [c.461]

Выше уже отмечалось, что набор из п параллельных результатов химического анализа следует рассматривать как выборочную со вокупнрсть неравномерно распределенной случайной величины Однако неравномерность распределения результатов обнаружи вается лишь при достаточно большом числе параллельных анали зов и проявляется в том, что для отдельных групп значений, за ключенных внутри промежутков равной ширины, частота их появ дения оказывается разной. В предельном случае, когда выбранная ширина промежутков равна естественному пределу точности метода анализа, а объем выборки хотя и конечен, но достаточно велик,, все результаты разбиваются на группы дискретных значений, и неравномерность распределения результатов анализа ста-ловится очевидной. Выборочную совокупность результатов такого анализа можно представить двояким образом 1) в виде набора отдельных, отличных друг от друга значений случайной величины, характеризующихся неравномерным распределением в силу своей разнократности 2) как выборочную равномерно распределенную совокупность отдельных результатов, часть.из которых совпадает друг с другом. Очевидно, что математическое ожидание такой выборочной совокупности совпадает со средним арифметическим всех результатов. Следовательно, среднее арифметическое ряда параллельных анализов наилучшим образом характеризует центр рассеяния полученных результатов и отягощено минимальной случайной ошибкой. Естественно, что конечный результат химического анализа, по данным ряда параллельных определений, должен в качестве оптимальной оценки содержать именно среднее арифметическое. Вполне очевидно также, что единицы измерения этой величины совпадают с единицами измерения результатов отдельных анализов. [c.75]

До сих пор речь все время шла об интерпретации результатов измерений аналитического сигиала, об оценке точности становле-ния его величины. Обычно случайная ошибка построения градуировочного графика 0гр по крайней мере в средней его части значительно меньше ошибки измерения сигнала 0. Поэтому конечные. характеристики точности анализа (ширина доверительного интервала, наиболее вероятное значение), выраженные в единицах содержания с определяемого элемента, находят непосредственно из градуировочного графика по приведенным выше соответствующим характеристикам точности определения аналитического сигнала. Если же Огр > аа , то оно должно учитываться при интерпретации результатов анализа, вследствие чего погрешность определения содержания элемента будет больше соответствующей погрешности определения аналитического сигнала. [c.36]

При вычислении ошибок воспроизводимости по формулам (3.16) и (3.17) мы исходим из того предположения, что результаты анализа т проб можно рассматривать как случайную выборку из т генеральных совокупностей. Для вычислений мы объединяем между собой только те пробы, которые можно рассматривать как выборки из таких генералышх совокупностей, которые, несмотря на различные средние значения, имеют одинаковую дисперсию. В этом случае каждое из значений. .., можно рассматривать как оценку для одной и той же генеральной дисперсии. Такое объединение различных по составу проб можно делать, конечно, только в известных пределах —до тех пор, пока ошибка воспроизводимости остается независимой от среднего значения. Без каких-либо дополнительных исследований можно быть уверенным, что это условие во всяком случае выполняется, когда крайние значения концентрации определяемого компонента находятся в отношении 1 3. Для вычисления дисперсии здесь можно объединить результаты анализа, полученные за длительный интервал времени, так как результаты расчетов не зависят от возможного изменения средних значений под влиянием факторов, медленно меняющихся во времени. [c.52]

Ранее уже отмечалось, что оценивание плотности вероятности по формулам (2.6) и (2.7) с использованием интервала конечной ширины Лх и реализации длины Т связано с наличием как систематической, так и случайной ошибок. Систематическая ошибка является следствием конечности Лх, в силу чего формула (2.7) дает среднее значение плотности по интервалу Хо Ах/2. Значение оценки р(хо) привязывается к середине интервала лишь по соображениям удобства. Но в действительности р(хо) не равно р(хо), если только первая производная р(х) по X не равна постоянной, р х)=йр х)1(1хфс. Рис. 2.9 иллю- [c.51]

Закон нормального распределения Гаусса. Определяя понятие случайных ошибок химического анализа, мы подчеркивали, что в отличие от систематических ошибок они не имеют видимых причин. Точнее говоря, ввиду крайней многочисленности отдельных случайных ошибок и незначительности величины каждой из них химик-аналитик сознательно отказывается от выяснения причин и оценки значений индивидуальных случайных ошибок. Ценой этого отказа он получает право изучать и описывать совокупную случайную ошибку и оценивать результаты анализа методами математической статистики, рассматривая их как случайные величины. Аналогичным образом поступает исследователь-фивик, который ценой отказа от измерения скоростей и иапра1Бления движения отдельных молекул газа приобретает возможность статистического описания огромного макроскопического ансамбля молекул — газа как физического тела с помощью усредненных параметров температуры, давления, теплоемкости, энтропии и т. д. В равной мере биолог-селекционер, оценивая продуктивность нового сорта пшеницы путем пересчета числа зерен в отдельных колосьях, сознательно отказывается от выяснения причин того, почему в разных колосьях число зерен неодинаково, и характеризует продуктивность средним числом зерен в колосе и рядом других параметров статистического характера. [c.65]

Напомним, что полученные выражения справедливы для единичных результатов химического анализа. Оценка возможных случайных ошибок среднего результата х проводится с помо-ш,ью параметра а(х) = о/У/г. Таблица функций Лапласа приведена в- Приложении (та1бл. I). Значения доверительных вероятностей того, что случайная ошибка е превышает величин 0 2а и Зо соответственно, равны 0,68, 0,95 и 0,997. Их полезно запомнить. [c.71]

Для небольшого числа повторных измерений уравнения (4-2) и (4-4) непосредственно не применяются, поскольку среднее значение бесконечно большого числа измерений я (оно же действительное значение в отсутствие систематической ошибки) никогда не бывает известно. Взамен вынуждены пользоваться средним малой выборки измерений х. В большинстве случаев х нес солько отличается от ц. Эта разность обусловлена, конечно, случайной ошибкой, возможную величину которой мы и пытаемся определить, Важно подчеркнуть, что любая ошибка в определении х вызывает соответствующую ошибку в величине а [уравнение (4-4)]. Поэтому для малой выборки не только среднее. х отличается от ц, но, что очень важно, оценка стандартного отклонения также может оказаться неверной. Таким образом, мы должны иметь дело с двумя погрешностями, одна из которых заключена в значении среднего, другая — в значении стандартного отклонения. [c.72]

Оценки характеризуются [3, 67, 79] состоятельностью, смещенностью и эффективностью. Состоятельная оценка по мере увеличения объема обрабатываемого статистического материала (количества реализаций случайного процесса или длительности реализации стационарного эргодического случайного процесса) с вероятностью, стремящейся к единице, приближается к характеристике процесса. Оценку называют несмещенной, когда среднее значение оценок для разных реализаций процесса стремится к характеристике процесса. Оценка называется эффективной, если средний квадрат ошибки (разности этой оценки и характеристики процесса) не больше среднего квадрата ошибки других оценок. [c.11]

Размах варьирования особенно подходит для характеристики рассеяния нри выборке малого объема п а 10). При наличии большого числа измерений п > 10) размах варьирования является плохой оценкой рассеяния в генеральной совокупности, так как он (в противоположность средней квадратичной ошибке) учитывает только два значения целой серии измерений. На величину размаха варьирования влияет объем выборки при остающ,ейся одинаковой случайной ошибке R возрастает с увеличиваю-ш,имся числом измерений. При определенных предположениях по размаху варьирования выборки можно получить представление о средней квадратичной ошибке генеральной совокупности (ср. разд. 5.1). [c.31]

На практике чаще всего имеет место нормальный закон распределения случайных ошибок. В этом случае оценкой точности, характеризующей воспроизводимость результатов рентгеноспектрального анализа, является среднеквадрати.чная погрешность о, называемая также стандартным отклонением и определяемая как корень квадратный из дисперсии. Чем выше воспроизводимость анализа, тем меньше 0 и тем ближе отдельные результаты анализа к своему среднему значению, о — это абсолютная погрешность и поэтому характеризует возможную ошибку только при данном конкретном значении результата. Выражая погрешность в долях стандартного отклонения, можно найти вероятность того, что отдельный результат измерения Хг не выйдет за рамки этой погрешности. Такая вероятность называется статистической уверенностью или доверительной вероятностью Р, а выраженный в долях стандартного отклонения интервал называют доверительным интервалом. Между ними устанавливаются следующие связи [c.29]

Воспроизводимость - метрологический параметр, характеризующий разброс результатов анализа относительно среднего значения. Она определяется случайными ошибками, обусловленными действием многих неконтролируемых факторов. Численно воспроизводимость характеризуется либо выборочной дисперсией 8, либо стандартным отклонением 8, либо относительным стандартным отююнением 8г = 8/Х. Воспроизводимость зависит от определяемого содержания элемента и уменьшается с приближением к пределу обнаружения метода. В системе оценки качества вод различного состава (природных, питьевых и сточных) величины случайных погрешностей регламентируются государственным стандартом [124]. [c.28]

Для составления контрольной диаграммы на график последовательно наносят результаты отдельных наблюдений, а затем сравнивают с контрольными пределами, установленными на основании достаточного предыдущего опыта. Например, если практически постоянная средняя х и стандартное отклонение 5 получены, скажем, из 20 наблюдений, то эти значения можно считать обоснованными оценками ц и о для совокупности. Пределы, соответствующие 95%-ной доверительной вероятности, равные 1,96ст, могут быть взяты в качестве контрольных пределов. Вероятность того, что последующее наблюдение случайно окажется вне этих пределов, равна /го. Если рассеяние будет выше, то это будет указывать на неслучайное распределение, т. е. на систематическую ошибку. Если контрольные пределы установлены, исходя из ограниченной выборки, например из 20 объектов, как в приведенном выше примере, то существует некоторая вероятность, что чрезмерное рассеивание вызывается слишком жесткими первоначальными контрольными пределами из-за неадекватных оценок ц, и ст. Для проверки этой вероятности нужно провести новый расчет с большим числом наблюдений. В промышленной практике внутренние контрольные пределы, или предупредительные пределы, обычно равны 1,96а, а внешние контрольные пределы 3,09а. Внешние контрольные пределы соответствуют 99,8%-ной доверительной вероятности, или вероятности, равной 0,002, что точка окажется вне пределов. Половина этой вероятности соответствует высшему результату и половина — низшему. Следует уделить особое внимание одностороннему отклонению от контрольных пределов, так как систематические ошибки чаще вызывают отклонение в одном направлении. Две систематические ошибки противоположного знака, несомненно, вызывали бы рассеяние, но маловероятно, что они действовали одновременно. Необязательно, чтобы контрольная диаграмма составлялась во временной последовательности. В любом случае, когда нужно сравнивать относительно большие числа элементов или небольших групп, контрольная диаграмма является простым средством выяснения отклонения некоторого элемента или группы от прямой. Таким образом, любые лаборатории, производственные агрегаты, методы проверки или отдельные аналитики могут быть представлены в виде горизонтальной последовательности. [c.589]