Функции условной плотности вероятности

Чтобы воспользоваться правилом Байеса при решении задачи разбиения объектов на два класса, необходимо знать аналитический вид и параметры функций условной плотности вероятностей для обоих классов. Обычно исходят из предположения о том, что образам присуще нормальное распределение относительно их среднего по классу. Следовательно, нужно знать средние значения векторов и ковариационные матрицы обоих классов, а также конкретизировать функции потерь, учитывающие эффект ошибочной классифи- [c.15]

Естественно, что точно вычислить оператор А из-за его случайного характера не представляется возможным. Однако можно определить оценку этого оператора А в классе неслучайных операторов, воспользовавшись функцией условной плотности вероятности, т. е. построить представление [c.110]

В пятой главе при рассмотрении общих вопросов проблемы идентификации упоминалось, что в качестве критерия эффективности решения задачи идентификации часто принимается степень согласия расчетных и измеренных данных. В терминах штрафных функций последнее соответствует тому, что наилучшая оценка ищется путем максимизации условной плотности вероятности наблюдения У относительно параметра состояния х [c.467]

Другой полезной функцией является условная плотность вероятности [c.181]

Функция Н(2, (), как видно из выражения (7.4.4.7), представляет собой условное математическое ожидание, не имеющее непосредственной физической интерпретации. В прямых уравнениях Колмогорова искомой функцией является плотность вероятностей соответствующего случайного процесса. Эту функцию можно считать пропорциональной потенциалу физического поля (например, концентрации). Известно [44], что от обратного уравнения Колмогорова можно перейти к прямому уравнению. В данном случае прямое уравнение Колмогорова будет иметь вид [c.668]

Общей динамической характеристикой объекта является условная плотность вероятности случайной функции У з) относительно случайной функции X 1) [c.117]

В выражении (11,54) также обозначены (ж я) — одномерная плотность вероятности случайной функции х в), f (у х — условная плотность вероятности случайной функции (1) относительно ж (х). [c.121]

Теперь, как и в случае уравнений (4.82) и (4.85) длй системы второго порядка при отсутствии модуляции, мы сталкиваемся с задачей вычисления условного математического ожидания. Для этого необходимо знать условную плотность вероятности, а для ее определения необходимо найти решение двумерного уравнения Фоккера — Планка (4.95). Теперь можно рассуждать, как и прежде, в предположении, что условное математическое ожидание является линейной функцией sin ф [c.148]

Итак, волновая функция г з(л , у, г, 1) в каждый момент времени ( определяет, в частности, распределение вероятности местоположений микрочастицы при ее проявлении как целого. Это распределение вероятности иногда называют облаком вероятности или электронным облаком. Условные изображения электронных облаков весьма распространены и очень полезны, в частности, при анализе возможных химических взаимодействий. Распределение плотности в электронном облаке определяет распределение плотности вероятности воз.можных локализаций электрона как целого в различных точках пространства. [c.12]

Упражнение. Обобщите (2.6.8) для случая, когда задано более одного события. Упражнение. Докажите (2.6.9), сначала определив условную вероятность для подансамбля, а затем выведите из нее соответствующую функцию Упражнение. Если событие было зарегистрировано в момент времени то плотность вероятности для регистрации некоторого другого события (не обязательно следующего за ним) в момент времени /(, составляет /з / , Ua)-Парная функция распределения определяется соотношением [c.56]

Условная вероятность / i 11 (гу , ii yi, ti)—это плотность вероятности того, что величина V принимает значение у, в момент времени t-2, если известно, что в момент времени ее значение было у . Сформулируем это по-другому нз всех выборочных функций Y (t) ансамбля выбираем те, которые удовлетворяют условию, что они проходят через точку у, в момент t часть этого подансамбля, попадающая в интервал у. , y. dy. в момент t , обозначают ill (i/2. ., Уу, ii)dy. . Ясно, что вероятность Pj , неотрицательна и нормирована [c.68]

Обозначения в левой части равенства (5 4 2) подчеркивают, что оно изображает условную совместную плотность случайных величин Хт+1, XN При условии, ЧТО ВеЛИЧИНЫ XI,. , Хт фиксированы и равны своим выборочным значениям Чтобы получить полную плотность вероятности, нужно было бы умножить (5 4 2) на совместную плотность величин Х1,., Хт Так как обычно т мало, результат такой концевой поправки будет несущественным, и, поскольку она значительно усложняет функцию правдоподобия, мы ее опустим. Если л г известны, то (5 4 2) рассматривается как функция х, аь. , ат и дает условную функцию правдоподобия этих параметров при фиксированных хи, Хт Логарифмическая функция правдоподобия, таким образом, равна [c.231]

Здесь — условная плотность распределения вероятностей концентрации в турбулентной жидкости, Р - гладкая функция,. 6(5) - функция Хевисайда, т.е. 0(5) = О при 5<0 и В(з)= 1 при 5>0. [c.40]

Точная запись интеграла (2.16), фигурирующего в конвективном слагаемом в уравнении для плотности вероятностей концентрации, как показано в 2.1, содержит большое количество неизвестных функций. Напомним, что в выражение (2.16) входят условно осредненные скорости в нетурбулентной жидкости и < )/, и условно осредненная скорость [c.80]

Обратимся теперь к некоторым из результатов численного интегрирования уравнения (3.74). Они приведены на рис. 3.14 и 3.15. На рис. 3.14 изображена зависимость функции со от параметра т для случая А = 4,75 (т.е. при а/<2 > = 0,21 - значении, характерном для струйных течений). При т = 2,6 (след за круговым цилиндром) имеем со я 0,52. Это значение можно считать достаточно малым. Действительно, из выражения (3.18) заключаем, что основное отклонение условно осредненной скорости от линейной зависимости (3.16) происходит вне интервала 1 1 1/со я 2, т.е, практически вне области основного изменения плотности вероятностей. [c.119]

При этом вместо переходных вероятностей W (xo, Хк) следует использовать функцию (%,х %, х ), определяющую плотность вероятности нахождения макросистемы в момент времени т в состоянии X при условии, что в момент т < г макросистема находилась в состоянии % ( состояние % и состояние х — это состояния макросистемы, в которых наблюдаемая величина принимает, соответственно, значения % и % ). Плотность вероятности (Х, т I Х " 0 можно рассматривать как аналог условных коррелятивных функций, введенных в разделе В.З. [c.277]

Значение нижнего предела интегрирования —оо введено условно для того, чтобы получить непрерывное распределение прочности. Аналогично внутренние напряжения определены плотностью вероятности f(a) и функцией распределения F a). В этом случае вероятность того, что внутренние [c.89]

На закон распределения переменных входа (х) и выхода ty (у) не накладывается никаких ограничений, поэтому выражение (11,12) дает общий метод определения оператора объекта. Воспользуемся функцией условной x(tj плотности вероятности и найдем зависимость некоторых случайных [c.111]

Что представляют собой величины г с точки зрения обычной наглядно- ) сти — непонятно неизвестно также, почему именно корень квадратный из ]] плотности вероятности нахождения электрона в данном элементарном объеме dv дает значение волновой функции г] или так называемой условно амплитуды вероятности . Тем не менее, постулат о фундаментальном значении как т)), так и для всей микромеханики, а значит и для химии остается краеугольным камнем микромеханику называют не только квантовой, но и волновой. [c.17]

Мы видим, что переменные й = +1, =11 2,. .., т, условно независимы при условии ф(72п.л+п ), плотность вероятности — функция рг(й1ф(/ <), ф(Fi+l)), gl — ... кт. Поэтому справедливо равенство [c.117]

Пусть даны вектор наблюдений у = (г/ь у параметр сигнала и условная (апостериорная) плотность вероятности е ( х [ у) и требуется найти оценку х (у) параметра х. Пусть С (х) представляет произвольную функцию, непрерывную почти всюду на действительной оси. Если оценка выбирается таким образом, чтобы минимизировать величину [c.373]

Другими словами, оценкой, минимизирующей среднюю стоимость (С.1), является условное среднее значение при данном наблюдении у. Докажем теперь это утверждение для трех классов функций стоимости при соответствующих ограничениях на плотность вероятности е ( х у). Как будет показано, чем более общим является класс функций [c.373]

В приложении С показано, что если условная (апостериорная) плотность вероятности ш ( г у) параметра при данном векторе наблюдений у симметрична относительно своего среднего значения и унимодальна, то оптимальная оценка для широкого класса функций стоимости равна [c.380]

Из (23) можно получить условную вероятность р( , т о, 0) обнаружить частицу в момент т в точке с координатой , если в момент т = О она находилась на о. Это решение, полученное в [24] в преобразованном по Лапласу виде, содержит полную информацию о случайном движении частицы. По нему можно построить функцию автокорреляции, спектральную плотность распределения мощности колебаний по частотам, вероятность найти частицу в заданной области слоя в течение определенного времени, распределение вероятностей времени первого достижения границы и др. Например, автокорреляционная функция Д(т) выражается через условную вероятность так ь ь [c.55]

Волновая функция % называется связывающей МО. Рассмотрим ее подробнее. На рис. 35, а пунктиром нанесены исходные атомные орбитали и сплошной линией — молекулярная орбиталь, те и другие как функции расстояния от ядер А и В,, а также диаграмма плотности электронного облака. В нижней части рис. 35, а дана условная контурная диаграмма электронной плотности, напоминающая топографическую карту. Орбиталь и электронная плотность ец/ обладают осевой симметрией (цилиндрической), определяемой симметрией равновесной конфигурации (Г) ). По свойствам симметрии орбиталь называют а-орбиталью. В пространстве между ядрами значения. и выше, чем было бы оно для изолированной атомной орбитали. Соответственно выше здесь и плотность электронного облака. Это означает, что для связывающей молекулярной орбитали вероятность пребывания электрона в межъядерной области велика. Отрицательный заряд между ядрами притягивает к себе положительные заряды обоих [c.100]

Следовательно, условная плотность вероятности функции у (t) относительно и ( ) будет также не гауссовой. Регрессия выходной случайной величины относительно входной случайной функции при заданных значениях аргументов в общем случае нелинейна, а корреляция функций и Ь) ш у I) гетероскедастична. [c.438]

Задачи классификации обычно разделяют на детерминиро-вашсыс и статистические. И основном рассматривают случаи,когда имеются только два класса, т.к. задачи с большим числом вслассов можно свести к последовательности задач с двумя классами. Выделяют один из классов А, остальные неисправности включают в класс В Далее находят правило для обоих кла ссов, когда можно выделить класс Б таким образом, чтобы в нем остался один из исходных классов. В случае детерминированной задачи классам А и В соответствуют непересекающиеся области и задача состоит в нахождении этих областей. При решении статистических задач обычно рассматривают функцию условных плотностей распределения вероятностей объектов классов А и В в пространстве выбора решений. Процессу решения с помощью классифицирующих правил должны предшествовать [c.45]

Рассмотрим теперь общие свойства функции Две точки могут лежать либо близко от границ турбулентной жидкости, либо далеко от них. Как установлено в 1.1, эти границы искривлены не а1ишком сильно, и, следовательно, при г/1 О можно пренебречь вероятностью первого события и рассматривать только второе, т.е. наиболыпий вклад в условную плотность вероятностей пп дают события, происходящие в точках, которые находятся глубоко в нетурбулентной жидкости (на расстояниях от границ много больше г). По мере проникновения в глубь нетурбулентной ЖИДК0С1И гармонические колебания давления и скорости экспоненциально затухают, а декремент этого затухания обратно пропорционален волновому числу (Ландау и Лифшиц [1954], Филлипс [1955]). Отсюда вытекает ряд важных выводов. В нетурбулентной жидкости интенсивность мелкомасштабных пульсаций мала, в связи с чем можно считать, что в области с характерным размером порядка г (г/Л0) скорость меняется по линейному закону (это предпо южение нетривиально, так как Яе = о°), т.е. [c.36]

Изложим теперь приближенный метод описания плотности вероятностей концентрации. Метод ос юван на том, что вид плотности вероятностей качественно различен в областях с сильной и слабой перемежаемостью. Следовательно, струи и следы можно разбить на две области. В центральной области, где перемежаемость несущественна, плотность вероятностей описывается гауссовской кривой. Вблизи границ струи или следа, где важна перемежаемость, условная плотность вероятностей концентрации в турбулентной жидкости выражается через функцию Эйри по формуле (3.53). Суммируя, получим приближенное описание плотности вероятностей концентрации и коэффициента перемежаемости в турбулентных струях и следах [c.103]

Искомыми функциями являются условная плотность вероятностей концентрациь в турбулентной жидкости F, коэффициент перемежаемости [c.105]

Более плодотворен подход, использованный в главе 3 при вьюоде уравнения для плотности вероятностей концентрации в турбулентной жидкости. Однако в данном случае возникает другая трудность. Дело в том, что развитый в главе 3 аппарат основан на вьщелении в уравнении для безусловной плотности вероятностей концентрации регулярных и сингулярных (пропорциональных 5-функции) слагаемых. Для решения рассматриваемой проблемы этот аппарат непригоден, так как в выражении для плотности вероятностей разности скоростей сингулярные слагаемые отсутствуют, что обусловлено пульсациями давления, которые генерируют флуктуации скорости в нетурбулентной жидкости. Таким образом, необходимо найти правило, позволяющее из уравнения для безусловной плотности вероятностей Р получить соотношение для условной плотности вероятностей Ptf. Решению поставленной задачи и посвящен данный параграф. [c.146]

В случае двух случайных величин двумерная плотность распределения р(х,у) каждой точке на плоскости ху, окруженной окрестностью О (рис. V. 4), ставит в соответствие вероятность попадания в эту окрестность. Для каждого значения X = хо сечение двумерной плотности распределения дает условную плотность распределения р(у1хо) (рис. V. 5). Исследование многомерных плотностей распределения часто бывает сложным, поэтому, как и в случае одной случайной величины, стремятся воспользоваться приближенными характеристиками этой функции. [c.125]

Основная идея метода, предложенного Иевлевым [1970], состоит в атециальном задании функционального вида выражений для условно осредненных моментов, которые входят в уравнение для любой -точечной плотности вероятностей п > 2). Количество неизвестных функций в этих приближенных выражениях совпадает с количеством уаювий, следующих из всех предельных свойств -точечных плотностей распределений вероятностей (таким условием, например, является стремление к нулю семиинвариантов при неограниченном раздвижении рассматриваемых точек и т.д.). Метод замыкания Иевлева использовался Алексеевым, Иевлевым и Киселевым [1976], Киселевым [1977] при ана шзе вырождения однородной турбулентности в модели Бюргерса, а также в задаче об однородной и изотропной турбулентности в несжимаемой жидкости. В работе Куо и О Брайена [1981] метод Иевлева применялся для описания двухточечной плотности вероятностей концентраций в химической турбулентности (т.е. стохастического колебания концентраций в неподвижной реагирующей среде). [c.67]

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по Sj. Решение уравнения (3.39) выражается через функции параболического цилиндра (см., например, Бейтмен и Эрдейи [1953а]). Поскольку т>, то индекс функций параболического цилиндра > 0. На основании известных свойств этих функций заключаем, что условие неотрицательности плотности вероятностей не выполняется. Такой дефект решения связан с неточностью аппроксимации условно осредненной скорости с помощью линейной зависимости (3.16) в области больших значений 1 s 1. Более тщательное исследование показывает, что корни функции g лежат вне интервала ее основного изменения, а именно при z > Связь между неточностью линейной аппроксимации <и>2 в области больших амплитуд пульсаций концентрации и расположением корней очевидна. Заметим, что вследствие рассмотренного нефизического характера поведения плотности вероятностей в области больших амплитуд пульсаций концентрации она, вообще говоря, не может быть использована для вычисления моментов высокого порядка. [c.95]

Рассмотрим теперь, в какой степени теоретические результаты соответствуют экспериментальным данным. График функции /оо(0> описываемой формулой (3.53), приведен на рис. 3.10. Здесь же нанесены экспериментальные данные Эбрахими, Гюнтера и Хаберды [1977], Бэрча, Брауна, Додсона и Томаса [1978]. Сделаем пояснение относительно обработки этих данных. Поскольку из-за процессов молекулярного смешения и шумов в измерительной аппаратуре плотность вероятностей концентрации размазана на границе фазового пространства 2=0 (см. 1.3), то осуществлялась экстраполяция экспериментальных точек, лежащих вне интервала размазывания" в начало координат (см. рис. 1.17). Построенная таким образом кривая нормировалась и затем определялась условно осредненная концентрация <2. Из рис. 3.10 можно сделать вывод, что соответствие между теоретической плотностью вероятностей и экспериментальными данными вполне удовлетворительное. Результаты, полученные в 5-.1, косвенно подтверждают этот вывод в более широком диапазоне изменения концентрации. [c.100]

Данный параграф посвящен более строгому (чем это было сделано в 3.5) математическому исследованию уравнения для плотности вероятностей концентрации в свободных турбулентных течениях. При анализе используется уточненная аппроксимация условно осредненной скорости (и>2 в области больших амплитуд пульсаций концентрации (3.18). Обсуждаются такие общие качественные свойства уравнения, как особые точки, существование автомодельного решения, постановка краевой задачи. Отмечаются имеющиеся аналогии со случаем статистически однородного поля концентрации, рассмотренного в 3.4. Важную роль в проведенном анализе играют существенно нелокальные свойства уравнения. Показано, что условие разрешимости краевой задачи позволяет найти две неизвестные функции, входящие в замыкающие соотношения. В данном, а также в следующем параграфе (в нем приведено численное решение сформулированной краевой задачи) преследуются две главные цели. Первая — дать обоснование приближенного метода исследования уравнения, описанного в 3.5. Вторая цель - показать на примере уравнения для плотности вероятностей концентрации, что с развитием направления, предложенного в книге, могут быть связаны вполне определенные перспективы построения замкнутой теории турбулентности. По крайней мере в настоящее время удается уменьшить количество произвольных функций по сравнению с полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Заметим, что проведенное исследование сопряжено с большим количеством достаточно громоздких выкладок, а также с использованием ряда неформальных качественных соображений. Материал этого параграфа рассчитан в nepByiQ очередь на такого читателя, которого заинтересует весьма нестандартная математическая структура уравнений для плотностей вероятностей, полученных с помощью теории локально однородной и изотропной турбулентности Колмогорова -Обухова, и те возможности, которые предоставляют такие уравнения (или уравнения с похожими свойствами) в решении проблемы замьжания в теории турбулентности. Остальные читатели могут этот параграф пропустить и сразу перейти к 3.7, в котором приведено численное решение автомодельной задачи и в краткой форме перечислены основные результаты исследования уравнения. [c.104]

С некоторыми ограничениями это правило действует и в общем случае. Действительно, умножим (2.31) на 2яи и проинтегрируем по всем v при onst. В полученное соотношение снова войдут структурные функции, условно осредненные по турбулентной и по нетурбулентной жидкостям, и, как видно из (1.7) и (4.9), в нем будут фигурировать две группы слагаемых, одна из которых пропорциональна а другая г". Так как (w) w, то обе группы слагаемых порознь равны нулю. Следовательно, получим два соотношения, в одно из которьа войдут только структурные функции, осредненные по турбулентной жидкости, а в другое - только структурные функции, осредненные по нетурбулентной жидкости. Очевидно, что замена символа < > на символ 7 < соответствует замене безусловной двухточечной плотности вероятности iP(v, г) на величину jftPtt = (здесь учитывается соотношение (1.4), из которого следует, о 7tt 7 при r/L- 0). Аналогичным образом безусловную трехточечную плотность вероятностейP(v,г, W,//) следует заменить величиной [c.147]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология