Уравнений состояния нелинейность

Рассмотрим нестационарное течение упругой ВПЖ в упругой пористой среде. Дифференциальные уравнения для определения давления при упругом режиме пласта можно получить, дополняя закон фильтрации с предельным градиентом (11.8) (или другую аппроксимацию нелинейного закона) уравнением неразрывности и уравнением состояния флюида и пористой среды. Уравнение неразрывности рассматриваемого фильтрационного потока (см. гл. 6, 3) имеет вид [c.344]

Уравнение типа вход — выход можно получить, исключив координаты состояния из уравнения состояния и из уравнения выхода, т. е. из уравнений (Х-106). При нелинейности системы это не так просто сделать. [c.482]

Чтобы ответить на вопрос об устойчивости стационарного режима химического процесса, необходимо, таким образом исследовать переходные процессы в реакторе, которые описываются системой нестационарных уравнений материального и теплового баланса. Уравнения эти нелинейны и даже в простейших случаях не могут быть решены аналитически. Задачу, однако, можно существенно упростить, учитывая то, что для анализа устойчивости достаточно исследовать лишь малые отклонения от стационарного состояния. Поэтому нелинейные кинетические функции, входящие в уравнения материального и теплового балансов, можно разложить в ряд Тейлора в окрестности стационарного режима и, пренебрегая высшими членами разложения, представить их в виде линейных функций отклонения переменных от их стационарных значений. В результате получаем гораздо более простую систему линейных уравнений, правильно описывающую переходные процессы в области, достаточно близкой к стационарному состоянию. Эту линейную систему в ряде случаев удается решить или исследовать аналитически, определив тем самым общие условия устойчивости процесса. [c.324]

Нелинейные системы. В том смысле и в той постановке, которые изложены выше, проблема построения минимальной реализации может быть сформулирована и для нелинейной динамической системы при ее движении в окрестности устойчивого стационарного состояния. Минимальная реализация, построенная в окрестности фиксированного стационарного состояния, представляет собой линеаризованную систему уравнений движения нелинейной динамической системы в этой окрестности. [c.116]

Методы идентификации нелинейных динамических систем ориентированы на форму представления математического описания системы в виде канонических уравнений состояния. В этом случае понятия весовой и передаточной функций утрачивают тот глубокий смысл, который они несут в случае линейных систем [c.288]

Фильтр Калмана для нелинейных дискретных систем. В качестве примера такой системы рассмотрим многошаговый процесс, который характеризуется нелинейным уравнением состояния и нелинейным уравнением наблюдения, причем как на параметры состояния, так и на результаты измерений аддитивно накладываются чисто случайные шумы. Математическое описание системы имеет вид [c.455]

Исследуем возможность определения кинетических констант нелинейного химического процесса на основе теории оптимальной фильтрации. В данном случае уравнения состояния и наблюдения системы имеют вид [c.462]

П р и м е р [24, 25]. Рассмотрим решение задачи оценки параметров состояния нелинейного химико ехнологического процесса на основе интегральных операторов. Нелинейная динамическая система описывается уравнениями состояния и наблюдения [c.484]

Алгоритм автоматизированного формирования нелинейных уравнений состояния по диаграмме связи [c.198]

Рис. 3.4. Блок-схема общей вычислительной процедуры, формирующей уравнения состояния (линейные и нелинейные) по диаграмме связи

Это уравнение описывает реакцию твердого высокоэластического тела. Разумеется, ири больших скоростях удлинения и значительных деформациях необходимо применять модели нелинейных вязкоупругих тел. Это было сделано Уайтом [56], который использовал модифицированное уравнение состояния ВКЗ (6.3-17), введя эффективные времена релаксации, зависящие от скорости деформации. [c.175]

Vr (г, г). Следовательно, чтобы описать течение, нужно совместно решить Г- и 2-компоненты уравнения движения, уравнение энергетического баланса и уравнения состояния при соответствующих граничных условиях, о довольно сложная задача, особенно при необходимости использования нелинейного уравнения реологического состояния. [c.562]

Чтобы решить поставленную задачу, нужно располагать данными о начальных и граничных условиях, а также подобрать соответствующее уравнение состояния, связывающее напряжения с деформациями. При равновесных условиях и малых деформациях поведение несжимаемых эластомеров можно описать с помощью равновесного модуля упругости, который удается связать с молекулярной структурой. В случае больших эластических деформаций, когда зависимость напряжение — деформация становится нелинейной, задача существенно усложняется. Впервые более или менее корректное уравнение состояния для чисто упругого изотропного материала было предложено Фингером [26] [c.572]

Реология больших однородных деформаций. В самом общем случае реологическое уравнение состояния вязкоупругой нелинейной наследственной среды по Лоджу имеет вид [c.26]

Получив производные фугитивностей из соответствующего уравнения состояния, можно найти критическую температуру и давление или объем путем одновременного решения пары уравнений при определенном составе Х2. Поскольку уравнения нелинейны, для их решения необходимо прибегать к ЭВМ даже при наличии всего лишь двух компонентов. В примере 1.21 показано, как вывести уравнение для бинарной смеси из уравнения Редлиха — Квонга. [c.104]

Моделирование нелинейного поведения материала при этом осуществляется в соответствии с уравнениями состояния, приведенными в предыдущем параграфе, и не отличается от используемых в статике (уравнение (3.54а) для каждого шага по времени At. [c.115]

Решение этой системы уравнений — функция, описывающая поле концентраций компонентов, т. е. их распределение в пространстве и времени. Поскольку рассматриваемые уравнения — дифференциальные, для их решения должны быть заданы начальные и граничные условия. Начальные условия отражают состояние системы в момент, принятый за начало отсчета, а граничные условия определяют геометрические характеристики системы, а также условия ее взаимодействия с окружающей средой на границе раздела. При заданных начальных и граничных условиях рассматриваемая система уравнений становится определенной,так как число неизвестных равно числу уравнений. Следовательно, решить ее в принципе можно. Однако решение связано с большими математическими трудностями, поскольку эти уравнения являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Решение такой системы уравнений возможно лишь численными методами, причем трудоемкость расчетов быстро возрастает с увеличением числа компонентов. К этому следует добавить, что перенос вещества приводит к изменению физических свойств среды и для получения точных решений система дифференциальных уравнений должна быть дополнена уравнениями, описывающими зависимость физических свойств среды от состава. [c.405]

С помощью полученных выражений легко выписать уравнения для изотермы адсорбции и скоростей элементарных реакций на поверхности [72]. При этом энергии активации оказываются линейными функциями степеней заполнения, а теплоты адсорбции линейно снижаются но мере роста покрытия (при отталкивании >0, Вц >0). Линейная зависимость конфигурационных составляющих удельной мольной энтальпии адсорбции и активации от покрытий объясняется тем, что в исходном уравнении состояния двумерного газа учтено только парное взаимодействие между адсорбированными частицами. Если принять во внимание взаимодействие более высокого порядка, можно описать и нелинейную зависимость теплот адсорбции и энергий активации от степеней заполнения. [c.130]

Развитие количественных представлений о свойствах и поведении реальных материалов основано на идее о различных сочетаниях свойств, присущих рассмотренным выше идеализированным средам. Это позволяет построить реологические уравнения состояния, описывающие поведение нелинейных вязкоупругих материалов. [c.103]

Для полимерных систем характерны следующие три важнейшие особенности свойств, которые должны предсказываться реологическим уравнением состояния аномалия вязкости при сдвиговом течении, возможность больших обратимых деформаций и вязкоупругая реакция на внешние воздействия — задержанное развитие деформации и процессы релаксации. Эти свойства обсуждались в разделах 6—8, но по отдельности. Ниже изложены общие принципы и методы совокупного описания этих фундаментальных особенностей реологических свойств полимерных систем, которые рассматриваются как нелинейные вязкоупругие среды. [c.104]

Рассмотрение с в виде суммы ряда производных тензора не является единственно возможным способом нелинейного обобщения дифференциальных уравнений состояния вязкоупругой жид- кости. Используя в качестве исходного тензор < высшие производные можно получать любым способом, обеспечивающим инвариантность уравнения состояния относительно перехода из конвективной системы координат в неподвижную. Так, Дж. Уайт в ряде работ вместо тензоров [А] - ) применяет тензоры получаемые сле- [c.114]

Некоторые конкретные результаты использования операторов разного строения в дифференциальных моделях вязкоупругих сред будут получены в последующих главах и использованы для теоретического объяснения экспериментальных результатов, касающихся напряжений и соотношений между ними при простом сдвиге и одноосном растяжении. Здесь же ограничимся только указанием путей и способов построения нелинейных реологических уравнений дифференциального типа, обобщающих операторное уравнение состояния линейной вязкоупругой среды. [c.115]

Уравнение линейной теории вязкоупругости формулируется для элемента вязкоупругой жидкости. Этот элемент перемещается в пространстве, поэтому для вычисления параметров, относящихся к пространственной системе координат, необходимо использовать соответствующие координатные преобразования. В случае уравнения состояния, формулируемого в виде линейного дифференциального оператора, это приводит к необходимости замены операции частного-дифференцирования иными дифференциальными операторами, более сложными по конструкции, включающими в себя различные линей-, ные и нелинейные операции, выполняемые над компонентами тензоров нанряжения и деформации. [c.167]

Белинский Б. Д., Ярнов В. А. Изоэнтропийное уравнение состояния, нелинейные параметры и молекулярная кинетика жидких бромистого этила и этилового эфира // Применение электроакустики для исследования вещества Сб.— М., 1980.— Вып. 30. - С. 9-20. [c.186]

Система включает следующие подсистемы и пакеты программ (рис. 7.37) пакет проблемно-ориентированных прикладных программ — математических моделей типовых процессов низкотемпературного газоразделения и энергетических подсистем подсистему расчета волюметрических, термодинамических, транспортных свойств и эксергии многокомпонентных смесей легких углеводородов и неуглеводородных газов на основе уравнения состояния Бенедикта—Вебба—Рубина программы пользователя — математическую модель исследуемой ЭТС, включающую модели тех-но.яогических и энергетических подсистем и использующую модули всех остальных подсистем и пакетов методо-ориентирован-ную интерактивную подсистему оптимизации, базирующуюся на методах нелинейного программирования программы методов вычислительной математики, используемых при построении моделей сервисное математическое обеспечение. [c.418]

Следует, однако, заметить, что при использовании большинства стандартных процедур идентификации применительно к химикотехнологическим процессам возникает ряд трудностей. Эти трудности в значительной мере обусловлены тем, что при оперировании в расчетах формальным аппаратом алгебры (который является основным при дифференциально-разностной аппроксимации канонических дифференциальных уравнений состояния) недостаточное внимание уделяется специфике объектов химической технологии и характерным свойствам протекающих в них процессов (неста-ционарность шумов в самом широком смысле, распределенность параметров в пространстве, возможная нестационарность структуры функционального оператора, специфические виды нелинейностей и т. п.). В этой связи представляет интерес разработка вероятностно-статистических методов идентификации, основанных [c.16]

Для анализа устойчивости стационарных состояний нелинейной системы линеаризуем ее вблизи точек стацтонарности с помощью соотношений с = с + с , = где с, —значения концентрации и й-го момента плотности функции распределения соответствующие стационарному состоянию системы с", л/—отклонения этих величии от стационарных значений, которые в линейном приближении полагаются малыми. Опуская члены порядка малости больще единицы, получаем систему линейных дифференциальных уравнений [2—4] [c.332]

Объяснение различий поверхностей ослабления, полученных при различных видах деформирования, приводится в работе Блатца, Шарда и Чоегля [42]. Эти авторы в качестве уравнения состояния при произвольном деформировании предложили обобщенную зависимость энергии деформации. Больщую часть нелинейности они включили в уравнение состояния, т. е. в соотношение между плотностью энергии деформации и деформацией. При этом с помощью четырех материальных констант они [c.74]

Для адиабатического течения вскипающей жидкости и равновесного течения газонасыщенной жидкости предложены баротропические уравнения состояния. Установлены критические условия, разделяющие начальную стадию, когда интенсивность опорожнения полубесконечного трубчатого канала определяется чисто газодинамическими явлениями (инерционными эффектами и процессом адиабатического расширения вскипающей и равновесного расширения газонасыщенной жидкостей) с последующим этапом, когда инерция несущественна. Для двух предельных режимов истечения, когда сила гидравлического трения от скорости потока зависит линейно, и по квадратическому закону система уравнений движения сводится к одному нелинейному уравнению. Построены автомодельные решения для задачи о внезапной разгерметизации канала на одном конце. Кроме того, получены решения, описывающие стационарное истечение кипящей жидкости чере З цилиндрические насадки, а также опорожнение конечного объема через щель. [c.12]

Уравнение состояния Бенедикта является наиболее точным из известных способов определения термодинамических свойств легких углеводородов. Это уравнение слишком сложно, чтобы применять его для непосредственных расчетов равновесия пар — жидкость для каждой данной серии условий необходимо решать методом последовательных приближений систему нелинейных уравнений. Летучести, рассчитанные по уравнению Бенедикта, были использованы Бенедиктом, Веббом, Рубиным и Френдом [6, 71 для построения графиков фирмы Келлог [22]. На этих графиках для ряда постоянных давлений приводятся два коэффициента в виде функции температуры и среднемольной температуры кипеипя паровой и жидкой фаз. Произведение коэффициента для жидкой. ь [c.120]

ВЫВОД имеет особое значение для систем, в которых реагенты не были предварительно перемешаны, так как в этих случаях часто оказывается, что решение линейных уравнений для характеристик течения может в конце концов привести к определению скоростей горения без решения нелинейного уравнения [ ]. Следует указать, однако, что простота уравнения (49) обманчива. Если не сделано дополнительных предположений, то величина pv (которая определяется из уравнения (34) и уравнения состояния с J3 = onst, а в некоторых случаях из приближенного уравнения сохранения количества движения) и величина рЬ могут зависеть от Pi или Рг, так что оператор L неявным образом зависит от р (см. уравнение (45)), и уравнение (49) в действительности оказывается нелинейным. [c.31]

Уравнение (9.42) определяет соотнощение между расходом воды М1 на рассматриваемом участке пароводяного тракта (фиг. 9.4), отбором пара М2 с этого участка, подводимой к зоне испарения тепловой мощностью дгЬт и давлением Рт- Это уравнение является нелинейным, однако для относительно небольших изменений его можно линеаризовать. С этой целью выразим мгновенные значения отдельных величин с помощью их отклонений от начального уста1говившегося состояния Л41 — = Жр + АМ1, Мз = Мо + ДМз, = <7о + Адг, Lm = ,по + А1 [c.337]

Дальнейшее обобщение реологических уравнений состояния требует введения нелинейных функционалов. В общем случае формула (1.105) может быть записана в виде разложения функционала / в ряд,, аналогичный ряду Тейлора для разложения функции. Тогда реологическое уравнение состояния (1.105), записанное в виде суммьь интегральных функционалов, принимает вид [c.105]

В качестве частных случаев общего нелинейного соотношения (1.109) ниже приводятся два реологических уравнения состояния Т. Сприггса с соавторами [c.107]

Модели с изменяющимся спектром могут сочетаться с другими особенностями свойств системы, обусловливающими нелинейность ее свойств. Так, следует учитывать, что реологическое уравнение состояния (1.113), равно как и формулы (1.119) и (1.120), относятся к элементу объема материала, т. е. записаны в конвективной системе координат. Для перехода к иространственной системе координат необходимо пользоваться ойисанными выше формулами, так как это сделано, например, при обобщении интегрального уравнения линейной теории вязкоупругости на случай больпшх деформаций [см. формулу (1.106)]. [c.112]

Дифференциальные нелинейные реологические уравнения состояния. Аналогично тому как реологическое уравнение состояния линейной вязкоупругой жидкости может быть представлено в виде интегрального соотношения (1.79) или в альтернативной форме — Б виде дифференциального (операторного) уравнения (1.104), также и для нелинейной модели вязкоупругого тела возможно ее представление в виде интегральных операторов — наследственных функционалов или в виде нелинейных дифференциальных уравнений состояния с ограниченным числом констант. Основным условием, которое требуется учитывать при построении дифференциальных реологических уравнений состояния, является необходимость использования тензорных величин и их производных по времени, а также согласование систем координат, в которых устанавливаются реологические связи между компонентами тензоров напряжений и ск ростей деформаций. [c.112]

Некоторые выводы. Выше были рассмотрены основные методы построения нелинейных теорий вязкоупругости полимерных систем и приведены примеры реологических уравнений состояния, относящихся к различным группам теорий, причем эти примеры отнюдь не охватывают множество теорий, предлагавшихся в реологической литературе. Здесь не ставилась задача сколько-нибудь полного обсуждения теорий и их сопоставления с экспериментом. Для некоторых теорий это делается в последующих главах книги при сопоставлении экспериментальных результатов с теоретическими предска- заниями. Многие теории с этой точки зрения были рассмотрены Т. Сприггсом, Дж. Хапплером и Р. Бёрдом, а также Д. Богом и Дж. Доухти (см. ссылки на с. 107 и 111). [c.119]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология