Матрицы представления элементов группы

Все сказанное выше можно резюмировать следующим образом. Данной молекуле с некоторой группой симметрии А,В, С,. .. можно сопоставить наборы симметричных функций фь фг,. .., ф , которые каждой операцией симметрии из этой группы переводятся в линейные комбинации этих же функций и которые осуществляют некоторое неприводимое представление, обозначаемое Ё) . Вместо того чтобы применять простое матричное обозначение Н для обозначения матриц, сопоставляемых элементам группы Н в представлении ) , и выписывать повернутые функции, определяемые матричным уравнением (17), в виде [c.353]

В развитии теории групп огромную роль сыграла идея Кар-тана о представлении элементов группы матрицами. Сначала освежим в памяти основные понятия матричного исчисления. Прямоугольной матрицей размером т X п) называется таблица лг X п чисел Ац [1 1,. .., т / — 1,. .., п) элементов матрицы (матричных элементов) [c.61]

Группа матриц, действие которых на базис из данных функций совпадает с действием элементов симметрии на этот же базис, называется представлением точечной группы симметрии в данном базисе. Чтобы продемонстрировать зависимость представления группы от базиса, рассмотрим преобразование -функций операциями симметрии группы Сги (табл. 5.4) и выпишем матрицы преобразований группы Сгв в базисе -функций [c.172]

Размерность матриц, представления равна кратности вырождения уровня энергии и числу линейно независимых вырожденных волновых функций. Кроме того, закон преобразования волновых функций под действием преобразований пространства — элементов данной группы симметрии — легко определяется с помощью матриц неприводимых представлений по формуле (2.14). [c.32]

Напомним, что g, — это элемент группы О. Если порядок этой группы т, то индекс I пробегает значения от I до т. Группа А имеет тот же порядок т, т. е. число матриц типа An(gi) равно т независимо от размерности представления п. Совокупность матриц Аш(дг) (их т) образует группу, совокупность матриц A 2(gг) также и т. д. Таким образом, приводимое представление разбивается на совокупность -(сумму) неприводимых представлений. Можно доказать, что такое разбиение единственно. Группы, образующие неприводимые представления, обозначают Ти. где к — номер неприводимого представления. Среди неприводимых представлений группы всегда имеется одно тривиальное, образуемое одной функцией базиса, инвариантной по отношению ка всем преобразованиям группы. Это одномерное представление называется единичным и обозначается Гь [c.78]

Размерность и вид матриц-представлений зависят от выбора базиса. Совокупность элементов базиса, члены которой преобразуются в функции элементов только этой совокупности может сама быть базисом представления. Процесс разложения базиса на базисы меньшей размерности называется приведением. Приведение заканчивается, если полученные базисы не поддаются дальнейшему приведению тогда они называются неприводимыми. Этим неприводимым базисам соответствуют неприводимые представления (НП) группы симметрии. [c.113]

Таким образом, матрицы представления Г суть унитарные матрицы. Можно доказать, что все возможные представления каждой группы О (в том числе и не обязательно группы точечной симметрии) эквивалентны ее унитарным представлениям, другими словами, при подходящем выборе базиса матрицы любого представления переходят в унитарные матрицы, а потому при рассмотрении представлений достаточно ограничиться лишь унитарными представлениями. Среди всех унитарных представлений всегда есть единичное, или полносимметричное, в котором каждому элементу группы отвечает одна и та же матрица размерности 1 х 1, а именно единица. [c.201]

Таким же образом можно убедиться, что совокупность матриц А( г), найденная по методу (19,4) для всех элементов группы Г, образует представление группы Г, соответствующее уровню энергии Еп. Размерность этого представления равна кратности вырождения уровня Еп- При этом принято говорить, что система собственных функций образует базис для соответствующего представления группы Г. Представление A g), создаваемое собственными функциями, соответствующими одному уровню энергии, обязательно является неприводимым. В противном случае совокупность собственных функций а зпа, соответствующих одному значению Еп, можно было бы разбить на две или более частей, таких, что каждая из функций одной части выражалась бы линейной комбинацией типа (19,4) для всех элементов группы только через функции, относящиеся к данной части собственных функций. [c.86]

Использование теории групп в квантовой механике весьма плодотворно [143]. Например, если ион находится в окружении, характеризуемом группой О, то в этом случае коммутирует с каждым элементом этой группы. Следствием таких коммутационных свойств является то, что элементы группы О можно представить в другой системе отсчета определяемой собственными функциями Ш- Элементы группы О являются абстрактными единицами, которые можно представить квадратичными матрицами так, что произведение двух элементов группы будет соответствовать матричному умножению матриц, которые представляют каждый из элементов. Каждому элементу группы О в данном представлении соответствует одна матрица. Порядок или размер этих матриц может быть произвольным однако, если набор матриц представления О нельзя разбить дальше на матрицы меньшего размера, которые образуют представление [c.72]

Из изложенного следует, что все необходимые сведения о свойствах симметрии определенной группы симметрии содержатся в наборах матриц, образующих неприводимые представления этой группы. Однако эту информацию можно представить в еще более сжатой форме. Определим характер элемента Т рассматриваемой группы, которому соответствует матричное представление как след этой матрицы [см. (4.127)] [c.128]

Необходимо подчеркнуть, что эти функции должны быть нормированы (это указывается двойной вертикальной чертой при записи скалярного произведения). Допустим, что функция ф/ входит в базис неприводимого представления Г) группы С, которому соответствует матрица (ГеС), а функция ф/ входит в базис неприводимого представления Гз, которому соответствует матрица (7еС). Когда оба неприводимых представления совпадают, мы будем считать, что они полностью идентичны, а не только эквивалентны. В более широком смысле будем считать функции идентичными и тогда, когда они по-разному нормированы (поскольку в данный момент нас интересуют лишь их свойства симметрии). Выражение (6.59) представляет собой скалярное произведение (число), поэтому действие оператора преобразования симметрии Т на матричный элемент Му не изменяет его значения с использованием (6.49) можно записать [c.134]

Кроме трех представ лений табл. 3, можно написать бесконечное число других представлений группы. Если выбран ряд из шести матриц типа 5- / (/С) 5, где Я К) — представление элемента К, данное в табл. 3, —любая матрица того же порядка, что и Н, и 5 — матрица, обратная 5, то этот ряд также удовлетворяет со-отношениям, даваемым таблицей произведений. [c.46]

Для другого преобразования симметрии данной молекулы мы точно Так же получим другую матрицу. Перебирая таким образом все преобразования симметрии, т. е. все элементы группы симметрии данной молекулы, можно получить некоторую совокупность матриц размерности /, число которых совпадает с числом элементов в группе. Об этих матрицах говорят как о представлении группы, а совокупность функций грь г] 2, с помощью кото- [c.57]

По формуле (III. 31) нам необходимо знать характеры X(G) представления (приводимого) группы симметрии шара с L = 2 для всех операций G группы Ол. Для первых пяти классов эти характеры легко находятся по формуле (IV. 23) для остальных пяти — из отмеченного выше условия, что каждый элемент этих классов равен соответствующему элементу из первых пяти классов, умноженному на операцию инверсии. Так как при операции инверсии волновые функции базиса с L = 2 остаются без изменения, то характеры соответствующих матриц будут такими же, как и для первых пяти классов. Например, для элемента j, соответствующего повороту на угол л, имеем [c.79]

Мы еще не установили явного вида матриц о[[ (/ ) сейчас мы увидим, что, если не считать некоторых особых случаев, они даются матрицами неприводимых представлений 0" (/ ) точечной группы (я), определенной в 3. Действительно, для того, чтобы совокупность матриц В, " [(/ , +т )]. соответствующих элементам (/ , -Ь Тд) группы ( ), была неприводимым представлением этой группы, необходимо, чтобы произведению двух элементов группы З (я), являющемуся также элементом этой группы, соответствовало произведение матриц, соответствующих рассматриваемым элементам группы [c.108]

Набор матриц R, связанных с элементами группы есть представление (представление вектора) группы которое может быть либо приводимым, либо неприводимым. Левая часть равенства (2.4) не зависит от поворота R если усреднить правую часть этого равенства по g операциям группы, взяв сумму по операциям R и разделив на g, то в силу теоремы об ортогональности представлений (приложение Б, 3) среднее значение будет отлично от нуля лишь в том случае, если представление [c.228]

С помощью понятия базисных функций можно определить понятие прямого произведения представлений. Пусть для двух представлений некоторой группы заданы соответственно два набора базисных функций Га (/ ) с матрицами А и матричными элементами < гк, ф — его базис размерности т а также Гв(/ ) с матрицами В и матричными элементами Ьц1, чр — его базис размерности п. Определим, с помощью каких матриц, т. е. по какому представлению, будет преобра-зовыЁаться набор функций (базис) ф -фй размерности. т-п. Это представление называется прямым произведением представлений Га и Гв и обозначается знаком X , т. е. [c.29]

Группа матриц, действие которых на базис из данных функций (например, р-функций) совпадает с действием элементов симметрии на этот же базис, называется представлением точечной группы симметрии в данном базисе. Табл. 15 умножения элементов симметрии группы С2а справедлива для элементов симметрии и их представлений-матриц. Набор четырех матриц Е, С а, сто образует представление группы С в базисе р-функций. Можно получить представление группы gj, в базисе пяти d-функций. В табл. 18 показано преобразование -функций поддейстнием операций симметрии груп- [c.113]

Рассмотрев все четыре операции в точечной группе 2 , найдем, что полное представление в базисе координат смещения для молекулы НМЫН состоит из четырех матриц размера 12 х 12. Оперирование такими большими матрицами затруднено и требует много машинного времени. Эту задачу можно упростить. Мы здесь не будем подробно обсуждать, как это можно сделать в общем случае, поскольку в следующих главах используется самый легкий и быстрый способ, связанный с применением матричных представлений. Мы просто кратко поясним метод, который приводит малопривлекательные и громоздкие представления операций симметрии к более простой форме [1]. С помощью подходящего преобразования подобия обычную матрицу можно превратить в так называемую б.ючно-диагочальиую матрицу. В такой матрице ненулевые элементы сгруппированы только в квадратных блоках, расположенных вдоль диагонали, проходящей из левого верхнего в правый нижний угол. Например, типичная блочно-диагональная матрица имеет вид [c.199]

Вообще говоря, теория групп представляет собой раздел математики, начало развития которого было положено в 1832 г. Эваристом Галуа в его исследованиях, посвященных решениям алгебраических уравнений. Согласно общему определению, под группой понимается совокупность (набор) произвольных математических элементов, связанных между собой некоторым законом сочетания, который обеспечивает свойства ассоциативности комбинаций [т. е. условие, что А ВС) — АВ)С и т. д.] и замкнутость набора (т. е. условие, что все члены данного набора могут быть получены комбинированием других членов этого набора). Закон сочетания элементов условно называется умножением. Согласно такому закону, для элементов группы можно построить таблицу умножения. Набор матриц, которые подчиняются правилам той же таблицы умножения, что и элементы группы, называется матричным представлением (или просто представлением, хотя под этим всегда понимается матричное представление). Простейшие возможные наборы представлений называются неприводимьши представлениями группы. Характер элемента в некотором представлении — это след матрицы (или ее итур — сумма диагональных элементов), соответствующей данному элементу в рассматриваемом представ- [c.57]

III. Характеры представлений. Сумма диагональных элементов матриц представления для калсдого элемента группы образует характеры представления, т. е. [c.691]

Поскольку представление, соответствующее единичному элементу группы, изображается диагональной eAHHH4Hqn матрицей, то характер этого представления всегда равен размерности представления. Характеры эквивалентных представлений, т. е. представлений, отличающихся преобразованием подобия (Д, 2), совпадают. Характеры неприводимых неэквивалентных представлений взаимно ортогональны [c.691]

Ограничимся рассмотрением только тех представлений пространственных групп, которые получаются из представлений фактор-группы, так как оказывается (см. П.4), что только эти представления содержат колебания, активные в ИК- и КР-спектрах. Представления пространственной группы, выведенные из представления фактор-группы, получаются, если отнести каждый элемент смежного класса [уравнение (40) ] той же самой матрице, т. е. матрице, которая соответствует элементу 7 , в неприводимом представлении фактор-группы. Существует другой подход к этой проблеме. Одна из теорем теории групп гласит, что матрицы представления группы, соответствующие элементам подгруппы, всегда образуют представление подгруппы (не обязательно неприводимое). Группа трансляций есть подгруппа пространственной группы, поэтому мы можем приме 1ить эту теорему к представлениям пространственной группы, выведенным из фактор-группы. Все представления группы трансляций, полученные таким образом, идентичны и равны полносимметричному представлению Г (табл. 8). Это представление соответствует величине х = 0. Этот вопрос упрощается при рассмотрении одномерного случая. [c.71]

Пространственные группы были описаны в предыдущий разделах, где было показано, что порядок трехмернох конечной пространственной группы (при выполнении граничных условий Борна) равен NlN2NзH, где Н — порядок фактор-группы. Вообще говоря, любая операция симметрии пространственной группы представляет собой комбинацию элементов трансляционной и точечной симметрии. Поэтому представление пространственной группы состоит из матриц, которые являются произведениями матричных представлений группы трансляций и точечной группы (положение несколько усложняется, если пространственная группа содержит винтовые повороты и зеркальные отражения) [25, 26]. Представления пространственной группы могут быть одномерныАШ, а могут иметь более высокий порядок, вплоть до Я. Уинстон и Халфорд [37] показали, что след [c.111]

Задачу можно упростить, если учесть следующее обстоятельство, относящееся ко всем пространственным группам, как симморфным, так и несимморфным. Мы знаем, что элемент (7 ,1 + тн) можно рассматривать как произведение Е,Хп) Я,Гн) трансляции решетки ( , 1 ) на операцию (/ , Тн). Матрицу, соответствующую элементу ( , 1 + Тд) в данном неприводимом представлении группы волнового вектора 9 ц), можно рассматривать как произведение матрицы неприводимого представления элемента Е, 1 ) группы (я) ) на некоторую другую, искомую матрицу. [c.110]

Можно найти линейные комбинации коэффициентов Pa ((0> i) которые преобразовались бы по неприводимому представлению данной группы, т. е. найти преобразование подобия, которое разлагало бы представление, даваемое матрицей (i a , еп), на неприводимые представления. Но нас больше интересует вопрос о том, как найти отдельные элементы Paai i),n), которые образуют тензор, связанный с активным>-колебанием. Для этого мы воспользуемся непосредственно соотношением (3.4) и матрицами D( )(A) из приложения В, 2, [c.235]

Смотреть страницы где упоминается термин Матрицы представления элементов группы: [c.65] [c.204] [c.111] [c.204] [c.29] [c.115] [c.203] [c.203] [c.206] [c.212] [c.58] [c.197] [c.690] [c.73] [c.140] [c.65] [c.60] [c.67] [c.81] [c.112] [c.124]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология