Задача о достижении границы

При анализе процессов на катализаторах, свойства которых изменяются под воздействием окружающей реакционной смеси, необходимо знать время прохождения частицей всей высоты слоя. Для этого нужно решить задачу распределения вероятностей времени первого достижения границы. Плотность вероятности <р(т) достижения границы найдена в [24] для диффузионной модели [c.57]

ЗАДАЧА О ДОСТИЖЕНИИ ГРАНИЦЫ [c.14]

Задача о вероятности достижения границ блуждающей частицей может быть решена на основании уравнения Фоккера — Планка. При этом, если частица, достигающая границ интересующей нас области, теряет способность к дальнейшему блужданию, концентрация с или соответственно вероятность w на границах области должны обращаться в нуль. [c.14]

Оно может быть использовано для нахождения времени т (хд), если N хд) определить из уравнений (1.50)—(1.52). При подстановке легко убедиться, что величина т (х), полученная таким образом, удовлетворяет уравнению (1.46) для математического ожидания среднего времени достижения границы области (а, Ь), что доказывает эквивалентность двух методов решения задачи. Для этой величины, полагая, что коэффициент В в уравнении (I. 46) не зависит от х, и используя равенство В—О, будем иметь [c.18]

Заметим, что при использовании второго метода решения задачи должно быть поставлено условие равенства нулю потока диффузии (1.48) на границе а. Окончательное выражение для среднего времени достижения границы Ъ в этом слз ае будет иметь вид [c.19]

Покажем, как ту же задачу о йог лощении частиц зерном бесконечно большой емкости можно решить другим методом. Так как зерно имеет форму шара, уравнение для вероятности W хотя бы одного достижения границы будет иметь вид [c.68]

Наиболее просто эта задача может быть решена при помощи уравнения для вероятности первого достижения границы за время t [см. уравнение (III.14)]. В данном случае вероятность достижения границы будет зависеть только от расстояния между центрами частиц, поэтому уравнение будет иметь вид (III.14) [c.104]

Как следует из 22, определение функции распределения при исследовании распада молекул, а также скорости распада представляет достаточно сложную задачу. Если нас, однако, интересует лишь скорость диссоциации, задачу можно заметно упростить, рассматривая не кинетическое уравнение для плотности вероятности, а сопряженное ему уравнение для вероятности достижения границы области за определенное время. Как и ранее, проиллюстрируем такой подход на примере термического распада двухатомных молекул [10]. [c.128]

Соотношение (У.61) показывает, что для нахождения константы скорости распада иногда (при х 10) можно обойтись без непосредственного нахождения функции распределения р [х, 1), которое является обычно достаточно сложной задачей, и можно решать более простую задачу о среднем времени достижения границы. В общем случае, когда распад не является чисто экспоненциальным процессом, определяемым одной константой, необходимо иметь информацию о высших моментах [c.131]

Так, рассматривая предприятие как сложную систему, включающую определенную совокупность производственных и функциональных подразделений, можно сделать вывод, что для любого производственного подразделения, решающего задачи в границах внутрипроизводственного разделения труда, объективно присущи следующие локальные цели 1) выпуск высококачественных изделий в заданных объемах (для вспомогательного производства — оказание услуг подразделениям основного производства и в необходимых случаях — сторонним организациям) 2) привлечение для достижения вышеизложенной цели оптимальных объемов материальных и трудовых ресурсов [c.88]

Задачи о достижении границ [c.17]

Для физико-химической кинетики важны задачи, связанные с вероятностью достижения частицей границ некоторой области за определенное время. Впервые эта задача была разобрана в связи с опытами Бриллюэна, который определял число частиц, попадающих из раствора, содержащего взвешенные частицы, на стенку, к которой прилипают все частицы, коснувшиеся ее. Теория вопроса была рассмотрена Бриллюэном неточно, правильное решение задачи было дано Смолуховским. В дальнейшем этот же вопрос о достижении границ возник в связи с теорией коагуляции, где необходимо вычисление числа соприкосновений диффундирующих частиц, и в целом ряде других проблем. [c.17]

Задачи о вероятности достижения границ блуждающей частицей могут быть решены на основе уравнения диффузии или эквивалентного ему уравнения Планка—Фоккера. При этом, если частица, достигающая границ интересующей нас области, [c.17]

Вычислим среднее время достижения границы а = О или Ъ I для частицы, находящейся в точке х, расположенной между Ои Ос х< . Для решения задачи примем, что в точку X непрерывно вводятся частицы со скоростью / частиц в секунду. В точках х = О ж х = I поддерживается концентрация с = 0. Концентрация частиц в точке х определится решением стационарного уравнения диффузии, которое дает [c.21]

Более детальный анализ задачи о функции распределения частиц по времени достижения границы может быть проведен на основе уравнения (3.7). Можно, однако, поступить и иначе продолжить вычисление моментов (Д ) для ге 2 и по ним восстановить функции распределения. [c.25]

Покажем теперь, как эту же задачу можно решить вторым методом. В рассматриваемом нами случае сферической симметрии уравнение для вероятности хотя бы одного достижения границы частицей имеет вид [c.32]

Проведем сначала решение стационарного уравнения Планка — Фоккера (2.10), описывающего движение частицы, подверженной действию толчков со стороны окружающих ее молекул, в вязкой среде при наличии внешней силы, и оценим скорость прохождения частиц через потенциальный барьер, а затем покажем, как эта задача может быть решена на основе уравнения для среднего времени достижения границы (4.8). [c.96]

Проведем теперь решение этой же задачи на основе уравнения для среднего времени достижения границы (4.8), которое [c.100]

Костин И. К-, Романовский Ю. М. Примеры асимптотического решения задачи определения среднего времени первого достижения границы многомерным марковским процессом.— Изв. вузов Радиофизика, 1973, т. 16, с. 36. [c.302]

В рамках принимаемых допущений и исходя из выбранного критерия оптимальности методы динамического программирования, ветвей и границ и эвристические обеспечивают выполнение указанных выше требований. Заметим, что методы, аналогичные методам динамического программирования или ветвей и границ, целесообразно использовать как оболочки системы синтеза, дополняя их эвристическими и другими ограничениями при решении конкретных задач. Система синтеза должна во всяком случае учитывать современные достижения в области реализации отдельных процессов и осуществлять поиск оптимального варианта на основе этих достижений. [c.139]

К первой группе относятся сведения о критерии управления и ограничениях. Обычно к системам управления предъявляют различные требования, которые могут противоречить одно другому. Анализ целей, для достижения которых выполняется управление, должен выявить важнейший показатель, подлежащий оптимизации, и допустимые границы изменения остальных показателей. Оптимизируемая характеристика — это показатель качества управления. Допустимые границы изменения других характеристик решения определяют дополнительные ограничения задачи. Иногда путем подходящего подбора переменных управления удается получить выражения для критерия и ограничений в простой форме, что существенно упрощает решение задачи. [c.13]

Задача настройки системы СПИД - получение возможно большего числа годных деталей, обработанных до первой поднастройки системы СПИД. Для решения этой задачи необходимо, чтобы мгновенное поле рассеяния погрешности обработки партии деталей имело определенное положение относительно границ поля допуска (рис. 1.80, а). Размер, к достижению которого необходимо стремиться при настройке системы СПИД, получил название рабочего настроечного размера Ар (рис. 1.80, в). [c.127]

Все эти исследования были выполнены на трехмерных решетках и для других размерностей d. Случай d = , соответствующий цепям, вытянутым вдоль линии, прост. Случай d = 2 физически может соответствовать цепям, адсорбированным на межфазной границе.-Высшие размерности (d = 4,5. ..), хотя они и не соответствуют реализуемым системам, для теоретика тоже представляют интерес. Важным достижением последних 10 лет явилось осознание того, что обсуждение статистических задач в пространстве произвольной размерности и классификация систем в соответствии с их поведением в зависимости от d представляют значительный интерес. Таким образом, при обсуждении свойств полимерных цепей мы будем часто рассматривать d как параметр. [c.39]

Задача выбора планового положения участков планировочных работ, в частности горизонтальных чеков затоплений рисовых систем. Здесь задана, так называемая, карта планировочных работ, т. е. отведенная территория с очерченными границами. Необходимо разбить эту территорию на отдельные участки (чеки), как правило, прямоугольные, с выполнением ряда ситуационных условий и достижением минимума объемов планировочных работ. [c.201]

Для многих вопросов физико-химической кинетики важно знать вероятность достижения частицей границ некоторой области за определенное время. Впервые эта задача была поставлена в связи с опытами Бриллуена он определял число частиц, нопадаюпщх из раствора, содержащего взвешенные частицы, на стенку, к которой прилипают все частицы, коснувшиеся ее. Бриллуеном теория вопроса была рассмотрена неточно. Правильное решение было дано Смолуховским. В дальнейшем задача о достижении границ возникла в теории коагуляции, поскольку необходимо было вычислить число столкновений диффундирующих частиц, и в целом ряде других задач. [c.14]

Однако возможен и второй путь решения этой задачи. Он заключается в решении уравнения для вероятности хотя бы одного достижения границ за время t. Рассмотрим одномерное движение частицы. Обозначим через W х, t) вероятность того, что частица, нахЬдящаяся в момент времени г = О в точке х а <х <, Ъ), за время t хотя бы раз достигнет границ области- х — а или х = Ь. Через v (х, t, )d обозначим вероятность перехода частицы за время t из точки х в интервал ( , d ), предполагая при этом, что она не коснется границы области а или >. Вероятность того, что частица, находящаяся при i == О в точке X, будет находиться к моменту времени t [c.14]

Вопрос о среднем времени десорбции сводится к задаче о среднем времени достижения границы. Однако в уравнении, определяющем среднее время достижения границы, в его обычной форме не может быть учтено наличие поверхностей раздела. Используем поэтому для вычисления среднего времени десорбции метод стационарного потока, о котором шла речь в главе I. Примем, что источники частиц равномерно распределены на сфере радиуса внутри сферического зерна сорбента. Удаление диффундирующих частиц происходит на расстояние б от поверхности сорбента. Пусть за 1 сек вводится / частиц. Через достаточно большое время внутри зерна сорбента и окружающего его диффузионного слоя установится стационарное распределение концентрации вводимых частиц, описываемое следу-Юш,ими уравпспиями [c.76]

По известным значениям Су иг речного стока можно исследовать большой цикл задач стохастической гидрологии (в теории случайных процессов это задачи о достижении границ [Гардинер, 1986]). [c.185]

Для того чтобы сделать возможный определение коэффициентов внутренней диф узии, когда последние маскируются внешней диффузией, а также для описания диффузии в неоднородной среде, автором был предложен новый подход к описанию процессов диффузии /5/, заключающийся в теоретическом вычислении связи среднего времени десорбции с коэф циентами диффузии в ионите и растворе, размером частиц ионита, толщиной эффективного диффузионного слоя в растворе на границе с частицей и другими параметрами. Для экспериментального определения среднего времени десорбции X, как легко видеть, должна быть вычислена площадь на графике зависимости -5 1 от времени, где а(0) - начальное количество ионов в зерне ионита перед десорбцией < )- количество ионов, оставшихся к моменту времени t после начала десорбции. (Начальное распределение ионов предполагается равномерным). Для теоретического вычисления X можно использовать два метода решение уравнения для среднего времени достижения границы, либо метод стационарного потока. Оба метода приводят к решению обычного дифференциального уравнения (в то время как для определения хода кинетики сорбции или десорбции требуется решение более сложного уравнения.в частных производных). Методом стационарного потока эта задача была решена в работе /б/. Здесь мы дадим более простой вывод. Представим себе стационарный процесс диффузии, при котором по всему объему сферической частицы ионита вводятся ионы (а ионов на I см /сек), которые поглощаются на внешней стороне диффузионной пленки. Распределение концентрации тяоъ(с) описывается тогда [c.41]

Перейдем теперь к примепепию уравнений диффузии и случайных процессов к различным физико-химическим процессам. В этой главе мы рассмотрим ряд процессов, связанных с соударением диффундирз ющих частиц в неподвижной жидкости или газе диффузию молекул или ионов к зерну сорбента, рост капель в пересыщенном паре, коагуляцию коллоидных частиц и химическую реакцию, скорость которой определяется диффузией. Теория этих процессов основывается на задаче о диффузии частиц к сфере, которая поглощает всякую частицу, хотя бы раз коснувшуюся ее поверхности. Поэтому рассмотрим эту задачу. Положим, что в начальный момент времени поглощающая сфера радиуса К окружена диффундирующими частицами, концентрация которых вначале всюду постоянна и равна Со и радиус которых мал по сравнению с В. Такой поглощающей сферой в экспериментальных условиях может быть зерно сорбента. Требуется определить число частиц, поглощаемых сферой за определенное время. В главе I мы видели, что имеется два метода решения таких задач. Первый метод основан на решении уравнения диффузии (1.7) или эквивалентного ему по форме уравнения Планка—Фоккера (2.10). Второй метод состоит в решении уравнения для вероятности хотя бы одного достижения границы (3.7). Проведем решение задачи двумя этими способами и покажем их эквивалентность. [c.30]

Следует отметить, что для расхода газа от 10 до 100 м ч при условиях входа в детандер могут также найти применение детандеры ротационного или винтового типа. В настоящее время приобретает особенно большое практическое значение задача снижения границы объемных расходов турбодетандеров. В частности, следует подчеркнуть перспективность работ по быстроходным микротурбодетандерам с диаметром колеса менее 6 сж и скоростью вращения порядка 100—300 тыс. об мин. Такие технические достижения, [c.199]

Вместе с тем даже нри точном вычислении производных эффективность указанных методов с возрастанием п, вообще говоря, должна снижаться. Так, если рассмотреть задачу минимизации выпуклой квадратичной функции для ге = 2 и ге = 100, то достижение минимума потребует в первом случае двух шагов, а во втором — 100 шагов. Ясно, что нет никаких оснований предполагать, что для неквадратпчных функций поло/кение изменится в лучшую сторону. Более строго этот вопрос разбирается в работе [144], где приводится зависимость нижней границы скорости сходимости метода Флетчера — Пауэлла от п. Конечно, это пе значит, что всегда скорость сходимости будет существенно уменьшаться с увеличением п. Решение ряда задач об оптимальном [c.260]

Как уже упоминалось в разд. 1.6, еще в 1909 г. Браун[53] и Кроссли [54] предлагали уменьшить поляризацию газовых диффузионных электродов путем воздействия на них коротковолновым или радиоактивным излучением. После того как появилось большое количество разнообразных дешевых изотопов, а создание работоспособных газовых электродов стало неотложной технико-экономической задачей, следовало ожидать нового интенсивного развития этой идеи. Понятно также, чго вследствие плохой способности молекул Оа к диссоциации (см. гл. VIII) и преобладающей поляризации Оа-электродов необходимо улучшать не столько топливные, сколько кислородные электроды. Соответственно современным достижениям радиохимии успеха следует ожидать скорее всего при введении в состав катодов а-излучателей. Приоритет в области введения а- и р-излучателей непосредственно в зону реакции принадлежит Сальцедо в фирме Ярдни (Нью-Йорк). Прн облучении а- и р-лучами на границе трех фаз или вблизи нее адсорбируются большие количества энергии напротив, т -лучи обладают большой проникающей и очень малой ионизирующей способностью. [c.76]

Классический алгоритм метода квазивариационных неравенств состоит в том, что при фиксированном итерации по Ор проводятся до достижения сходимости [29]. Отсюда следует применимость другого варианта двойственности, рассмотренная вьппе для контактных задач без трения. Здесь также учет кинематических граничных условий, наряду со статическими, ускоряет сходимость итерационного поиска границы площадки контакта и участков сцепления и проскальзьшания. [c.152]

Как было показано выще, скорость поступления ионов в прйэлектродный слой за счет диффузии и лимитируемая ею сила тока при достижении своего предела в условиях данной задачи оказываются припорциональ-ными концентрации определяемого вещества. Следовательно, при соблюдении выщеприведенного равенства эта концентрация будет пропорциональна величине предельного тока. Такой предельный ток называется нормальным диффузионным током Однако рассмотрение уравнения Ильковича показывает, что для соблюдения прямопропорциональной зависимости а = К - С должны быть учтены еще некоторые условия. Коэффициент пропорциональности К является величиной постоянной в условиях данного определения. В соответствии с уравнением Ильковича К=605п . Значение коэффициента диффузии зависит от природы растворенного вещества и растворителя, температуры и физического состояния системы. Величины т и т также зависят от температуры, что связано с влиянием температуры на вязкость ртути и поверхностное натяжение на границе капля — раствор. Кроме того, эти величины зависят от давления, под которым ртуть поступает из капилляра и от диаметра капилляра. Практически это означает, что снятие полярограмм всех рабочих растворов должно производиться при постоянной температуре, неизменном положении груши с ртутью на штативе и с одним и тем же капилляром. [c.256]

Основополагающей в этом отношении следует рассматривать появившуюся в 1960 г. работу Бассета и Хэбгуда, в которой авторы, предположив линейную изотерму адсорбции, вывели уравнение, позволившее рассчитать константу скорости необратимой гетерогенной реакции первого порядка по измеренной экспериментально степени превращения. Теория реакций в импульсном микрореакторе за последние годы интенсивно развивалась как у нас, так и за границей. Были рассмотрены обратимые и необратимые реакции различных порядков как при мгновенном установлении равновесия газ — твердое тело, так и с учетом конечной скорости достижения адсорбционного равновесия в самое последнее время появились работы, в которых учтено также влияние продольной диффузии в потоке и диффузии реагирующего вещества внутрь поры твердого тела на характер протекания каталитических превращений в импульсном микрореакторе. Решение задач в случае нелинейной изотермы адсорбции требует более широкого использования современных методов вычислительной техники. Некоторые результаты, полученные в последнее время с помощью ВМ, описаны в пятой главе. Там же приведены результаты работ нашей лаборатории, в которых показана возможность измерения констант скоростей адсорбции и десорбции в ходе каталитического процесса по форме пиков реагирующего вещества и продуктов реакции. Пока в этом плане сделаны лишь первые шаги, однако в дальнейшем можно надеяться получить интересные результаты по расшифровке механизма сложных реакций, в особенности в тех случаях, когда скорости адсорбционных процессов явлцются лимитирующими. [c.6]