Представления групп при помощи матриц

Размерность матриц, представления равна кратности вырождения уровня энергии и числу линейно независимых вырожденных волновых функций. Кроме того, закон преобразования волновых функций под действием преобразований пространства — элементов данной группы симметрии — легко определяется с помощью матриц неприводимых представлений по формуле (2.14). [c.32]

Доказательство. Без потери общности мы предполагаем, что <7=1, так как в противном случае мы применяем следующее доказательство для каждой компоненты в отдельности. Если граф С — сильно связный, то для каждого подпространства циклов группы цепей С, имеется базис, состоящий из представлений направленных циклов, и в этом случае выполняется (19). Если граф С не является сильно связным, то разбиваем его на сильно связные компоненты /3 = 1,, q . Без потери общности полагаем, что = 2 и что все ребра между компонентами О, и Сз направлены от С , к Если представление ориентированного, но не направленного цикла, появляющееся в матрице соответствует циклу, полностью лежащему внутри С, или С2, то этот цикл может быть представлен с помощью направленных циклов внутри относительно сильно связной компоненты. Следовательно, мы можем предположить, что матрица не содержит представления любого такого цикла. При этом остаются ориентированные циклы, проходящие как через С,, так и 02, и ясно, что они не являются направленными. Представление каждого цикла этого типа содержит - 1 по крайней мере в одном положении, для которого в представлении в матрице любого направленного цикла нет не обращающегося в нуль элемента. Кроме того, такие элементы не могут все аннулироваться другими ориентированными циклами, поскольку полный набор циклов, представляемый столбцами матрицы является независимым. [c.340]

Для другого преобразования симметрии данной молекулы мы точно Так же получим другую матрицу. Перебирая таким образом все преобразования симметрии, т. е. все элементы группы симметрии данной молекулы, можно получить некоторую совокупность матриц размерности /, число которых совпадает с числом элементов в группе. Об этих матрицах говорят как о представлении группы, а совокупность функций грь г] 2, с помощью кото- [c.57]

Прежде всего введем понятие эквивалентных представлений. Допустим, что с помощью некоторого набора базисных функций фь 2, . фр мы получим некоторое представление группы. Произведем над этой системой функций некоторое линейное преобразование типа (П1.22), представляемое матрицей 5 . В результате получим новую систему функций о ), Фр которая может [c.58]

Прежде всего введем понятие эквивалентных представлений. Допустим, что с помощью некоторого набора базисных функций фь ф2,. .., фр мы получим некоторое представление группы. Произведем над этой системой функций некоторое линейное преобразование типа (1Х.22), представляемое матрицей 5 . В результате получим новую систему функций ф, ф2> 1 р> которая может служить базисом некоторого нового представления группы. Можно показать, что в этом случае между матрицами О первого и матрицами О нового представления, полученного при помощи преобразованного базиса, существуют определенные соотношения, а именно [c.253]

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ПРИ ПОМОЩИ МАТРИЦ [c.61]

Представления групп при помощи матриц [c.65]

Представление с помощью одномерной матрицы , при котором всем шести операциям симметрии группы сопоставляется одно и то же число 1, является простейшим среди представлений его называют тождественным. Разумеется, тождественное представление удовлетворяет групповой таблице умножения (табл. 3.1). [c.66]

Если все матрицы представления Г4 группы Сз подвергнем преобразованию подобия с помощью неособенной матрицы [c.24]

Различные инварианты графа представляют собой важные характеристики графа. Инвариант графа — это теоретико-графовое свойство, сохраняющееся при изоморфизме [12]. Характеристический полином матрицы смежности является инвариантом графа, хотя матрица смежности изменяется в зависимости от нумерации вершин. Инвариантом графа могут быть полином, последовательность чисел или числовой индекс. Числовые индексы, полученные из топологических характеристик соответствующих химических графов, называются топологическими индексами. Очевидно, что совпадение всех инвариантов графов G и 02 является необходимым предварительным условием изоморфизма графов О и С . Но это не достаточное условие для изоморфизма. На сегодняшний день невозможно обнаружить общий набор инвариантов, которые были бы способны дать однозначную характеристику графа и тем самым решить проблему изоморфизма [12]. Тем не менее были предложены практические схемы для различения изомеров, в которых одновременно используется целый ряд различных топологических параметров [12]. Недостатком представления молекул с помощью графов является то, что при этом теряются все стереохимические особенности молекулярной структуры. Однако графы все же описывают полную топологию молекулы известно, что многие важные характеристики молекул, такие, как энергия, порядок связи и плотность заряда, существенно зависят от топологии [18]. Поскольку топологические индексы являются численными выражениями определенных топологических свойств молекулярной структуры, не удивительно, что различные топологические индексы в значительной степени коррелируют с физико-химическими и биологическими свойствами разнообразных групп молекул [9, 10]. [c.208]

Качественный анализ проводится по исходному масс-спектру смеси (представленному в виде таблицы-сетки или графиков распределения интенсивностей пиков в гомологических рядах ионов). В этом спектре выделяются положения характеристических групп ионов для общей характеристики смеси (насыщенных, ароматических углеводородов, гетероатомных компонентов, остатков растворителя и т. п.). После разделения перекрывающихся характеристических групп ионов с помощью распределения Пуассона или другим способом производится отнесение этих групп ионов к определенным типам соединений и выбор тех из них, которые будут использованы для количественного анализа. На основании молекулярных масс характеристических ионов и формы распределения огибающих интенсивностей пиков выбираются матрицы калибровочных коэффициентов для расчета количественного состава. [c.93]

Представляет большой интерес вопрос о возможности приведения всех матриц представления некоторой группы к одинаковому квазидиагональному виду. Если прн помощи некоторого ортогонального преобразования координат можно все матрицы представления одновременно привести к квазидиагональному виду, то представление называется приводимым если такого преобразования не существует, то представление называется неприводимым. В случае группы Сз преобразование вида [c.191]

Итак, если у нас имеется некоторый полный набор спиновых собственных функций, то мы можем использовать формулы (3.6.9), чтобы строить неприводимые представления симметрической группы и наоборот, если мы знаем, скажем из теории представлений, матрицы Р для некоторого стандартного неприводимого представления, то мы можем построить теоретико-групповые проекционные операторы [см. формулу (22) в приложении 1П] и с их помощью построить спиновые собственные функции. [c.88]

Таким образом, отдельный член каждой пары вырожденных волновых функций нельзя охарактеризовать с помощью коэффициентов 4-1, сопоставляемых каждой операции группы. Вместо этого вырожденную пару волновых функций следует рассматривать совместно и записывать в виде вектора-столбца. Операции тогда представляют с помощью 2x2 матриц. Сами эти матрицы не определяются однозначно и зависят от ориентации молекулы по отношению к выбранной системе координат, но к счастью, согласно другой теореме теории групп,след, или характер, матрицы не зависит от выбора системы координат. Таким образом, вырожденное представление можно охарактеризовать с помощью ряда значений сумм диагональных элементов для каждого класса операций. [c.232]

При помощи оператора проектирования (4.7.9), соответствующего неприводимому представлению Е, были получены три линейно зависимые функции и потребовались дополнительные действия для построения двух линейно независимых ортогональных друг другу комбинаций. Оказывается, что существуют операторы проектирования, которые сразу выделяют линейно независимые функции базиса неприводимого представления. Согласно теории групп, такой оператор получится, если в формуле (4.7.9) характеры заменить элементами матриц М (/ ) неприводимого представления [c.96]

Оказывается, что можно легко получить сколько угодно новых представлений. Для этого каждую матрицу представления необходимо подвергнуть преобразованию подобия с помощью неособенной, одной и той же для всех матриц преобразования матрицы В. Тогда мы получим новый набор матриц А =ВА,В-. Легко видет что если А,--А = Аа, то и А1-А = Ай, т. е. матрицы А тоже будут представлением группы. [c.22]

Матрицу О можно построить при помощи матрицы В, а матрицу Р — при помощи координат В результате получатся матрицы размерности 10X10 и секулярный детерминант ЮХЮ. Их можно факторизовать с учетом симметрии, как это было проделано на примере воды. Однако легче сначала найти координаты симметрии (выполнить факторизацию по симметрии), так чтобы вообще не пришлось строить больших матриц Р и О. Эта процедура, в сущности, не отличается от построения матриц на симметризованных функциях в задачах, относящихся к теории молекулярных орбиталей. Симметризованные координаты можно получить с учетом локальной и перестановочной симметрии. Координаты / , имеют локальную симметрию Сз и перестановочную симметрию Ог. Эти координаты преобразуются в группе Сзи по представлению Ау. Рис. 16.1 позволяет убедиться, что координаты валентных смещений могут приводить к колебаниям Ау либо Гг. Комбинация, соответствующая представлению А перестановочной группы Ог, приводит к колебанию Ль а комбинации Ву, Вг п Вз дают каждая по одной компоненте колебания Гг. Эти колебания нетрудно записать, пользуясь таб- [c.341]

Можно подойти к понятию о неприводимом представлении несколько иначе. Вспомним, что матрицы, образующие представление группы, были определены с помощью некоторого набора функций. Допустим, таких функций было т. Более того, мы выяснили (см. стр. 28), что при преобразованиях симметрии функции этого набора преобразуются друг через друга, да еще линейно. Может случиться так, что при преобразованиях симметрии т функций исходного набора разобьются на отдельные семейства ( подна-боры ) по /Пь /П2... функций в каждом. Разумеется, при этом общее число функций не изменится, т. е. /П1 И- /П2 Ч-. .. = т. Разбиение на семейства произойдет таким образом, что при воздействии всех элементов симметрии группы функции каждого семейства преобразуются только друг через друга, не затрагивая функций соседних семейств. В этом случае говорят, что данное представление приводимо. Но если число преобразующихся друг через друга функций исходного набора не удается уменьшить, т. е. нельзя раздробить, размельчить исходную совокупность функций, то представление, порождаемое этим начальным набором, называется неприводимым. [c.32]

Характер матрицы преобразования х(С4)= 0. Эту процедуру можно применить и для нахождения характеров операций Сг, и Получаются следующие значения х(Сг)= 2, х(сТгО= 2, % Od)= 2. Дальнейший этап состоит в проверке возможности приведения представления из набора матриц размерности 6 X 6 на неприводимые части при помощи соотношения (П1,3-2). Это не удается сделать, и, следовательно, функция (П1,4-1) не является собственной базисной функцией неприводимых представлений группы. Однако функция — собственная базисная функция, так как характеры I, % i) = 1, х(Сг)= 1, x(< t,)= 1 и x((Td)= 1. Функция 2 принадлежит неприводимому представлению А группы С4 . В то же время мы снова находим, что функции х и у" не являются собственными базисными функциями. Все матрицы, описывающие преобразование комбинации х" у , состоят из двух строк и двух столбцов их характеры равны % Е)=2, х(С4)=0, х(С 2)=2, 5((0 )=2, x(od) = 0. Из таблицы характеров группы С4 и формулы приведения (III, 3-2) следует, что полносимметричное представление содержится здесь следующее число раз [c.77]

При использовании в качестве базиса неполной и неортонор-мированной системы атомных функций (как это обычно делается при решении квантовохимических задач), (3.73) выполнено, если только соответствующие матрицы D будут образовывать унитарное представление группы G. С помощью линейного преобразования (симметризации) всегда можно трансформировать выбранный базис так, что матрицы представления D группы G будут иметь квазидиагональный вид, причем дальнейшее разбиение отдельных блоков D< )(g ) невозможно [c.186]

Поскольку элементы Е, Оу, 02, сГд, С , Сз образуют группу, перестановки [Ру, Р2, 4, 5, о тоже должны образовывать группу ее называют группой перестановок трех объектов и обозначают 5з. О группах, между элементами которых имеется взаимно-однозначное соответствие, говорят, что они изоморфны друг другу. Поскольку группы и Сз, изоморфны, для описания можно воспользоваться изученными выше представлениями группы С30 при помощи матриц, откуда следует, что среди неприводимых представлений группы перестановок трех электронов имеются два одномерных (Ау, А2) и одно двумерное (Е). Из табл. 4.3 видно, что перестановки Ру, Рг Рд четные, а Р2, Рз. нечетные. Сопоставление с табл. 3.9 показывает, что характеры представления А2 равны ( 1) для четных и (—1) для нечетных переста- [c.90]

С помощью понятия базисных функций можно определить понятие прямого произведения представлений. Пусть для двух представлений некоторой группы заданы соответственно два набора базисных функций Га (/ ) с матрицами А и матричными элементами < гк, ф — его базис размерности т а также Гв(/ ) с матрицами В и матричными элементами Ьц1, чр — его базис размерности п. Определим, с помощью каких матриц, т. е. по какому представлению, будет преобра-зовыЁаться набор функций (базис) ф -фй размерности. т-п. Это представление называется прямым произведением представлений Га и Гв и обозначается знаком X , т. е. [c.29]

Рассмотрев все четыре операции в точечной группе 2 , найдем, что полное представление в базисе координат смещения для молекулы НМЫН состоит из четырех матриц размера 12 х 12. Оперирование такими большими матрицами затруднено и требует много машинного времени. Эту задачу можно упростить. Мы здесь не будем подробно обсуждать, как это можно сделать в общем случае, поскольку в следующих главах используется самый легкий и быстрый способ, связанный с применением матричных представлений. Мы просто кратко поясним метод, который приводит малопривлекательные и громоздкие представления операций симметрии к более простой форме [1]. С помощью подходящего преобразования подобия обычную матрицу можно превратить в так называемую б.ючно-диагочальиую матрицу. В такой матрице ненулевые элементы сгруппированы только в квадратных блоках, расположенных вдоль диагонали, проходящей из левого верхнего в правый нижний угол. Например, типичная блочно-диагональная матрица имеет вид [c.199]

Принятые сокращения н. д.—нет данных направление планирования ретро — ретросинтетическое, синт,— синтетическое или прямое способ описания молекулярных структур А — таблица атомов и связей4-двоичное представление важнейших структурных особенностей, Б — матрица смежности+каноническое линейное описание, В — другие способы, Г — символика Хендриксона, Д — матрица электронов связи (СЭ) принцип выбора реакций (трансформаций) эмпирич.— эмпирический или эвристический, механизм — на основании механизма превращения, полуреакц.— на основании комбинации полуреакций по Хендриксону, форм/лог — формально-логический, генератор — математический оператор, с помощью которого осуществляется переход от кода исходных веществ к коду целевого соединения или обратно автоматический или диалоговый режим авт.— автоматический, диал,— диалоговый ФГ — функциональные группы. [c.17]

На основании самых общих представлений о структуре растворов низкомолекулярных веществ в полимерах можно выделить по крайней мере три типа главных структурных элементов, предопределяющих его основные физические характеристики ассоциаты молекул пенетранта с функциональными группами сегментов макромолекул, кластеры молекул пенетранта и статистически распределенные в матрице полимера молекулы сорбата, подчиняющиеся либо закономерностям Генри, либо Флори — Хаггинса. Анализ изотерм сорбции с помощью теорий БЭТ, Флори — Хаггинса, Генри, двойной сорбции , Зимма — Лунберга (см. гл. 8) позволяет установить границы появления и развития этих структурных элементов. Например, кластеры из молекул пенетранта возникают вблизи границ совместимости, ассоциаты молекул — при низких активностях диффузанта и т. п. Если принять, что каждый из указанных типов структурных элементов характеризуется своим локальным коэффициентом диффузии ),, то образование в матрице вторичных структур может и должно приводить к появлению дополнительных составляющих в общем трансмембранном потоке. Так, естественно ожидать, а отдельные эксперименты это подтверждают [47, 86], что кл в кластерах молекул пенетранта выше Д, для статистически распределенных молекул. При коалесценции кластеров в объеме мембраны и образования бесконечного кластера, соединяющего две стороны мембраны, возникает канал , обладающий более высокой проницаемостью ( ) г, кл> 1 )- Образование такого канала происходит при вполне определенной концентрации кластеров (Скл 16%), как это следует из теории перколяции [138]. Поскольку образование кластеров, их разра- [c.72]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология