Волновые функции для электрона в ящике

Если движущийся электрон может находиться в ограниченном объеме, когда все три пространственные координаты могут изменяться в некоторых пределах, за которыми потенциальная энергия возрастает до бесконечности (трехмерный потенциальный ящик), то уравнение Шредингера распадается на три отдельных уравнения, соответствующих каждой пространственной координате. Кинетическая энергия электрона, обусловленная его движением вдоль каждой координатной оси, выражается соотношениями вида (1.20), в которые входят квантовые числа п , Пу и п.2. Волновая функция электрона в трехмерном потенциальном ящике определяется тремя квантовыми числами, а полная кинетическая энергия равна [c.16]

Волновая функция электрона, находящегося в таком потенциальной ящике, как мы знаем, представляет собой систему стоячих волн, длина которых X изменяется пропорционально удвоенной ширине потенциального ящика а и обратно пропорционально порядковому номеру уровня их энергии п [c.92]

Существуют экспериментальные доказательства того, что частицы обладают собственным механическим моментом (если частица заряжена, то с ненулевым механическим моментом связан и ненулевой собственный магнитный момент). Величина собственного (спинового) момента количества движения равна Ув (в + 1)Й, где спин з — целое (включая нуль) или полуцелое положительное число, определяемое природой частицы. Для большинства элементарных частиц (электроны, протоны, нейтроны и др.) 5 = 1/2 для фотона 5=1 для я - и К-мезонов 8 = 0. Проекция собственного момента количества движения частицы на фиксированную ось г определяется как т Й, где /и, — одно из значений в ряду —5, —5 + 1..... — 1,8. Если з = 1, то возможные значения есть —1 О 1 если 5 = 1/2, то т, может принимать два значения —1/2 и 1/2. Внутреннее состояние частицы данного типа может отличаться по значению переменной Таким образом, полное квантовомеханическое состояние частицы определится заданием волновой функции гр ( с, у, г) и спинового числа т,. Для частицы, движущейся в потенциальном ящике, требуется задать квантовые числа Пх, пу, и спиновую переменную т, — всего четыре переменных. Возможны 28 + 1) состояний с заданной функцией гр (л , у, г), отличающихся по ориентации спина (переменной т ). [c.157]

Однако расчет Брегера и Жуховицкого, проводимый ими применительно к металлу, недостаточно убедителен. Расчет построен на утверждении, что точки поверхности, занятые адсорбированными молекулами, являются узловыми точками, в которых волновые функции для остальных (оставших ся свободными) электронов обращаются в нуль. Это утверждение, которое авторами никак не мотивируется, само по себе не является очевидным. Действительно, в случае одномерной модели, рассматриваемой Брегером и Жуховицким (металл как цепочка атомов), узловая точка у волновой функции означает наличие непроницаемого для электрона потенциального барьера. Таким образом, потенциальный ящик с плоским дном, наполненный свободными электронами и изображающий собой металл, оказывается перегороженным непроницаемыми стенками, число которых равно числу адсорбированных молекул, В действительности же, однако, приближение газовой молекулы к поверхности металла сопровождается воЗ никновением не потенциального барьера, а, наоборот, потенциальной ямы, как это подробно проанализировано в работе Полларда . [c.376]

Рис. 2.2. Волновые функции и плотности вероятности для первых четырех решенш задачи об электроне в потенциальном ящике.

Уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие вышеперечисленным условиям не при всех значениях постоянной Е, а только при некоторых ее значениях, которые назы ваются собственными. Каждому собственному значению эне ГИИ Еп соответствует собственная волновая функция x pnix, у, z). В качестве примера решим уравнение Шредингера для простейшего случая движения свободного электрона в одномерном потенциальном ящике длиной L с бесконечными стенками [c.22]

Для простоты рассмотрим сначала одномерный ящик. В трехмерном ящике волновая функция может быть представлена как, а в одномерном ящике — как F(x). Частица должна быть какой-либо реальной частицей, такой, как электрон, а волновая функция — функцией, определяющей реальную частицу. Такую функцию называют хорошей функцией, или функцией класса Q. Вообще говоря, она должна быть непрерывной, конечной и однозначно определенной во всем пространстве. [c.52]

Волновая функция Ч " является функцией переменных х, у, г, / , и ф, и энергия Е содержит как трансляционную энергию атома, так и энергию электрона по отношению к протону. Целью преобразования в новые координаты является возможность разделения переменных. В принципе, это разделение производится тем же способом, как и в описании поведения частицы в ящике. Однако в этом случае алгебраические преобразования несколько более сложны. Как обычно, можно предположить, что общая волновая функция ( /2/-0ф) выражена произведением двух волновых функций, например [c.61]

Для получения правильных волновых функций линейных сопряженных полиенов можно с успехом использовать так называемый метод свободного электрона (волновая функция частицы в одномерном ящике). Предположим, что тс-электроны движутся в ящике длиной а, которая [c.614]

Рис. 5. Вид волновых (функций и уровни энергии электронов в потенциальном ящике ( пот— потенциальная энергия). [c.13]

Р и с. 45. Контурная диаграмма относительного распределения заряда двух электронов с координатами Ж), в линейном ящике размера . Пространственная волновая функция антисимметрична (триплетное состояние). [c.298]

ВОЛНОВЫХ функций не будут различаться при рассмотрении модели прямой трубы. Когда же распределение электронов образует искривленное облако, соответствие между этими двумя приближениями менее очевидно. В качестве крайнего примера такого случая мы рассмотрим трехмерное распределение свободных электронов в виде, типичном для п-орбиталей бензола волны свободных электропов в модели тороидального ящика. Мы сравним собственные значения энергии и собственные функции для различных параметров ящика (в частности, для тангенциальных возбуждений) с соответствующими значениями одномерной модели. [c.122]

Модель потенциального ящика можно успешно применить к бензолу и с ее помощью легко вычислить спектральные переходы, однако затруднительно представить эту модель наглядно в плоскости рисунка. Соответствующие шести углеродным атомам шесть энергетических уровней легко получить, если учесть, что волновая функция каждого уровня с более высокой энергией имеет на один узел больше, чем предшествующая. Это показано на рис. 2.6. Каждый из энергетических уровней фг и фз соответствует двум вырожденным (обладающим равной энергией) волновым функциям, которые различаются положением узловых плоскостей. Молекула стабильна, так как все шесть я-электронов можно разместить на связывающих орбиталях. [c.29]

Покажите, что решение задачи об электроне в потенциальном ящике, имеющем форму куба со стороной I, приводит к тем же результатам (квантование энергии), что и решение с помощью уравнения бегущей волны [см. (2.4)—(2.7)1. В этом случае волновые функции будут иметь такой же вид, как и для стоячей волны. [c.49]

Простейший случай связанного движения электрона поддается анализу и без уравнения Шрёдингера. Предположим, что движение совершается так, что электрон может перемещаться вдоль отрезка длиной I, причем на концах этого отрезка потенциальная энергия V возрастает до бесконечности, а во всех остальных точках отрезка равна нулю. Такая модель движения называется потенциальным ящиком, потому что электрон не может выпрыгнуть за пределы отрезка I. Энергия электрона с точки зрения классической механики может изменяться непрерывно, а с точки зрения квантовой механики должна изменяться порциями, т. е. дискретно. Волновая функция электрона должна на концах отрезка обращаться в нуль, так как вероятность найти электрон в области, где потенциальная энергия бесконечно велика, равна нулю (рис. 10). Рассмотрение движения электрона в потенциальном ящике показывает, что энергия электрона может изменяться лишь скачкообразно, и уровни энергии определяются целым числом п. Действительно, кинетическая энергия электрона Е равна [c.82]

Решение волнового уравнения для атома водорода включает три квантовых числа п, I и nti (ср. с решением для трехмерного ящика), каждое из которых имеет определенный набор разрешенных значений. Решение, найденное для конкретного набора п, I и rni, называется собственной функцией и соответствует одной атомной орбитали водорода. Полное графическое изображение решения волнового уравнения будет, таким образом, четырехмерным, с тремя пространственными координатами (декартовыми X, у. Z или полярными г, 0, ф) и четвертой координатой — функцией Ч . Поэтому волновую функцию Ч часто разделяют на три составляющие, каждая из которых — функция только одной пространственной переменной при использовании полярных координат электрона по отношению к ядру волновая функция принимает выражение [c.26]

ПОМОЩИ модели потенциального ящика (й), структурных формул, снабженных изображениями волновых функций (б), и, еще более упрощенно, при помощи классических структурных формул (в). Существенно, что возбужденный электрон сохраняет свой спин изменение спина строго запрещено (см. также раздел 2.3). [c.28]

Модель потенциального ящика для бутадиена можно построить так же, как для этилена, но с тем отличием, что четырем атомам углерода и соответственно четырем волновым функциям и четырем я-электронам будет отвечать потенциальный ящик длиной г+1)1 = 51. [c.28]

Очевидно также, что картина электрона в стационарном состоянии (т. е. квантованный энергетический уровень) резко отлична от нашей обычной картины движущегося тела, в том смысле, что существует вероятность нахождения электрона в различных точках, расположенных на протяжении пути от одной стенки ящика до другой, и согласно которой движение электрона вообще не выявляется при рассмотрении самих волн. Однако можно воспроизвести кажущееся движение электрона с помощью волн, и мы кратко наметим способ, каким это может быть сделано. Как было отмечено выше, для наших целей обычно можно пренебречь зависимостью волновой функции от времени, но для описания движущегося электрона необходимо принимать во внимание эту зависимость. Не входя в детали, мы можем отметить, что это осуществляется умножением на рд — энергия состояния nkl, t — время и i = V . Согласно хорошо известной теореме теории функций [4], [c.51]

Физическая природа делокализованных состояний, аналогичных реализующимся в неупорядоченных полупроводниках и диэлектриках, во многих отношениях подобна природе состояний электронов проводимости. В рамках моделей частиц в поле случайного потенциала такие электронные состояния интенсивно исследуются теоретически [34, 35]. Модельные расчеты показывают, что существует такое значение энергии электрона, выше которого реализуются делокализованные, а ниже — локализованные состояния. В отличие от волновых функций, описывающих движение в ящике с плоским дном , волновые функции, [c.15]

С простейшей точки зрения считается, что кристалл металла содержит свободно движущиеся электроны, пронизывающие решетку из ионизированных атомов. Такую модель можно описать количественно с помощью квантовомеханических методов, используемых при рассмотрении частицы в ящике. При этом пренебрегают структурой металла и учитывают только, что она создает квадратную потенциальную яму, ровную во всем куске металла, но резко поднимающуюся на его границе. Решение уравнения Шредингера для случая такого потенциала приводит к волновым функциям вида [c.96]

Поскольку электрон не может выйти за пределы потенциального ящика, вероятность его пребывания на границах ящика, определяемая квадратом волновой функции, равна нулю, т. е. [c.107]

Квантовомеханическое рассмотрение частицы в ящике. Наиболее простой задачей, которая связана с задачей движения электрона в атоме, является отыскание волновой функции электрона, движущегося вдоль оси X, причем электрон не выходит за пределы интервала длины а. Потенциальная энергия V принята равной пулю внутри этого интервала а и равной бесконечности вне этого интервала. Примером такой системы может служить атом, в котором электрон заключен в небольшом объеме. Этот простой расчет поясняет многие особенности более сложных квап-товомеханических расчетов. [c.493]

Из этого уравнения видно что энергия электрона дискретна, т е существует ряд допустимых значений энергии отличающихся друг от друга на определенные интервалы кванты энергии Проме жуточные значения энергии невозможны так как величина п долж на быть обязательно целой В соответствии с различными значе ниями квантового числа п электрон обладает энергией отвечаю щей определенному уровню энергии (рис 1 1) Исключение значе ния п = 0 соответствует невозможности обращения энергии элект рона в нуль Этот результат является общим и для более сложных квантовых систем, энергия которых даже при абсолютном нуле температуры не обращается в нуль, а имеет некоторое нулевое значение Существование нулевой энергии частиц находящихся в ограниченной области пространства согласуется с корпускуляр но волновой природой микрочастиц и соотношениями (1 3) При к = О обращается в нуль импульс частиц а следовательно, и его неопределенность Поэтому условия (1 3) для частиц локализо ванных в ограниченном пространстве, становятся невыполнимы Если движущийся электрон может находиться в ограниченном объеме когда все три пространственные координаты могут изме няться в некоторых пределах, за которыми потенциальная энергия возрастает до бесконечности (трехмерный потенциальный ящик), то уравнение Шредингера распадается на три отдельных уравне ния, соответствующих каждой пространственной координате Ки нетическая энергия электрона, обусловленная его движением вдоль каждой координатной оси выражается соотношениями вида (1 20) в которые входят квантовые числа п, Пу и п.2 Вол новая функция электрона в трехмерном потенциальном ящике определяется тремя квантовыми числами а полная кинетическая энергия равна [c.16]

В разд. 3.8 упоминалось о том, что электрон, движущийся с моментом mv, имеет длину волны А, = himv. Это можно представить волновой функцией для чисто синусоидальной волны с длиной, равной sin 2пх/к или os 2пх1К в области О ж а. Барьеры х = Ои х = а не позволяют частице выйти за пределы ящика. Следовательно, вероятностная функция для данной частицы, равная квадрату волновой функции, при ж = О и х —а должна превращаться в нуль. Таким образом, косинусоидальные функции отпадают (поскольку при а = О они равны единице). Кроме того, отпадают все синусоидальные функции, кроме тех, для которых sin 2па/% обращается в нуль, а для этого необходимо, чтобы величина, равная 2а/Я, была целочисленной величиной и (/г = 1, 2, 3,. . . ). [c.284]

Р и с. 44. Контурная диаграмма относительного распределения заряда двух электронов с координатами Ж), Х2 в линейном ящике размера Ь. Пространственная волновая функция симметрична (синг.тгетное состояние). Видно, что частицы стремятся быть на возможно более близких расстояниях друг от друга. [c.298]

Как уже говорилось (см. разд. 1.1), отдельные электроны атома могут быть выражены волновыми функциями г] поведение такого волноподобного электрона можно сравнить со стоячими волнами, которые могут возникать в струне, закрепленной у обоих концов, — модель электрона в одномерном ящике . Первые три вида возможных колебаний показаны на рис. 12.1. [c.384]

Для атома водорода решение уравнения Шрёдннгера является возможным и не особенно трудным. Интерес представляет не сам метод решения, а результат, но все же отметим, что метод решения весьма напоминает тот, который был использован для описания поведения частицы в ящике (у атома водорода ящик — это объем пространства с наклонными потенциальными стенками ). Граничные условия, налагаемые на волновую функцию в этом случае, следующие а) однозначность, б) непрерывность, в) стремление к нулю в бесконечности, так как размеры атома должны быть конечны, г) нормированность, т. е. равенство единице суммарной вероятности (определенности) нахождения электрона в объеме атома. [c.26]

В первом издании данной книги, публикованном 22 года назад, я попытался упростить преподавание общей химии путем возможно более полного увязывания фактического материала описательной химии и наблюдаемых свойств веществ с теоретическими принципами, особенно < теорией атомного и молекулярного строения. Такая связь с теорией была усилена во втором издании и еще больше расширена в третьем. Наиболее важные для современной химии теоретические разделы — это строение атомов и молекул, квантовая механика, статистическая механика и термодинамика. В этой книге я пытался ясно и логично представить их развитие применительно к химии. Принципы квантовой механики изложены на основании длины волны электрона по де Бройлю. Квантовые энергетические уровни частицы в ящике выведены при простом допущении, что представления о волнах де Бройля относятся и к стенкам данного ящика. В книге не рассматриваются попытки решения волнового уравнения Шрё-дингера для других систем, однако волновые функции водородоподобных (одноэлектронных) атомов приведены и разобраны дрвольно подробно обсуждаются также квантовые, состояния для ряда других систем. [c.7]

В результате перекрывания волновых функций я-электронов при сопряжении двойных связей возникает единая коллективная система электронов, охватывающая цепь полисопряжеиия. Делокализация электронов по цепи сопряжения сопровождается уменьшением внутренней энергии системы, т. е. выигрышем энергии — энергии сопряжения. Отсюда вытекает представление о металлоподобно-сти сопряженной системы, положенное в основу квантовомеханического расчета по методу потенциального ящика, или свободного электрона, предложенному Полингом и Шмидтом -а впоследствии примененному другими исследователями - . Согласно этому методу система 0-связей рассматривается как остов, или скелет, молекулы определяющий ее форму и размер. Причем принимается, что потенциал я-электрона бесконечен в любой точке, лежащей вне пределов скелета молекулы в пределах же остова молекулы он имеет конечную величину. Электроны свободно движутся в пределах одномерного потенциального ящика , ограниченного цепочкой а-связей. [c.26]

В каждом случае число узловых поверхностей остается постоянным следовательно, теоремы, связывающие число узловых поверхностей (и узловых областей, которые они разделяют) с величиной энергии [20], нельзя использовать непосредственно. Порядок энергетических уровней реагента и продукта различен единственно потому, что меняется форма узловой поверхности, что в свою очередь вызвано изменением формы молекулярной системы. Луч1ие всего это проиллюстрировать на примере реакции сжатия прямоугольного ящика . На рис. 4.10 показана природа трех наиболее низких уровней для частицы в ящике при такой реакции. Корреляционная диаграмма, сохраняющая симметрию или антисимметрию по отнощению к горизонтальной и вертикальной плоскостям симметрии, совпадает с диаграммами, предсгасленными на рис. 4.1 и 4.3 для двух запрещенных по симметрии реакций. В данном случае контролирующим фактором является кинетическая энергия частиц. В горизонтальном ящике низшей паре электронов соответствует одна синусоидальная волна, заполняющая весь яшик, тогда как амплитуда и плотность второй пары, волновая функция которой должна быть ортогональна первой, делится на две части вертикальной узловой плоскостью. Ее кинетическая энергия увеличивается, но она была бы еще выше, если бы эта пара перешла на, ретью орбиталь, которую можно представить как два тонких ломтя, разделенные горизонтальной узловой плоскостью, причем большая кинетическая энергия вертикального движения не компенсируется низкой кине-тичесгег чнергией горизонтального движения (рис. 4.11,6). Вторая орбиталь 1).3. . >.цает более низкой энергией в результате того, что кинетическая энергия частицы усредняется по двум направлениям (рис. 4.11,а). По мере протека> ия реакции пара электронов переходит с этой орбитали на другую. [c.121]