Уравнения малых колебаний

Применяя известную из курса теоретической механики теорему об изменении кинетического момента, напишем дифференциальные уравнения малых колебаний вала [c.363]

Уравнения малых колебаний [c.27]

Несложно произвести вывод и запись уравнений малых колебаний кристаллической решетки. Рассмотрим потенциальную энергию кристалла, атомы которого слегка смещены из равновесных положений, и выразим ее через смещения атомов и (п). Конечно, следует помнить, что энергия кристалла, вообще говоря, зависит от координат всех частиц, его составляющих,— атомных ядер и электронов. [c.27]

Уравнения малых колебаний квантового кристалла [c.153]

Уравнение малых колебаний в подъемной трубе жидкости как одного целого будет иметь вид [c.156]

Уравнение, которому подчиняется функция q t), есть уравнение малых колебаний [c.297]

Нам, однако, не представляется целесообразным ставить задачу поиска точных решений линеаризованных уравнений, описывающих малые колебания системы, а не реальные автоколебания с учетом нелинейности исходных уравнений. Фактически лишь из этой полной системы нелинейных уравнений процесса можно будет найти условия, определяющие реальные частоты устанавливающихся автоколебаний, т. е. численные значения параметра ax Llg. Приведенный выше анализ подтверждает справедливость достаточно грубой оценки (П. 16) порядка величины собственных колебаний частот кипящего слоя и дает некоторые качественные объяснения наблюдаемых на опыте закономерностей [c.73]

Для иллюстрации рассмотрим течение под действием внешнего давления, подверженного малым колебаниям во времени. Течение изотермическое, следовательно, описывается с помощью уравнений (5.1-5) и (5.1-18). Положим дp/дt и д рь) д1 равными нулю и сформулируем сначала задачу так, как если бы процесс был стационарным, т. е. положим АР постоянным и независящим от времени. [c.116]

Емкость, в которую жидкость поступает по одной трубе, а сливается по другой при малых колебаниях расхода, может служить еще одним примером апериодического звена. К уравнению апериодического звена или системы первого порядка, как уже отмечалось в гл. И, при определенных допущениях сводится описание процессов изменения угловой скорости вала двигателя. При этом постоянная времени двигателя выражается через момент инерции его ротора. [c.81]

Если решается задача о колебаниях турбулентного потока несжимаемой среды при малых амплитудах расхода и перепада давления, то амплитудно-фазовую частотную характеристику можно определить по формуле (10.29) тогда, когда по условию (9.72) частоты колебаний являются большими. При этом корректив ХрР получается близким к единице, а корректив вычисляют по формуле (9.66). Для более низких частот, а также для приближенных расчетов амплитудно-фазовая частотная характеристика линии при малых колебаниях турбулентного потока может быть определена по линеаризованному уравнению (10.24). Безразмерную скорость U, в этом уравнении удобно заменить числом Re,, характеризующим установившееся движение среды, на которое накладываются малые колебания потока. Принимая [c.267]

Рассмотрим малые колебания такого физического маятника под воздействием потока пара, т.е.считаем угол малым. Тогда давление струило можно принять постоянным. Система имеет одну степень свободы, и уравнение Лагранжа 2-го рода для обобщенной координаты будет иметь вид. [c.31]

Здесь величина dx dt равна направленной внутрь объема нормальной скорости границы — v. Для малых колебаний с частотой oj, в случае, когда средняя скорость по нормали равна нулю, величина р на границе определяется уравнением (33), в котором [c.296]

Развитие весьма малых отклонений от устойчивого состояния вплоть до образования пустот или пузырей не может быть исследовано аналитически, так как задача становится трудноразрешимой из-за нелинейных членов, входящих в уравнения движения. Кроме того, как выяснял Джексон, проанализировав роль этих нелинейных членов, не гарантировано, что развитие малых колебаний обязательно приведет к образованию пустот или пузырей. Данная задача может рассматриваться также с иных позиций, а именно с точки зрения устойчивости уже образовавшегося пузыря. [c.101]

Нас будет интересовать чисто колебательное движение, т. е. движение атомов в потенциальном поле, которое определяется данным электронным состоянием молекулы. Уравнения движения составляются обычно в системе естественных колебательных координат <7/ (изменения равновесных длин связей, величин валентных углов и т. д.), число которых равно числу колебательных степеней свободы системы из Л -частиц, т. е. 3 N — 6 ЗМ — 5 для линейных молекул). Координаты (/г, характеризующие отклонение конфигурации молекулы от равновесной и для равновесного состояния обращающиеся в нуль, описывают состояние отдельных частей молекулы. Для малых колебаний (порядка сотых ангстрема) они линейно связаны с декартовыми координатами смещений атомов из положений равновесия, поэтому кинетическая энергия колеблющихся атомов записывается в обобщенных импульсах р1 сопряженных координатам <7, в виде квадратичной формы [c.170]

Обсудим законы дисперсии малых колебаний квантового кристалла. Считая, что все переменные величины в уравнениях (8.23) и (8.24) зависят от координат и времени посредством множителя [c.157]

Если обозначить через и х, I) смещение (по перпендикуляру к оси Ох) точки струны с абсциссой х в любой момент времени то уравнение свободных малых колебаний струны имеем вид [c.227]

Значит, F x) является нелинейной функцией, и это определяет конечную амплитуду автоколебаний. Если рассмотреть малые колебания резонатора при х < для стационарных автоколебаний кожно получить уравнение [c.130]

В случае малых колебаний лагранжевы методы предыдущих параграфов приводят к выводу о наличии присоединенной массы, из-за чего удлиняется период свободных колебаний, но затухания колебаний они не дают. Первое теоретическое исследование затухания свободных колебаний, вызванного вязкостью, было выполнено Стоксом в 1850 г. При этом Стокс пренебрегал конвекцией, что обосновано в случае достаточно малых колебаний, и линеаризовал уравнения движения. Вследствие этой линеаризации он получил логарифмический декремент определяемый как логарифм отношения амплитуд последовательных колебаний), который не зависит от амплитуды. Мы кратко изложим схему вычислений. [c.228]

Следует отметить, что хотя скорость реакции сильно зависит от температуры, однако с увеличением V растет и V, поэтому константа равновесия К в отличие от констант скоростей кик [см. уравнение (2.44)] меняется сравнительно мало. Колебание величины Е для различных реакций в не очень больших пределах означает и сравнительно небольшое варьирование температурного коэффициента скоростей реакций, что отвечает правилу Вант-Гоффа. Из уравнения (2.49) следует также, что чем больше энергия активации, тем значительнее влияние температуры на скорость реакции. С другой стороны, малое изменение энергии активации сильно изменяет скорость процесса. [c.222]

Некоторым авторам, применявшим [73] трехканальную напускную систему при регистрации малых колебаний изотопных отношений, удалось исключить систематическую ошибку за счет интерференции изотопных пиков посредством метода двух стандартов . Неизвестное отношение /1//2 определяли, исходя из двух уравнений, полученных в результате сравнения исследуемого образца с каждым из двух стандартов. Единственное требование этого метода - идентичность газовых потоков стандартов и образца. Этот метод исключает ошибки, связанные с наложением посторонних ионов неизвестного состава на масс-спектр измеряемых изотопов. [c.150]

В гармоническом приближении теории малых колебаний молекул вековое уравнение [c.130]

Далее рассмотрим движение простейшего симметричного упругого ротора с одинаковыми цилиндрическими подшипниками со сплошной жидкостной смазкой (см. рис. 2). Пусть т.1 = = /П2 — масса каждой из цапф с прилегающими участками вала и 2/Пз — масса расположенного посередине ротора колеса также с прилегающей к нему частью вала. Тогда система ротора представляется схемой рис. 24, а, где т = гпз, или схемой рис. 19, где к массе т — при помощи упругой связи присоединена дополнительная масса гпъ. Малые колебания масс ротора описываются уравнениями (12) гл. I и (15) гл. II, в данном случае [c.92]

Следует указать на другой путь, который также позволяет определить свойства активированного комплекса. Будем считать, что в процессе превращения молекула проходит через ряд квазиравновес-ных конфигураций и, следовательно, к ней можно применять теорию малых колебаний. Изменяя изотопный состав субстрата и учитывая характеристичность некоторых частот, можно получить на основе теории малых колебаний необходимое число уравнений для определения зависимости силового поля от конфигурации реагирующей молекулы. Именно таким путем Уманский и Бахрах [47] для реакции рекомбинации двух -СНз-радикалов нашли зависимость силовой постоянной /Ср, определяющей внешние деформационные колебания ш(ИСС), от расстояния между СНд-группами. Полученный результат свидетельствует о быстром падении /Ср с увеличением расстояния между СН -группами. Уже при г (С---С) более 2,5 А можно принять /Ср = б. Если предположить, что в активированном комплексе г (С- - С) равно 4,5 -ь- 5,5 А (см. 7), то частоты внешних деформационных колебаний, которые являются наиболее существенными в данном случае, не зависят от /Ср, а определяются только кинематическими коэффициентами и изменяются, как показал расчет, в интервале 95—125 см . Рассчитанный таким образом спектр активированного комплекса позволил авторам работы [47] получить соответствующую опыту температурную зависимость константы скорости рекомбинации -СНз-радикалов при высоких давлениях. [c.30]

Разность термов непосредственно дает волновое число Гд. Реальную молекулу можно представить в виде гармонического осциллятора только при малых колебаниях Аг. С увеличением амплитуды колебания ангармоничность делается все заметнее. Связи в молекуле не могут растягиваться беспредельно, и после достижения этого предела молекула начинает диссоциировать. Сжатию связи молекула сопротивляется сильнее, чем растяжению. Для двухатомной молекулы истинный ход изменения потенциала можно описать функцией Морзе (рис. 5.15), тогда уравнение (5.3.7) становится более общим [c.219]

Известная трудность возникает при сравнении опытных данных с теоретическими расчетами. Дело в том, что если в опыте установилась некоторая частота и амплитуда колебаний, то это практически всегда означает, что в системе возникли автоколебания, т. е. явление, описываемое нелинейными соотношениями. В то же время замеренные в этих опытах частоты и даже относительные амплитуды колебаний будут нередко сравниваться с теоретическими соотношениями, справедливыми лишь для линейных нроцессов. Такое упрощение возможно потому, что рассматриваемый ниже тип автоколебаний близок по своему xapaitTepy к малым колебаниям, описываемым линейными системами уравнений. [c.23]

Допустимость использования предположения об идеальности газа для получения исходной системы уравнений (3.1) не является очевидной. Строго говоря, следовало бы показать, что пренебреженье вязкостью и теплопроводностью не вносит существенной ошибки в результаты анализа. Здесь этот вопрос не будет рассматриваться более подробно. Следует лишь указать, что более тщательный анализ, произведенный Мерком ), по сути подтверждает справедливость такого допущения. Им было показано, что учет вязкости и теплопроводности лишь незначительно искажает картину малых колебаний в ближайшей окрестности зоны теплоподвода и не сказывается сколько-нибудь существенным образом на концах трубы, т. е. в сечениях, для которых записываются краевые условия. Влияние вязкости и теплопроводности на изменение энтропии должно быть более существенным. Однако в дальнейшем изложении поток энтропии и его возмущения почти не будут играть роли при анализе процесса возбуждения акустических колебаний. [c.31]

Как видно из (Х.87), в широких порах (когда рц велико) термо-иеханический эффект мал. Это означает, что даже малые колебания давления могут заметно осложнять его наблюдения. Поэтому большая часть исследований термоосмоса выполнена на тонкопористых телах. В этом случае, однако, неприменимо условие h h , принятое при выводе уравнения (Х.83). Здесь можно, однако, использовать другое упрощающее предположение, а именно полагать значения ДЯ постоянными по всему сечению тонкой поры, т. е. использовать некоторое среднее эффективное значение ДЯ onst. Для той же модели щелевой поры при использовании параболического распределения скоростей вместо (Х.82) получим [c.326]

Теория малых колебаний многоатомных молекул в ее гармоническом варианте была создана независимо М. А. Ельяшевичем [60—62, 64] и Е. Б. Вильсоном [424—426], давшими уже в первых своих работах как правило выбора координат, так и методы составления и решения уравнений. Впоследствии эта теория была подробно изложена в монографиях [32, 35, 427], которые до сих пор являются основой почти всей современной спектрохимии. В последние годы эта теория получила свое дальнейшее развитие в применении к полимерам [48—51] и интенсивностям полос поглощения [32, 46]. [c.24]

А ][т], где [т], так же как и [А ], — квадратная симметричная (т = т ,) матрица Л -го порядка (порядка числа степеней свободы), называемая матрицей кинематического взаимодействия. Решение характеристического уравнения обычно проводится с помощью ЭВЦМ по программам, имеющимся в каждом вычислительном центре. Более удобны программы, учитывающие специфику задачи о малых колебаниях реальных молекул, включающие в себя также все операции по предварительным вычислениям нахождение элементов матрицы кинематического взаимодействия, перемножение матриц [К и [т], вычисление нормированных форм и смещений атомов [52—56]. [c.25]

Решение. Дли зависимости от времени и коордннат малых колебаний около состоянии (р) О уравнение . )2.9) в длинных воли (Нк< ру) принимает вид [c.231]

Теоретические и экспериментальные исследования показали, что основной механизм гибкости цепных молекул с А — 10—40 А — поворотная изомерия. Однако существует ряд н<есткоцепных макромолекул с А —100—1000 А, для которых главный механизм гибкости цепи проявляется через малые колебания углов внутреннего вращения и валентных углов. Было показано 115], что для жесткоцепных макромолекул, в которых осуществляются лишь малые колебания углов внутреннего вращения около полонадния равновесия, зависимость размеров и таких макромолекул от длины сегмента и от контурной длины описывается формулой для персистентной модели цепи (см. уравнение 1.31). Тем пе менее при очень больших молекулярных массах такие цепи могут становиться гауссовыми цепями. [c.29]

Рассмотрим теперь полные уравнения колебаний трехмернога кристалла, элементарная ячейка которого содержит <7 атомов. Будем нумеровать различные атомы в одной элементарной ячейке с помощью индекса 5 и обозначим через из (п) вектор смещения -го-атома в элементарной ячейке с номер-вектором п, т. е. атома (п, з). Тогда функцию Лагранжа малых колебаний кристалла можно записать в виде [c.81]

Описывая колебания кристалла, мы исходили из классических уравнений движения атомов (или молекул), расположенных в узлах кристаллической решетки. Но хорошо известно, что внутренние движения в системе взаимодействующих атомов или молекул должны описываться не классической, а квантовой механикой. Поэтому на первый взгляд может показаться, что классическое описание колебаний кристалла является слишком грубым приближением и с самого начала следовало бы исходить из квантовых законов. Однако малые колебания идеального кристалла представляют собой тот редкий случай физической системы, квазиклассическое рассмотрение которой приводит к результатам, совпадающим с таковыми при строго квантовом рассмотрении. Это связано с тем, что механика малых колебаний кристалла эквивалентна механике системы независимых гармонических осцилляторов. А классификация состояний и расчет энергетического спектра гармонического осциллятора на квазиклассическом уровне, как известно, являются квантовомеханически точными. [c.119]

Из (5.94) следует, что при малых смещениях ядер относительно положения равновесия зависимость U г) с достаточно хорошей точностью может быть заменена уравнением симметричной параболы. Иными словами, малые колебания двухатомных молекул могут рассматриваться как колебания гармонического осциллятopa. [c.87]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология