Системы случайных величин

Если результаты п экспериментов изобразить в виде точек на плоскости с координатами X а У, то получим корреляционное поле (рис. V. 4). Центром этого поля является точка М с координатами Мх к Му, причем математическое ожидание каждой из этих величин определяют по ее значениям в п опытах независимо от того, какое значение принимала в каждом из опытов другая величина. Полной характеристикой системы случайных величин является многомерная плотность распределения, которая определяет плотность [c.124]

Системы случайных величин. В практических приложениях теории вероятностей и математической статистики очень часто приходится иметь дело с задачами, в которых результат эксперимента описывается не одной случайной величиной, а двумя или более случайными величинами, образующими систему. [c.20]

Т. е. плотность распределения системы равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему, а это значит, что случайные величины Хи Y независимы. Таким образом, для системы случайных величин, подчиненных нормальному закону, равенство нулю коэффициента корреляции свидетельствует не только о некоррелированности, но и о независимости случайных величин, поэтому важность роли коэффициента корреляции как показателя связи в этом случае существенно возрастает. [c.25]

Определим условные законы распределения /(у х) и /(х у) по формулам (1.91) и (1.92) для системы случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения (1.101) [c.26]

При расчете надежности системы газоснабжения применяется методический подход, заключающийся в переходе от вероятностного процесса спроса на газ к системе случайных величин, имеющих однотипный закон распределения. Для этого весь исследуемый период разбивается на равные интервалы, на каждом из которых детерминированная составляющая спроса практически постоянна. Характеристики надежности системы рассчитываются для каждого интервала в отдельности, а затем усредняются. Средний недоотпуск газа потребителю для моментов, соответствующих состоянию отбора газа, равен математическому ожиданию положительной разности величин потенциально возможной производительности [c.162]

Ошибки при физических измерениях бывают двух видов. Первый, относительно простой,— это случайные ошибки. Второй вид, который трудно обнаружить и с которым трудно иметь дело,— это систематические ошибки, т. е. ошибки, связанные с изучаемой реакцией или используемым методом. Типичной причиной последних может быть наличие вторичных реакций, зависящих от концентрации и температуры. В этом случае ошибки связаны с самой природой изучаемой системы и величина ошибок, проистекающих из игнорирования вторичной реакции, не случайна, а непосредственно свя-вана с состоянием системы. Ошибки, обусловленные наличием вторичных реакций, встречаются наиболее часто при кинетических измерениях. [c.82]

В качестве функций используются ортогональные полиномы Эрмита, Чебышева и Лежандра. Тогда, если система функций т) , является полной, неизвестная плотность распределения р случайной величины представима в виде [c.182]

Таким образом, для успешного решения задачи определения функции распределения времени пребывания в реакторе необходимо огрубление истинной гидродинамики процесса, позволяющее оценить суммарное влияние всех многообразных действующих факторов на перемешивание потока. Здесь приходит на помощь основное свойство распределений случайных величин, выражаемое центральной предельной теоремой теории вероятности. Согласно этой теореме, распределение случайной величины, подверженной влиянию многочисленных слабых факторов, должно быть близко к нормальному закону. Установления распределения, близкого к нормальному, следует ожидать в достаточно протяженных системах, где элемент [c.207]

Среднее время безотказной работы резервированной системы равно математическому ожиданию случайных величин [c.63]

Рассмотрим применение аппарата математической статистики, позволяющего определить точечные и интервальные оценки случайных величин, для ТД парового котла и конденсатора некоторой ХТС [66]. На рис. 4.2 изображена принципиальная схема системы ТД парового котла. Рассмотрим следующие щесть причин возникновения отказов, соответствующий характер проявления этих отказов, а также требуемые измерения переменных состояния котла и параметров его работы [c.81]

Идеи, изложенные в работе [141], развиты в работах [142— 146] применительно к полумарковским управляемым процессам. Полумарковский, или процесс марковского восстановления, как его иногда называют [120], сочетает в себе свойства марковских процессов и процессов восстановления. Длительности пребывания в каждом состоянии для системы, отображаемой этим процессом, являются случайными величинами, и управление (стратегия) этим ироцессом также осуществляется в случайные моменты времени. [c.97]

Вероятность безотказной работы системы (элемента) в течение заданного интервала времени можно записать как вероят- ность попадания случайной величины на заданный участок. Для нормального закона распределения времени безотказной работы эта вероятность выражается формулой [c.192]

Регрессия. Зависимость между случайными величинами полностью определяется условной функцией распределения. Для системы двух случайных величин условная функция распределения fix, у) является функцией двух переменных и т. д. Использование условных функций распределения в практических случаях затруд-HI тельно. Поэто.му на практике обычно пользуются условными средними ту и условными дисперсиями Оу . Зависимость дисперсии [c.130]

Рассмотрим семейство случайных величин Л(т), т О, зависящих от параметра времени т. Условимся говорить о некоторой физической системе, возможные состояния которой обозначены целыми числами 1 = 0, 1, 2,. .., и интерпретировать А х) как состояние системы в момент времени т. Для системы кристаллов в качестве случайной величины может выступать характерный размер кристалла а(т ), который принимает дискретные значения Оа,. .., а . В этом случае распределение вероятностей N (х) для Л(т) по состояниям а,, 02, .., Яи есть ничто иное, как плотность распределения кристаллов по размерам. [c.134]

Процессы адсорбционного равновесия носят статистический характер, поэтому одним из возможных путей решения задачи теоретического обоснования существующих уравнений изотерм адсорбции является использование вероятностного подхода, причем в качестве критерия правдоподобия описания используется информационная энтропия [80]. Согласно информационному принципу максимальной энтропии [79], достоверная отображающая функция распределения, которая содержит наибольшую информацию о результатах измерения случайных величин, должна обладать максимальной энтропией. По одному из положений теории объемного заполнения адсорбент характеризуется предельным объемом адсорбционного пространства, заполнение которого связано с уменьшением свободной энергии газовой фазы А. Кроме того, любая система адсорбент — адсорбат определяется некоторой энергией Е, характеризующей энергетический механизм взаимодействия молекул в зависимости от свойств системы. Характеристику заполнения объема адсорбционного пространства можно рассматривать как некоторую функцию распределения и ее плотности, где параметром функции распределения будет энергетический симплекс [81] [c.223]

Система нескольких случайных величин. Зависимые и независимые случайный величины. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. [c.153]

Пусть система описывается уравнением IV. ) — (1У.З). Задачу оптимального управления при неполной информации назовем разделимой [1], если оптимальное управление является функцией только математических ожиданий случайных величин из уравнений (IV. 1), (IV. 2) и не зависит от моментов более высокого порядка. Достаточными условиями такой разделимости являются следующие [c.187]

Известно, что технологический процесс, функционирование технологической системы подвержены воздействию многочисленных случайных факторов. В этом случае на помощь исследователю приходят приемы и способы моделирования, основанные на методах теории вероятностей и математической статистики. Теория вероятностей изучает случайные события, случайные величины и их распределение. Математическая статистика дает информацию, получаемую при конкретных реализациях случайных событий и величин. Если какой-либо процесс описьшается тем или иным законом распределения, то математическую запись этого закона распределения уже можно рассматривать как математическую модель данного процесса. [c.111]

Известно, что погрешности размеров являются результатом совместного действия ряда факторов, носящих случайный характер (изнашивание и затупление режущего инструмента, тепловые и силовые деформации технологической системы), степень влияния которых на процесс механической обработки изменяется в процессе обработки, т. е. с течением времени. При моделировании действия этих факторов использование аппарата случайных процессов (случайных функций) позволяет получить гораздо больший объем интересующей информации, чем использование для этой цели лишь одной реализации случайной величины. Теорию случайных процессов применяют также при создании различного рода систем автоматического регулирования, следящих систем. [c.116]

Функция распределения вероятностей для системы двух случайных величин имеет вид [c.55]

Статистическая термодинамика устанавливает связь между макроскопическими свойствами системы и свойствами образующих систему частиц, основываясь на законах механики и теории вероятностей. Макроскопическая система рассматривается как совокупность частиц, движение которых описывается уравнениями механики. Специфика подхода здесь по сравнению с чисто механическим состоит в том, что механические переменные выступают как случайные величины, которым присущи определенные вероятности появления при испытаниях. Термодинамические величины интерпретируются либо как средние значения случайных величин (внутренняя энергия системы, находящейся в тепловом контакте с окружением, число частиц в открытой системе и т, д,),либо как характеристики распределения вероятностей (температура, энтропия, химический потенциал), [c.73]

Такой статистически независимой системой является, например, молекула идеального газа, которая подавляющую часть времени движется свободно, не взаимодействуя с другими молекулами. Соударения молекул чрезвычайно редки и дают пренебрежимо малый вклад в энергию газа (правда, эти соударения существенны в том смысле, что из-за них изменяются импульсы молекул, динамические переменные ведут себя как случайные величины, в системе устанавливается статистическое распределение). [c.85]

Характерной чертой статистической физики является представление о динамических переменных как о случайных величинах, которым присущи определенные вероятности появления при испытаниях, и в этом заключается качественно новый подход к описанию системы по сравнению с чисто механическим. [c.8]

Пусть параметры X к У определяют состояния двух невзаимодействующих систем и являются случайными величинами. Если состояния системы дискретны, теорема умножения вероятностей запишется в виде равенства [c.16]

В случае непрерывного ряда состояний системы (X и К — непрерывные случайные величины) теорема умножения выражается равенствами [c.16]

Покажем, что это так, рассматривая случай дискретных величин. Пусть для любого состояния системы (или двух систем) переменные X я У определены. Переменные могут быть зависимыми или независимыми. Набор Хх,. .., XI,. .. — возможные значения случайной величины X ау (х ),. ..,т (л ,),. .. — вероятности этих значений // ..... Уи-- — [c.18]

Следствием доказанной теоремы является тот факт, что с увеличением числа частей, из которых составлена система, всякая аддитивная случайная величина, характеризующая систему в целом, испытывает все меньшие относительные флуктуации. При больших К, таким образом, наблюдаемые значения аддитивных параметров совпадают практически со средними значениями. Это означает, что для макроскопической системы (Ы очень велико) средние значения параметров состояния с большой точностью описывают наблюдаемое поведение системы. Относительные отклонения наблюдаемых величин от средних пренебрежимо малы. [c.21]

Чтобы вскрыть смысл термодинамических параметров немеханического характера , необходимо перейти к вероятностному описанию микросостояний системы, т е. рассматривать динамические переменные как случайные величины. Тогда температура, энтропия и т. д. получат интерпретацию как величины, характеризующие распределение вероятностей различных микросостояний системы. [c.44]

Предполагается, что начальные состояния систем ансамбля различны. Однако эти состояния не фиксируются, они не известны наблюдателю, и, следовательно, невозможно однозначно определить (путем решения уравнений движения) переменные ряд системы в некоторый момент времени t. Для систем, находящихся в контакте с окружением (обменивающихся с окружением энергией, частицами), к неопределенности в начальных условиях добавляется неопределенность в описании внешних воздействий (от детального описания их на основе законов механики приходится отказаться). Влиянием неучтенных факторов обусловлено то, что параметры, определяющие микросостояние систем ансамбля, являются случайными величинами. Утверждение же о том, что микросостояниям системы можно приписать определенные вероятности (функцию распределения), принимается как постулат. [c.46]

В системе из трех случайных величин, условное математическое ожидание для одной из которых [c.126]

Как будет показано ниже, по результатам эксперимента в аппарате с интенсивным перемешиванием можно определить кинетическую кривую для каждого компонента С вектора концентрации с [10]. Б выходном потоке доля объемов, пробывших в системе время от т до т + т, определяется функцией плотности вероятности /5(т). Для установившегося состояния концентрация в объеме, пробывшем в реакторе время т, равна С (т). Здесь Сг(т) —решение уравнения кинетики (интегральная кривая) рассматриваемой химической реакции. Так как время т — случайная величина с плотностью распределения р(т), то среднее значение концентрации на выходе подсчитывается как математическое ожидание функции случайной величины по формуле [c.274]

Пусть состояния системы характеризуются случайной величиной с вероятностью Р так, что [c.103]

В стохастической коммуникационной системе ввод энтропии осуществляется при следующих предварениях. Каждая частица случайным образом проходит по определенной коммуникации (г, /), а следовательно, случайным, образом избирает величину характеристики Я/у данного канала, поэтому многократные повторения этого выбора можно интерпретировать как эксперименты над случайной величиной Я, в каждом из которых реализуется некоторое ее значение /г=Я,-у с вероятностью Pij. Тем самым, при вероятностной схеме можно говорить о существовании некоторой плотности вероятности /(/г) случайной величины Я, информированность о которой, в общем случае, различна. [c.105]

Существуют многочисленные модификации критерия D-on-тимальности, отражающие специфику эксперимента и постановки исходной задачи.- Так, например, при проведении кпнетическпх исследований в ходе реализации единичного опыта часто измеряются концентрации не одного, а нескольких реагентов (откликов системы). При этом результаты из.мерений представляют собой независимые норлшльно распределенные случайные величины. Тогда целесообразно использовать более общий критерий [c.26]

Методы синтеза, основанные на теории массового обслужи-вани . Для решения задачи синтеза гибкой ХТС в условиях стохастической неопределенности желательно знать законы распределения упомянутых случайных величин. Тогда, применив аппарат теории массового обслуживания, представляется возможным синтезировать некоторый оптимальный вариант гибкой -ХТС в условиях неопределенности. Теория массового обслуживания— это раздел математики, изучающей случайные процессы, происходящие в так называемых системах массового обслуживания (СМО), т. е. в любых системах, предназначенных для с)бслуживания каких-либо заявок, поступающих в случайные моменты времени [30]. [c.232]

В качестве КЭ при определении оптихмальной периодичности между профилактиками можно использовать также минимум средних потерь, приходящихся на единицу времени работы системы С(х) [125]. Следует от.метить, что в работе [125] рассматриваются тольта два состояния системы, которые условно названы хорошим и плохим . Если при 1профилактическом осмотре система окажется в плохом состоянии, то осуществляется профилактический ремонт, если в хорошем , то ремонт не производится. Считается, что отказы возможны как при плохом , так и при хорошем состоянии системы. Для определения оптимальной периодичности профилактического обслуживания необходимо иметь вид законов распределения таких случайных величин, как длительность интервала времени до отказа в хорошем и плохом состояниях системы, длительность нахождения системы в хорошем состоянии. [c.94]

Система (И) содержит Ь X N уравнений, Ь X N неизвестных величин и 8 неизвестных параметров К . Таким образов , эта система педоопределена и без дополнительных условий единственное решение ее невозможно. Предположение о том, что А является случайной величиной, позволяет решить систему (11) в статистическом смысле. Такое решение выбирается из естественных соображений, чтобы константы К ,.. ., давали наилучшее в каком-то смысле описание экспериментально измеренных величин. В качестве критерия наилучшего описания обычно выбирается оптимум некоторой функции Ф (Д " ) в пространстве переменных К ,.. ., Кд. Вопрос о выборе критерия является одним из важнейших при математической интерпретации измерений. Он связан со статистической гипотезой о законе распределения случайной величины Д . При формулировании указанного критерия наиболее последовательным представляется следующий путь высказывается гипотеза о функциях распределения случайных величин бХ и бУ , на основе этих функций строится функция плотности вероятности случайной величины Д( и далее вырабатывается критерий согласия между расчетом и эксперилгентом — требование экстремума Ф(Д ). В общем случае, однако, этот подход трудно реализовать. При отсутствии информации о взаимной корреляции величин бХ и бУ невозможно построить функцию распределения для Д(. Даже если такая функция построена, она может оказаться настолько сложной, что сконструировать с ее помощью критерий согласия между расчетом и экспериментом окажется невозможным. Наконец, нахождение экстре-лгума полученной (например, в соответствии с принципом максимального правдоподобия) функции Ф(Д ) может представлять практически неразрешимую задачу. [c.55]

Исследование процессов адсорбции, проведенные на промышленных установках, показали, что основными возмущающими воздействиями в адсорбционных процессах является расход газа, поступающего на сорбцию, и концентрация в нем извлекаемого вещества Са. Возмущения, идущие со стороны состава газовой смеси, являются стационарной нормальной случайной функцией, которая принимает случайные значения, сохраняющиеся постоянными в случайных по длительности промежутках времени. Расход газа изменяется также случайно. Возмущение— ступенчатое, чаще в его 5—10%. Поскольку составляющие вектора возмущений ЛГвх = (<Э, Са) — случайные величины, в качестве точной оценки, характеризующей среднее относительное изменение критерия, было принято математическое ожидание М[у]. Если полученная величина математического ожидания окажется меньше ут1п, то применение системы автоматической оптимизации нецелесообразно, в этом случае достаточно использовать системы стабилизации, [c.184]

Специфика описания системы в статистической термодинамике состоит в том, что механические переменные рассматриваются как случайные величины, которым присущи определенные вероятности появления при испытаниях. Если переменная не закреплена жестко условиями изоляции, то при наблюдении над системой она принимает различные значения, изменяясь под влиянием внешних воздействий. Так, скорости частиц изменяются вследствие взаимодействий между частицами (для модельной системы из жестких непритягивающихся шаров это наблюдается при соударениях). Каждая молекула испытывает множество воздействий со стороны окружающих молекул, и эти воздействия носят неупорядоченный характер. Система молекул размешивается очень быстрые молекулы чаще теряют свою скорость при соударениях, очень медленные молекулы увеличивают ее. В системе, находящейся в заданных внешних условиях (допустим, в изолированной системе) устанавливается неко- [c.82]

Рассмотрим вначале классические системы, микросостояние которых определяется переменными рид, изменяющимися непрерывным образом. При статистическом описании эти переменные выступают как непрерывные случайные величины и говорят о вероятности йт р,д) того, что они имеют значения в определенном интервале ат р до р йр для импульсов и от д до дйд для координат йш р,д)—вероятность того, что изображающая точка системы попадет в элемент фазового объема йрйд около точки с координатами рид. [c.83]

Случайными-событиями могут быть различные состояния системы. Определим состояние системы некоторым параметром X. Если величи-на X является переменной, значение которой зависит от случая, и если для нее существует распределение вероятностей, т. е. определенная зависимость вероятности от велинины X, то величину X называют случайной (вероятностно-случайной). Случайными могут быть различные физические величины (энергия, число частиц и др.) в зависимости от того, какой комплекс условий для системы задан. Вообще говоря, некоторая физическая величина обнаруживает случайные свойства тогда, когда заданный комплекс условий не определяет рассматриваемую величину однозначно имеются еще некоторые неучтенные факторы, под влиянием которых эта величина может изменяться. Однако утверждение о том, что величина является вероятностно-случайной, не сводится только к констатации неполноты знаний о системе и ее взаимодействии с окружением. В этом утверждении заключено также положительное содержание, вскрывающее качественные особенности величины. Действительно, мы допускаем определенное распределение вероятностей для величины, подразумеваем устойчивость частот появления различных ее значений при испытаниях и отсутствие правила игры. Свойства эти определяют специфику вероятностно-случайных величин, они далеко не очевидны, и анализ их, в частности изучение причин устойчивости частот, представляет чрезвычайно трудную теоретическую задачу. [c.11]

Число допустимых значений Xi,. .., Х ,. .. дискретной величины X может быть конечным и бесконечным . Значениям х ,. .., х,-,. .. отвечают, соответственно, вероятности появления Wi, Wi,.....Зависимость Wi = f (Xi), где f — некоторая функция, характеризует распределение вероятностей для случайной величины X. Согласно сказанному ранее, вероятность Wt определяется через относительную частоту появления состояния i при большом числе измерений. Эту вероятность можно связать также с долей времени tilt, в течение которого система при измерениях находилась в -м состоянии, т. е. имела -X = Xi (здесь t — общее время наблюдения над системой, ti — время, в течение которого система находилась в -м состоянии) величина tiit, вообще говоря, тем ближе к величине Wi, чем больше время наблюдения. [c.11]

Одним из наиболее сложных в методологическом отношении вопросов, которые приходится решать при реализации вероятностных моделей для конкретных производств, является обоснованный выбор и обеспечение принимаемых значений у , определение законов распределения и шсловых характеристик случайных величин. При этом необходимо иметь в виду, что в моделях с построчными вероятностными ограничениями уровень надежности всей системы ограничений определяется выражением [c.94]