Поиск решения нелинейных уравнений

Классические методы решения экстремальных задач. К числу классических математических методов определения экстремума функции многих переменных относятся 1) метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных минимизируемой функции по оптимизируемым параметрам 2) метод неопределенных множителей Лагранжа. В математическом плане оба метода достаточно хорошо известны, поэтому основ- [c.122]

В последнее время большое развитие получили как алгоритмы поиска максимума функций, так и алгоритмы поиска решений нелинейных уравнений, основанные на методе аппроксимации исходной задачи некоторой другой, решение которой найти достаточно просто. По сравнению с обычными алгоритмами решения задач скорость сходимости этих алгоритмов более высока. Ускорение сходимости является следствием того очевидного факта, что качество аппроксимации (если его оценивать по отклонению исходной задачи от аппроксимирующей в точке решения) улучшается при приближении к решению и соответственно относительная скорость увеличивается с каждым шагом итерации. [c.357]

Укажем, что решение нелинейного уравнения с одним неизвестным / (х) = О можно рассматривать как задачу поиска минимума функции F (х), для которой / (х) = dF x)/dx. Такая задача решается поисковыми методами (половинного деления золотого сечения, стохастической аппроксимации), рассмотренными в главе VI. [c.143]

Символьный процессор предоставляет возможность получения численного решения нелинейных уравнений. С этой целью нужно представить уравнение в обычной записи с использованием символа — логическое равенство — и указать переменную, относительно которой выполняется поиск корня, а также задать путь вычислений [c.337]

Символьное решение нелинейного уравнения обычно сразу дает числовой результат. При поиске корней полинома, в котором один или несколько коэффициентов равны нулю возможно предварительное представление аналитического решения, которое может быть приведено после преобразования к числовому результату (см. рис. 7.11). [c.339]

Результаты расчетов представлены на рис. 12.6. В столбец А (А11 А21) заносятся значения мольной доли N1, меняющиеся с шагом 0,1. В ячейку All заносится формула =(1-ЕХР( В 6/ Е 5 (1/С1 l-l/ B 5)))/(EXP( 6/ E 5 (l/ ll-l/ 5))-EXP( B 6/ E 5 (l/ ll-l/ B 5)))-All (это уравнение (12.2), записанное в каноническом виде) и копируется на весь столбец. В ячейку D11 заносится формула =(1-А11)/(ЕХР( В 6/ Е 5 (1/Е11-1/ В 5)))+ +А11/(ЕХР( С 6/ Е 5 (1/Е11-1/ С 5)))-1 (это уравнение (12.3) в каноническом виде), формула копируется на весь столбец. В ячейки СИ и Е11 записывается температура плавления меди, в ячейки В21 и Е21 — температура плавления никеля. Содержимое ячеек СП и Е11 копируется в блоки С12 С20 и Е12 Е20 (заданные значения используются в качестве начальных приближений при решении нелинейных уравнений). Будем решать нелинейные уравнения с помощью подпрограммы Поиск решения . По результатам расчетов легко построить диаграмму плавкости (рис. 12.6). [c.254]

Для нелинейных уравнений трудно указать какие-либо эффективные методы поиска значения х - - А/), за исключением самого обш,его, который заключается в решении задачи минимизации рассогласования рассчитанного и заданного значений х (/< >). На практике поиск значения х Ь А/), кроме того, осложняется еще неустойчивостью решения, приводящей к значительным колебаниям рассчитанного значения х (/< ) при относительно малых изменениях величины X + At). [c.220]

Поиск оптимальной стратегии решения линейных, нелинейных или трансцендентных систем уравнений математических моделей ХТС вида (П 6), (И, 7) или (И, И) осуществляют путем исследования топологических свойств ДИГ, отображающих характеристические особенности этих систем уравнений. Стратегию решения систем уравнений ХТС методом декомпозиции и разрывов при некотором наборе выходных переменных отображают в виде ациклического или циклического информационного графа. Оптимальным циклическим информационным графом системы уравнений называют такой циклический граф, для которого размер максимального замкнутого контура графа наименьший. Если символическая математическая модель ХТС представляет собой совместно замкнутую систему уравнений, то информационный граф является циклическим. [c.98]

Рассматривая эту задачу как задачу одномерной оптимизации критерия (П.2.1), имеем в качестве параметра нелинейный коэффициент. Для поиска параметров Л и S на каждом шаге используем решение системы уравнений (П.2.16). [c.232]

Существующие методы для решения нелинейной системы уравнений (1П.1) можно разделить на четыре основные группы итерационные методы методы минимизации методы дифференцирования по параметру и методы случайного поиска. [c.67]

Традиционный метод градиента основан на линейной аппроксимации поведения функции вблизи исходной точки. Существует большое число модификаций градиентного метода, в которых применяется нелинейная аппроксимация поведения функции вблизи исходной точки. В методах нелинейной аппроксимации поиск состоит из двух чередующихся этапов 1 — нелинейная аппроксимация вблизи исходной точки, аналитическое определение улучшенного решения по нелинейному параболическому уравнению 2 — перемещение для поиска в найденную улучшенную точку [4]. Такой метод использован, в частности, при определении 10 коэффициентов математического описания платформинга [51. [c.190]

Обычно необходимо рассчитать стационарный режим при различных значениях управляющих переменных и. Различают два режима расчета системы (II, 6) при изменении переменных и. В первом случае расчет системы (II, 6) проводится для небольшого числа значительно отличающихся одно от другого значений управлений и. Во втором случае проводится многократное решение системы (II, 6) для многих значений вектора и, мало отличающихся одно от другого. Типичный пример такого случая — это решение задачи оптимизации ХТС, когда переменные и меняются в соответствии с некоторой стратегией поиска, и при каждом значении и приходится решать уравнения (И, 6), описывающие стационарный режим схемы. Ко второму случаю сведется также решение систем нелинейных уравнений методом продолжения по параметру, а также решение систем нелинейных уравнений на каждом шаге интегрирования при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений каким-либо неявным методом. Рассмотрим отдельно эти случаи, поскольку учет их специфики может существенно повысить эффективность процедуры расчета системы (И, 6). [c.71]

Ясно, что задача поиска минимума произвольной достаточно гладкой функции может быть сведена к решению системы нелинейных уравнений [c.86]

Нам, однако, не представляется целесообразным ставить задачу поиска точных решений линеаризованных уравнений, описывающих малые колебания системы, а не реальные автоколебания с учетом нелинейности исходных уравнений. Фактически лишь из этой полной системы нелинейных уравнений процесса можно будет найти условия, определяющие реальные частоты устанавливающихся автоколебаний, т. е. численные значения параметра ax Llg. Приведенный выше анализ подтверждает справедливость достаточно грубой оценки (П. 16) порядка величины собственных колебаний частот кипящего слоя и дает некоторые качественные объяснения наблюдаемых на опыте закономерностей [c.73]

Для того чтобы иметь широкие возможности применять наиболее подходящий математический метод оптимизации, необходимо на базе всех существующих (методы решения линейных и нелинейных уравнений, методы поиска, вариационные методы, дискретный принцип максимума Понтрягина, динамическое программирование, метод оврагов Гельфанда) методов оптимизации химикотехнологических комплексов и изучения устойчивости всего комплекса на внешние воздействия (колебания в сырье, температуре, давлении и пр.) разработать информационно-математическую систему. Эта система должна иметь средства для описания любого ХТК с желаемой степенью детализации, уметь выдавать сведения [c.157]

Для нелинейных уравнений трудно указать какие-либо эффективные методы поиска значения x(№- -At), за исключением самого общего, который заключается в решении задачи минимизации рассогласования рассчитанного и заданного значений х(№]. На конце интервала интегрирования с этой целью формируется определенный критерий рассогласования. На практике поиск значения х (№ - - t) иногда, кроме того, осложняется еще неустойчивостью решения, приводящей к значительным колебаниям рассчитанного значения х(№] при относительно малых изменениях величины х(№ + Д/). [c.232]

Необходимые условия экстремума для (11,15) сводятся к сложной системе нелинейных уравнений, решение которой требует преодоления многих вычислительных трудностей, увеличивающихся по мере роста ошибок измерений и степени несовместности системы. Поиск работоспособного метода решения данной задачи привел к следующей модификации метода Ньютона. [c.155]

Для решения системы нелинейных уравнений можно применять многие из изложенных выше методов поиска, так как решение системы zP доставляет равный нулю минимум функции отклонений [c.190]

В основу успешно применяемых методов и программ расчета положены известные соотношения по расчету фазовых равновесий, как учитывающие неидеальность в жидкой и паровой фазах [Х], так и использующие допущение об идеальности нефтяных смесей [2-5]. С одной стороны, точность результатов зависит от учета всех факторов при расчетах температур кипения и распределения компонентов в жидкой и паровой фазах. С другой стороны, существенно увеличиваются затраты на поиски решения соответствующих нелинейных систем уравнений, многократно применяемых при расчете ректификационных колонн и тем более при расчете комплексов, включающих технологические схемы нефтеперерабатывающего оборудования. [c.43]

Интересно, что если вернуться к задаче поиска экстремума функции Г и подставить в систему (111,96) вместо /, их значения из равенства (111,93), то получим систему уравнений (111,82). Следовательно, метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений, примененный к задаче поиска минимума, совершенно идентичен методу Ньютона, описанному на стр. 80. Таким образом, в данном случае прямой метод второго порядка совпадает с непрямым методом. [c.84]

На примере нелинейного уравнения с одним неизвестным было показано, что решение алгебраических, трансцендентных уравнений можно свести к поиску точек пересечения графика соответствующей функции с осью X. Аналогичным приемом пользуются и при решении системы нелинейных уравнений. Решим в качестве примера следующую систему уравнений [c.274]

Для того чтобы результатами имитационного моделирования можно было воспользоваться, необходимо иметь гарантию того, что модель идентична объекту. Для этого, во-первых, модели должны быть гибкими , т. е. иметь 1-2 изменяемых параметра, с помощью которых можно обеспечить совпадения реальных и модельных значений и, во-вторых, в состав математического обеспечения должны входить программы для решения задачи оптимальной идентификации, часто называемой при этом адаптивной. Спектр используемых для этих целей алгоритмов довольно широк от обычных. алгоритмов поиска корней системы нелинейных уравнений до различных адаптивных алгоритмов стохастической аппроксимации [ПО] (разумеется, такие задачи приходится решать и в системах реального времени, и это вновь подтверждает их связь с имитационным моделированием). [c.210]

Поиск оптимума решением системы нелинейных уравнений [c.250]

Поиск оптимума сводится к решению системы п нелинейных уравнений с п неизвестными. [c.250]

Число строк в таблице соответствует количеству экспериментальных точек (девять для данного примера). На первом этапе зададим начальные приближения концентраций м, = 2 = 0,001 для всех точек и решим нелинейные уравнения, записанные в столбце С с помощью подпрограммы Сервис—Поиск решения . Так, для первой строки таблицы целевая ячейка С15 устанавливается равной нулю, изменяемые ячейки А15 В12. Таким образом, в каждой строке таблицы будет рассчитан равновесный состав для заданных исходных концентраций и констант равновесия. [c.264]

Методов поиска экстремумов и решения нелинейных уравнений в настоящее время разработано много. Однако единого метода, в котором была бы исключена возможность появления таких осложнений, как медленная или недостаточная сходимость, появление отрицательных величин мольных долей на промежуточных стадиях, или исчезновение на промежуточных же стадиях фаз, которые в начале расчета рассматривались как наличиствующие, пока, по-видимому, не существует. Для решения подобных задач необходима практика. [c.399]

Алгоритмически задача выбора технологической схемы состоит в разработке или выборе методов ее анализа, оценки, оптимизации и синтеза. На этапе анализа составляются уравнения математического описания, задаются переменные процесса и схемы, и в результате решения получается информация о потоках, температурах, давлении, составах, размерах и т. д. Оценка состоит в совмест-ном использовании информации с предыдущего этапа и экономических данных для определения целевой функции. Оптимизация состоит в поиске наилучшего набора переменных процессов. Традиционно разработка технологических схем проводится на основании итерационного выполнения указанных этапов, и лишь в последнее время стало уделяться внимание этапу синтеза, который призван объединить в себе все предыдущие этапы на основе некоторого метода. Известно большое число методов синтеза [4, 52], основанных на различных подходах, и многим из них присуща необходимость использования некоторого метода решения систем нелинейных уравнений или метода оптимизации. Последние используются для сведения материального и теплового баланса схем. Задачи решения систем уравнений и минимизации некоторого функционала взаимосвязаны и могут быть сведены одна к другой. Например, условием минимума функции Р х) является равенство нулю частных производных дР1дх1 = О, 1 = 1, 2,. . ., п, а система уравнений f х) = О, I = 1, 2,. . ., п, может быть решена путем минимизации соответствующим образом подобранного функциона- [c.142]

Методы структурной оптимизации. Они предполагают на первом этапе определение способов реализации химического производства (выбор альтернативных способов ведения процесс на отдельных стадиях) и создание на их основе некоторой интегрально-гипотетической технологической схемы, включающей все возможные варианты распределения материальных и энергетических ресурсов. Оптимизация ведется по специально определенным структурным параметрам распределения потоков, значения которых обычно задаются в диапазоне от О до 1 и характеризуют разделение или разветвление некоторого выходного потока. Конечные значения параметров и определяют технологическую схему. Нулевые значения отдельных из них свидетельствуют об отсутствии соответствующей связи аппаратов. С математической точки зрения задача синтеза представляет собой решение систем нелинейных уравнений, соответствующих описанию отдельных элементов (подсистем), и уравнений, отражающих структурные взаимосвязи между этими элементами (подсистемами). Основными методами решения являются методы нелинейного программирования. В виду высокой размерности системы уравнений поиск оптимального решения (технологической схемы) представляет определенные трудности вследствие многоэкстремальности и нелинейности задачи. [c.438]

В настоящее время отсутствует общепринятая классифика-пия методов поиска экстремума нелинейной функции многих переменных. Обычно в качестве отдельной группы выделяют методы, разработанные в классической математике метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных исследуемой функции по оптимизируемым параметрам, и метод неопределенных множителей Лагранжа. Эти методы позволяют решать задачи поиска оптимума нелинейной функции многих переменных только при отсутствии ограничений на оптимизируемые параметры или при ограничениях в виде равенств. Поэтому указанные методы нельзя относить к методам нелинейного математического программирования. [c.121]

После того как будут выбраны центры и нелинейная функция, необходимо произвести обучение сети. Логично поиск весов ко,..., Хпг осуществить с применением метода наименьщих квадратов (МНК). При этом определение коэффициентов X сводится к решению системы уравнений, которую можно записать в следующей матричной форме Х Х = X, (4) где л, - оценки коэффициентов X,. Доказано, что данная система имеет решение, если ее определитель отличен от нуля. Также известно, что при увеличении числа оцениваемых параметров система (4) становится плохо обусловленной, что затрудняет оценк> параметров либо делает ее вообще невозможной. Однако при практической реализации МНК на ЭВМ может оказаться, что определитель системы (4) близок к нулю даже при небольшом числе оцениваемых параметров, особенно когда точки Х равномерно распределены на интервале [а,Ь]. Учитывая специфику нейронных сетей, а именно большое количество оцениваемых весов, применение МНК в традиционном виде оказалось непригодным, что было подтверждено практическими испытания.ми. В случае использования ортогонального метода наименьших квадратов удается получить точные оценки параметров модели независимо от их числа. Более того при данном подходе возможно произвести оценку влияния каждого параметра сети на точность аппроксимации, что при использовании обычного МНК невозможно из за наличия корреляции. [c.175]

В уравнении NRTL, как и в уравнениях Вильсона п Хейла разность kij—/. г выражает неистинные, а эффективные энер ГИИ межмолекулярного взаимодействия и поэтому расчет кон стант из свойств чистых компонентов практически невозможен Общепринято константы уравнения определять по эксперимен тальным данным равновесия пар — жидкость или жидкость -жидкость. В обоих случаях константы находятся решением сис темы нелинейных уравнений, которая из-за их сложности обычн выполняется методами поиска координат минимума целево функции. В качестве целевой может быть использована сумм квадратов невязок опытных и расчетных значений параметро равновесия (состав, температура, давление пара над раствором или их функции (коэффициенты активности, свободная энерги смещения, коэффициенты распределения), уравнение (9). [c.6]

Применение АВМ не исключает возможности использования ЦВМ, и наоборот. Например, если для решения задачи требуется провести большой объем вычислений с высокой д-очностью, то можно сначала грубо прикинуть возможные варианты решения на АВМ, а затем получить окончательный ответ, вводя полученные данные в ЦВМ. Существуют также комбинированные (гибридные) аналого-цифровые вычислительные машины. Такие машины позволяют сочетать преимущества АВМ (быстрота решения дифференциальных уравнений, относительная легкость поиска переменных параметров) и ЦВМ (высокая точность, универсальность, возмол<-пость осуществления логических операций, запоминание и хранение информации). Обычно в комбинированных машинах аналоговые блоки выполняют интегрирование, а цифровые рассчитывают нелинейные функции, запоминают промежуточные результаты, дают управляющие команды аналоговым блокам и выполняют другие логические операции. Поскольку способы ввода, обработки и выдачи информации в АВМ и ЦВМ резко различаются, в комбинированные машины необходимо вводить аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи. [c.326]

Задача поиска Зопт может также находиться, как решение задачи задачи поиска корня нелинейного алгебраического уравнения, так как в точке экстремума первая производная от функции (7.2) обращается в ноль (рисунок) [c.77]

Вначале на уровне макроструктуры выявляют критерий оптимальности - минимальную величршу произведения числа теоретических тарелок и флегмового числа и формируют целевую функцию. Для решения задачи необходимо решить ряд вариантов работы колонны, сканируя с определенным шагом флегмовые числа и рассчитывая число тарелок и критерий оптимальности. Единичный вариант расчета колонны от тарелки к тарелке представляет собой уровень мезоструктуры системы. Дальнейшая декомпозиция расчета приводит на микроуровень иерархической системы, на котором рассчитываются параметры встречных неравновесных и равновесных потоков на каждой тарелке, при этом первая из подзадач базируется на алгоритме решения систем линейных уравнений, а вторая из них - на алгоритме поиска корня нелинейного аетебраического уравнения. [c.186]

Можно также (только в Math ad 2000/2001) задать интервал поиска корня от а до Ь — см. примеры на рис. 2.13, где ищутся корни функции, заданной как функция пользователя. Возможно решение систем нелинейных уравнений — в этом случае параметры функции надо задавать в векторной форме. [c.72]

Система уравнений (2.2) — (2.5), не имеет строгого аналитического решения, так как существенно нелинейна. Для получения приближенного решения системы уравнений (2.2) — (2.5) рекомендуется воспользоваться методом, предложенным для решения задачи кинетики необратимой хемосорбции [1, 6]. Сущность метода заключается в поиске приближенного решения для новой переменной В/п—А, причем задача ограничивается [c.21]

Всем методам поиска экстремума трансцендентной функции п переменных решением системы нелинейных уравнений присущ главный недостаток для получения системы следует частные производные от П (хи дгг, приравнять нулю. Даже для простых задач оптимизации функция П(хи Х2,. .Хп) очень громоздкая и по этой причине расчет значений производных трудоемок. В силу этого алгоритм поиска экстремума таких функций сложен и труден в реализации (затрудняется программирование, огладка, чрезмерно увеличивается объем программы и т. д.). К тому же для большинства задач расчета ОТА функцию П(хи Х2, х ) трудно выразить в явном виде, а если такое выражение все же получено, экстремализация этой функции одним из названных выше методов невозможна из-за ограниченной емкости памяти машины. [c.251]

Однако и при моделировании на ЦВМ, даже если удалось предварительно получить достоверное математическое описание объекта, остается целый ряд существенных трудностей. Эти трудности касаются в основном проблем унимодальности (одноэкстремальности) зависимости критерия оптимальности от переменных параметров У и 2, проблемы множественности корней при решении нелинейной системы уравнений, проблемы трудной восприимчивости (с позиции физики процессов) гиперповерхности отклика Кэ на изменение регулируемых и возмущающих параметров и проблемы резкого увеличения числа вариантов при поиске экстремального значения Кэ [58]. [c.104]

Как показали последние исследования (см., например, [436,437]), уравнения химической кинетики, отвечающие уже достаточно простым нелинейным механизмам реакций, могут иметь несколько стационарных решений. Среди них могут быть как устойчивые, так и неустойчивые. Последние также важно узнать при анализе кинетических уравнений. Условия возникновения критических эффектов, связанные с особенностями структуры схемы химических превращений, анализировались выше, а также в работах [225, 226]. Однако наряду с этими условиями важно уметь находить и сами решения, причем все. Стандартные численные методы решения систем нелинейных уравнений, основанные на различного рода интерационных процедурах, как правило, хорошо работают лишь в том случае, когда начальное приближение выбрано уже достаточно близко к корню системы. Дополнительные трудности возникают при поиске решений, характеристика устойчивости которых имеет тип седло . Большие возможности дают методы, основанные на движении по параметру [39,408,510]. Однако и они не гарантируют отыскание всех стационарных решений в заданной области, если соответствующая система уравнений при варьировании параметров допускает изолы . Многочисленные примеры таких ситуаций в моделях автоматического управления даны в [485]. Впервые на возможность существования изолов в уравнениях химической кинетики в неизотермических условиях указал Я. Б. Зельдович [213. [c.83]