Нелинейная задача иа собственные значения

Решение уравнений Хартри — Фока (5.58) или (6.59) представляет собой нелинейную задачу нахождения одночастичных функций поскольку эти функции играют роль собственных функций, они входят в кулоновские и обменные операторы. Нелинейность служит причиной того, что уравнения Хартри — Фока, как правило, решают с использованием итерационной процедуры на первой стадии расчета делается предположение о приближенном виде одноэлектронных функций, а затем эти пробные функции ф (г = 1, 2,...,/г/2) подставляют в выражения для кулоновских и обменных интегралов, которые в случае системы с замкнутой оболочкой образуют члены суммы в выражении (5.596). Этот шаг позволяет построить операторы (1) в нулевом приближении и в результате решения системы уравнений (5.59а) вычислить несколько улучшенные одноэлектронные функции ф[ >. Из них выбирают п/2 функций, отвечающих п/2 низшим собственным значениям, и повторяют вычисления столько раз, чтобы функции ф >, вычисленные на к-м шаге итерационной процедуры, отличались от функций достаточно мало, причем критерий сходимости выбирают в соответствии с необходимой точностью расчета. Функции Ц)f удовлетворяющие выбранному критерию точности, рассматриваются как решение задачи. [c.106]

Для величин а и можно записать однородную линейную алгебраическую систему с нелинейно входящим комплексным параметром. Характеристическое уравнение задачи о собственных значениях имеет вид [c.165]

Получено приближенное решение задачи о теплообмене при ламинарном течении в круглой трубе нелинейно вязкопластичных дисперсных систем в случае, когда иа стенке трубы задана постоянная плотность теплового потока (граничные условия второго рода). Показана возможность использования собственных значений задачи Штурма — Лиувилля при граничных условиях первого рода, полученных ранее. Приведенное решение позволяет рассчитать параметры теплообмена при малых приведенных длинах. [c.110]

Окончательно задача определения нестационарного возмущения сводится к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с комплексными коэффициентами (уравнение Орра-Зоммерфельда) для функции зависимости возмущения от нециклической координаты. Для каждой пары значений (Ке, к) решение этой задачи дает собственную функцию и комплексное собственное значение ш. Знак мнимой части ш определяет устойчивость или неустойчивость возмущенного решения. При и>г < О возмущение экспоненциально затухает, а при Шг > О экспоненциально растет. Правда, экспоненциальное увеличение неустойчивого возмущения гарантируется лишь на начальной стадии, где справедлива линейная постановка задачи. На стадии нелинейного развития возмущение может возрастать менее быстро и даже вообще стабилизироваться. [c.175]

Таким образом, предположив существование автомодельного предельного решения в форме (3.14), мы пришли к классической ситуации нелинейной задачи на собственные значения (нелинейной потому, что координата точки разрыва коэффициента при старшей производной в уравнении (3.18) заранее неизвестна и должна быть найдена в ходе решения задачи). Действительно, при произвольном а основное уравнение (3.18) нужного по гладкости решения, удовлетворяющего условию (3.17) не имеет. Однако если система (3.23) разрешима, то для а, удовлетворяющего условиям (3.23), решение удовлетворяет всем требованиям. [c.63]

На рис. 3.2 точками показаны значения функции Ф( , 8), полученные решением нелинейной задачи на собственные значения. Как и должно быть, эти точки хорошо ложатся на кривую и х, /) (х )(1+а)/2//1 соответствующую 1- 00. Это подтверждает, [c.64]

Первое из этих соотношений легко получается из традиционных соображений подобия, т. е. применением анализа размерностей исходя из представления о мгновенном точечном источнике. Для второго соотношения этого принципиально нельзя сделать, несмотря на то что закон подобия (3.28) имеет степенную форму и вполне определится, если знать размерность величины А. Дело в том, что размерность величины А заранее неизвестна и для ее определения надо решить сформулированную выше нелинейную задачу на собственные значения. [c.66]

Здесь использовано условие отсутствия притока вещества и энергии в центре взрыва при / > 0. При этом автомодельная переменная в ходе перемещения от образа центра симметрии к образу фронта должна монотонно возрастать от нуля до единицы. Вообще говоря, при произвольном а удовлетворить этим условиям невозможно нельзя провести интегральную кривую уравнения первого порядка через две произвольные точки. Мы увидим, однако, что существуют такие исключительные значения а, для которых это возможно. Таким образом, мы снова пришли к нелинейной задаче на собственные значения построить интегральную кривую уравнения первого порядка (4.18), проходящую через две точки (4.22) и (4.23), и определить значение параметра а, при котором такое решение существует, т. е. собственное значение задачи. [c.74]

Качественное исследование нелинейной задачи на собственные значения [c.74]

Для целей сравнения с асимптотикой численного решения неавтомодельной задачи решение сформулированной выше нелинейной задачи на собственные значения для системы обыкновенных уравнений также было найдено численно. Система обыкновенных уравнений (4.18) — (4.20) решалась численно при начальных условиях (4.21), причем показатель а подбирался методом проб так, чтобы удовлетворялось условие отсутствия притока вещества и энергии в центре при / > 0. Счет прекращался, когда величину = Яг , /у вблизи = 0 с точностью до 1 % можно было считать постоянной. Результаты сопоставления значений показателя [c.77]

Сопоставление собственных функций нелинейной задачи на собственные значения с предельными распределениями, получившимися при установлении решения неавтомодельной задачи, также обнаружило их хорошее совпадение относительное расхождение не превышает 2 %, [c.77]

НО зависимая автомодельная переменная П уже не может быть найдена из соображений размерности постоянная а находится решением нелинейной задачи на собственные значения, а все решение находится с точностью до постоянной. Кроме того, в эту автомодельную переменную явно входит размер /, делающий исходную задачу неавтомодельной. Из (5.22) получаем, в частности, закон затухания максимума величины и [c.97]

Пр, Щ, П , но и независимую автомодельную переменную нельзя определить из соображений размерности, так как постоянная Р заранее неизвестна и находится из решения нелинейной задачи на собственные значения. Кроме того, во все автомодельные переменные явно входит радиус сферы о, в которой произошло выделение энергии в начальный момент. Из соотношений (5.26) получаются законы подобия для давления и скорости на фронте ударной волны и радиуса ударной волны [c.99]

Нелинейная задача на собственные значения [c.110]

При отыскании показателей степени времени в выражении автомодельных переменных для автомодельных решений второго рода или, что то же, скоростей распространения для решений типа бегущей волны мы пришли к своеобразным задачам на собственные значения для нелинейных операторов. Эти задачи по своей природе близки к классическим задачам на собственные значения для линейных дифференциальных операторов, и для них также [c.125]

Приведенные примеры демонстрируют разнообразие возможных структур спектра нелинейных задач на собственные значения, возникающих при построении автомодельных решений. [c.131]

Однако при произвольном л оставшееся условие d0 0)/d — = О не выполняется. Мы пришли, таким образом, к классической ситуации нелинейной задачи на собственные значения нужно построить нетривиальное решение уравнения (12.65), удовлетворяющее условиям (12.66), (12.67) и имеющее нужную гладкость, и определить значение параметра (х, для которого такое решение существует. Можно показать, что решение этой задачи существует и единственно она легко решается численно. Результаты определения х для разных значений параметров а и с/а представлены на графике рис. 12.9. Решение Ф( ) для случая а = 0,2 и с/а — = 0,5 представлено на рис. 12.10. [c.220]

В дальнейшем предпринимались попытки моделировать многокомпонентную периодическую ректификацию с учетом удерживающей способности колонны. Математические модели колонн представляют собой системы нелинейных жестких дифференциальных уравнений. Трудность решения этих уравнений на ЭВМ явилась сдерживающим фактором широкого применения математического моделирования как для целей проектиро вания периодических ректификационных колонн, так и для управления ими i[51—541. В работах [50, 54] описан метод расчета ректификационных колонн периодического действия для разделения многокомпонентных систем, основанный на решении задачи собственных значений трехдиагональной матрицы составов. [c.38]

Методы квазилинеаризацип [26, 46—49]. Прп решении жестких систем ОДУ с использованием этого класса методов исходная нелинейная система на каждом шаге интегрирования заменяется линейной, выписывается аналитическое решение этой системы, далее вычислительные проблемы связаны с наиболее эффективным способом вычисления матричной эксионенты. Большим преимуществом рассматриваемых методов перед остальными является то, что по матричной экспоненте, вычисляемой в процессе решения, удается оценить собственные значения якобиана системы и, следовательно, эффективно управлять выбором шага пнтегрпрованпя. Эти методы позволяют успешно решать задачи с большими положительными собственными значениями якобиана систему ОДУ [49]. [c.23]

Как известно [10], кинетические системы относятся к классу так называемых н естких систем. Поэтому мы используем хорошо зарекомендовавшую себя при решении нераспределенных кинетических систем схему все сверху с использованием ньютоновских итераций для решения соответствующей нелинейной системы уравнений на каждом временном слое. В случае решения неносред-ственио стационарной задачи схема реализует метод Ньютона. Для решен1ш задачи на собственные значения эта схема соответствует линеаризованному уравнению, что дает возможность в рамках одной вычислительной схемы решать все необходимые задачи. Разностная аппроксимация уравнений (2.1) имеет вид [c.87]

Келлер Г.В. Некоторые позитонные задачи, выдвигаемые нелинейной теорией генерации тепла // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М. Мир, 1974. С. 129-151. [c.305]

Среди первых результатов, полученных путем приложения теории бифуркаций к анализу нелинейных явлений в гидромеханике, были результаты Уховского и Юдовича [33-35]. Эти исследователи рассматривали конвекцию как в замкнутом резервуаре, так и в горизонтальном слое, пользуясь приближением Буссинеска. В случае горизонтального слоя рассматривались поля скорости и температуры, периодические по горизонтальным направлениям, так что анализ относился к течению в одном пространственном периоде — ячейке (см. разд. 2.5), размеры и форма которой были заданы. В частности, было доказано, что только собственные значения линеаризованной задачи могут быть точками бифуркации нелинейной задачи. При наименьщем собственном значении два вторичных течения ответвляются от неподвижного состояния. Надкритическая бифуркация типа вилки, таким образом, характерна для явления возникновения конвекции в жидкости, к которой применимо приближение Буссинеска. [c.28]

ЛОСЬ В гл. 5, метод ЛКАО-МО-ССП не приводит естественным образом к проблеме на собственные значения. Получаемые в нем уравнения оказываются на самом деле нелинейными относительно неизвестных коэффициентов, хотя их и можно представить в виде некоторой псевдопроблемы на собственные значения в предположении простого решения истинной проблемы на собственные значения. Тем не менее нет никакой гарантии, что процедура итерационного метода, описанного в разд. 9.2, состоящая из повторных решений обычной задачи на собственные значения, будет действительно сходящейся к некоторому пределу. Конечно, весьма правдоподобно, что эта процедура позволит подойти близко к энергетическому минимуму. Если удачно угадать начальное приближение Р<°),тоона может оказаться практически сходящейся в большинстве вычислений для состояний с замкнутыми оболочками и для многих состояний с открытыми оболочками, хотя сходимость может быть и очень медленной (дальнейшее обсуждение этого вопроса см. в [19]). Вообще решение проблемы ССП фактически состоит в нахождении минимума энергетической функции, заданной в многомерном пространстве, и эту задачу (ср. разд. 5.4) не всегда можно свести к истинной проблеме на собственные значения. Метод прямой минимизации энергии, полностью заменяющий процедуру итерации метода ССП, состоит в том, чтобы, начав с любой точки на энергетической поверхности, приближаться к минимуму энергии, изменяя коэффициенты при орбиталях в волновой функции таким образом, чтобы спуск по энергетической поверхности к точке минимума был быстрейшим. Хотя эта математическая техника и была развита довольно давно (см., например, [20, 21]), она до сих пор, к сожалению, распространена меньше, чем традиционный метод сведения задачи к проблеме на собственные значения. Метод скорейшего спуска, без сомнения, еще сыграет важную роль в будущем развитии многоконфигурационного метода ССП. [c.314]

В. Е. Шаманский. Методы численного решения краевых задач на ЭВЦМ, ч. II. Нелинейные краевые задачи и задачи на собственные значения для дифференциальных уравнений. Киев, Наукова думка , 1966. [c.90]

В работах [216, 218, 232—234] Т. Хербертом предложен другой подход к описанию явления возникновепия трехмерных структур в области ламинарпо-турбулентного перехода. За основное течение принимается нестационарный поток, получающийся в результате нелинейного развития плоского первичного возмущения типа волны Толлмина — Шлихтинга, имеющего конечную амплитуду. Возле этого основного течения осуществляется линеаризация уравпений Навье — Стокса и формулируется задача на собственные значения для возмущений, распространяющихся под углом к направ-лепию потока. При определенных значениях амплитуды первичной волпы (порядка 1%) обнаруживается сильный рост трехмерных возмущений из-за параметрического резонанса. Оказывается, что система уравнений для вторичных возмущений расщепляется на два класса. Первый класс решений (основная мода) имеет пространственный период по продольпой координате такой же, как и первичная волпа, а второй (субгармоническая мода) —в 2 раза больший, чем первичная волна. [c.199]

Если теперь подставить выражение решения (21) в уравнение (17), то получим для функции ф обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое величина а входит как параметр. Оказывается, что при произвольном а это уравнение не имеет решения, обладающего необходимыми свойствами. Однако для каждого значения параметра имеется значение а, при котором нужное решение обыкновенного дифференциального уравнения существует. Таким образом, для определения ф и параметра а получается нелинейная задача на собственные значения. Константа А при таком непосредственном построении автомодельной промежуточной асимптотики остается неопределенной. Найти ее из интегрального закона сохранения типа (16) при нельзя, поскольку в этом случае суммарное уравнение баланса тепла принимает неинтегрируемую форму [c.18]

Автомодельность связывается [19, 109] с нелинейной, во-обнде говоря, задачей на собственные значения, существование решения которой обеспечивает существование автомодельной промежуточной асимптотики в целом. Оказывается нетривиальным вопрос о множестве собственных значений в этой задаче — спектре, определяющем возможные значения показателей степени в автомодельных переменных. Все просто, если спектр состоит из одной точки, как в рассмотренной выше модифицированной задаче теплопроводности. Если же спектр состоит более чем из одной точки, в частности, если он непрерывен, показатели степени в автомодельных переменных зависят от начальных условий исходной неавтомодельной задачи. Замечательный пример здесь доставляет автомодельная интерпретация известного уравнения Кортевега—де Фриза (см. главу 7). [c.23]

Широко распространено представление о том, что получение автомодельных решений всегда связано с анализом размерностей, т. е. с подобием, так что применением анализа размерностей из постановки вырожденной задачи, точным решением которой является та или иная автомодельность, всегда может быть получена форма. решения, т. е. выражение автомодельных переменных. После получения точного решения нетрудно найти класс невырожденных задач, для которого рассматриваемое автомодельное решение является промежуточной асимптотикой. Для некоторых решений дело действительно обстоит так рассмотренные в настоящей главе примеры это продемонстрировали и показали общий подход, применимый в подобных случаях. Существенно, однако, что случаи, когда построение автомодельных решений исчерпывается анализом размерности, составляют, как говорят иногда, лишь видимую часть айсберга. Как правило, дело обстоит иначе существуют обширные классы задач, для которых хотя и имеет место автомодельная промежуточная асимптотика, но эту асимптотику нельзя получить из исходной постановки задачи путем применения соображений размерностей. Форма автомодельных переменных определяется в этих случаях из решения нелинейных задач на собственные значения и иногда даже из некоторых дополнительных соображений. Подчеркнем еще раз, что речь идет не об исключениях, а скорее, о правиле множество автомодельных решений, не получаемых из соображений подобия, гораздо богаче множества автомодельных решений, форма которых вполне определяется соображениями подобия. Последующее рассмотрение покажет, в чем здесь дело. Слегка, казалось бы, модифицировав [c.52]

Итак, построение автомодельного предельного решения — асимптотики решения задачи Коши (3.11) для уравнения (3.1) при больших временах — приводится к решению нелинейной задачи на собственные значения. Решение этой последней задачи определяет автомодельную асимптотику только с точностью до константы А или, что то же, с точностью до безразмерной [c.65]

Как и для автомодельного решения, рассмотренного в главе 3, для этого автомодельного предельного решения характерны два свойства. Во-первых, показатель а степени времени в выражении для автомодельной переменной не находится из соображений подобия, а требует для своего определения решения нелинейной задачи на собственные значения, т. е. находится из условия существования автомодельного решения не в малом, а в целом. Далее, все решение определяется при этом лишь с точностью до некоторой постоянной, входящей в автомодельную переменную, которая может быть найдена только сращиванием автомодельной промежуточной асимптотики с неавтомодельным решением исходной задачи интегрального закона сохранения, позволяющего непосредственно определить значение этой постоянной по начальным данным исходной задачи, здесь не существует. [c.78]

При непосредственном построении автомодельных решений второго рода определение показателей степени в автомодельных переменных приводит к нелинейной задаче на собственные значения. Постоянный множитель А, входящий в автомодельные переменные, при непосредственном построении автомодельных решений второго рода не определяется. Константу А можно найти, проследив, например, при помощи численных расчетов, процесс эволюции решения невырожденной задачи к автомодельной асимптотике. [c.94]

Существенно, что хотя этот закон и имеет степенную форму, его нельзя получить с помощью анализа размерностей. Дело в тохм, что закон затухания величины щах определяется размерностью постоянной Ql . Эта размерность заранее неизвестна и определяется после построения автомодельного решения в целом, т. е. из решения нелинейной задачи на собственные значения. Однако, поскольку мы в данном случае имеем дело с неполной автомодельностью первого типа, независимая автомодельная переменная— в данном случае П1 — находится из анализа размерностей. Следовательно, в частности, для закона распространения волны разгрузки — границы областей с разными к — получается закон подобия [c.98]

Мы снова, как и в случае автомодельных решений второго рода, получили нелинейную задачу на собственные значения уравнение (6.36)—уравнение первого порядка, в то время как граничных же условий (6.38) два. Покажем, следуя Я. Б. Зельдовичу [41], что имеется, и притом единственное, собственное зна- [c.110]

Итак, существование и единственность решения нелинейной задачи на собственные значения доказаны. Используя методы, развитые в работе А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и И. С. Пискунова [57], Я.И. Капель [50] показал, что решение представляет собой асимптотику при t- oo решения некоторого естественным образом определенного класса начальных задач с условиями переходного типа. Заметим, что как в задаче о распространении гена, так и в задаче теории распространения пламени, непосредственное построение решения типа бегущей волны u = U l — Я1Э + с) о пределяет это решение с точностью до константы с. Эта константа может быть найдена только сращиванием инвариантного решения с неинвариантным решением исходной задачи. При этом очевидно, что какое бы промежуточное состояние системы l/(g, О), ), п(1, ) мы ни приняли за начальное, значение константы с не изменится. В этом смысле константа с является интегралом уравнений рассматриваемых задач (ср. [159]). [c.111]