Теорема о гамильтониане

Теорема. Все [ ], представляющие один и тот же гамильтониан h(R) в некоторой о.н.- или н.о.н.-базисной системе для V (R), попадают в один и только в один класс -эквивалентности. Этот класс характеризуется LPI гамильтониана h(R). Наоборот, если данная матрица п х п над полем действительных чисел имеет те же LPI, что и Л, то существует некоторая L-система, в которой эта матрица представляет А. (Доказательство следует непосредственно из основных свойств эквивалентности.) [c.78]

Этот результат подобен следствию из теоремы, выдвинутой ранее ( разд. 4.3.2) относительно коммутирующих операторов. В данном случае коммутируют гамильтониан и оператор Fz (см. гл. XI) и матричные элементы <Ч п <9 т> для собственных функций, принадлежащих различным собственным значениям п и т оператора Рг, равны нулю. [c.165]

Это означает, что симметричная и антисимметричная части гамильтониана Ж не коммутируют и невозможно определить средний гамильтониан, несмотря на то что наблюдаемые спины S слабо связаны. Практическое значение этого мы рассмотрим более подробно в разд. 7.2.3. В связи с полученными результатами возникает вопрос какие члены гамильтониана влияют на амплитуду эха в эксперименте с одним или несколькими тг-импульсами [3.25] Эта задача рассматривается в работе [3.34]. Главный результат может быть суммирован следующей теоремой [c.118]

Связь (96,7) между временем жизни квазистационарного состояния и неопределенностью энергии является частным случаем теоремы, доказанной Фоком и Крыловым [86] о том, что функция распределения энергии С в квазистационарном состоянии непосредственно связана с законом распада этого состояния. Пусть гамильтониан системы имеет вид [c.461]

Начав с реальной цепи, мы должны включить в первоначальный гамильтониан много других характеристик, например жесткость цепи, трехчастичное взаимодействие и т.д. Затем мы должны производить разбиения до тех пор, пока все эти несущественные характеристики не выпадут из формул. Однако к этому моменту константа связи и также изменится и будет близка к своему значению м в неподвижной точке. Таким образом, для реальной цепи -теорема оказывается урезанной до утверждения о том, что является функцией только параметра (иначе говоря, /V) и не очень полезна. [c.336]

Мы подошли теперь к важной теореме о гамильтониане для консервативных систем, связи которых не зависят от времени, гамильтониан равен полной энергии Т V и постоянен по времени. Точнее, условие независимости связей от времени означает. [c.21]

Это алгебраическое свойство свободных полей, известное под названием теоремы Вика, связано с тем, что гамильтониан свободного поля (6.1) является квадратичным по Ф и распределение вероятностей для поля ф является гауссовским. [c.41]

Перейдем теперь к выводу теоремы об изоморфизме для гамильтониана (3.16). Поскольку гамильтониан является квадратичным по ), в статистической сумме можно в явном виде выполнить интегрирование по ij)(x) [c.125]

Непересечение уровней с одинаковым М является следствием общей теоремы, определяющей поведение собственных значений в тех случаях, когда гамильтониан системы зависит от некоторого параметра [Л. Л.]. Отметим, что учет поправки второго приближения теории возмущений приводит к отталкиванию уровней с одним значением М, тем большему, чем меньше расстояние между уровнями. [c.340]

Гамильтониан Ж для данной системы обычно легко написать, но для большинства систем необходимо предугадать вид волновой функции. Если выбрана правильная волновая функция, то в принципе можно получить истинное значение энергии для данной системы. Действительно, пусть установлена правильная волновая функция, именно та, которая приводит к правильному значению энергии Ец. Другие волновые функции тогда будут приводить к иным значениям энергии. Вариационная теорема утверждает, что среди многих Е1, значение является низшим собственным значением данного оператора. Тогда для нормированных волновых функций [c.551]

К счастью, однако, имеется аналогичная теорема, применимая к физическим основным состояниям, а также ко всевозможным возбужденным состояниям часто собственные состояния гамильтониана Н можно классифицировать по тинам, отвечающим их симметриям, или в общем случае по собственным значениям каких-то других операторов К, коммутирующих с гамильтонианом Н. Если в таком случае Е есть наименьшее собственное значение Н для состояний некоторого определенного типа (например, для состояний, удовлетворяющих принципу Паули), то оператор Н — Е будет иметь неотрицательное математическое ожидание по отношению к функциям такого типа. Это вызвано тем, что подобные функции будут ортогональны всем собственным функциям Я, соответствующим более низким собственным значениям. [c.16]

Обозначим молекулярные орбитали молекулы символами у и 72,. ... В таком случае, если молекула имеет только заполненные оболочки, ее конфигурацию можно записать в виде у,, у . .. уп Дублетному спиновому состоянию молекулы соответствует конфигурация 7 Каким должно быть представление Г / По аналогии с атомными состояниями, которые обозначаются буквами 5, р и т. д., казалось, что можно было бы дать отнесение и молекулярных состояний по неприводимым представлениям. Так и обстоит дело в действительности. Возможность отнесения молекулярных состояний по неприводимым представлениям следует из того, что гамильтониан молекулы коммутирует со всеми операциями группы симметрии люлекулы. Поэтому в соответствии с общей теоремой для коммутирующих операторов обозначение симметрии молекулы является хорошим квантовым числом. [c.251]

Теорема 5. Пусть система N частиц, имеющих одинаковые положительные заряды е и массы т, находится в компенсирующем поле V (г) и описывается гамильтонианом (5.3). Если частицы не подчиняются никакому правилу запрета, то можно выбрать поле V (г) так, чтобы энергия основного состояния системы Е+ V) удовлетворяла условию [c.26]

Теорема 6. Пусть N частиц, заряды которых положительны и удовлетворяют условию (2.2), подразделяются на д. классов, причем частицы каждого класса подчиняются правилу запрета. Пусть влияние произвольного потенциального поля V (г) на частицы описывается гамильтонианом [c.27]

Удивительно, что теорема 6 так легко следует из теоремы 2, в то время как похожая по внешнему виду теорема 4 оказывается гораздо более сложной. На первый взгляд кажется, что теорема 4 является всего лишь частным случаем теоремы 6, когда компенсирующий потенциал создается совокупностью фиксированных точечных зарядов (в формулировке теоремы 4 ничего не изменится, если устремить массы положительных зарядов к бесконечности и рассматривать их как фиксированные классические заряды). Имеется, однако, разница между теоремами 4 и 6. В теореме 6 полная собственная энергия компенсирующего заряда включена в гамильтониан, в то время как в теореме 4 собственная энергия отдельных точечных зарядов не учитывается. Это, казалось бы, малосущественное отличие является причиной всех трудностей при доказательстве теоремы 4. [c.27]

Доказательство теоремы 7. Гамильтониан (2.1) можно переписать в виде [c.37]

Доказательство теоремы 8. Аналогично (8.2) перепишем гамильтониан (2.1) в виде [c.39]

Теорема. Поток с гамильтонианом Фо является интегрируемым и обладает рациональными интегралами в инволюции, определенными формулами (7). [c.100]

Теорема 1.1. Гауссовское распределение Рв является предельным распределением Гиббса, отвечающим гамильтониану [c.23]

Теорема Д о б ру ш и н а — Ш л о с м а н а ([56]). Всякое предельное распределение Гиббса, отвечающее гамильтониану рЯ, 0 инвариантно относитель- [c.112]

Теорема обобщается на системы с гамильтонианом [c.122]

Множество частиц, которое для заданного значения гамильтониана имеет набор всех значений д, занимает вполне определенное замкнутое фазовое пространство. Если теперь гамильтониан меняется со временем, площадь фазового пространства, занятая этим множеством частиц, остается постоянной в силу теоремы Лиувилля. В общем случае, однако, частицы пересекают большую площадь в фазовом пространстве, чем их начальная площадь. Любая частица осциллирует вдоль гамильтоновой кривой, которая ограничивает область, отличающуюся от той,-которую она ограничивала до изменения гамильтониана. Однако если гамильтониан частицы изменяется достаточно медленно, то выражение (1.13), известное как интеграл действия,приблизительно сохраняется. Один из методов доказательства этой теоремы использует ее связь с теоремой Лиувилля. Рассмотрим систему, гамильтониан которой первоначально постоя- [c.15]

Если гамильтониан системы с одной степенью свободы изменяется, то фазовые траектории не будут замкнутыми, т. е. интеграл действия не определяется. Однако уже показано, что фазовая площадь, первоначально ограниченная некоторым гамильтонианом, есть инвариант (это следствие теоремы Лиувилля). Так, пусть мы рассматриваем систему, которая в начале и в конце имеет постоянные гамильтонианы. Если мы покажем, что все частицы, движущиеся до изменения гамильтониана по данной кривой постоянного гамильтониана, после его изменения также лежат на кривой постоянного гамильтониана, то фазовая площадь, ограниченная кривой постоянного гамильтониана, должна быть равна первоначальной площади. Далее можно ожидать, что для медленных по сравнению с периодом [c.56]

Введение. В 1.1 отмечено, что одной из главных причин введения фазового пространства является наша способность следить скорее за движением ограниченных областей в фазовом пространстве, чем за индивидуальными траекториями, которые образуют эту область. Так как фазовые траектории не могут пересекать одна другую, то группы фазовых точек, ограничивающих первоначально некоторую область, будут оставаться граничными все время. Таким образом, зная поведение границы, мы можем сделать заключение о положениях и импульсах всех частиц, находящихся в этой области. Такие заключения можно сделать как для колебательных, так и для неколебательных систем. Дополнительные преимущества имеются в случае колебательных систем, обладающих либо одной, либо несколькими степенями свободы, по которым переменные разделяются. Если гамильтониан частицы постоянен-, то интеграл движения локализует пучок частиц в фазовом пространстве Траектория одной частицы однозначно ограничивает всю группу траекторий. Как показано в гл. 2, при медленном изменении параметров частицы, первоначально лежащие на кривой постоянного гамильтониана, продолжают оставаться на ней и после того, как гамильтониан изменяет свое значение. Таким образом, частица, орбита которой, взятая за один период, ограничивает группу траекторий, продолжает оставаться граничной, несмотря на тот факт, что гамильтониан частицы и форма орбиты изменились. В силу теоремы Лиувилля площадь в фазовом пространстве,ограниченная этой орбитой, остается постоянной, что, как показано в гл. 2, также озна-" чает адиабатическое постоянство интеграла действия. [c.91]

ОРБИТАЛЬ (от лат. orbita-путь, колея), волновая ф-ция, описывающая состояние одного электрона в атоме, молекуле или др. квантовой системе. В общем случае квантовохим. термин О. используется для любой ф-ции Ч, зависящей от переменных х, у, z одного электрона. В рамках молекулярных орбиталей методов для электронных состояний молекул часто используют приближенное описание квантовой системы как целого, задавая состояние электрона в усредненном поле, созданном ядрами и остальными электронами системы. При этом О. Ч определяется одноэлектронным ур-нием Шредингера с эффективньпч одноэлектронным гамильтонианом А = еЧ орбитальная энергия е, как правило, соотносится с потенциалом ионизации (см. Купманса теорема). В зависимости от системы, для к-рой определена О., различают атомные, молекулярные и кристаллические О. [c.393]

Третье направление находит отражение в двух областях. Во-первых, при дальнейшем развитии метода молекулярных аналогий допустимо в принципе построение для пористых систем, аналогичное статистике Гиббса. Затем, рассматривая статистические ансамбли пористых систем и вводя гамильтониан системы, содержащий вместо энергии ее аналог в виде новых переменных, определяющих собой сохранение массы, можно обычные понятия и теоремы физической статистики перенести и на пористые системы [7, 9]. Второй путь заключается в статистическом описании различных процессов переноса в пористых средах. Это направление ведет начало от классических работ Кирквуда с учениками [10 и в настоящее время развивается многими авторами [11]. Таким путем, не рассматривая подробностей структуры пористых тел, удается статистически вывести и обосновать закон Дарси [2] и дать наиболее общее обоснование эффекта продольной диффузии в зерненом слое. Кинетика процесса мас-сообмена в неоднородной пористой среде неоднократно рассматривалась в форме случайного блуждания в работах Шейдеггера [7] и Гиддингса [12]. Особенностью этого направления является отвлечение от описания структуры пористой системы и анализ процессов в условной неоднородной среде, которая здесь представляется столь сложной, что детали вообще не могут быть рассмотрены. [c.276]

Рассмотрение, проведенное в предыдущем разделе, было основано на предположении о том, что функции, входящие в матричные элементы, принадлежат к базисам неприводимых представлений. Достигнутые при этом в ряде случаев удрощения связаны с тем, что функции с такими свойствами могут рассматриваться как собственные функции операторов симметрии гамильтониана, т. е. операторов, коммутирующих с гамильтонианом. С этой точки зрения ясно, почему частное следствие, полученное в виде соотношения (6.65) и связанного с ним условия в разд. 6.5, согласуется с теоремой 5, сформулированной в разд. 4.3. [c.138]

Выше при решении вибронной задачи подчеркивалось, что основное вибронное состояние во всех случаях получается того же типа симметрии (той же мультиплетности, степени вырождения и т. д.), что и исходный электронный терм в максимально-симметричной конфигурации ядер. Этот результат можно объяснить тем, что члены вибронного взаимодействия V по (VI. 18), возмушаю-щие электронные состояния, в совокупности имеют ту же симметрию, что и основной гамильтониан, и поэтому они не снимают вырождения электронного терма (вопреки упрощенной формулировки теоремы Яна — Теллера, см. раздел 1.2). [c.234]

Собственные функции атомных и молекулярных гамильтонианов удовлетворяют некоторым определенным теоремам, которые полезны и интересны с физической точки зрения,— гипервириальным теоремам, обобщенным теоремам Гельмана — Фейнмана и т. д. Кроме того, эти функции одновременно могут быть и собственными функциями каких-то других операторов К, коммутирующих с гамильтонианом Я. В следующих параграфах обсуждаются условия, при которых сразу же можно быть уверенным, что аналогичными свойствами обладают и оптимальные пробные функции. (В приложении В собраны воедино подобные же результаты для нестационарных задач.) Если указанные теоремы применимы, то они позволяют вскрыть физическую сущность величин и , а также определить степень той точности, с которой эти величины аппроксимируют поведение истинных собственных функций и собственных значений. Кроме того, если в рамках данного множества пробных функций не удается точно вычислить величины з и , то та точность, с которой применимые теоремы удовлетворяются приближенными значениями ф и , может давать опеределенные указания на степень точности аппроксимации — например, на то, в какой мере вычисления по методу НССП аппроксимируют результаты метода НХФ ). Последнее замечание поднимает также вопрос, который является, очевидно, чрезвычайно сложным некоторый мы обсуждать не будем. Суть его в следующем. Пусть заданные условия почти удовлетворяются в некотором определенном смысле этого слова. Тогда в ка- [c.100]

К сожалению, как мы в этом убедимся на примерах, фактически ситуация оказывается не столь простой, и в действительности автор не знает ни одной соответствующей общей теоремы. Тем не менее оказывается справедливой некая обратная теорема. А именно если множество не инвариантно, то нет надежды найти собственные функции. Рассмотрим в качестве примера метод НХФ для отдельного атома с гамильтонианом (1) 1. Тогда (квадрат углового момента относительно ядра) и 8 (квадрат полного спина) будут коммутировать с Я. Однако, поскольку они являются двухэлектронными операторами, множество детерминантов Слейтера оказывается неинвариантным относительно соответствующих преобразований и. Поэтому нет никакой надежды найти собственные функции и 8 , причем, как об этом говорилось в 8, такая ситуация согласуется в общем случае с действительностью. На самом деле мы можем даже дать некое рациональное объяснение кажущимся исключениям из этого правила. Так, например, мы видели, что метод НХФ допускает решения типа замкнутых оболочек и что они являются собственными функциями ж 8 с нулевыми собственными значениями. Однако это можно рассматривать как следствие того факта, что подобные функции ф не вырождены. А именно все компоненты операторов Ъ и 8 коммутируют с Я, причем, будучи одноэ.чектронными операторами, они порождают преобразования II, относительно которых множество детерминантов Слейтера инвариантно. Поэтому любая функция г должна быть совместной собственной функцией Ь и 8, а стало быть, она должна быть типа 8. Также и в общем случае не должно быть неожиданностью, если мы найдем орбитальные -состояния или спиновые синглеты, поскольку их также можно охарактеризовать как совместные собствен-ные функции одноэлектронных операторов Ь и 8 соответственно. Аналогично собственная функция некоторой [c.121]

Имеет место и более общая ситуация. Пусть Н — вещественный гамильтониан, как это всегда бывает в отсутствие магнитных полей. Тогда для всех вещественных эрмитовых операторов величина г Ш, будет чисто мнимым эрмитовым оператором. А потому те же самые аргументы показывают, что для подобных при вещественных 4 автоматически будут выполняться гипервириальные теоремы. Например, теоремы автоматически выполняются для всех тех которые, подобно В, являются вещественными функциями координат [30, 34]. [c.138]

Получив этот общий результат, мы докажем теперь %- -теоремы, цитировавшиеся в 10, для методов НХФ и СНХФ. Чтобы сделать это наиболее простым способом, целесообразно по-прежному пользоваться переменными г , а энергии измерять в единицах Тогда на правую часть формулы (3) можно смотреть как на сам гамильтониан, представленный в стандартной форме [c.245]

Здесь мы снова будем просто резюмировать результаты, оставляя восполнение соответствующих деталей в качестве задачи (см. также работы [1, 2]). Кроме того, отметим с самого начала, что в приближениях НХФ и СНХФ все теоремы удовлетворяются, поскольку здесь все " являются не зависящими от спина одноэлектронными операторами. Запишем гамильтониан (1) 1 в виде [c.351]

В рассматриваемой нами ситуации гамильтониан Яо(ф) нельзя рассматривать как функцию действительного переменного, и его основные состояния, удовлетворяющие условию Пайерлса, нельзя рассматривать как точки изолированного минимума. Тем не менее, разбиение окрестности пространства параметров имеет тот же вид, что и стратификация, производимая вер-сальным семейством описанного типа. Было бы интересно, во-первых, подробнее исследовать свойства гладкости стратов, строящихся в теореме, и, во-вторых, сформулировать для наших задач понятие вер-сального семейства и показать, что семейство гамильтонианов Яо + ii i +... + является версаль-ным семейством для гамильтониана Яо, имеющего несколько основных состояний. [c.105]

Общий подход к построению гамильтонианов с несколькими предельными распределениями Гиббса был (развит в работах Д. Рюэлля [40], [110], который, в свою очередь, опирался на весьма общие теоремы Р. Израэля [89]. Взаимосвязь между [c.106]

Пусть, например, С — тор, т. е. прямое произведение конечного числа окружностей ( = < ( г и С действует на пространстве Ф. Поскольку гамильтониан инвариантен относительно каждого Оц то из доказанной теоремы всякое предельное распределение Гпббса Рц будет инвариантно относительно С. На основании этого замечания покажем, что в двумерной модели Гейзенберга не происходит спонтанного нарушения симметрии, т. е. не существует предельных распределений Гиббса, не инвариантных относительно группы С. [c.120]

Это является доказательством со ранемия площади фазового пространства системы частиц, т. е. доказательством теоремы Лиувилля для двух измерений. В следующем параграфе это доказательство будет обобщено на многомерные системы. Для каждой независимой степени свободы соответствующий член в (1.44) должен быть константой, и, таким образом, повторяя наши рассуждения при выводе выражения (1.43), получаем, что интегралы движения существуют для каждой независимой степени свободы. Это подтверждает сделанное во введений утверждение, что для системы, у которой гамильтониан постоянен, каждая независимая степень свободы может быть сведена к квадратурам. [c.27]

Адиабатическая инвариантность интеграла действия. В представленном здесь доказательстве, как и в других доказательствах адиабатической инвариантности, временная зависимость гамиль-, тониана разбивается на две части, одна из которых либо постоянная, либо периодическая с периодом 2я/ш, а другая медленно,изменяется со временем t, так что непериодическое изменение гамильтониана мало на протяжении фазового колебания точки системы. Кроме того, предположим, что частота периодической части гамильтониана несоизмерима с частотой фазового колебания, так что в случае отсутствия. медленных вариаций, если положение частицы в фазовом пространстве выбрано с интервалами = 2л, гамильтониан в фазовом пространстве будет описывать замкнутую кривую. Доказательство этой теоремы, аналогичное доказательству [27], приведено ниже. [c.57]

Приведенное здесь доказательство адиабатической инвариантности интеграла действия построено так, чтобы подчеркнуть связь между адиабатической инвариантностью и теоремой Лиувилля. Однако существуют другие доказательства, которые непосредственно демонстрируют адиабатическую инвариантность интеграла действия. Метод фазового интеграла, или метод ВКБ, рассмотренный в 1.4, дает такое доказательство, применимое для линейных систем, гамильтониан которых постоянен и не содержит медленно меняющегося параметра. Общее доказательство для нелинейных систем впервые дано Бюргерсом (4 ] и перенесено на системы с периодическим гамильтонианом Саймоном [27] и Стэрроком [26]. В своем доказательстве Саймон предполагает, что в отсутствие медленно меняющихся параметров данный адиабатический инвариант является в действительности точной константой. Для линейных систем, используя теорию линейных дифференциальных уравнений, с периодическими коэффициентами, можно непосредственно показать, что интеграл действия будет такой константой (см. 1.4). Для нелинейных систем с периодическим Я использование теоремы Лиувилля дает наиболее простое доказательство постоянства интеграла действия. Доказательство, данное Бюргерсом, а также Стэрроком, несколько отличается от доказательства, приведенного здесь, но в основном эквивалентно ему. Подробное изложение доказательства [c.59]

Исследование последовательности сечений средней плоскости показывает, что имеется ряд значений г (или а), указывающих различные фазы вращения. Все же можно ожидать, что при усреднении fi будет оставаться приближенно постоянным. Физически это означает, что вследствие кривизны линии мгновенный магнитный момент должен быть различным на обеих сторонах линий, однако в предположении, что все фазы колебания выбраны равными, средний магнитный момент при а = 1 должен быть равен fi = Величина Уд уже проинтегрирована по периоду вращения и поэтому является средней. Другой путь исследования проблемы состоит в привлечении нашего доказательства адиабатической инвариантности, основанного на теореме Лиувилля. Если считать две степени свободы независимыми, то фазовая площ,адь, ограниченная замкнутыми фазовыми траекториями, определяется интегралом p da, где считается, что а пробегает все фазы при фиксированном времени. Ограниченная фазовая площадь сохраняется. В случае медленного изменения параметров мы ожидаем, что точки, лежащие на замкнутой орбите, остаются на ней и, следовательно, замкнутые траектории преобразуются опять в замкнутые в каждом сечении Ь = onst (например, в экваториальной плоскости). Эти замкнутые в фазовом пространстве траектории описывают поверхность сечения Пуанкаре, которые довольно полно исследованы топологическими методами [4, 161. Замкнутые орбиты, описывающие поверхности сечения, могут быть найдены аналитически для экваториальной плоскости в предположении, что гамильтониан Я и Pq z = 0) постоянны. Подставляя (5.64) и (5.65) в (5.63) при 2 = 0 (Л, = 0), получаем - [c.236]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология