Средние значения в квантовой механике

Классическая механика, действительно, оперирует со средними значениями квантовой механики, и при больших квантовых числах квантовые законы приближаются к классическим. Однако это достигается введением определенных ограничений или запретов (правила отбора). Так, гармонический осциллятор (электрон) согласно квантовым представлениям может находиться в различных дискретных состояниях и испускать определенный набор волн с различными частотами. Допустим, что квантовые числа осциллятора возрастают— соответственно уменьшается интервал между уровнями если наложить ограничение на переходы, потребовав, чтобы разрешенными были только переходы между соседними уровнями, то при больших квантовых числах осциллятор будет испускать излучение лишь одной частоты, т. е. будет вести себя как классический осциллятор. Поэтому правила отбора по существу представляют собой мост между классической и квантовой механикой. [c.50]

Важнейшей формулой квантовой механики является формула, определяющая средние значения или, как еще говорят, математические ожидания физических величин. [c.49]

Заметим, что в квантовой механике все средние значения физических величин могут быть заданы точно, но... не все одновременно. [c.50]

Завершая рассказ о свойствах квантовомеханических операторов, обратимся к вопросу о законах сохранения. В классической механике есть такой термин интеграл движения. Им обозначают физические величины, сохраняющие при движении постоянное значение, определяемое начальными условиями. Есть такие величины и в квантовой механике, их средние значения в любом состоянии не изменяются с течением времени. [c.50]

Редуцированные матрицы плотности были введены как математические конструкции, позволяющие вычислять средние значения физи-ческих величин. Однако и сами РМП (во всяком случае их диагональные элементы) имеют непосредственный физический смысл. Чтобы выяснить его, необходимо обратиться к вероятностному толкованию квантовой механики. Из основных принципов квантовой механики следует, что плотность вероятности найти электрон в точке х, т.е. в точке г со спином а, есть [c.83]

Как уже отмечалось, в соответствии с представлениями квантовой механики, электрон в атоме может находиться нз любом расстоянии от ядра, однако вероятность его пребывания в разных местах различна. Зная распределение электронной плотности в атоме, можно вычислить среднее расстояние электрона от ядра Гер, которое характеризует размер орбитали. Величина Гср определяется значениями квантовых чисел ли/. Для электрона в атоме водорода и в водородоподобных ионах (Не, Li , ...) расстояние Гср выражается соотношением [c.28]

Таким образом, электрон и атоме водорода может находиться на разных расстояниях от ядра, но наиболее вероятно, согласно (6.9), встретить электрон на расстоянии, равном первому боровскому радиусу Следует особо отметить, что хотя в силу волновых свойств электрона нельзя указать точное значение его координат, квантовая механика точно определяет наиболее вероятное расстояние электрона от ядра, а также среднее расстояние и средние значения других величин по формуле (3.13). Среднее значение расстояния электрона от ядра Т [c.27]

Точные и приближенные значения физических величин в квантовой механике. Средние значения [c.36]

Не является ли полученное выражение частным случаем некоторого общего правила, по которому следует вычислять средние значения в квантовой механике Составим выражение [c.40]

Теперь постулаты квантовой механики (см. 7 этой главы) можно дополнить следствиями, относящимися к свойствам квантовых операторов. Величины, характеризуемые операторами, для которых функция системы является собственной, имеют строго определенные значения. Все остальные не имеют точно определенных значений. Для них можно вычислить средние значения по уравнению [c.58]

Задание функции Ч (9, О—наиболее полное описание системы, возможное в рамках квантовой механики. Среднее значение произвольной механической величины М р,д) в момент времени I определяется соотношением [c.76]

Описание с помощью волновой функции ор (д, 1) — наиболее полное описание, возможное в рамках квантовой механики. Полное описание включает определение зависимости волновой функции от времени, что позволяет находить средние значения физических величин в любой момент времени. Изменение волновой функции во времени описывается уравнением Шредингера [c.149]

Решая уравнение Ьг ) = В ф, мы находим собственные функции ( ) и собственные значения оператора (В). Оказывается, что уравнення квантовой механики могут записываться как уравнения классической механики, если заменить величины, фигурирующие в этой механике на операторы. Это положение, описывающее соответствие квантовой и классической механики, позволяет определить операторы для различных физических величин. Определение средних значений физических величин (М) производится на основе использования оператора М, отвечающего этой величине [c.549]

Мы лишь вкратце покажем, как эта теория связана с квантовой механикой и как такая связь позволяет дать определение средних значений атомных свойств. Атом является открытой квантовой системой, допускающей обмен зарядом и импульсом с соседними атомами. Такие системы можно описать, распространив вариацию квантовых интегралов действия на открытую систему. Следствием определения атома как объединения аттрактора и его бассейна является то, что атом ограничен поверхностью S(r), поток Vp(r, X) через которую локально равен нулю [c.63]

В квантовой механике среднее значение любой физической величины Q дается соотношением [c.96]

Используемые в квантовой механике операторы, все средние значения которых вещественны, называют эрмитовыми, или самосопряженными, хотя эти два термина имеют несколько различный смысл в математике (см. заключительный пункт настоящего параграфа). [c.43]

Это неравенство носит название вариационного принципа квантовой механики среднее значение оператора Гамильтона на любой функции ф из класса допустимых нормированных функций всегда больше минимального значения энергии Е для рассматриваемой квантовомеханической системы оно становится равным ему тогда и только тогда, когда функция ф совпадает с собственной функцией Н, относящейся к собственному значению Е . [c.145]

Каждая наблюдаемая характеризуется в квантовой механике оператором (например, В). Среднее значение этой наблюдаемой (Ь) в состоянии, описываемом нормированной волновой функцией дается интегралом [c.68]

Сравним расчеты среднего положения <.х> и среднеквадратичного положения <.х > частицы в ящике методами квантовой механики и классической механики. Согласно уравнению (12.32), эти средние значения можно вычислить следующим образом [c.378]

Аналогичные члены взаимодействия появляются и при вычислении средних значений физических величин по правилам квантовой механики (поскольку значения физических величин зависят от волновой функции не линейно, а квадратично). Особенно важно, что значение энергии, вычисляемое для волновой функции, представляющей резонанс нескольких структур, ниже, чем для каждой из резонансных структур в отдельности. Это понятно, так как резонанс структур представляет собой их линейную комбинацию, наилучшую именно в том смысле, что она соответствует минимуму энергии, какой только можно получить с помощью линейных комбинаций данных резонансных структур. [c.253]

Движение отдельных частиц, в частности молекул, как правило, наиболее полно можно описать на языке квантовой механики - абстрактной математической теории, в которой все процессы, происходящие в природе, выражаются с помощью операторов физических величин. При этом сами операторы не дают наглядной физической картины, а конкретный физический смысл приобретают только средние значения или математические ожидания операторов, т.е. значения физических величин, получаемые в результате достаточно большого числа измерений. Расчет математических ожиданий, обычно обозначаемых парой угловых скобок, проводится согласно данной теории. Например, энергия Е определяется как математическое ожидание гамильтониана Н системы Е = < Н >. Заметим, что во многих случаях имеет место формальное совпадение операторных уравнений с соответствующими уравнениями для математических ожиданий, хотя их смысл, вообще говоря, различный. Здесь, как правило, будем рассматривать математические ожидания физических величин (операторов), поэтому там, ще не возникает недоразумений, скобки, обозначающие математические ожидания, для краткости будем опускать. [c.13]

Итак, в квантовой механике всем физическим (наблюдаемым) величинам сопоставляются линейные (чтобы выполнялся принцип суперпозиции) и самосопряженные (чтобы средние значения были вещественными) операторы. При проведении проме- [c.28]

Чтобы оправдать такое описание с точки зрения квантовой механики, вводят понятие о ионном и ковалентном вкладах в энергию связи при составлении приближенного выражения для волновой функции. Если ковалентный вклад мал, то мы говорим, что связь носит ионный характер и электростатическая модель применима. К сожалению, термины ионный характер и ковалентный характер используются в различном смысле. Это произошло, в частности, потому, что быстрое развитие теории химической связи за последние два десятилетия привело к изменению содержания этих терминов. Определение Полинга, данное в его монографии ([1585], стр. 48), отражает представления большинства исследователей в 1940 г. Он полагал, что между двумя атомами X и У ковалентная связь образуется в том случае, если энергия диссоциации молекулы X — V равна среднему из энергий диссоциации молекул X — X и V — V. Если энергия диссоциации молекулы X — У превосходит это среднее значение, избыток приписывается добавочному ионному характеру связи . Этот критерий давал основание для введения шкалы электроотрицательности Полинга, причем ионный характер связывался с разделением зарядов при образовании связи, приводящим к появлению постоянного дипольного момента. Это экспериментальное определение ионного характера, поскольку оно связано с измеряемой величиной энергии диссоциации. [c.196]

Как оценивается среднее квадратичное отклонение от среднего значения в квантовой механике [c.72]

Некоторые характерные черты различных по своей природе вырожденных систем являются общими для этих систем. Все трехмерные вырожденные системы при высоких температурах не упорядочены — среднее значение параметра порядка <<р> = О при Т > Тс. При Т <Тс симметрия спонтанно нарушена, и <ф> =5 0. Как следствие симметрии, возможно однородное вращение величины <ф> без изменения свободной энергии, В квантовой механике существование в системе со спонтанно нарушенной непрерывной симметрией возбуждений с энергией, исчезающей в длинноволновом пределе, известно как теорема Голдстоуна, [c.155]

В результате этого расчета атома водорода и водородоподобных атомов было получено новое, уточненное (по сравнению со старой квантовой теорией) представление о значении квантовых чисел н накладываемых на них ограничениях. Главное квантовое число п может быть только целым числом п = 1,2,3... Хотя в квантовой механике и не сохраняется понятие об орбитах в точном смысле этого слова, главное квантовое число определяет среднее расстояние электрона от ядра в том смысле, что чем меньше п, тем ближе электрон к ядру. Следовательно, энергия связи электрона с ядром с увеличением квантового числа я должна уменьшаться. Формула зависимости между полной энергией системы и квантовым числом п [c.166]

Квантовая механика дает достаточно указаний на то, что энергия связи между двумя данными атомами очень мало зависит от влияния других атомов той же молекулы [16]. Если это так, то отсюда следует, что энергия чисто ковалентной связи А—В должна явиться средним арифметическим между двумя значениями энергии связей А—А и В—В. Эта зависимость носит название постулат аддитивности нормальных ковалентных связей . [c.167]

Причина устойчивости химической связи. Для того чтобы понять, почему энергия уменьшается, если атомы находятся близко друг к другу, мы должны рассмотреть взаимодействие между электрическими зарядами в атоме. На рис. 16-1 схематически изображена реакция, обратная реакции (1). Из квантовой механики известно, что 15-орбита каждого атома водорода до реакции имеет сферическую, симметрию. Это отображено на рис. 16-1. Однако на мгновение мы зафиксировали электрон в некоторой данной точке, изобразив его отрицательный заряд 1 — на расстоянии от ядра Л. Энергию атома водорода А можно представить средним значением энергии притяжения между электроном 1 и ядром А. Результат такого притяжения — расположение электрона и ядра при среднем расстоянии между ними Г1А. То же самое справедливо и для атома водорода В — электрон 2 и ядро В притягиваются друг к другу. Рассмотрим новое электриче- [c.410]

Универсальный масштаб частоты. Микросистемы. Рассмотрим какую-либо квантовую микросистему (молекулу, атом и т. п.), находящуюся в квазистационарном состоянии. Оператор Гамильтона Н такой системы может иметь непрерывный или дискретный спектр собственных значений. Квазистационарные состояния не имеют постоянной, не зависящей от времени энергии, но среднее значение энергии < > не зависит от времени. В квантовой механике доказывается, что квазистационарные состояния могут возникать в тех случаях, когда стандартное отклонение энергии АЕ мало по сравнению с < > [102]. Хотя среднее значение энергии квазистационарного состояния не зависит от времени, плотность вероятности любого из состояний в интервале АЕ есть функция времени. Изменения энергии квазистационарного состояния происходят за счет слабого взаимодействия микросистемы с окружающей средой. Из соотношения неопределенности энергия— время следует, что минимальный промежуток времени At, за который вероятность некоторого начального состояния системы уменьшится в [c.126]

Необходимо иметь в виду, что колебательный момент импульса I сам по себе не удовлетворяет какому-либо закону сохранения. Поэтому, согласно общим правилам квантовой механики (см., например, [20]), в стационарных состояниях системы этот момент, вообще говоря, не имеет определенных значений. Для данного колебательного состояния можно найти лишь среднее значение колебательного момента импульса. Это среднее значение для невырожденных состояний молекулы равно нулю ([20], 26), что позволяет сразу исключить из рассмотрения все невырожденные колебания. [c.310]

Необходимо отметить, что для случая симметричного решения обмен координатами между частицами оставляет и и без изменения, т. е. среднее значение свойства Н пе меняется в результате обмена. При антисимметричном решении обмен координатами меняет знаки и и в результате На опять остается неизменным. Следовательно, при любом обмене между двумя частицами наблюдаемое свойство системы совершенно не изменяется. Другими словами, волновая механика отвергает возможность различения двух одинаковых частиц. Таким образом, приходится оставить классическую статистику Больцмана и пользоваться вместо нее квантовой статистикой. Выло предложено два варианта квантовой статистики, приложимых к частицам различного типа, причем в обеих квантовых статистиках основной постулат утверждает неразличимость одинаковых частиц. Различие между этими двумя квантовыми статистиками состоит в том, что в одной из них разрешены только симметричные, а в другой—только антисимметричные решения. [c.381]

Следовательно, для вычисления средних значений квантовых операторов с помощью матрицы плотности смегаапного представления В (г, р) следует пользоваться обычными правилами классической статистической механики, усредняя вместо квантового оператора соответствующую ему классическую функцию и используя вместо классической функции распределения в фазовом пространстве координат и импульсов матрицу плотности смешанного представления. [c.210]

Среднее положение одинаково как в классической, так и в квантовой механике, и, когда значение квантового числа приближается к бесконечности, среднеквадратичное положение, рассчитанное квантовомеханически по уравнению (12.46), стремится к классическому пределу. [c.378]

Третий постулат касается вероятностного (статистического) толкования квантовой механики. Еслн г])/ — волновая функция илп — вектор состояния системы, находящейся в состоянии /, а р — шредингеровский оператор (или р — гейзенберговская матрица), соответствующий некоторой наблюдаемой величине, то ожидаемое значение (квантовомеханическое среднее или [c.24]

Исключительная важность собственных значений линейных самосопряженных операторов, используемых в квантовой механике, состоит в том, что они определяют возможные значения соответствующих величин при их измерении. Если состояние системы описывается волновой функцией, совпадающей с одной из собственных функций тр оператора Р, то в этом состоянии физическая величина Р имеет определенное значение. Поэтому при ее измерении в этом состоянии мы должны получить с достоверностью значение Рп- Если же волновая функция г не совпадает ни с одной из собственных функций оператора Р, то в этом состоянии физическая величина Р не имеет определенного значения. При повторных измерениях физической величины р в одном и том же состоянии г мы будем получать различные значения Рп- Повторяя шюгократно эти измерения, мы сможем определить среднее значение Р) этой величины в данном состоянии. Это среднее значение должно совпадать со значением, полученным из соотношения [c.42]

Согласно квантовой механике, если F есть оператор, отвечающий некотсрой физической величине F, то среднее значение последней определяется выражением [c.111]

Рассмотрим гетеронуклеарную (состоящую из разных атомов) двухатомную молекулу АВ. Мсжъядеряое расстояние в ней не является фиксированным, а представляет собой периодическую функцию времени. Это означает, что ядра колеблются так, что межъядерное расстояние периодически изменяется (вокруг равновесного или среднего значения) с частотой, которую можно выразить в циклах в секунду. Такие колебания имеют, как правило, небольшую амплитуду, и в хорошем приближении их можно считать гармоническими. Квантовая механика показывает, что энергия и частота гармонического осциллятора связаны следующим соотношением [c.281]

Более подробно это будет обсуждаться в разд. 2.4.) Такая формулировка средних величин поразительно схожа с формализмом квантовой механики, задаваемым через функцию состояния . Более того, как мы видели, уравнения, которым удовлетворяют и имеют одинаковую математическую структуру. Аналогия простирается и далее. Ранее мы нашли, что решение уравнения Лиувилля можно выразить через ряды по собственным состояниям оператора Л, т. е. по функциям ехр (— сОпО X X фп (р, ч) (см. уравнение (2.64)). Каждая такая функция, будучи решением уравнения Лиувилля, представляет возможное независимое состояние системы. Для многомерных периодических систем расширенные собственные состояния ехр ( Есог г )-фп (01,. . 0N) становятся связанными с собственными колебаниями такой системы. Задача с начальными данными, решение которой дается выражением (2.101), иллюстрирует значение элементов матрицы (п 1 бЛ 1 п ). Коэффициент — это распределение собственных состояний, характеризуемых вектором п. Элементы (п 1 бЛ 1 п ) пропорциональны вероятности того, что взаимодействие бЛ индуцирует переход от множества п к множеству п. Для очень слаб1ых взаимодействий, когда е, имеют место только переходы первого порядка тогда как если 8 значительно, то и переходы второго порядка будут вносить вклад в скорость изменения (0). В переходах второго порядка бЛ означала индуцирует изменение от п" до п, а затем от п до п. [c.77]

При помощи квантовой механики можно количественно выразить разную нена-сьпценность углеродных атомов в бутадиене и других соединениях в виде индекса свободной валентности (Р). Максимальная степень связывания атома углерода исходя из теоретических расчетов составляет 4,732 условные единицы. Индекс свободной валентности определяют, вычитая из этой величины значения всех порядков связей (Р) данного атома с другими атомами. Так, величина Р для С(1> (а также С(4>), связанных с СН и Н, будет равна 4,732—(1,8942+2 1)=0,8378. Аналогично для С<2) и С, ) =4,732—(1,8942+1,4473+1)=0,3905. Таким образом, индекс ненасыщенности крайних углеродных атомов в системе гораздо выше, чем средних, что и проявляется в легкости присоединения именно к крайним атомам бутадиена. [c.94]

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ (в квантовой механике) — служит для полного задания состояния динамич. системы, т. е. дает возможность вычислить вероятность любого результата измерения, производимого над системой, или определить среднее значение любой физич. величины для данного момента времепи по значению В. ф. в данный момент можно определить В. ф. для любого другого момента времени. Т. о., знание В. ф. в принципе эквивалентно знанию всех имеющих физич. смысл характеристик рассматриваемой системы (атома, молекулы, твердого тела как целого) и их изменений во времени (в ходе химич. реакции). Для большинства сложных молекул точное вычисление В. ф. невозможно, в свяаи с чем приходится пользоваться приближенными методами кеантоеой химии. См. Квантовая механика. [c.323]

В отношении модели Бора новая физика действительно показывает, что она далеко не во всех своих частях реальна. Из квантовой механики вытекает, что при современном положении наших знаний мы вообще не можем говорить об определенных, строго дефинированных электронных орбитах, так как мы не можем точно ни рассчитать, ни наблюдать положение электрона в каждый данный момент, а знаем лишь средние значения во времени этих положений для каждой точки. Можно говорить лишь об уровнях (значениях) энергии электрона на каждом заданном расстоянии от ядра, которые имеют ту же величину, как если бы электрон занимал ту или другую определенную орбиту. Второй постулат Бора надо также понимать не буквально не электроны перескакивают от орбиты к орбите, а изменяется энергетический уровень атома вследствие изменения расположения электронов в нем на величину, отвечающую воображаемому перескоку электрона с одних стационарных орбит на другие. [c.93]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология