Собственные состояния и уравнение

Тогда m наименьших собственных чисел уравнения (4.83) совпадут с W значениями энергаи валентного электрона, т.е. состояния валентного электрона будут соответствовать основному и первым возбужденным состояниям в поле Vpj. [c.282]

Рещение волнового уравнения Шредингера для кристаллов и аморфных тел приводит к различным результатам. В то время как энергетические состояния валентных электронов, принадлежащие твердому телу периодического строения, образуют квазинепрерывные зоны,—для веществ непериодического строения характерно локализованное состояние валентных электронов. Только при некоторой критической величине кинетической энергии собственные функции уравнения Шредингера [c.117]

Как и следовало ожидать, при решении задачи об электронных состояниях молекулы приходим к выводу о существовании строго определенных значений энергии — собственных значений уравнения Шредингера, дозволенных для системы квантовыми законами. [c.96]

Предположим теперь, что прежде, чем было включено возмущение Я в момент t = О, система пребывала в одном из собственных состояний гамильтониана Яо, скажем в состоянии Таким образом, исчезают все коэффициенты, за исключением а р, причем а о = 1. Найдем теперь коэффициент первого порядка Omi, для чего нужно проинтегрировать уравнения (83). Тогда [c.97]

Записать операторы лля момента и кинетической энергии (стр. 465) II определить уравнение собственных значений, собственное значение, собственное состояние п собственную функцию (стр. 467). [c.418]

В геминальных парах начальное спиновое состояние является либо синглетным (в случае синглетного предшественника пары), либо триплетным (в случае триплетного предшественника пары). Начальное состояние РП не является собственным состоянием оператора энергии РП, волновая функция РП не остается без изменения. Ее изменение во времени дается уравнением Шредингера [c.22]

Прежде чем продолжить обсуждение эффектов когерентности в химических реакциях, кратко суммируем, что такое когерентность в квантовой механике. Рассмотрим некоторую молекулярную систему. Оператор энергии этой системы обозначим через Стационарные (собственные) состояния и уровни энергии этих стационарных состояний находятся из решения уравнения Шредингера [c.136]

Таким образом, при распаде молекулы образуется РП, у которой спины неспаренных электронов в момент образования пары оказываются не в собственном состоянии РП. Введем собственные функции РП, которые находятся из уравнения Шредингера [c.137]

Состояния отдельной молекулы определяются в квантовой механике из решения стационарного уравнения Шредингера [ 1 для волновой функции системы (т. е. для ядра и электронов, составляющих молекулу). Для каждого состояния (т. е. для каждой волновой функции) энергия молекулы находится как собственное значение уравнения Шредингера. Часто оказывается, что несколько различных состояний, т. е. несколько волновых функций, имеют одинаковое собственное значение энергии. Различные собственные значения энергии называются энергетическими уровнями и будут отмечаться индексом а, который обычно увеличивается с увеличением энергии. Энергия, соответствующая энергетическому уровню а молекулы сорта г, будет обозначаться через 81, а- Величины а, [c.439]

Расчет относительных интенсивностей. Ранее мы рассчитали энергии переходов с помощью разностей собственных значений соответствующих спиновых систем на основе правил отбора Дтт = 1. Однако при этом мы не обращали внимания на относительные интенсивности линий, т. е. на относительные вероятности переходов. В случае системы Аг мы хотели бы поступить другим образом. Примем вначале в качестве условия, что в общем случае относительные интенсивности пропорциональны квадрату так называемого момента перехода М между рассматриваемыми собственными состояниями и Он определяется по уравнению (V. 18), в котором используется оператор 1х. Применяя уравнение (V. 18) [c.157]

Например, для собственных состояний (2) и (3) системы Аг оказывается, согласно уравнению (М.22), что [c.167]

Для вырожденных состояний характерно следующее важное свойство любая линейная комбинация собственных функций вырожденного состояния снова является собственной функцией уравнения Шредингера В самом деле, пусть п функций Ч/ и, Ч/ 2 >. V л отвечают л-кратно вырожденному состоянию с энергией Еу Составим линейную комбинацию [c.27]

Здесь и / стандартная свободная энергия (ССЭ) молекул в газовой фазе и в адсорбированном состоянии Л ц и / — концентрация и ССЭ центров адсорбции 1 — расстояние от уровня Ферми на поверхности до верха валентной зоны (все энергии выражены в единицах кТ) п , Ь. — концентрация электронов и длина Дебая в собственном германии С — константа, учитывающая, что часть электронов, поставляемых адсорбатом, оседает в ловушках и не принимает участия в заряжении а. — положение уровня Ферми в собственном германии. Уравнение (1) удовлетворительно описывает данные по зависимости уровня Ферми от давления адсорбата, но ничего не говорит об энергетике адсорбции и заряжения. [c.112]

В обшем случае исходное состояние системы описывается волновой функцией, которую можно выразить в виде разложения по собственным функциям уравнения (4.49) [c.60]

До недавнего времени считали, что уравнение (1.3) выражает всеобщий закон. Какова бы ни была химическая природа растворителя и растворенного вещества, каково бы ни было агрегатное состояние раствора, каковы бы ни были давление и температура, считалось, что уравнение (1.3) всегда справедливо. По своей всеобщей справедливости уравнение (1.3), казалось, можно было поставить в один ряд с собственно термодинамическими уравнениями. Но уравнение (1.3), в сущности, не термодинамическое уравнение оно не следует только из принципов термодинамики, хотя и предназначено для определения важной термодинамической величины. [c.12]

Итак, разброс значений физических характеристик—явление принципиальное, зависящее от состояния системы . Согласно закону 3, всякое повторное измерение дает одно из собственных значений уравнения (III.6), однако какое это будет значение, заранее предсказать нельзя. По-видимому, можно считать, что в случае неопределенности значения L конкретная величина Ьп при измерении получается чисто случайно, т. е. что нет никаких неизвестных причин ( скрытых параметров ), благодаря которым имеет место именно L , а не какая-либо другая величина L . В квантовой механике законы 2 и 3 утверждают невозможность устранения разброса значений (за исключением случая, когда является собственной функцией оператора, соответствующего измеряемой величине), а следовательно, принципиальную невозможность предсказания результата отдельного измерения в рамках этого разброса. [c.56]

Вы правы. Согласно представлениям квантовой механики, разброс значений при измерении следует понимать как неопределенность значения L дО измерения. Если состояние частицы описывается волновой функцией, не являющейся собственной функцией оператора L, то в этом состоянии величина L неопределенная и не имеет смысла задавать вопрос, какова она. На вопрос, каков будет результат ее измерения, ответ следует дать в соответствии с законом 3 в результате измерения может получиться одно из собственных значений уравнения (HI.6.). [c.207]

Уравнение (3.42) является уравнением Шредингера для стационарного состояния, т. е. для. состояния, представляющего собственное состояние оператора энергии. [c.44]

В большинстве наших рассмотрений мы будем иметь дело с функциями состояния, представляющими собственные функции оператора энергии для данной системы. Для таких функций состояния уравнения (3.37) и (3.39) остаются в силе, если заменить Р( , t) на ( >( ), как это видно из соотношения (3.41) между этими функциями. Из постулированного вида операторов координат и импульсов можно получить важное правило для их произведения. Так как [c.45]

Теперь поставим перед собой задачу — найти собственные состояния р. Обозначим такое состояние через ф(Р ) и пусть (2.11) представляет собой его разложение. Мы должны определить коэфициенты (а. г р )- Разлагая уравнение для собственных значений [c.24]

Система линейных однородных уравнений определяет только отношение неизвестных, т. е. направление вектора, но не его величину. Однако из-за условия нормировки собственное состояние определяется его направлением (с точностью до фазового-множителя е ). [c.24]

Приравнивание этого определителя нулю дает уравнение степени для р, а его корни дают собственных значений fi, что согласуется с поставленными условиями. Каждому из этих корней принадлежит собственное состояние р, лежащее полностью в подпространстве, характеризуемом а. Кратному (кратности й аф ) корню Р будет принадлежать /р/ линейно независимых собственных состояний, лежащих в этом подпространстве. Поскольку все собственные состояния р даются (2.15) и поскольку ясно, что мы нашли полную систему решений (2.15), то отсюда следует, что мы нашли полную систему состояний ф (а р )> которые являются одновременно собственными состояниями и р. Если все же в этих состояниях продолжает существовать вырождение, тогда можно выбрать третью наблюдаемую у (не зависящую от а и в том смысле, что у не есть функция а и ), коммутирующую как с ас, так и с С помощью процесса, аналогичного описанному выше, мы можем найти полную систему собственных состояний у, являющихся одновременно собственными состояниями и р, т. е. имеющих вид ф(а Р )- продолжаем вводить независимые коммутирующие наблюдаемые до тех пор, пока не перестанем находить вырождение в состоянии, являющемся одновременно собственным для них всех. Число таких наблюдаемых есть квантово-механическая аналогия классического числа степеней свободы. Например, мы найдем, что для атома кальция, состоящего из 20 электронов и закрепленного ядра, необходимо 80 квантовых чисел для полного описания его состояния. Система наблюдаемых, скажем, Ти Та > с помощью общих собственных состояний которой мы можем описать полностью состояние системы, называется полной системой. Для краткости мы обозначим эту систему наблюдаемых через Г и будем записывать состояние, характеризуемое квантовыми числами ч Т виде ф (Г ) ). [c.25]

Эти уравнения выражают унитарное ) преобразование от одной системы собственных состояний к другой таким образом, (Г ДО и (Д [ ГО есть не что иное, как коэфициенты преобразований. [c.26]

Такие же уравнения получаются и для функции Шредингера (// ). В собственном состоянии энергии среднее значение какой-нибудь наблюдаемой л не зависит от времени 2). Это доказывается следующим образом [c.33]

Первоначальное уравнение, данное Шредингером ), являлось уравнением для частного случая а = Я, которое дает уровни энергии и собственные состояния, соответствующие полной энергии. [c.35]

Остановимся на свойствах собственных функций уравнения (3.7). При решенрш задачи о состоянии частицы (системы) мы получаем набор собственных функций )/ , щ, Уз,..., описывающих ряд стационарных состояний. Каждой функции и каждому стационарному состоянию отвечает определенное значение энергии 5, 2, и т.д. Набор допу стимых значений энергии, или дискретный спектр энергии, характерен для частиц, совершающих периодическое движение, подобно электрону в атоме. Для свободно движущейся частицы возможен непрерывный спектр энергии. [c.14]

Таким образом, описание стационарного состояния электрона в водородоподобном атоме дает атомная орбиталь — одноэлектронная волновая функция, характеризуемая совокупностью трех квантовых чисел п, / и /И/. При помощи ее можно рассчитать распределение электронной плотности в атоме и определить форму электронного облака вероятности. Атомные орбитали, являющиеся собственными функциями уравнения Шредингера, ортонорм 1лррваны, т. е. подчиняются условию (3.12) [c.23]

Дозволенные решения уравнения (П1.23) с соблюдением стандартных условий и требований (П1.26) называют собственными функциями. Выражение (П1.25) является полной собственной функцией уравнения Шрёдингера для атома водорода. Собственная функция характеризует состояние электрона в атоме и называется атомной орбиталью. Состояние электрона, или орбиталь, однозначно определяется набором квантовых чисап п, / и т/. Этот вывод имеет общее значение, так как эти квантовые числа определяют состояние электрона не только в атоме водорода, но и в любом другом атоме. [c.31]

Теперь мы в принципе готовы рассчитывать собственные зна чения для любых спиновых систем с помощью уравнения (V. 2) правил, сформулированных в уравнениях (V. 11), и свойств вол новых функций аир, определенных уравнениями (V. 12). Важ но, впрочем, подчеркнуть, что с помощью развитого выше фор мализма могут быть определены только относительные энерги собственных состояний спиновой системы. Мы практически уст ранили вопрос об абсолютных энергиях, введя резонансные час ТОТЫ и константы спин-спинового взаимодействия /, , ка феноменологические параметры. Эта процедура обходит значр тельно более серьезные трудности абсолютного расчета спект ральных параметров, при котором возникают те же затруднени5 как и при точном решении проблемы химической связи, так каь прежде чем вычислять константы экранирования в магнитно поле и константы спин-спинового взаимодействия, следует ре шить уравнение Шредингера для невозмущенных молекул. О нако знание относительных энергий собственных состояний си стемы — это все, что необходимо в спектроскопии ЯМР, та как спектральные частоты зависят только от разности энерги собственных состояний. Далее мы проведем расчет для некотс рых простых спиновых систем с использованием основ, развиты выше, и по ходу изложения будем вводить дополнительны важные правила. [c.148]

Рассмотрим еще раз эксперимент, который только что бьи описан, однако на этот раз обратим внимание на величинь энергий, обменивающихся с решеткой в релаксационном про цессе. Для любой квантовомеханической системы, которая ха рактеризуется двумя уровнями энергии Ер и Ед, равновесие ус танавливается таким образом, чтобы число переходов Ер Е, было равно числу переходов Ед Ер. Отсюда следует, что дл собственных состояний (1) и (4) спиновой системы выпол няется уравнение [c.320]

А — электронный, X —ядерный спин) должна отражаться i расщеплении сигналов спектра ЯМР. Имеются, однако, две при чины, объясняющие, почему это не так. Первая причина — эт( быстрая спиновая релаксация электронов, а вторая — это быст рый обмен электронов между анион-радикалами (R ) или диа магнитными молекулами (R) в растворе. Как и в случае мета нола (разд. 1 гл. VHI), имеет место усреднение по времени и расщепления исчезают, так как электрон взаимодействует ( большим числом ядер в различных спиновых состояниях. Усредненная линия ЯМР должна находиться там же, где и соответствующий сигнал диамагнитного соединения. Однако, каь показывает явление контактного сдвига, этого не происходит Причина заключается в различной населенности двух электронных собственных состояний. Поскольку разность энергии /ivs (см. разд. 2.4) существенно больше соответствующего вклада hv] в ядерный резонанс, то низкоэнергетический ypOB Hi (ms = +1/2) будет существенно более населен и он будет входить с существенно большим весом N+u2 > Л/ -1/2) при усреднении V по времени в соответствии с уравнением [c.354]

В 1 2 было показано, что в тех случаях, когда происходагг вырождение, линейная комбинация собственных функций уравнения Шредингера является решением этого же уравнения Если построить линейную комбинацию из таких решений уравнения Шрёдингера для атома водорода, которые отвечают, например, четырехкратно вырожденным состояниям для главного квантового числа, равного двум, или девятикратно вырожденным состояниям для главного квантового числа, равного трем, то эти линейные комбинации снова будут одними из решений задачи [c.43]

Рассмотрим ряд детерминантных функций, каждая из которых содержит определенный набор одноэлектронных волновых функций В каждом одноэлектронном состоянии размещен один электрон Будем употреблять для определенности спин-орбитали, т.е функции, которые содержат пространственную и спиновую части Дпя сокращения записей, однако, не будем выписывать отдельно пространственные и спиновые части, ограничившись одним символом Каждый из таких детерминантов является собственной функцией уравнения Шрёдингера, записанного без учета электрон-электронного взаимодействия Если составить подобные детерминанты для всех возможных или очень большого числа собственных функций, то тогда решение уравнения с дополнительными чле- [c.272]

В принципе численное решение для трехмерного течения газа можно получить путем совместного решения трех уравнений сохранения количества движения для газа, уравнения состояния, уравнений сохранения массы и состава смеси для шести неизвестных иг, Пву р, р, с. Даже с учетом того, что уравнение сохранения энергии не используется, решение такой системы сопряжено с определенными трудностями. Самая большая из них заключается в том, что дифференциальные уравнения в частных производных для газовой фазы — комбинированного параболическо-эллиптического типа, поэтому анализ затруднен из-за сложности решения начальной задачи Коши. Для решения такой системы уравнений, как задачи на отыскание собственных значений, необходимо полное описание неизвестных во всех точках (/, 0) границы с последующей зоной трубок тока. Но степень сгорания топлива на этой нижней границе зоны горения заранее не известна, поэтому неизвестны концентрации распыленной жидкости и скорости жидкости и газа, как и продольное распределение давления. [c.156]

Применение матриц Рэдфилда для представления релаксационного супероператора (разд. 2.3.2) позволяет записать это важное уравнение в более наглядной форме. В отсутствие вырождения каждый недиагональный матричный элемент a(i) на собственных состояниях Ж эволюционирует независимо [c.201]

Когерентные состояния можно также определить [15] как собственные состояния неэрмитового оператора уничтожения фононов, т. е. как решения уравнения [c.156]

Более подробно это будет обсуждаться в разд. 2.4.) Такая формулировка средних величин поразительно схожа с формализмом квантовой механики, задаваемым через функцию состояния . Более того, как мы видели, уравнения, которым удовлетворяют и имеют одинаковую математическую структуру. Аналогия простирается и далее. Ранее мы нашли, что решение уравнения Лиувилля можно выразить через ряды по собственным состояниям оператора Л, т. е. по функциям ехр (— сОпО X X фп (р, ч) (см. уравнение (2.64)). Каждая такая функция, будучи решением уравнения Лиувилля, представляет возможное независимое состояние системы. Для многомерных периодических систем расширенные собственные состояния ехр ( Есог г )-фп (01,. . 0N) становятся связанными с собственными колебаниями такой системы. Задача с начальными данными, решение которой дается выражением (2.101), иллюстрирует значение элементов матрицы (п 1 бЛ 1 п ). Коэффициент — это распределение собственных состояний, характеризуемых вектором п. Элементы (п 1 бЛ 1 п ) пропорциональны вероятности того, что взаимодействие бЛ индуцирует переход от множества п к множеству п. Для очень слаб1ых взаимодействий, когда е, имеют место только переходы первого порядка тогда как если 8 значительно, то и переходы второго порядка будут вносить вклад в скорость изменения (0). В переходах второго порядка бЛ означала индуцирует изменение от п" до п, а затем от п до п. [c.77]

Параметры Vn являются временами релаксации для собственных состояний-фд. Будем считать, что начальное значение функции распределения ф (I, t) задается (невырожденной) собственной функцией -фд. Тогда соотве,тствующим решением уравнения (5.90) будет [c.289]