Дифференциальные уравнения реологических тел

Математическая модель движения несжимаемой неньютоновской жидкости может быть представлена в виде системы дифференциальных уравнений, состоящих из уравнения неразрывности потока (закон сохранения массы), уравнения сохранения импульса, уравнения сохранения энергии, реологического уравнения и уравнения состояния. В книге этот метод используется для описания конкретных процессов. На современном этапе, по-видимому, наиболее верным направлением является сочетание физических и математических методов моделирования, дополняющих друг друга, и правильный выбор критериев перерабатываемости. [c.36]

Дифференциальное уравнение, соответствующее реологической модели Зинера, имеет вид [c.186]

Реологическое дифференциальное уравнение второго порядка для модели Алфрея имеет вид [c.21]

Некоторые конкретные результаты использования операторов разного строения в дифференциальных моделях вязкоупругих сред будут получены в последующих главах и использованы для теоретического объяснения экспериментальных результатов, касающихся напряжений и соотношений между ними при простом сдвиге и одноосном растяжении. Здесь же ограничимся только указанием путей и способов построения нелинейных реологических уравнений дифференциального типа, обобщающих операторное уравнение состояния линейной вязкоупругой среды. [c.115]

Далее будут рассмотрены дифференциальные уравнения таких тел, у которых реологические коэффициенты не зависят ни от времени, ни от напряжений в соответствующей стадии деформирования. [c.144]

Методы расчета рабочего процесса вальцевания эластомеров. В настоящее время известны три метода математического описания процессов вальцевания и каландрования полимерных материалов. Первый из них базируется на выводе эмпирических зависимостей путем обработки экспериментальных данных с помощью теории подобия, второй — на использовании теории прокатки металлов, основой третьего является совместное решение системы дифференциальных уравнений (неразрывности потока, сохранения импульса, сохранения энергии, реологического уравнения состояния и др.) при определенных начальных и граничных условиях. [c.117]

Используя эту зависимость, можно удовлетворительно объяснить полученные экспериментальные результаты (рис. 111.30). Строгое решение задачи о формировании адгезионного контакта но реологическому механизму требует интегрирования дифференциальных уравнений Навье—Стокса для неустановившегося течения, так как происходит непрерывное уменьшение градиента давлений и скорости затекания [128]. Ввиду сложности этой задачи в работе [128] рассмотрена упрощенная модель процесса затекания расплава полимера в микродефекты подложки. Принято, что в общем виде функция, определяющая глубину затекания I, имеет вид [c.124]

Каландрование полимеров, рассмотренное в гл. X, во многом подобно вальцеванию. Поэтому его изотермическая модель в принципе не отличается от модели вальцевания. Определенные отличия возникают при учете разогрева за счет работы вязкого трения и теплообмена с валками каландра. Модели такого рода уже не удается свести к аналитическим зависимостям. Поэтому они представляют собой системы дифференциальных уравнений движения сплошной среды, дополненных уравнениями неразрывности, теплопроводности и реологическими уравнениями состояния. Задавая соответствующие граничные условия, можно решить эту систему уравнений численными методами. Результаты такого решения применительно к каландрованию резиновых смесей показывают, что распределение температур по сечению листа сильно зависит от реологических характеристик полимера. В некоторых случаях внутри каландруемого материала возможен локальный перегрев, достигающий десятков градусов. [c.13]

Применение критерия (3) позволяет исключить из реологического уравнения состояния (I) функцию Р(с) и значительно упростить решение математической модели исследуемого процесса. Приближенное аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, описывающих процессы реодинамики и теплообмена в текущей по плоскому каналу вязкоупругой жидкости (1) при граничных условиях первого рода, приведено в [4]. Представленные в этой работе результаты дают возможность описать развитие по длине канала как профиля температуры, так и профиля скорости и, таким образом, установить зависимость Т = Т(1) для произвольного микрообъема среды. [c.52]

Учет зависимости реологических параметров от температуры приводит к тому, что исходная система дифференциальных уравнений движения и теплообмена становится существенно нелинейной. В этом случае получить аналитическое решение, как это было сделано в работе [5], не представляется возможным. [c.88]

Три приведенных выше уравнения составляют систему, которая содержит зависимые переменные уь Уг, у и т. Комбинируя определенным образом эти уравнения, можно исключить из четырех любые две зависимые переменные. Реологическое уравнение для модели получается исключением у1 и уг. Оно является дифференциальным уравнением второго порядка [c.59]

Когда имеем m элементов Максвелла, соединенных параллельно, то реологическое уравнение становится линейным дифференциальным уравнением т-порядка. Оно может быть записано в виде [c.71]

Написать дифференциальное уравнение идеального диспергирующего смесителя, работающего в изотермическом режиме, принимая во внимание выделение тепла внутри материала и используя степенной закон для описания реологического поведения материала. [c.367]

Аналитическое описание осесимметричного распространения слоя идеальной пены сводится к системе дифференциальных уравнений в частных производных, отражающих второй закон Ньютона и условие сплошности течения с учетом реологических свойств пены [формулы (1.26) и (1.33)]. [c.31]

Внешний теплообмен реологических жидкостей оказывается более сложным по сравнению с аналогичной задачей для ньютоновской жидкости, так как в общем случае уравнения пограничного слоя здесь не могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Некоторые частные решения внешнего теплообмена получены в монографии [26]. [c.80]

В практических целях приходится искать упрощенный метод, позволяющий описать систему уравнениями, аналогичными уравнениям механики сплошных сред для однофазной жидкости, т. е. ограниченным числом дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными условиями. Изучению этого вопроса посвящено значительное число работ, в большинстве которых рассматривается зависимость между реологическими характеристиками суспензии и свойствами твердых [c.74]

Уравнения (1.79) и (1.80) можно рассматривать как интегральные реологические уравнения состояния вязкоупругих сред. Если же спектры распределения времен релаксации и запаздывания дискретные, то использование этих интегральных уравнений состояния, котя и возможно, но неудобно из-за того, что нри их практическом применении приходится оперировать с дельта-функциями. Поэтому если релаксационный спектр не непрерывный и состоит из отдельных точек ( линий ), то обычно переходят от интегральных уравнений состояния к дифференциальным, для чего используют обобщенные модели Максвелла и Кельвина — Фойхта. Выше уже говорилось [c.100]

Первое из этих дифференциальных уравнений (1.22) описывает поведение реологической среды Кедьвина—Фойгта. а второе— Максвелла. Среда Кельвина является в сущности твердым телом и ТГе Сггособна течь, однако деформация в нем при приложении напряжения устанавливается не мгновенно, как у тела Гука, а с запозданием — из-за наличия компоненты вязкости, включенной параллельно упругой компоненте, и может иметь характер замедляющейся ползучести. Поэтому среда Кельвина описывается моделью запаздывающей упругости или твердого упругого тела с внутренним трением [21—23]. [c.19]

Рассмотрим, папример, модель с двумя временами релаксации, что позволяет получить представление о способе построения дифференциальных реологических уравнений состояния для материала с дискретным распределением времен релаксации. Эта модель показана на рис. 1.20, где приведены также обозначения констант. Реологическое уравнение состояния каждой ветви модели имеет вид [c.100]

Если теперь увеличивать число параллельно соединенных максвелловских элементов, то этому будет отвечать повышение порядков-дифференциальных операторов. Тогда для вязкоупругой жидкости с произвольным числом дискретно распределенных времен релаксации реологическое уравнение состояния можно представить в следующем виде [c.101]

Реологическое уравнение дифференциального типа в общем случае записывается в форме [51] [c.29]

Распределение времен релаксации моя ет быть непрерывным, как в рассматривавшихся выше интегральных реологических уравнениях состояния, и дискретным, подобно моделям, построенным из параллельно соединенных максвелловских элементов. Ради простоты рассмотрим течение в режиме простого сдвига для системы с непрерывным распределением частот релаксации. В некоторой дифференциально малой части спектра, релаксационная частота которого заключена в пределах от до ( + ёв), эффективный модуль, характеризующий эту часть спектра N (в) (1в, а вязкость N (в)/в с1в. Упругая энергия Е в)д,в, накапливаемая в процессе сдвигового течения структурными элементами, ответственными за релаксацию с частотой от 5 до ( + в), равна [c.109]

Основной результат, который следует из изложенных выше теорий, состоит в том, что, используя представление о формулировке реологических уравнений состояния в конвективной системе координат и учитывая тем самым необходимость согласования систем отсчета нри записи этих уравнений, удается предсказать на основе геометрических соображений существование эффекта аномалии вязкости. Однако при этом не достигается количественное соответствие теоретических формул (во всяком случае простейших из них) с экспериментом. С формальной точки зрения уточнение теории требует введения новых, более сложных способов записи реологических уравнений состояния. Это означает, что явление аномалии вязкости не сводится к чисто геометрическим представлениям процессов вращения и переноса элементов среды в пространстве. Можно предполагать, что введение сложных дифференциальных операторов является формальным способом отражения тех физических (структурных) изменений, которые происходят в среде одновременно с перемещением ее частиц в пространстве. Эти изменения вносят свой вклад в наблюдаемый эффект аномалии вязкости. [c.175]

Использование различных форм записи реологических уравнений состояния в конвективной системе координат с последующим преобразованием этих уравнений в неподвижную систему координат с помощью тех или иных дифференциальных операторов позволяет получать самые различные формы корреляции стационарных и динамических характеристик упруговязких систем. При [c.307]

При объяснении и количественном описании эффекта Вейссенберга, возникающего в текучих средах, обычно используется иной подход, основанный на рассмотрении жидкости как вязкоупругого материала, свойства которого характеризуются некоторым релаксационным спектром (см. подробно в гл. 3), способного к развитию больших упругих деформаций.Последнее предполагает необходимость использования кинематических соотношений, сформулированных в разделе 4 гл. 1, т. е. реологическое уравнение состояния записывается для окрестности некоторой точки перемещающейся среды (в конвективной системе координат) и затем с помощью тех или иных дифференциальных операторов преобразуется к пространственной системе координат. [c.334]

Техника применения дифференциальных операторов различного строения для обобщения реологических уравнений состояния с дискретным распределением времен релаксации была подробно описана в разделе 5.10 гл. 2, где были также указаны методы вычисления нормальных напряжений через константы некоторых реологических моделей. Это позволило представить нормальные напряжения в виде функций скорости сдвига. Вид этой функции зависит, во-первых, от формы дифференциального оператора, использованного для перехода от конвективной системы координат к неподвижной, и, во-вторых, от числа членов, сохраняемых в уравнении состояния (1.104). Здесь приведем только результаты вычислений, основанных на использовании наиболее важных дифференциальных операторов применительно к модели с произвольным числом слагаемых. [c.334]

Совершенно очевидно, что системе с большим числом внутренних релаксационных процессов можно сопоставить очень много различных по структуре разветвленных моделей, отвечающих одному и тому же дифференциальному реологическому уравнению и, следовательно, совершенно эквивалентных, неразличимых с экспериментальной точкой зрения. Поэтому при отсутствии каких-либо молекулярных соображений о структуре модели наиболее разумно выбирать ее из соображений математической простоты. Наиболее простыми являются канонические модели (см. рис. 11.6), которые поэтому обычно и применяют для интерпретации экспериментальных результатов. К соответствующей форме стремятся привести и результаты теоретических расчетов. [c.149]

Дробно-экспоненциальные операторы. Переход в выражениях (VI. 164) и (VI. 165) от дифференциальной формы записи реологических уравнений к интегральной приводит к экспоненциальной функции памяти [c.338]

Реологические уравнения дифференциального типа [c.29]

Однако во многих случаях (к ним относятся и общие вопросы описания течения ньютоновских жидкостей) вариационный принцип либо не существует, либо его существование далеко не очевидно, Тем не менее эти проблемы часто могут быть описаны семейством дифференциальных уравнений (например, уравнениями неразрывности, движения и реологическим уравнением состояния) вместе с их граничными условиями. В таких случаях самый простой способ получения уравнений МКЭ состоит в использовании весовых остаточных методов—таких, как метод коллокаций или метод Га-леркина [27]. [c.597]

При этом в обычных химических теплообменных аппаратах составляющей рдисс пренебрегают из-за ее малой величины для так называемых ньютоновских жидкостей . Учет диссипативных характеристик в любом случае усложняет постановку и решение неизотермических задач. Классические и наиболее распространенные случаи решения неизотермических задач выполнены при условии независимости теплофизических и реологических свойств жидкости от температуры. В этом случае гидродинамическая обстановка процесса течения принимается заданной, т. е. интегрирование уравнений движения и энергии производится раздельно. В противном случае аналитическое решение задачи невозможно из-за нелинейности дифференциальных уравнений. [c.97]

Принимая описанную выше модель отшерохованной поверхности субстрата и пренебрегая влиянием соседних выступов, л. ожно свести задачу к рассмотрению процесса погружения в упруговязкий адгезив единичного выступа определенной геометрической формы (полусфера, полуцилиндр, призма, конус, пирамида). Для получения приближенного решения этой задачи можно воспользоваться методом, использованным И. В. Кра-гельским для анализа реологических явлений при трении, применив для описания свойств упруговязкого адгезива широко известное дифференциальное уравнение Максвелла [c.101]

Решение задач, возникающих при построении математических моделей процессов переработки, сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (III. I), (111.2), (III.4), дополненных реологическим уравнением состояния и соответствующим образом выраженными начальными и граничными условиями. К сожалению, вследствие специфики свойств полимерных материалов решение может быть получено только численными методами, и для этого требуется значительное время даже при использовании современных быстродействующих цифровых вычислительных машин. Поэтому в настоящее время широкое распространение получила практика построения приближенных математических моделей, обладающих тем не менее достаточно высокой степенью адэкватности реальным процессам. [c.93]

Дифференциальные нелинейные реологические уравнения состояния. Аналогично тому как реологическое уравнение состояния линейной вязкоупругой жидкости может быть представлено в виде интегрального соотношения (1.79) или в альтернативной форме — Б виде дифференциального (операторного) уравнения (1.104), также и для нелинейной модели вязкоупругого тела возможно ее представление в виде интегральных операторов — наследственных функционалов или в виде нелинейных дифференциальных уравнений состояния с ограниченным числом констант. Основным условием, которое требуется учитывать при построении дифференциальных реологических уравнений состояния, является необходимость использования тензорных величин и их производных по времени, а также согласование систем координат, в которых устанавливаются реологические связи между компонентами тензоров напряжений и ск ростей деформаций. [c.112]

Интегральное реологическое уравнение состояния наследственной жидкости с линейной и бинарной релаксационными функциями, обобщенное по Олдройду, для стационарных течений предсказывает такую же зависимость напряжений от скорости деформации, как и дифференциальное уравнение состояния жидкости второго порядка. [c.113]

Для получения реологического уравнения состояния, отвечающего модели Бургерса — Френкеля, необходимо из уравнения (3.1) исключить составляющие еформаТ] ии, заменив их напряжениями. Соответствующие преобразования приводят к следующему дифференциальному уравнению, описывающему свойства вязкоупругой жидкости [c.236]

Известен ряд работ в которых эта задача математически исследована достаточно полно. Однако полученные решения нельзя считать исчерпывающими. Так, Григул и Бринк-ман1 рассматривали течение ньютоновской жидкости, пренебрегая ее расширением. Бирд пытался приближенно учесть неньютоновские свойства жидкости, но также не учел объемного расширения жидкости. Typii 1 показал, что нельзя не принимать во внимание объемное расширение жидкости, но, так же как и Бирд, предположил, что реологические свойства не зависят от температуры . Джи и Лайон попытались решить более общую систему дифференциальных уравнений, и после широкого применения численных методов решения получили выражение, описывающее поведение одного определенного полимера. Однако полученные этими авторами результаты имеют частный характер. Авторы не приводят никаких обобщающих таблиц, пользуясь которыми можно было бы решать подобные задачи . [c.77]

Дальнейшие возможности обобщений реологических уравнений дифференциального типа связаны, во-первых, с использованием полного операторного уравнения состояния (1.104) с производьно большим числом слагаемых как в левой, так и в правой части и, во-вторых, с применением в этом уравнении состояния дифференциальных операторов сложного строения. [c.114]

Оператор еще более сложного строения предлагался Т. Сприггсом . Им использовалось реологическое уравнение состояния, соответствующее набору максвелловских элементов. Дифференциальный оператор Оа записывался следующим образом [c.173]

Нормальные напряжения в вязкоупругой среде. Появление нормальных напряжений при сдвиговом течении вязкоупругой среды обусловлено тем, что в этой жидкости развиваются большие упругие деформации, и вследствие этого необходимо записывать реологическое уравнение состояния для элемента объема, перемещающегося в пространстве, и учитывать кинeмa икy движения среды. Этот факт был отражен выше введением в реологические уравнения состояния среды с дискретным распределением времен релаксации дифференциальных операторов различного строения. Очень наглядно влияние перемещения среды в пространстве на возникающие напряжения прослеживается при анализе движения вязкоупругой среды с непрерывным распределением времен релаксации, описываемым принципом суперпозиции Больцмана. [c.335]

Формула (4.12) уже обсуждалась как одно из следствий линейной теории вязкоупругости (см. раздел 8 гл. 1). Поэтому использованный метод обобщения реологического уравнения состояния не предсказывает эффекта аномалии вязкости, ибо он тождествен применению дифференциального оператора Олдройда До в уравнении состояния вязкоупругого тела с дискретным распределением времен релаксации. Как показано в разделе 5.10 гл. 2, этот способ формулировки реологического уравнения состояния не может описать зависимости эффективной вязкости от скорости сдвига. Не удается этого сделать и исходя из интегрального уравнения состояния (4.11). [c.337]

Таким образом, для ПИНС Э1 можно записать 700 = й-10 или й = 70. Последнее уравнение можно использовать для расчета ожидаемых гарантийных сроков защиты ПИНС по системе моделирования и оптимизации, исходя из общей балльной оценки их суммарных функциональных свойств. Понятие идеального ПИНС предопределяет, что продукт должен иметь небольшую вязкость, полутвердую, эластичную пленку, высокую температуру каплепадения активного вещества, хорошие реологические свойства и, как отмечалось, все без исключения дифференциальные функциональные свойства выше нормы . [c.24]

Такое представление свойств линейной вязкоупругой среды не является единственным, однако имеет перед другими моделями преимущество, которое заключается в незначительном числе физических констант, позволяющих описать поведение материала в широком температурном интервале, а также в наличии доступных экспериментов для определения этих констант. Описание реологических свойств с использованием ядер разностного типа (ядра ползучести и релаксации) позволяет применить для решения задач механики большое число хорошо разработанных математических приемов. Однако при описании механического поведения материала в процессе его получения необходимо вводить зависимость параметров ядер ползучести и релаксации от температуры и степени превращения. Это связано с тем, что релаксационные свойства материала изменяются на протяжении всего процесса структурирования, причем релаксационный спектр максимально расширяется в гёль-точке с последующим сжатием и перемещением по временной оси [138]. Вследствие этого при использовании интегральных соотношений приходится переходить к ядрам неразностного типа [136], а при использовании дифференциальных моделей (в форме обобщенного уравнения Максвелла) [139] необходимо учитывать изменения спектра времен релаксации. Эти обстоятельства во многом усложняют решения задач, которые к тому же становятся трудно обеспечиваемыми экспериментом. [c.83]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология