Доверительные интервалы для параметров

Во всех случаях квадратный корень из дисперсии параметра дает среднюю квадратичную ошибку, а доверительный интервал параметра вычисляют по формулам [c.91]

Таким образом, получение оценки параметра и доверительного интервала существенно зависит от вида функции распределения, которая, к сожалению, не всегда является функцией Гаусса. Если число измерений невелико и вид распределения неизвестен, то можно воспользоваться неравенством Чебышева [c.144]

Теоретический расчет значения к7 по уравнениям (4.10), (4.11) имеет очень высокую погрешность (500 — 800)% из-за совершенной неясности конфигурации активированного комплекса и трудностей, связанных пе только с выбором параметров потенциальной функции, но и поправочных коэффициентов на несферичность потенциала. Если, однако, рассматривать результаты расчета как устанавливающие лишь относительный ряд активности по третьему телу и пересчитать их на опорные значения А = / (Т, М) для М = Нз, взятые из экспериментов [102, 120], то получим (см. табл. 5) [32, 82] доверительный интервал 50% в области температур -<1000 К и 250% в области температур (1000- 2000) К. [c.273]

Наличие уравнения линейной регрессии с числовыми значениями всех метрологических параметров при измеренных значениях аналитического сигнала анализируемой пробы (уан) позволяет перейти к расчету метрологических характеристик результатов анализа, х а — концентрации (содержанию) определяемого компонента, — стандартного отклонения результата анализа Хц Ахц — доверительного интервала результата анализа 5 — коэффициента чувствительности предела обнаружения (в случае необходимости). [c.42]

Это нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице, носит название нормированного стандартного распределения. Оно описывает все частные виды нормального распределения с любыми параметрами р. и а. Поэтому сопряженные между собой критерии статистической оценки (доверительные интервал и вероятность) всех случайных величин могут быть сведены в единую таблицу, Обычно в зтой таблице (табл, XIV. 1) против [c.827]

В основе статистических оценок нормально распределенных случайных величин по выборочным параметрам лежит распределение Стьюдента, связывающее три важнейших характеристики выборочной совокупности — ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки п (или число степеней свободы выборки / = [c.833]

При одновременном определении нескольких параметров, что является одной из задач кинетических исследований, возможна их взаимная корреляция, что обусловлено следующим. Отклонение рассчитанного параметра процесса от его среднего экспериментального значения в каждой точке А и не должно превышать доверительного интервала его измерения Ец и связано с точностью определения Ад- соотношением [c.23]

Как отмечалось выше, существенно иметь меру точности оцениваемого параметра, например в виде доверительного интервала. Этот доверительный интервал можно использовать в свою очередь для построения доверительного интервала для прогноза, сделанного по подобранной модели. [c.137]

Распространение результатов разд 4 3 2 на случай оценки нескольких параметров наиболее быстро получается с помощью теории матриц Эти результаты выведены в приложении П4 1, а в настоящем разделе лишь кратко резюмированы В приложении П4 1 показано, что доверительный интервал заменяется в случае нескольких параметров доверительной областью в /г-мерном пространстве параметров б Показано также, что еще одна интерпретация оптимальности оценок наименьших квадратов состоит в том, что они минимизируют объем доверительной области для параметров Для любого отдельного параметра это означает, что оценка наименьших квадратов минимизирует длину доверительного интервала по координате, соответствующей этому параметру [c.141]

Равенство (4 4 5) пропорционально равенству (4 4 3), и, согласно принципу правдоподобия, информация относительно параметра р, содержащаяся в обоих экспериментах, одинакова Если же принять метод выборочных распределений, то выводы, которые должны быть сделаны из этих двух экспериментов, будут разными, так как выборочные пространства и распределения вероятностей являются в них различными Следовательно, доверительный интервал для р в первом эксперименте отличался бы от доверительного интервала во втором [c.148]

Статистические тесты Оценка параметра и доверительный интервал [c.428]

Строго говоря, вероятность того, что доверительный интервал содержит значение оцениваемого параметра г, может быть равна только О или 1, в зависимости от того, содержит ли он значение г в действительности или нет. Поэтому говорить, что данный доверительный интервал i А содержит г с вероятностью (1 — а), некорректно. Однако если мы возьмем большое число выборок одинакового объема п и для каждой из них построим свой доверительный интервал, то приблизительно в (1 — а)100% случаев значение г попадет в доверительный интервал (I — к,1 + к). [c.429]

Степень возможной близости оценки Т к генеральному (неизвестному) параметру т можно выразить количественно, если найти вероятность того, что значение Т лежит в некотором интервале т к, где к — некоторая константа. Заметим, что вероятность того, что Т принадлежит интервалу т /с, такая же, как и вероятность того, что т принадлежит интервалу Т к. Интервал Т к случайный (поскольку Т —случайная величина). Каждая отдельная реализация этого интервала называется доверительным интервалом, а его граничные значения — доверительными пределами. Вероятность Р = (1 — а) того, что (случайный) доверительный интервал содержит т, называется доверительной вероятностью, а величина а — уровнем значимости. Как правило, а полагают равным 0,05, реже 0,01 и еще реже 0,001. Таким образом, если а = 0,05, это означает, что с вероятностью 95% интервал Т /с содержит значение т. Чем выше доверительная вероятность, тем шире соответствующий ей доверительный интервал. При Р —> 1 доверительный интервал расширяется неограниченно. [c.429]

Разумеется, доверительный интервал несет в себе больше информации, чем просто значение оценки. Ширина доверительного интервала, определяемая выбранной доверительной вероятностью, характеризует степень возможной близости оценки к неизвестному параметру генеральной совокупности. Очевидно, что при заданном значении а ширина доверительного интервала уменьшается с ростом объема выборки. Однако поскольку скорость этого уменьшения невелика (в соответствии с зависимостью 1/ /п), на практике увеличение объема выборки сверх разумных пределов нецелесообразно достигнутое сужение доверительного интервала может не компенсировать затрат времени и средств, необходимых для выполнения дополнительных анализов . [c.431]

Задача интервального оценивания состоит в определении по данным выборки числового интервала, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно утверждать, что внутри интервала находится оцениваемый параметр. Точечные оценки не дают информации о точности конкретной величины. Интервальная оценка позволяет с высокой вероятностью искать истинное, но не известное значение параметра распределения генеральной совокупности. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом числе наблюдений. Доверительный интервал наблюдения можно представить следующей зависимостью [c.262]

Преобразовав формулу (6.1) доверительного интервала для параметра ц, получим [c.264]

Константы а и 6 — выборочные оценки теоретических параметров а и / . Как и для отдельных значений [уравнение (3.9)], для а и 6 можно указать доверительный интервал. Для этого сначала вычисляют дисперсию разности между опытными (у,) и рассчитанными У, значениями [c.167]

Средняя линия соответствует среднему качеству продукции, а следовательно, параметру // распределения. Если ошибкой метода анализа пренебречь, то среднее квадратичное (г как рассеяние отклика х, обусловленное производством, соответствует параметру (Тх определенного распределения. Для последующей оценки доверительного интервала надо проверить полученные данные на нормальность, т. е. на соответствие гауссову распределению. Это делают обычно графически (см. разд. 3.1) или с помощью вычислений (см. разд. 7.8). Представления такого типа, когда данные постоянно накапливаются, называются контрольными картами. При наличии нормальности распределения предполагают, что значения качества (и, следовательно, лежащий в их основе процесс) находятся в управляемом состоянии, пока значения Х (1) рассеиваются внутри границ /I Зсг(Р = 0,997) (или // 2,58<т и соответственно Р = 0,99). Появление значений выше или ниже этих контрольных пределов означает, что соответствующие данные с вероятностью Р больше не принадлежат генеральной совокупности с этими /I и сг. Многократное появление значений выше или ниже контрольного предела в каком-либо одном направлении дает повод к проверке стабильности производственного процесса. Подозрение о наличии систематических изменений возникает также тогда, когда [c.208]

Если для случайной вещественной величины 4 определена зависящая от вещественного параметра ф функция распределения Р < х ф) = 0 х,ф), которая монотонно возрастает или убывает с ростом ф, то нижняя (верхняя) граница 7-доверительного интервала ф х) [ф х)) с коэффициентом доверия 1 — 7 находился как верхняя грань значений ф G [ф,ф], удовлетворяющих неравенству [c.25]

Определение момента окончания приработки на основании скорости счета акустической эмиссии. Суть методики заключается в следующем. Через равные промежутки времени, например через 1 мин, определяют значения скорости счета АЭ. В результате получают выборку из п случайных величин -значений скорости счета N . Далее определяют среднее значение и среднеквадратическое отклонение полученной выборки, находят границы доверительного интервала и определяют относительное изменение скорости счета в начале и конце измерений, которое характеризует степень приработки пары трения. Приработка считается законченной, если последовательные выборки статистически не различаются по параметру причем параметр находится в заранее установленных пределах, значения которых обычно выбирают равными 5 или 10%. Выборка при заданном интервале времени измерений для получения статистически значимых результатов должна содержать не менее [c.187]

Оценка в тем точнее, чем меньше для заданного у окажется Д. Из соотношения (2.29) следует, что вероятность того, что доверительный интервал (в - Д в +А) со случайными границами накроет известный параметр в, равна у. Величину А, равную половине ширины доверительного интервала, назьшают точностью оценки, а вероятность у - доверительной вероятностью (или надежностью) оценки. [c.30]

Доверительный интервал (доверительная область) для некоторого параметра (совокупности параметров) функции распределения есть интер- [c.37]

Воспроизводимость результатов капиллярного неразрушающего контроля вычисляют, пользуясь методом двукратных совпадений, как процентное отношение доверительного интервала количества индикаций однотипных несплошностей, выявленных по их заданному оптическому и (или) геометрическому параметру испытуемым методом (материалами), к количеству индикаций, выявленных образцовым методом (материалами) на группе объектов, например, лопаток турбин с однотипными многочисленными несплошностями (трещинами, порами и т.п.). [c.577]

Доверительный интервал параметра сдвига /(нЦ в соответствии с формулой Дабая [c.30]

I ый интервал при данной доверительной вероятности определяет точность оценки. Величина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности, с которой гарантируется нахождение параметра а внутри доверительного интервала чем больше вели- пна р, тем больше и величина Ер (т. е. чем с большей надежностью хотим гарантировать полученный результат, тем в большем интерва- 1е значений он может находиться). Увеличение числа опытов проявляется в сокращении доверительного интервала при постоянной доверительной вероятности или в повышенип доверительной вероят- 10сти при сохранении доверительного интервала. Обычно на прак- ике фиксируют иа определенном уровне значение доверительной вероятности (0,9, 0,95 или 0,99) и исходя из этого определяют до-иерительный интервал результата /р. При построении доверительного интервала решается задача об абсолютном отклонении. [c.36]

При построении доверительного интервала пользуются тем обстоятельством, что при больших п и при р, не очень близком к О и 1, биноминальное расиределение мало отличается от нормального с теми же математическим ожиданием т = пр и дисиерсией а = пр( —р) =прд. Из линейности нормального распределения вытекает, что расиределение частоты со также будет близко к нормальному с параметрами [c.77]

Обе эти величины 5 и а применимы к интерпретации результатов химического анализа, а их значения являются объективной мерой отклонения результатов от среднего значения, т. е. характеризуют случайные погрешности анализа. Существенно, однако, отметить, что из двух введенных стандартных отклонений только последнее является величиной постоянной, т. е. может служнть-параметром функций распределения и однозначно определять-вероятности случайных погрешностей анализа. Величина 5 органически связана с числом параллельных анализов /г и, следовательно, оценки случайных погрешностей с ее помощью должны быть опосредованы через величину п. Кроме того, ввиду недостатка информации о характере распределения для выборок малого объема статистические оценки возможных ошибок (погрешностей) с помощью выборочного стандартного отклонения должны носить более неопределенный характер, чем посредством генерального параметра а. Как будет показано ниже, это приводит-к тому, что заданной ширине доверительного интервала погрешности, оцененной через 5, отвечает меньшая доверительная вероятность в сравнении с оценкой через о. [c.76]

В основе микростатических оценок нормально распределенных случайных величин лежит распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки или число степеней свободы выборки = п — . Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц нормальной случайной величины х основано на следующем. Пусть х, х , Хп — независимые наблюдения (результаты анализа) нормальной случайной величины X с неизвестными наблюдателю средним р, и дисперсией (т . Вычислим соответствующие выборочные параметры j и 5 и составим дробь t — х — р,) /5. Эта Дробь имеет рас- пределение Стьюдента с = п—1 числом степеней свободы. Сравним величину I с аргументом функции Лапласа и. Если ыл — мера отклонения среднего результата анализа от математического чэжидания р, в единицах генерального стандартного отклонения [c.92]

Однако, использование характеристик вытеснения на длительный прогнозный период может приводить к значительным погрешностям определения параметров отборов, особенно при невысокой обводненности продукции в предпрогнозный период. Точность прогноза зависит от периода предыстории, длительности прогноза, точности настройки модели по предыстории. При возрастании периода прогноза увеличивается доверительный интервал прогнозных значений. Величина этого интервала зависит также от точности настройки модели по предпрогнозному периоду. Предполагается для определения оценки надежности прогноза и определения критического значения прогнозного периода воспользоваться методами математической статистики. [c.165]

Используя метод наименьших квадратов, рассчитать параметры уравнения градуировочного графика и их доверительный интервал, если относительные оптические плотности стандартных растворов, содержаш их Р2О5 (мг/мл) 0,04 0,05 0,06 [c.299]

Надешость оценки ш определяется ее доверительным интервалом - окрестностью около оценки в. накрывающей с заданной вероятность ) истинное значение параметра я. Величина доверительного интервала определяется соотношение [c.123]

При обработке результатов многократного химического анализа и сопутствующих им случайных погрешностей принято приводить два статистических параметра — ширину доверительного интервала, внутри которого могут лежать результаты отдельных анализов, и доверительную вероятность того, что они попадают в этот интервал. Значения штгегральной функции распределения (2.2) представлены в таблицах, пользуясь которыми можно найти вероятность, с которой величина и не превзойдет заданного значения. Чаще при статистической обработке данных пользуются табулированными значениями интеграла [c.44]

С использованием описанных понпий можно рассчитать доверительный интервал для параметров градуировочного графика, построенного с применением МНК. При этом дисперсия, характеризующая рассеяние, относительно прямой [c.49]

Способ трех эталонов. Чтобы определить наиболее вероятное положение прямой, требуется не менее трех образцов сравнения (два — для определения параметров прямой и один — для проверки гипотезы линейности). На этом основании простейший способ градуировки получил в атомно-э киссионном анализе название метода трех эталонов. Разумеется, с целью обеспечения приемлемого доверительного интервала, в пределах которого располагается найденный таким способом градуировочный график, число образцов сравнения должно быть больше трех (по крайней мере — не менее пяти). [c.405]

Для построения фадуировочного фафика должно быть использовано минимум пять фадуировочных растворов, причем желательно, чтобы фадуировочные точки располагались эквидистантно меньшее число точек также может быть использовано, но при этом доверительный интервал, в пределах которого находится фадуироБочный фафик, резко расширяется. При оценке параметров фадуировочного фафика должна быть также принята во внимание поправка холостого опыта . [c.848]

Пунктиром на рис. 5.23 обозначен 95%-ный доверительный интервал. Из уравнения (5.170) можно определить безопасное напряжение, пользуясь условием ао=Ос при A t = 0. Тогда сГс = iii/6. Из сравнения величины a2=b/ai с независимо определенной по формуле (5.167) величиной ai следует хорошее совпадение экспериментальных результатов (ошибка не более 8,4%). Таким образом, значения безопасного напряжения и, следовательно, структурного параметра а, фигурируюш,его в уравнении долговечности, находятся сравнительно просто путем обычных механических испытаний. Его можно определить и графически, экстраполируя прямую (см. рис. 5.23) до пересечения с осью абсцисс. [c.187]