Точечные группы и таблицы характеров представлений групп

Правила отбора имеют вид и т — Ут 1, следовательно, переход разрешен в комбинационном рассеянии только тогда, когда одна из компонент тензора (или комбинация компонент) принадлежит тому же представлению точечной группы, что и нормальная координата От. Поскольку этот тензор имеет 10 компонент в отличие от шести компонент для тензора поляризуемости, возникают такие ситуации, когда колебание, запрещенное в обычном КР, разрешено в ГКР (см. таблицы характеров точечных групп и правила отбора для Ррц , и Орд). В этом состоит основное различие между [c.153]

Далее необходимо установить, как преобразуются эти групповые орбитали в точечной группе Таблица характеров для дана в табл. 6-8. Поскольку большинство АО в групповых орбиталях преобразуются в другие АО в результате большей части операций симметрии, получающиеся представления достаточно просты, но все-таки приводимы [c.283]

Проиллюстрируем эти правила на примере упомянутой таблицы характеров для группы С2 - Все четыре элемента симметрии стоят здесь особняком, каждый из них образует собственный класс. Число неприводимых представлений точечной группы Сз как раз равно четырем, что точно соответствует числу классов. [c.203]

Табл. 4-4 содержит предварительную информацию, необходимую для составления таблицы характеров точечной группы Сз . Полный набор операций приводится в верхней строке. Ясно, что некоторые из них принадлежат к одному классу, поскольку число неприводимых представлений равно 3, а число операций составляет 6. При более внимательном рассмотрении этой таблицы становится заметно, что характеры всех неприводимых представлений (С3 и С , а также а , и а") равны. Действительно, обе операции вращения третьего порядка [c.203]

Эти таблицы охватывают дискретные точечные группы вращений, содержащие ось вращения до 6-го порядка, кубические точечные группы, линейные и сферические непрерывные группы вращений, а также симметрические перестановочные группы вплоть до 7-го порядка. В таблицы характеров точечных групп включены также трансформационные свойства декартовых координат, вращений вокруг осей декартовой системы координат и квадратичных функций декартовых координат. Трансформационные свойства высщих полиномов от декартовых координат можно определить путем перемножения соответствующих представлений. [c.441]

Таблица характеров представлений точечной группы [c.48]

Так как относится к типу Л,, то и + должно относиться к типу А1. Далее, пара ахх — и а,гу должны относиться к типу Е. Получающаяся в результате таблица характеров представлений точечной группы симметрии Сз в полном виде описана в табл. 8. Таким образом, следует, что в случае точечной группы Сзг колебания обоих типов Л1 и активны как в инфракрасном спектре, так и в спектре комбинационного рассеяния, а колебания типа А2 — неактивны. [c.67]

Если пространственная группа решетки задана, то известна таблица ее характеров и неприводимые представления точечной группы, изоморфной своей фактор-группе. Эти две последние группы имеют одинаковые таблицы характеров. Данное неприводимое представление содержится в представлении Г раз, причем это число определяется формулой (4.3) из приложения Б [c.116]

При решении некоторых задач полезно знать матрицы, соответствующие операциям конечной группы в данном неприводимом представлении. В одномерных неприводимых представлениях матрицами являются матрицы вида 1 X 1> т. е. такие матрицы совпадают со своими характерами. Среди 32 точечных групп встречаются неприводимые представления, размерности которых равны двум или трем. Мы знаем, что неприводимое представление полностью определено, если известны матрицы, отвечающие производящим элементам группы в самом деле, соответствующая группа матриц должна удовлетворять той же самой таблице умножения, что и элементы группы. Следует сразу же заметить, что совокупность матриц представления не является единственной совокупность матриц, которая получается из первоначальной путем одного и того же преобразования подобия (эквивалентные матрицы), также образует эквивалентное представление, в принципе ничем не отличающееся от исходного. В табл. В.9 приведены матрицы, соответствующие производящим элементам 32 точечных групп. Мы выбрали для них действительные значения, сгруппировав пары комплексно-сопряженных представлений (объединенных фигурными [c.368]

Рассматриваемая группа есть не что иное, как точечная группа симметрии (обозначаемая как порядок которой равен 6. Используя таблицы характеров точечных групп (см. следующий параграф и Приложение 2), можно найти, что у этой группы имеется 3 неприводимых представления, одно двумерное и два одномерных. Таблица характеров этих неприводимых представлений приведена ниже [c.209]

Настало время составить полную таблицу характеров. Таким примером для точечной группы Сз является табл. 4-6. Рассмотрим теперь те символы, которые используются для обозначения неприводимых представлений. Это так называемые символы Малликена более полно они представлены в табл. 4-7, а их смысл поясняется ниже. [c.205]

Всегда возможно найти такую характеристику, которая остается неизменной при любой операции симметрии в данной точечной группе. Таким образом, всегда имеется неприводимое представление с характерами только +1. Это полностью симметричное неприводимое представление, и оно всегда стоит первым в любой таблице характеров. [c.207]

Таким образом, характеры вращения относительно оси 2 в точечной группе Сз,, будут 1 1 — I. Действительно, Л, принадлежит к неприводимому представлению в таблице характеров для Сз,. Другими словами, преобразуется как А2, или оно образует базис для А2- [c.208]

Эти 9 неприводимых представлений соответствуют 9 степеням свободы движения для трехатомной молекулы воды. Чтобы найти симметрию собственных колебаний, нужно отделить неприводимые представления для поступательного и вращательного движения. Это можно сделать, используя те сведения, которые сообщались в гл. 4. Поступательное движение всегда принадлежит к тем неприводимым представлениям, в которых встречаются все три координаты х, уиг. Вращательные степени свободы принадлежат к неприводимым представлениям точечной группы, обозначенным R , и ъ третьей части таблиц характеров. Так, для точечной группы j зто выглядит следующим образом [c.232]

Правило отбора для спектров комбинационного рассеяния (спектров КР) может быть сформулировано на основании аналогичных соображений. Оно гласит фундаментальный переход будет наблюдаться в спектрах КР, если норма.льное колебание, соответствующее данному переходу, принадлежит к тому же неприводимому представлению, что и одна или более компонент тензора поляризуемости рассматриваемой молекулы. Эти компоненты являются квадратичными функциями декартовых координат и приводятся в четвертой части таблицы характеров сами декартовы координаты фигурируют в третьей части таблицы. Таким образом, тип симметрии нормальных колебаний дает нам достаточную информацию, чтобы решить, какой из переходов будет наблюдаться в ИК-области, а какой-в спектрах КР. В случае молекулы воды ее нормальные колебания принадлежат к неприводимым представлениям Л, и 2 точечной группы С . Используя теперь лишь таблицу характеров для С2 , находим, что все три типа колебаний будут наблюдаться в ИК-спектрах и спектрах КР. [c.237]

Поскольку к бесконечным точечным группам нельзя применять формулу приведения (см. гл. 4), в этих целях следует использовать таблицу характеров. Попытаемся вычесть из неприводимое представление П , так как в нем встречаются члены с 2 os Ф при операции [c.243]

Однако сначала рассмотрим свойства симметрии орбиталей центрального атома. Возьмем для примера точечную группу Ее таблица характеров приведена в табл. 6-1. Орбитали р, и центрального атома принадлежат к полносимметричному неприводимому представлению орбиталь dx -y -K В , а ,,-к Sj- Свойства симметрии орбиталей (Pi. Р,) и d z) представляют хорощую возможность для знакомства с двумерными представлениями. Выберем в качестве базиса три / -орби-тали и применим к ним операции симметрии точечной группы как это показано на рис. 6-16. Матрицы представлений приводятся ниже [c.268]

Если две или больше атомных орбиталей взаимно связаны операциями симметрии данной точечной группы и, следовательно, все вместе принадлежат к одному неприводимому представлению, то их энергии равны. Другими словами, эти орбитали вырождены, и в таблицах характеров их символы заключены в скобки. [c.269]

Вода, Н2О. Симметрия молекулы-С2 . Для построения МО имеются шесть атомных орбиталей две 1. -орбитали атомов водорода, одна 1х- и три 2/)-орбитали атома кислорода. Комбинируя их, получим шесть МО. Поскольку молекула имеет центральный атом, его АО принадлежат к неприводимым представлениям точечной группы Образуем групповые орбитали из 1. -орбиталей атомов водорода. Применение к ним операций симметрии показано на рис. 6-19. Таблица характеров для С2 приведена в табл 6-2. [c.276]

Аммиак, NHj. Этот пример рассматривается главным образом для того, чтобы показать построение вырожденных молекулярных орбиталей. Симметрия молекулы- j,, Для образования связей пригодны семь атомных орбиталей три 1.s-орбитали атомов водорода, одна 2л- и три 2р-орбитали атома азота, следовательно, должно образоваться семь М0. Атом азота занимает центральное положение, поэтому систему координат нужно выбрать так, чтобы его АО были расположены на всех элементах симметрии точечной группы j . Необходимая таблица характеров приводится в табл. 6-4. Орбитали 2я и 2р азота имеют симметрию Ау, а орбитали 2р и 2р . вместе принадлежат к неприводимому представлению Е. Из трех 1.s-орбиталей атомов водорода образуются групповые орбитали. Элементы симметрии точечной груп- [c.277]

В свободном атоме. f-электроны уже невырожденны, поэтому степень ИЯ вырождения не меняется. Они всегда принадлежат к полносимметричному неприводимому представлению группы симметрии. В отличие от этого степень вырождения р- и J-орбиталей равна трем и пяти соответственно. Чтобы определить, каково будет их расщепление в определенной точечной группе, нужно использовать их в качестве базиса для нахождения представления группы. На практике это сводится к тому, чтобы найти в таблице характеров для точечной группы те неприводимые представления, к которым принадлежат рассматриваемые орбитали. Сами орбитали и их подстрочные индексы всегда принадлежат к одному неприводимому представлению. В табл. 6-12 показано, как происходит расщепление различных орбиталей в зависимости от симметрии окружающей среды. Если симметрия окружения убывает, то расщепление орбиталей увеличивается. Так, например, в поле с симметрией все атомные орбитали расщепляются на невырожденные компоненты. Это и неудивительно, поскольку таблица характеров для состоит только из одномерных неприводимых представлений. Этот результат непосредственно показывает, что в данной точечной группе не имеется вырожденных энергетических уровней, о чем специально подчеркивалось в гл. 4 при обсуждении неприводимых представлений. [c.299]

Выполните приведение указанных ниже представлений в соответствующих точечных группах. С этой целью воспользуйтесь таблицей характеров из приложения 7. [c.288]

Характеры неприводимых представлений точечных групп симметрии указываются в таблицах (см., например, [29, 127]). Характер представления, соответствующего всем возможным движениям ядер молекулы, определяется следующим образом. Каждому ядру сопоставляется три взаимно ортогональных смещения у1, г от положения равновесия и исследуются свойства преобразований этих смещений при последовательном применении всех элементов симметрии данной группы. [c.646]

При интерпретации фактора д следует, конечно, учитывать не столь упрощенную, а истинную симметрию поля лигандов. Большинство исследованных оптически активных комплексов в основном состоянии имеет, как правило, тригональную симметрию Фз) расчет по формальным правилам отбора сводится к обычной процедуре, при которой по таблице характеров для соответствующей точечной группы (например, для устанавливают, не содержится ли в разложении прямого произведения представлений основного и возбужденных состояний то представление, по которому преобразуется соответствующий оператор момента дипольного перехода. При таком подходе предполагается, что система в возбужденном состоянии имеет те же элементы симметрии, как и в основном состоянии. Обычно не учитывают возможные осложнения, связанные с тем, что "-электронные состояния, как основные, так и возбужденные, могут быть искажены вследствие эффекта Яна — Теллера ниже будет показано, что этот эффект можно учесть путем модификации простого спектроскопического подхода. [c.170]

В некоторых таблицах характеров могут встречаться мнимые или комплексные характеры. Если появляются комплексные характеры, они появляются парами, так что один из них является комплексно-сопряженным по отношению к другому. Взятые вместе характеры, действительны и, как и выше, в случае двухмерных представлений не разделимы. В точечной группе Та имеются два трижды вырожденных представления Г1 и Гг, каждое из которых составляется из л , г/ и г. [c.134]

Символы различных неприводимых представлений (типов симметрии) точечных групп используются для многих целей и в том числе для обозначения колебаний, электронных переходов и симметрии молекулярных орбиталей. При обозначении молекулярных орбиталей приняты следующие условия (в случае необходимости следует рассмотреть таблицы характеров, данные в приложении в конце книги) [c.135]

Полные таблицы характеров, подобные табл. 8, уже получены для всех точечных групп. Поэтому на практике нет необходимости в таком подробном рассмотрении, какое проведено здесь. В приложении I даны полные таблицы характеров представлений для тех точечных групп, которые часто встречаются в этой книге. Из этих таблиц непосредственно получается правило отбора для инфракрасных спектров и спектров комбинационного рассеяния колебание активно в инфракрасном спектре или в спектре комбинационного рассеяния, если оно относится к тому же типу симметрии, к которому принадлежит одна из компонент соответственно дипольного момента или поляризуемости. Например, из таблицы характеров представлений точечной группы Он непосредственно следует, что в инфракрасном спектре активны только колебания типа а в спектре комбинационного рассеяния активны только колебания типов Aig, Eg и F2g, так как в случае этой точечной группы компоненты дипольного момента или поляризуемости относятся соответственно к этим типам симметрии. Из рассмотрения таблиц характеров представлений видно, что 1) в случае любой точечной группы полносимметричное колебание является активным в спектре комбинационного рассеяния и 2) в случае точечных групп, имеющих центр симметрии, колебания, активные в инфракрасном спектре и спектре комбинационного рассеяния, относятся всегда соответственно к и- и g-типам. [c.68]

ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ И ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП [c.345]

Величина зависит главным образом от симметрии электронных волновых функций. Вероятность перехода не должна зависеть от операций симметрии, проводимых над взаимодействующей со светом молекулой. Следовательно, при всех операциях подынтегральное выражение должно сохранять свою величину и знак, т. е. меняться по полносимметричному типу. Как было указано на стр. 17, каждая электронная волновая функция относится к определенному типу симметрии и изменяется при операциях симметрии в соответствии с таблицей характеров той точечной группы, к которой относится данная молекула. Составляющие оператора дипольного момента тоже характеризуются типами симметрии данной точечной группы. Типы симметрии точечной группы характеризуются соответствующими неприводимыми представлениями (таблицей характеров). Тип симметрии, и соответственно представление подынтегрального выражения, определяется прямым произведением неприводимых представлений, которым соответствуют участвующие в переходе волновые функции и составляющая оператора дипольного момента. Для получения прямого произведения следует перемножить характеры для каждой операции симметрии всех не-приводимых представлений. Полученный набор чисел и есть искомое представление. [c.28]

Таким образом, трансформационные свойства электронных состояний п и к я свойства симметрии оператора йро необходимы для установления факта, содержится ли полносимметричное представление в произведении представлений Гц, X Гра X X Следовательно, в случае электронного КР надо знать трансформационные свойства антисимметричных комбинаций ро — Сбор- Таблицы характеров для различных точечных групп непосредственно не содержат эти данные. Из таблиц сразу трудно определить, каковы соответствующие правила отбора для переходов в электронном КР, даже если известна симметрия волновых функций состояний к и п. [c.126]

Полные совокупности операций симметрии точечных групп даны в таблицах типов симметрии и характеров представлений (напри-жер, табл. IX.1). [c.193]

Характеры неприводимых представлений по операциям симметрии или типы симметрии колебаний даны для всех точечных групп Б таблицах, которые приводятся в учебниках и монографиях по симметрии молекул и кристаллов, молекулярной спектроскопии и теории групп. В качестве примеров приведены таблицы характеров (типов симметрии) для пяти точечных групп симметрии С20, Сгл, Ьг/1, Сзи и Озн (табл. 1Х.1). В таких таблицах кроме операций симметрии, образующих данную точечную группу, и характеров приводятся и правила отбора для ИК и КР спектров, а также указывается, к какому типу симметрии относятся трансляции и вращения относительно системы главный осей. [c.201]

Как уже говорилось, для проявления в ИК спектре правила отбора требуют, чтобы была отлична от нуля хотя бы одна из проекций электрического момента данного перехода Мх, Му, Мг ИЛИ производная хотя бы одной проекции [1х, Ну, 1г собственного дипольного момента молекулы по нормальной координате в точке равновесия. Для этого достаточно, чтобы тип симметрии нормального колебания совпадал с типом симметрии трансляций в направлении одной из декартовых координат (в системе главных осей молекулы). Таким образом, нужно найти, в каких строках таблицы характеров неприводимых представлений точечной группы стоят координаты х, у, г или символы с этими подстрочными индексами (Г,, М,-, Р,- и т. п., г=х, у, г), обозначающие трансляцию или проекцию электрического дипольного момента перехода. [c.202]

X и при V в выражении для V. Из приведенных выше уравнений видно, что он равен — /г— /2 =—1- В этой точечной группе векторы X и V неразделимы и дважды вырождены, так как при действии операций симметрии группы Сз они вместе порождают неприводимые представления 2, —1, 0. Тип Е в отношении хну является двухмерным. Вектор 2 преобразуется потнпу Л1. Идентичность дает для типа Е значение 2, так как сумма коэффициентов при X и V после этой операции равна 2. При любом числе и в столбце идентичности в таблице характеров представление является 71-кратно вырожденным. [c.134]

Таблицы характеров недриводимых представлений всех необходимых точечных групп включены в многочисленные учебники по квантовой химии [4—8] и теории групп [9—12]. В табл. 6.4—6.6. в качестве иллюстрации приведены таблицы характеров представлений некоторых рассмотренных выше групп (обозначения элементов симметрии соответствуют рис. 6.2), а также групп (симметрия молекулы бензола) и [c.128]

Символы, используемые для обозначения представлений или типов симметрии в каждой точечной группе, основаны на определенных правилах. Мы перечислим некоторые из наиболее существенных правил такого характера. Для невырожденных колебаний используются символы А ч В. Символ А используется для тех из них, которые симметричны (т. е. имеют характер, равный +1) относительно вращения вокруг главной оси в молекуле, а символ В — для тех, которые асимметричны по отношению к вращению вокруг главной оси. Это отражено в таблице характеров для Если имеется несколько представлений одного типа, они отличаются численными индексами, а иногда одним и двумя штрихами. Для вырожденных колебаний, которых нет при группе симметрии но которые появляются при других группах, например при Сд , используются символы Е ж Т (или F). Символ Е не следует смешивать с обозначением операции идентичности. Он применяется для дважды вырожденных представлений, а символ Т — для трижды вырожденных. Молекул с вырождением большей степени не известно, но в принципе они могли бы существовать. В случае групп, в которых возможны операции инверсии, каждый символ снабжается еще индексом g или и. Они отражают четность (gerade) или нечетность (ungerade) представления по отношению к инверсии. [c.290]

Ниже приведены таблицы характеров представлений точечных групп, которые часто встречаются в этой книге. Типы симметрии (или неприводимые представления) точечной группы обозначены в соответствии со следующими правилами А и В обозначают невырожденные типы (одномерное представление). Л представляет типы, симметричные (характер = +1) относительно вращения вокруг главной оси (выбираемой как ось г) В представляет типы, антисимметричные (характер = — 1) относи-тель)ю вращения вокруг главной оси. Е и Е — соответственно дважды вырожденные (двумерное представление) н трижды вырожденные (трехмерное представление) типы. Если два типа симметрии для одной и той же точечной группы отличаются характерами по отношению к С (иной, чем главная ось), то их различают при помощи индексов 1, 2, 3.... Если два типа отличаются характерами по отношению к о (иной, чем а,), то их различают при помощи штрихов и ". Если два типа отличаются характерами по отношению к (, то их различают при помощи индексов и и. Если в соответствии с Э1ИМ правилом следует использовать несколько различных индексов, то индексы g м и имеют преимущество перед индексами 1, 2, 3,. . . , которые в свою очередь имеют преимущество перед и . Обозначения типов симметрии точечных групп Соо,- и Ооол (линейные молекулы) иные и заимствованы из обозначений проекций орбитального электронного момента на ось молекулы. [c.345]

Гомоядерные двухатомные молекулы. Водород, Нг- В образовании химической связи принимают участие две атомные Ь-орби-тали. Точечная группа молекулыВ этой молекуле нет центрального атома поэтому операции симметрии точечной группы применяются одновременно к обеим 15-орбиталям, так как они вместе образуют базис для представления данной точечной группы. Ь-Орбиталь отдельного атома водорода не принадлежит к неприводимому представлению точечной группы 1), . Несколько операций симметрии этой группы преобразуют одну из двух Ь-орбиталей в другую, а не в самое себя (рис. 6-18, а). По этой причине их нужно рассматривать вместе, и они образуют базис для представления. Все операции симметрии приведены на рис. 6-18,й, а таблица характеров-в табл. 5-3. Имеем следующие характеры представления [c.273]

Как и в случае молекулы аммиака, введем сходное упрощение, прежде чем строить ПСЛК с помощью оператора проектирования. Воспользуемся подгруппой вместо точечной группы D i- Таблица характеров для сведена в табл. 6-9. Опять в случае представления Е появляются комплексные характеры. Их можно превратить в действительные числа способом, подробно рассмотренным ранее. Символы е и е задаются выражениями [c.287]

Характеры различных представлений приведены в табл. 2, в которую входят как ионные, так и молекулярные кристаллы с = Числа полных мод (п ), трансляционных мод (акустических Т и оптических Т) и либрационных мод Я ) легко определить из характеров различных представлений и таблицы характеров соответствующей точечной группы, используя формулу (18). Число внутренних колебаний каждого фрагмента можно вычислить, вычитая (Т Т ) и Я из общего числа модпг. Активность различных колебаний в ИК-спектре и спектре КР определяется по обычным правилам. Компоненты дипольного момента или тензора поляризуемости преобразуются как декар товы координаты х, у, г и как их произведения соответственно Неприводимые представления, по которым они преобразуются обычно даны в стандартных таблицах характеров (см., напри мер, работы [47, 50, 51]). (Все это верно лишь в том случае когда выбранные кристаллографические оси совпадают с осями используемыми в точечной группе.) [c.371]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология