Энергетическое уравнение Шредингера

ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА [c.14]

Рассмотрим связь между электронной энергией Е стационарного состояния химической частицы (состояния, энергия которого не меняется во времени) и соответствующим распределением заряда или волновой функцией г ). Эта связь дается энергетическим уравнением Шредингера, которое в простейшем виде записывается в следующем виде [c.14]

При подстановке выражений (9) и (11) в уравнение (8) получаем энергетическое уравнение Шредингера для атома водорода [c.14]

Аналогично любому другому энергетическому уравнению Шредингера, оно имеет бесконечное число решений в соответствии с бесконечностью числа собственных значений. Легко показать, что волновую функцию основного состояния мы уже полу- [c.14]

Совершенно иная картина получается при рассмотрении вопроса с квантово-механической точки зрения. Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора приводит к системе волновых функций, которые являются математическим описанием состояния системы, и к ряду энергетических уровней, определяемых простым выражением [c.294]

Пример 4. В органической химии используется метод определения энергетических уровней молекулярных орбит, в основе которого лежит решение волнового уравнения Шредингера [37] [c.279]

Весьма перспективный метод исследования механизмов элемен<-тарных химических реакций был предложен Вудвордом и Гоффманом (правила Вудворда — Гоффмана) на основе закона сохранения орбитальной симметрии [108. Сходные идеи высказывали также и другие авторы. Суть метода состоит в рассмотрении возможных энергетических состояний исходных и конечных продуктов реакции на основе теоретико-групповых и квантовомеханических представлений. Такое рассмотрение позволяет отделить те особенности механизма реакции, которые имеют геометрическое или кинематическое происхождение, от чисто динамических особенностей, зависящих от природы взаимодействия между частицами, т. е. от потенциальной энергии. Определение последних особенностей требует решения уравнения Шредингера определение первых возможно на основе предварительного сравнительно простого анализа. [c.65]

Ряд дополнительных сведений о волновых функциях и энергетическом спектре может быть получен из рассмотрения корреляционных диаграмм. Последние устанавливают соответствие между орбитальными энергиями двух асимптотических состояний разъединенных атомов и объединенного атома. В адиабатическом приближении спектр полной энергии содержит слагаемое Н - энергию отталкивания ядер. Если в уравнении Шредингера опустить это слагаемое, которое при заданной конфигурации ядер является некоторым числом, то волновая функция будет удовлетворять уравнению [c.215]

Рещение волнового уравнения Шредингера для кристаллов и аморфных тел приводит к различным результатам. В то время как энергетические состояния валентных электронов, принадлежащие твердому телу периодического строения, образуют квазинепрерывные зоны,—для веществ непериодического строения характерно локализованное состояние валентных электронов. Только при некоторой критической величине кинетической энергии собственные функции уравнения Шредингера [c.117]

На рис. 2 показаны вычисленные по уравнению Шредингера низшие энергетические уровни молекулярного иона водорода Hf в зависимости от межъядерного расстояния. [c.7]

Классификацию МО осуществляют различными способами, но главные — классификации по энергии и по симметрии МО. Выше мы видели, что получаемые в результате решения уравнения Шредингера энергии молекулярных орбиталей отличаются от энергий АО. На некоторых из МО нахождение электрона будет энергетически более выгодным, чем его движение, описываемое исходной АО (см. схему 4.1). [c.110]

На рис. VI. 18 эта зависимость представлена графически для этана. Видно, как в соответствии с а, = 3 одинаковые максимумы и минимумы повторяются через (2/3) я. Уравнение ( 1.157) можно было бы использовать для решения квантовомеханической задачи с помощью уравнения Шредингера. Однако в данном случае не получается достаточно простого выражения для энергетических уровней и вычисление суммы по состояниям затруднено. Общее рассмотрение проблемы выходит за рамки настоящего пособия. Ограничимся здесь указанием, что, как показал К. С. Питцер, вклад внутреннего вращения в термодинамические функции можно свести в общие таблицы в виде функций [c.234]

Трехмерный потенциальный ящик. Из полученного решения уравнения Шредингера для одномерного потенциального ящика становится понятным существование дискретного набора энергетических уровней электрона в атоме. Для того чтобы пояснить другие особенности электронного строения атомов, целесообразно рассмотреть движение частицы в трехмерном потенциальном ящике. [c.33]

Энергетические уровни и распределение электронной плотности в многоэлектронных атомах, так же как и в атоме водорода, в принципе могут быть рассчитаны теоретически методами квантовой механики однако здесь встречаются огромные математические трудности. В таких расчетах приходится решать уравнение Шредингера для многих частиц. [c.51]

Последнее понятие требует некоторого пояснения. Надо уяснить, какие состояния, соответствующие одному и тому же вырожденному энергетическому уровню, следует рассматривать как разные. Дело Э том, что из уравнения Шредингера однозначно следует, что если две волновые функции г) г и 1132 являются решением этого уравнения при одном и том же значении Е, то и любая функция вида [c.32]

В многоэлектронных атомах каждый электрон не только притягивается ядром, но и испытывает отталкивание от всех остальных электронов в соответствии с законом Кулона, вследствие чего все волновые функции взаимозависимы. Точное решение уравнения Шредингера для многоэлектронных атомов неизвестно. Существует ряд приближенных методов расчета, при которых предполагается, что волновую функцию многоэлектронного атома можно представить как произведение волновых функций отдельных электронов. В многоэлектронном атоме внутренние электронные уровни экранируют (заслоняют) электроны, расположенные на внешних энергетических уровнях, от действия ядерного заряда. Поэтому притяжение электронов внешнего уровня к ядру меньше энергии притяжения электронов внутренних уровней. [c.19]

Энергетическая функция находится из уравнения Шредингера, преобра-зованного для приближенных расчетов следующим образом [c.23]

Итак, одному энергетическому состоянию отвечают две функции Ф и Ф", отличающиеся перестановкой координат. Обе они частные линейно независимые решения волнового уравнения Шредингера (с учетом спина) для одного и того же энергетического состояния. Общее решение такого уравнения (см. 3) представляет линейную комбинацию частных решений (10.1) и (10.2) [c.41]

Следует обратить внимание на то, что дискретность энергетических уровней одноэлектронных частиц и введение целочисленных квантовых чисел не постулируется (теория Бора), а естественным образом вытекает из решения уравнения Шредингера. [c.52]

Главное квантовое число. Решение уравнения Шредингера для одноэлектронных частиц приводит к выражению (11.13), из которого следует, что п определяет общую энергию электрона в атоме. Поскольку энергия в этом случае не зависит от квантовых ч сел I и /И/, то состояния с одинаковым п и разными I и m называются вырожденными, степень вырождения для каждого энергетического уровня равна (2/+1). Поэтому р-орбитали трехкратно вырождены, пй—пятикратно, nf—семикратно. [c.55]

Применения теории групп в квантовой химии. С помощью теории групп, не рещая стационарного уравнения Шредингера, на основе знания свойств симметрии системы можно сделать определенные выводы о свойствах волновых функций и энергетических уровней системы. [c.31]

Дуализм волн и частиц—фундаментальное свойство микромира оно означает невозможность независимого рассмотрения таких характеристик частицы, которые в классической физике разделялись. Обратим внимание на результат, к которому приводит уравнение Шредингера, если система представляет собой свободную частицу. Свободная частица, описываемая бесконечной волной, есть простейшая система, находящаяся на низшей ступени организации. Энергия частицы не квантуется и, наблюдая ее, мы, вообще говоря, могли ничего не узнать о стационарных состояниях и скачкообразных переходах между различными энергетическими уровнями, столь существенно определяющих химические свойства элемента. Одним из наиболее глубоких по содержанию утверждений квантовой теории является признание дискретности состояний тех систем, на которые наложены какие-либо ограничения. Будем считать наборы различных ограничений признаками организации. <2 этой точки зрения следующая ступень организации есть частица, находящаяся в потенциальном ящике. Значения ее энергии уже квантованы. Эта организация способна существо- [c.50]

Вычисление полной волновой функции молекулы, т. е. системы из ядер и электронов, наталкивается поэтому на трудности. Полное выражение гамильтониана (Я) в уравнении Шредингера должно включать следующие энергетические члены [c.94]

Одномерный гармонический осциллятор. Энергетический спектр одномерного гармонического осциллятора может быть найден при решении уравнения Шредингера [c.153]

Не углубляясь в строгую квантовомеханическую теорию смешанных ансамблей, покажем лишь, в какой окончательной форме представляют статистические распределения для квантовых систем. Рассматривают набор квантовых состояний со значениями энергии, являющимися собственными значениями оператора Гамильтона невозмущенной, т. е. не испытывающей внешних воздействий, системы (энергетический спектр определится уравнением Шредингера для невозмущенной системы как следствие допущения о том, что взаимодействие системы с окружением пренебрежимо мало). Полагая, что система переходит из одного квантового состояния в другое, каждому состоянию сопоставляют определенную вероятность его появления при испытаниях. Таким образом, для системы смешанного ансамбля задают на- [c.162]

Решение уравнения Шредингера для электронов в периодическом поле дает энергетический спектр, характеризующ,ийся зонной структурой. Допустимые значения энергии электронов в твердом теле образуют зоны (полосы) конечной ширины, между которыми имеются запрещенные зоны (рис. 25). Внутри зоны допустимых значений энергии уровни расположены весьма близко, спектр внутри зоны квази-непрерьшный. В то же [c.185]

В отличие от упомянутых в предыдущем параграфе модельных, наглядных представлений о химической связи квантовомеханический подход есть способ математического описания состояния (энергетического, пространственного) электрона в той или иной-системе (атоме, молекуле, кристалле и т. п.). Естественно, что может существовать и на самом деле существует несколько математических методов решения одной и той же квантовомеханической задачи о движении электрона. Эти методы не очень строго называют теориями химической связи, хотя они тождественны в своей физической основе и опираются на один и тот же расчетный аппарат волновой механики при этом, однако, различаются исходные позиции и из-за вынужденной приближенности расчетов (как уже отмечалось в гл. 4, уравнение Шредингера точно решается в настоящее время только в случае одноэлектронной задачи) отличаются количественные результаты, получаемые при различных степенях приближения. Поэтому в зависимости от объекта рассмотрения (конкретной молекулы) или поставленной задачи используются разные более или менее равноправные методы. Здесь будут рассмотрены два из них метод валентных связей (ВС) и метод молекулярных орбиталей (МО) первый благодаря его большей наглядности и связи с предыдущими теориями хид и-ческой связи, в частности с теорией Льюиса—Ленгмюра электронных пар, а второй — из-за лучшего описания строения и свойств, молекул при использовании его простейшей формы. [c.107]

Как уже указывалось выше, в теории Бора появилось квантовое число п, которое характеризует радиус и энергию устойчивой орбиты. Б волновые функции, полученные при решении уравнения Шредингера, вводятся три целых числа, характеризующих разрешенные уровни энергии эти параметры называются квантовыми числами. Укажем значения, которые они могут принимать, и свойства энергетических уровней, соответствующих различным их значениям. [c.26]

Состояния отдельной молекулы определяются в квантовой механике из решения стационарного уравнения Шредингера [ 1 для волновой функции системы (т. е. для ядра и электронов, составляющих молекулу). Для каждого состояния (т. е. для каждой волновой функции) энергия молекулы находится как собственное значение уравнения Шредингера. Часто оказывается, что несколько различных состояний, т. е. несколько волновых функций, имеют одинаковое собственное значение энергии. Различные собственные значения энергии называются энергетическими уровнями и будут отмечаться индексом а, который обычно увеличивается с увеличением энергии. Энергия, соответствующая энергетическому уровню а молекулы сорта г, будет обозначаться через 81, а- Величины а, [c.439]

Для целей статистической механики достаточно знать лишь энергетические уровни молекул и их вырождение знание самой волновой функции необязательно. Поэтому знание величин ег, и для всех энергетических уровней а будет рассматриваться как знание структуры молекулы сорта г. Хотя в принципе структура молекулы определяется из решения соответствуюш его уравнения Шредингера, практически получить такое решение чрезвычайно трудно, за исключением случаев простейших молекул. Чаще структуру молекул определяют, анализируя спектроскопическим методом излучение и поглощение света молекулой (излучение или поглощение сопровождается переходом молекулы с одного энергетического уровня на другой, причем частота света V и разность энергий этих уровней связаны соотношением Ае = = V, где к — постоянная Планка). Во многих случаях спектроскопические данные удается скоррелировать с результатами, полученными из анализа простых квантовомеханических моделей молекулярной структуры. [c.440]

Три 2рд-орбитали вырождены, поэтому, как мы видели в разделе II.8, любая их линейная комбинация должна удовлетворять энергетическому уравнению Шредингера для трех атомов. Если все комбинационные коэффициенты равны по абсолютной величине, отличаясь только по знаку, то любая нормированная комбинация 2рд-ор-биталей отличается от индивидуальных 2р( -орбиталей только ориентацией. Так, комбинация 2 /г (2p Q - - 2руд) точно одинакова по форме с 2p . или 2ру , но ее ось симметрии является биссектрисой угла между осями х ж у. Аналогично, при таком расположении, как на рис. 18, ось симметрии комбинаций (2р д 2р д+ 2p g) коллинеарна с осью связи С—Нд. Вырожденность 2р[.-орбиталей дает возможность образовать линейные комбинации с симметрией а относительно осей четырех связей метана. Нормированные линейные комбинации с коэффициентами, знаки которых ясны из рис. 18, перечислены ниже вместе с осями связей, относительно которых они симметричны [c.72]

Рассмотрим уравнение Шредингера для некоторой микросистемы, энергетический спектр 1 оторой дно, кретен [c.68]

Нахонсдение уравнения потенциальной поверхности, описывающего изменения энергии взаимодействующих атомов в зависимости от их мезкатомных расстояний. Решение этой задачи позволило бы определять высоту энергетического барьера. Оно требует решения уравнения Шредингера для много-электронных систем, что до сих пор остается практически невозможным дансе с помощью ЭВМ. [c.260]

Рассмотрим особенности метода МО ЛКАО на примере молекулярного иона Нз , самой простой из двухатомньЬс молекул. Молекула Нз — молекулярный ион водорода образуется в разрядных трубках, наполненных водородом, в низкотемпературной плазме. Это устойчивая с физической точки зрения частица. Исследование спектра позволило определить ее основные параметры межъядерное расстояние гДН/) = = 1,0610" ° м (1,06 А) и энергию диссоциации /)о(Н2 )=255,96 кДж (2,65 эВ). Молекула Н парамагнитна. Так как молекула Н содержит один-единственный электрон, волновая функция и дозволенные энергетические уровни (энергетический спектр) могут быть найдены при решении уравнения Шредингера. Точное решение достаточно сложное, чтобы его приводить здесь, дает значения г, и Д, совпадающие с опытом. Это показывает, что принципиально уравнение Шредингера применимо для описания поведения электрона не только в атомах, но и в молекулах. [c.92]

Взаимодействие электрона с электрическим полем ядер значительно и зависит от величины X. Поэтому состояния с разными X сильно различаются по энергии, цредставляя собой по сути отдельные энергетические уровни, и квантовое число .играет важную роль при система тизациимолекулярных орбиталей двухатомных (и линейных) молекул. Напротив, квантовые числа пи/, появляющиеся при решении уравнения Шредингера для атома водорода, т. е. для движения электрона в поле одного центра, утрачивают свою важность для молекулы и применяются только для указания на то, из какие атомных орбиталей образована молекулярная орбиталь электрона. В соответствии с квантовым числом X мо- [c.105]

Если бы можно было точно рещить уравнение Шредингера для молекулы, мы получили бы полный набор энергетических уровней и соответствующих им волновых функций, посредством которых легко найти искомые характеристики. Невозможность точно решить уравнение Шредингера для такой сложной системы, как молекула, приводит к необходимости отыскания приближенных решений. Одним из таких приближений является интерпретация незанятых молекулярных орбиталей, получающихся при расчете основного состояния молекулы методом МО ЛКАО, как состояний, в которые переходит электрон при возбуждении. Однако достаточно хорошего совпадения результатов этого расчета с экспериментальными данными при такой интерпретации не наблюдается. Это объясняется тем, что с помощью вариационного принципа можно получить только минимальную энергию. Для отыскания первого возбужденного уровня следовало бы решать другую вариационную задачу, в которой искомая функция должна обеспечивать минимум энергии при дополнительном условии ее ортогональности к волновой функции основного состояния. Однако решение такой задачи очень сложно и нецелесообразно, поскольку оно позвол5 ет получить только один возбужденный уровень, а не спектр уровней. Поэтому следует идти другим путем — уточнять решение приближенного уравнения, например методом конфигурационного взаимодействия (см. гл. I). [c.131]

Чисто квантовомеханический метод определения состояния системы требует решения уравнения Шредингера. Решая уравнение (УП.7) при заданном гамильтониане, можем найти энергетический сректр системы и волновые функции г з д) для стационарных состояний. Подобный путь решения для системы многйх частиц, однако, еще более недоступен, чем решение классических уравнений движения. В то же [c.160]

Квантование. Итак, мы видим, что классическая концепция траектории разваливается, если мы примем за основу. мсханпкп волновую функцию. Решающая проверка этого под.хода состоит в том, Чтобы посмотреть, приводит ли она к квантованию энергетических уровней системы. Это, между прочим, является причиной введепня уравнения Шредингера. Теперь. мы докажем, что уравнение Шре-аингера (наряду с интерпретацией Борна волновой функции) в са-мом деле успешно объясняет квантование энергетических уровней. [c.439]