Общие математические основы

ОБЩИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ [c.22]

Доказана адекватность разработанных математических моделей объекту. На основе построенных математических моделей процессов в отдельных аппаратах и уравнений связи между ними построена общая математическая модель управления ОКП, описывающая процессы в отделении при изменяющейся активности катализаторов. [c.335]

Формализация процедур на основе топологического принципа описания ФХС. Выше была определена схема общей стратегии системного анализа на уровне отдельного химико-технологического процесса. Для повышения эффективности этой стратегии необходимо создание соответствующей автоматизированной системы оперативной подготовки математических описаний процессов, в задачи которой входила бы максимальная формализация и автоматизация всех промежуточных процедур построения функциональных операторов ФХС. Иными словами, возникает необходимость в создании специального методологического подхода, который позволил бы путем широкого использования средств вычислительной техники упростить процедуру построения математических моделей сложных процессов, обеспечил бы правильную координацию отдельных функциональных блоков между собой при их агрегировании в общую математическую модель ФХС и допускал бы эффективную формализацию основных процедур синтеза математических описаний ФХС. [c.17]

Основа метода математического моделирования — идея иерархического, многоуровневого подхода к. построению математической модели реактора, заключающегося в расчленении сложного химико-технологического процесса на химические и физические составляющие, раздельном их изучении и последующем синтезе общей математической модели из моделей отдельных частей сложного процесса. Общая математическая модель процесса, представляющая собой сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, требует для решения разработки специальных методов качественного и численного анализа, как правило, широкого применения современных ЭВМ. [c.3]

Метод молекулярных орбит не противоречит рассматривавшемуся выше методу валентных связей, а скорее дополняет его. Для трактовки одних свойств молекул (например, пространственного строения) пригоднее метод валентных связей, других (например, электронных спектров) — метод молекулярных орбит. Последний менее нагляден, но легче поддается математической обработке, а потому более удобен для попыток теоретического расчета некоторых свойств, характерных для молекул в целом (например, энергий возбуждения). Вместе с тем один из главных недостатков орбитальной модели состоит в том, что она не в состоянии правильно — в количественном отношении — предсказать прочность химической связи (У о л). Метод молекулярных орбит более гибок в смысле возможности введения тех или иных специальных допущений (например, трехцентровых орбит), предназначенных для истолкования частных особенностей некоторых молекулярных структур. Однако общей теоретической основой химической практики был и остается метод валентных связей, наглядным выражением которого являются структурные формулы веществ. Только с их помощью удавалось и удается успешно решать задачи целенаправленного химического синтеза. [c.233]

Строгая математическая основа решения вопроса о равенстве средних по времени и фазовых средних создана в работах 30-х годов, результатом которых явилась сформулированная эргодическая теорема. Было доказано равенство средних по времени и фазовых средних для метрически транзитивных систем и тем самым эргодическая проблема была сведена к вопросу о том, является система метрически транзитивной или нет метрическую транзитивность некоторых классов систем удалось доказать, хотя в общем виде решение не получено . [c.58]

Кинетические модели роста популяции микроорганизмов, составляя основу общей математической модели процесса в биохимическом реакторе, не могут отразить всю сложную совокупность [c.54]

Теория рециркуляции сделала возможным создать наиболее общую математическую модель химического комплекса любой сложности и тем самым обеспечить возможность его оптимизации. Этим объясняется то, что методы оптимизации химических комплексов впервые были начаты и реализованы на основе теории рециркуляции [11,12,61]. [c.20]

Система уравнений, описывающая фарадеевский ток / (8.98), емкостный ток /с (8.104), шумовой, /шэ и общий ток /г датчика (8.107), а также приложенное к датчику напряжение (8.109) составляет общую математическую модель вольтамперометрических датчиков. Введение этой системы уравнений в компьютер позволяет на основе ее численного решения выявить основные закономерности и характеристики различных вольтамперометрических методов и используемых в них датчиков при заданных конкретных параметрах и режимах работы. [c.300]

Важнейшее значение принципа соответствия заключается в том, что он устанавливает связь между математикой, т е миром абстракций, и реальным физическим миром Математика есть плод деятельности человеческого мозга В ней используется масса понятий (комплексные числа, операторы, матрицы и т д), не имеющих отображений в окружающем нас мире Оказывается, однако, что различные разделы постоянно заимствуются нз математики и переносятся в физику и тем самым связываются с окружающим миром Так, аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений является фундаментом классической механики, уравнения в частных производных применяются в волновой механике, матрицы (таблицы чисел или функций) широко используются в теории строения и спектров молекул, полимеров, кристаллов, операторы играют важнейшую роль в теории электромагнитных явлений и в квантовой механике, геометрия Римана составляет математическую основу общей теории отно- [c.103]

Рассмотрим сначала математическую основу этих операций. После Установления равновесия из общего первоначального количества вещества в растворитель перейдет часть А, определяемая следующим выражением [c.399]

Основная ценность метода противоточного распределения состоит в том, что он в отличие от других методов экстракции позволяет разделять и идентифицировать вещества с очень близкими коэффициентами распределения. Поэтому противоточное распределение является не только эффективным методом препаративного выделения веществ, но и очень чувствительным аналитическим методом и методом идентификации веществ. За короткое время противоточное распределение, имея точную математическую основу, стало таким же ценным вспомогательным методом, как и фракционная перегонка, с которой имеет много общих черт. Во многих случаях теоретические основы противоточного распределения разработаны более глубоко и точно, чем основы фракционной перегонки. [c.410]

Опыт эксплуатации аппаратов гидротермального выращивания кристаллов указывает на необходимость тщательного изучения различных вариантов теплоизоляции несущего сосуда и выбор оптимального на стадии проектирования, а также ее модернизации и совершенствования при внедрении и эксплуатации. Осуществить это на практике с помощью натурного экспериментирования, особенно для крупногабаритных промышленных установок, чрезвычайно сложно и связано со значительными трудовыми и финансовыми затратами. Например, чтобы получить экспериментальные данные (в объеме, достаточном для последующих численных расчетов) о распределении температур по поверхностям корпуса и затворных деталей на опытном сосуде емкостью 1,5 м , потребовалось установить около 150 термодатчиков (с общей длиной коммуникационных линий 2000 м) и провести около 10 экспериментальных циклов. Естественно, что такой подход неприемлем, когда требуется получить оперативные данные о возможности влияния предполагаемой реконструкции теплотехнической оснастки сосуда на температурный режим в реакционной камере и энергопотребление аппарата. В этом случае наиболее целесообразным является создание для каждого типа промышленных аппаратов математической модели теплового баланса установки на основе использования современной вычислительной техники. Конечно, для указанных целей нет необходимости в разработке громоздких вычислительных схем, основанных на моделировании всего комплекса теплофизических процессов, происходящих в аппарате. Достаточно иметь сравнительно простую модель теплообмена с окружающей средой установки, схематично разбитой на основные теплотехнические зоны. Как правило, целесообразно разбить моделируемую установку на следующие зоны нижний и верхний затворные узлы, нижняя, верхняя и средняя части корпуса, зоны крепления сосуда. Можно использовать и более детализированные модели, однако увеличение числа зон свыше 20—25 нецелесообразно. Математической основой таких моделей является простое соотношение теплового баланса для каждой зоны при условии ее изотермичности [c.276]

В данном разделе мы приведем достаточно общий математический формализм для описания эффектов как равновесного, так и нестационарного обмена в магнитном резонансе. В наиболее ранних исследованиях химического обмена рассматривались главным образом равновесные процессы. Здесь мы хотели бы выделить не столько традиционные вопросы, связанные с химическим обменом, сколько подчеркнуть изменения, необходимые для описания нестационарных явлений и химических реакций более высоких порядков. Сначала, в разд. 2.4.1, мы дадим обзор матричного формализма классической кинетики, с помощью которого можно описать реакции более высоких порядков. Затем, в раэд. 2.4.2, мы рассмотрим модифицированные уравнения Блоха для случаев нестационарных и равновесных химических реакций первого и более высоких порядков. Наконец, в разд. 2.4.3 развивается общий формализм на основе оператора плотности для описания сложных спиновых систем, участвующих в нестационарных химических реакциях произвольного порядка. [c.84]

Выводы перечисленных работ базируются не на отдельных цифрах, а на десятках и даже сотнях результатов. Это — трудоемкая, но необходимая работа. И для того, чтобы изотопный анализ стал достоянием широкого круга исследователей — геохимиков, микробиологов, геологов и других специалистов, необходимо не только четко представлять сам прецизионный метод, но и знать его особенности и возможности. Кроме этого, требуется знание химической методики подготовки образцов для анализа. Но получить правильное представление об этом крайне трудно. Такое положение объясняется отсутствием работ, специально посвященных этим вопросам. Более того, в периодической литературе опубликованы только небольшие статьи, которые слишком специальны и схематичны. По этим отдельным работам можно понять только в общих чертах основы данного метода, но в них не дается математическое обоснование и не указываются детали, которые играют важную роль при прецизионном анализе. [c.4]

Создание единой системы информационного и математического обеспечения проектных расчетов должно строиться на общей методологической основе. Одним из элементов этой основы являются типовые модели структуры потоков. [c.372]

Вследствие большого разнообразия проблем, решения которых ожидает аналитик, выбор подходящего аналитического метода является трудной задачей. Цель этой главы заключается в облегчении решения этой задачи путем представления последовательного обзора индивидуальных методов газохроматографического количественного анализа. Чтобы проникнуть в логику этого очень важного вопроса, каждый из методов обсуждается посредством математических выражений. Эти выражения вытекают из общей теоретической основы, изложенной в гл. 4. Обсуждение охватывает только те методы, которые относятся к определению компонентов в анализируемой смеси. Те методы, которые разработаны для исследования характеристик детекторов, здесь не рассматриваются [77 - 79]. [c.61]

Прежде чем перейти к конкретному построению неравновесной функции распределения, рассмотрим некоторые общие черты используемого при этом метода. Его математическую основу составляет аппарат так называемых проектирующих операторов [c.224]

Метод Каратеодори ставит задачу в наиболее общей математической форме но вполне строгое доказательство получается на основе принципа, который в общем виде трудно сопоставить с данными опыта. Поэтому оба метода являются как бы дополнительными, решая разные вопросы в термодинамике. [c.32]

Сложность описания нелинейных процессов связана еще и с тем, что для общности рассмотрения явления, особенно для случаев сложного напряженного состояния, часто используют не скалярные, а тензорные величины. Такая общая математическая теория линейной и нелинейной вязкоупругости рассмотрена во многих руководствах (см., например, [1—4]). В дальнейшем в этой главе будет рассмотрена физическая природа нелинейных процессов в эластомерах на основе экспериментальных данных, полученных при простых видах напряженного состояния. [c.202]

Электронные вычислительные машины применяют для решения задач спектроскопии ЯМР уже в течение нескольких лет. Многие вычисления просто невозможно проводить вручную, так как для этого потребовалось бы несколько лет. Несмотря на то что не существует точной основы для теоретического вычисления значений химических сдвигов и констант взаимодействия, спектры можно вычислять, опираясь на набор постулированных параметров. Соответствующие математические методы аналогичны тем, которые используются в волновой механике в применении к электронам. При этом математические основы сами по себе не являются сложными, однако в случае системы с несколькими спинами решение многих уравнений требует длительных и трудоемких вычислений. Отсюда и возникает необходимость в использовании вычислительных машин. К сожалению, наиболее часто встречается такая ситуация, когда спектроскопист имеет спектр, по которому он хочет определить значение химических сдвигов и констант взаимодействия, а не набор параметров, по которым этот спектр можно было бы вычислить. Были попытки прямого определения нужных параметров по имеющемуся спектру, однако в настоящее время наиболее общим является итеративный метод. На нервом шаге вычислений в этом методе используются начальные приближения параметров, которые либо угадывают при визуальном анализе экспериментально полученного спектра, либо задают их, используя аналогии с другими соединениями. По начальным приближе- [c.300]

Таким образом, в настоящее время сформулированы физические модели, механизмы возникновения поляризации ядерных и электронных спинов в ходе радикальных химических реакций, возможные механизмы влияния внещнего магнитного поля и магнитных изотопов на протекание этих реакций. Центральный момент физической теории этих явлений — концепция радикальной пары в клетке и синглет-триплетная эволюция РП за время ее пребывания в клетке . На этой основе сформулирован достаточно общий математический аппарат теории рекомбинации радикалов в растворах. Он позволяет последовательно рассмотреть взаимосвязанные изменения спиновых и пространственных координат реагентов в клетке в промежутках времени между повторными контактами на радиусе реакции. Изложенные выще результаты составляют основу современной теории спиновых и магнитных эффектов в радикальных реакциях. [c.53]

При всех сделанных оговорках стационарное уравнение Шредингера (1.1.1) составляет математическую основу квантовой механики молекул. Но прежде чем перейти к общему обсуждению методов построения приближенных решений этого уравнения, полезно дать краткий обзор основ квантовомеханической теории атомов и молекул, сформулировать основные определения и ввести необходимые обозначения, рассматривая два простых примера атом гелия и молекулу водорода. [c.15]

В книге излагаются математические основы и основные принципы квантовой механики описываются результаты применения ее в химии. Подробно рассмотрены вопросы строения атомов и молекул, а также вопросы, связанные с действием света на материю (явления абсорбции света, излучения, рассеяния, рефракции и др.). Основные разделы методы математического исследования, общие принципы квантовой механики, строение атомов, строение молекул, системы в нестационарных состояниях. [c.4]

Метод молекулярных орбит не противоречит рассматривавшемуся выше методу валентных связей, а скорее дополняет его. Для трактовки одних свойств молекул (например, пространственного строения) пригоднее метод валентных связей, других (например, электронных спектров) — метод молекулярных орбит. Последний менее нагляден, но легче поддается математической обработке, а потому более удобен для попыток (пока — мало успешных) теоретического расчета некоторых свойств молекул. Он более гибок в смысле возможности введения тех или иных специальных допущений (например, трехцентровых орбит), предназначенных для истолкования частных особенностей некоторых молекулярных структур. Однако общей теоретической основой химической практики был и остается метод валентных связей, наглядным выражением которого являются структурные формулы веществ. Только с их помощью удавалось и удается успешно решать задачи целенаправленного химического синтеза. [c.235]

Следует подчеркнуть, что в основе всех разобранных выше моделей лежат элементы Максвелла и Кельвина — Фогта или их незначительные модификации. Рядом исследователей было показано, что система, состоящая из одного максвелловского элемента и одного кельвинов-ского, соединенных последовательно, эквивалентна двум параллельно соединенным максвелловским элементам. Более того, оказалось, что любая комбинация максвелловских элементов, соединенных последовательно и параллельно, может быть сведена к простой системе максвелловских элементов, соединенных только параллельно. Были установлены общие математические преобразования для перехода от одной системы к другой. [c.119]

Для описания явлений четвертого уровня иерархической структуры ФХС могут быть использованы методы статистической теории механики суспензий, гидромеханические модели, основанные на представлениях о взаимопроникающих многоскоростных континиумах, методы механики взвешенных, кипящих дисперсных систем модели, построенные на основе математических методов кинетической теории газов, и др. В частности, для ФХС с малыми параметрами (давлениями, скоростями, температурами, напряжениями и т. д.) при описании процессов в полидисперсных средах эффективен прием распространения метода статистических ансамблей Гиббса на совокупность макровключений (твердых частиц, капель, пузырей) дисперсной среды. Та или иная форма описания стохастических свойств ФХС, дополненная детерминированными моделями переноса массы, энергии импульса в пределах фаз, в итоге приводит к общей математической модели четвертого уровня иерар- [c.44]

Создание единой для большого числа процессов и аппаратов математической модели, отражающей физическую сущность явления, невозможно без выявления истинных закономерностей осуществляемых физико-химических превращений. Вместо подгонки диффузионных моделей с эффективными, т. е. дающими похожий на конечный результат ответ, коэффициентами под единичные эксперименты, надо направить усилия на изучение определяющих этот комплексный ответ отдельных факторов, таких как структура слоя катализатора, глобальная и локальная гидродинамика смеси, тепло- и массоперенос, кинетика гетерогенных химических реакций. Основу этого изучения по каждому из указанных разделов должно составлять целенаправленное экспериментальное обследование во всем интересном для практических приложений диапазоне изменения определяющих параметров с последующей фиксацией физических закономерностей или критериев нодобпя исследуемого яв.пения. На первом этапе изучения отдельных влияющих па работу химических реакторов факторов, кроме изучения кинетики химических реакций, остается реальной идея физического, в том числе и масштабного, моделирования с применением вычислительной техники, при этом должно быть обеспечено соответствие теоретических моделей экспериментальным данным. На втором этапе описания работы химических реакторов общая математическая модель будет получена сложением отдельных составляющих процесса. Основным будет выбор частных видов общей модели, отвечающих конкретным практическим случаям, и их численный расчет с учетом всех влияющих факторов. [c.53]

Разнообразие адсорбционных сил затрудняет до настоящего времени построение единой теории адсорбщиг, позволяющей на основе предположений о механизме процесса составить общее математическое описание. [c.213]

В ряде случаев возможно создание математической модели процесса, т. е. упрощенной системы уравнений, реализуемой средствами современной математики. Такая модель, отличаясь в силу сделанных допущений как от самого исследуемого процесса, так и от его общего математического описания (общих дифференциальных уравнений двухфазного потока), позволяет в то же время вскрыть ряд глубоких закономерностей процесса кроме того, при математическом моделировании возможны неограниченное расширение диапазонов изменения определяющих величин и исследование независимого влияния отдельных факторов. Применение численных методов и использование ЭВМ позволяют во многих случаях су щественпо снизить количество ограничений математической модели, повысить её общность и увеличить ценность результатов. Нри создании и реализации математических моделей весьма важно использовать обобщенные переменные, построенные на основе критериев подобия. [c.79]

Система уравнений (6.626) (6.634), (6.637), (6.639), (6.641) представляет собой общее математическое описание процесса криста-члизации, учитывающее распределение кристаллов по размерам, их рост и взаимодействие с жидкой фазой. Па основе полученной системы уравнений возможно описание промышленных процессов кристаллизации. Далее рассмотрим наиболее распространенные промышленные способы проведения кристаллизации и исходя нз общего описания приведем соответствующие модели кристаллизаторов. [c.355]

Разделение смесей в процессах ректификации и абсорбции осущестг йется в результате преимущественного двухстороннего или одностороннего массообмена между вступающими в контакт неравновесными потоками газа (пара) и жидкости. При ректификации низкокипящие компоненты переходят из жидкости в пар, а высококипящие —из пара в жидкость в процессах же абсорбции отмечается в основном односторонний переход высококипящих компонентов из газа в жидкость. Таким образом, процессы ректификации и абсорбции имеют единую физическую основу и различаются только направлением действия движущих сил массопередачи и соотношением низко- и высококипящих компонентов, переходящих из одной фазы в другую. Вследствие этого при изложении теории массопередачи далее рассматривается общее математическое описание процессов ректификации и абсорбции с учетом отмеченных особенностей этих процессов. [c.9]

Существенным препятствием для внедрения современных методов автоматизированного проектирования ХТС содового производства являлось отсутствие аналитических методов расчета большинства параметров межфазного равновесия газопарожидкостных систем и физико-химических свойств жидкостей содового производства. Известные методы были предназначены для ручного счета. Применение их при реализации математических моделей на ЭВМ связано с затруднениями, 1Ю-скольку вспомогательные зависимости задаются таблицами, графиками или даже сводкой экспериментальных данных. Кроме того, многие рекомендованные методики лишены общей теоретической основы н требуют введения в программу многочисленной разнохарактерной информации, занимающей память ЭВМ, что существенно усложнило бы программирование и уве- [c.32]

Рашевский H. Математические основы общей биологии. — В кн. Мате- [c.332]

Отличительной особенностью химической связи, приводящей к образованию устойчивой многоатомной системы, является, как известно, существенная перестройка электронных оболочек связывающихся атомов. Отсюда следует, что теория, призванная объяснить химическую связь, должна адекватно описывать взаимодействия и процессы перестройки электронных оболочек. Общий подход к решению этой задачи дает квантовая механика, сводящая описание электронного распределения в молекуле к нахождению волновой функции, удовлетворяющей соответствующему уравнению Шредингера. Однако его решение в практически важных с.пучаях невозможно без введения ряда приб.лижений, позво.ляю-щих перейти от общих уравнений квантовой механики к уравнениям, которые могут быть решены на современных ЭВМ. Эти приближения вместе с резу.чьтирующимп уравнениями для волновой функции молекулы составляют математическую основу квантовой химии, на которой в свою очередь строятся полуэмпирические методы и теории химической связи. [c.7]

В основу создания комплекса программ положен системный подход к расчету ХТС. Любая технологическая схема может быть представлена некоторой совокупностью аппаратов или подсистем. Для каждой подсистемы разрабатывается своя вычислительная процедура — модель. Затем по организующей программе в соответствии с технологическими связями в СХТС осуществляется объединение моделей подсистем, в общую математическую модель СХТС [79] на базе матрицы связей. [c.253]

Отметим теперь, что математической основой метода ВС служит одна простая вспомогательная формула для скалярного произведения <0х 0х) любых двух спиновых спаренных функций. Ниже мы сначала приведем саму эту формулу, а потом покажем, как ею пользоваться в приближении идеального спаривания и в более общем случае. Прежде всего введем в рассмотрение так называемую суперпозиционную диаграмму для пары спаренных спиновых функций 0х и 0х она получается наложением друг на друга двух диаграмм Румера, составляемых для функций 0 и 0х, в результате чего возникают так называемые острова и цепи . Например, [c.200]