Навье—Стокса гидродинамические уравнения

Основные критерии теплового подобия. При переносе тепла сохраняет силу и уравнение Навье — Стокса, т. е. тепловое подобие требует геометрического и гидродинамического подобия. Уравнения переноса тепла потоком в направлении оси при стационарном режиме имеют вид [8, 9] [c.137]

Основные критерии гидродинамического подобия. Эти критерии можно получить из уравнения Навье — Стокса для стационарного потока вязкой несжимаемой жидкости в направлении пространственной координаты % [8, 91 [c.136]

Полная гидродинамическая задача формулируется так за пределами ДЭС, где отсутствуют объемные заряды, а значит, и объемные силы, распределение скоростей и и давлений р удовлетворяет уравнению Навье — Стокса и уравнению непрерывности [c.124]

Гидродинамическое рассмотрение течения жидкости через капилляр проводится в предположении, что радиус действия пристенных сил мал по сравнению с радиусом капилляра, и движение жидкости в капилляре можно рассматривать как движение вдоль плоской стенки. Для нахождения скорости кинетического скольжения жидкости используются уравнение Навье — Стокса и уравнение непрерывности. Решение этой системы уравнений для стационарного течения и несжимаемой жидкости дает [c.170]

Обозначив отношение параметров двух гидродинамических процессов через С, из уравнения Навье — Стокса [уравнение (2,6) в табл. I. 3] получим условия подобия [c.25]

Коэффициенты турбулентной диффузии можно ориентировочно Оценить совместным решением уравнения второго закона Фика с гидродинамическими уравнениями Навье—Стокса и неразрывности потока [24]. Практически в работающих реакторах всегда происходит перемешивание, поэтому наиболее точно суммарный коэффициент диффузии Од или же количество С диффундирующего вещества определяют опытным путем, а затем эти данные переносят на моделируемый процесс с помощью критериальных уравнений. [c.28]

В приближении гидродинамического пограничного слоя решение линеаризованных уравнений Навье - Стокса и неразрывности (1.1) и [c.16]

Конвективный перенос теплоты описывается уравнением Фурье—Кирхгофа (1.143). Поскольку в это уравнение входит скорость жидкости, интенсивность конвективного переноса теплоты зависит от распределения скоростей в потоке жидкости, т. е. от гидродинамической обстановки. Последняя зависит от режима движения жидкости. Закономерности ламинарного движения выражают уравнения Навье — Стокса (1.142) и неразрывности (1.10), а закономерности турбулентного движения — уравнения Рейнольдса (11.56) и неразрывности (I. 10). Таким образом, конвективный перенос теплоты описывается системой уравнений, включающей уравнение переноса энергии (Фурье — Кирхгофа), уравнения движения и уравнение неразрывности. Чтобы придать системе этих уравнений определенность, свойственную конкретным задачам, т. е. чтобы выделить данный процесс из класса процессов, описываемых этими уравнениями, должны быть заданы условия однозначности, которые включают начальные и граничные условия. Начальные условия — совокупность значений скоростей, температур и других переменных в момент, принимаемый за начало отсчета времени. Граничные условия—характеристика геометрической формы системы, условий движения жидкости, а также условий теплообмена на границах системы. [c.290]

При переносе тепла сохраняет силу и уравнение Навье — Стокса, т. е. тепловое подобие требует геометрического и гидродинамического подобия. [c.24]

Предположим, что мы имеем ориентированный по оси л капилляр радиуса г и длины I, наполненный жидкостью, к концам которого приложена разность потенциалов Е (рис. 30). Под влиянием электрического поля происходит электроосмотический перенос жидкости с некоторой скоростью причем в результате такого течения жидкости создается некоторая разность давлений Р. Описание движения вязкой, несжимаемой жидкости под влиянием электрического поля и при наличии гидростатического давления может быть сделано с использованием гидродинамических уравнений Навье—Стокса. Для данного случая — ламинарного потока жидкости в направлении оси л — в стационарном состоянии в соединении с уравнением несжимаемости жидкости уравнение Навье—Стокса сводится к следующему выражению [c.54]

Подобное преобразование уравнений Навье—Стокса. Основные критерии гидродинамического подобия. Выше уже отмечалось, что дифференциальные уравнения Навье—Стокса невозможно решить для большинства практически важных случаев. [c.78]

Моделирование процесса перемешивания. В соответствии с положениями теории подобия (глава И) основой для гидродинамического моделирования процессов перемешивания являются критериальные уравнения (VI, 1) и (VI,2), полученные путем подобного преобразования дифференциальных уравнений Навье—Стокса. При этом в связи со сложностью явления возможно получение различных соотношений между величинами, определяющими протекание процесса в натуре и модели, в зависимости от того, по какому из параметров процесса происходит моделирование. [c.253]

Первое из приведенных равенств содержит проекции сил инерции, стоящие в левой части уравнений Навье — Стокса, второе — сил объемных, третье — сил гидродинамического давления и четвертое — сил трения, сгруппированных в правой части уравнений Навье — Стокса. [c.77]

Уравнение (1.22) по физическому смыслу и, следовательно, по форме записи аналогично уравнению Навье — Стокса (1.1), описывающему поле скоростей в движущейся вязкой жидкости. Объясняется это тем, что оба уравнения соответствуют физическим законам сохранения гидродинамическое уравнение — сохранению количества движения, а уравнение конвективной диффузии — сохранению массы целевого компонента. [c.18]

Если записать уравнения Навье — Стокса в безразмерном виде, то для двух гидродинамически подобных течений эти уравнения окажутся совершенно идентичными. [c.77]

Гидродинамические характеристики потока определяются уравнением Навье — Стокса, выражающим закон сохранения количества движения, примененный к единице объема перемещающейся жидкости. Для несжимаемой жидкости это уравнение имеет вид [1—4] [c.5]

Если в уравнении Навье — Стокса (1.1) можно опустить инерционные члены, то полное решение гидродинамической задачи стационарного вязкого обтекания сферического тела (задачи Стокса) показывает, что скорость жидкости, обтекающей частицу, плавно уменьшается с увеличением расстояния от поверхности и гидродинамического пограничного слоя не существует [3]. Поэтому в данном случае нельзя говорить о совпадении уравнений гидродинамики и конвективной диффузии, которое имеет место при Рг = 1 в пределах пограничного слоя. [c.27]

Современное состояние теории псевдоожижения отражено в книгах [1—3]. Для описания кипящего слоя в принципе могли бы быть использованы классические модели механики сплошных сред, однако строгая постановка гидродинамической задачи, включающей в себя уравнения Навье — Стокса совместно с уравнениями движения частиц с соответствующими начальными и граничными условиями, оказывается чрезвычайно сложной. Поэтому прибегают к построению менее детального, сокращенного описания динамики дисперсных систем, т. е. к построению макромоделей дисперсных систем. На этом пути созданы основы механической теории псевдоожиженпого состояния исходя из кинетического подхода [4], метода осреднения, метода взаимопроникающих континуумов [3]. Однако это только основы, применимые к упрощенным, идеализированным ситуациям. Для использования теоретических моделей в практических расчетах нужны еще большие и целенаправленные усилия теоретиков и экспериментаторов. Направление исследований определяется конкретной целью. В частности, при разработке каталитического реактора требуется не только умение удовлетворительно рассчитать поля концентраций и температур, по и обеспечить достаточное приближение к оптимальному режиму. Вследствие сильной структурной неоднородности кипящего слоя такое приближение часто оказывается невозмон ным. Перед этой трудностью отступает на второй план задача точного расчета полей температур и концентраций. Хороший расчет плохо работающего реактора имеет сомнительную ценность. Прежде всего, необходимо активное воздействие на структуру слоя с целью достижения приемлемой степени однородности и интенсивности контактирования газа с катализатором. Необходимая степень однородности кипящего слоя определяется кинетикой конкретного каталитического процесса и может сильно отличаться от случая к случаю. Это определяет выбор средств воздействия на структуру слоя горизонтальное или вертикальное секционирование, добавление мелкой фракции, размещение малообъемной насадки [5]. В частности, только последнее из [c.44]

В качестве примера рассмотрим известное гидродинамическое уравнение движения жидкости Навье—Стокса (для упрощения воспользуемся только выражением для составляющей скорости и ) [c.19]

В этом подразделе приведены решения задач, полученные различными методами (аналитическим точным решением с применением уравнения Навье — Стокса, аналитическим приближенным с применением теории пограничного слоя или экспериментально с применением теории подобия). Приведенные здесь задачи могут быть полезными как непосредственно в инженерных расчетах, так и для анализа гидродинамических процессов, протекающих в более сложной обстановке реальных аппаратов химической технологии. [c.78]

Ньютоновские жидкости в верхнем (I) и нижнем (2) объемах считаются несжимаемыми,несмотря на специфическое распределение в них растворенного вещества. Общие решения линеаризованных гидродинамических уравнений для малых возмущений в жидких объемах получаются при помощи стандартных приемов, классическое описание которых можно найти, например, в прекрасной книге Чандрасекара [I]. Решая уравнение Навье — Стокса в каждой из объемных фаз (I) и (2) при помощи разложения возмущения нормальной компоненты скорости (координата 2 ) по фурье-компонентам, получаем [c.46]

Основные гидродинамические параметры движения жидкости при ее неизменной плотности описываются уравнением Навье — Стокса, выражающим общий закон сохранения количества движения (импульса) для единицы объема перемещающейся жидкости [I] [c.6]

Теоретические значения коэффициента сопротивления при Яе>1 могут быть найдены из решения уравнений Навье — Стокса. Решение уравнений Навье — Стокса для обтекания твердой сферы и газового пузырька исследовалось с помощью конечноразностных методов на ЭВМ в работах [2—4]. Согласно проведенным расчетам [4] значения коэффициента сопротивления для твердой сферы находятся в хорошем соответствии с экспериментальными данными вплоть до Ке 400, а для газового пузырька [3] при Ке>50 наблюдается удовлетворительное соответствие с результатами, полученными в приближёнии теории гидродинамического пограничного слоя [5]. Обтекание газового пузырька при больших числах Ке практически безотрывно и коэффициент сопротивления в соответствия с работой [5] выражается формулой [c.28]

Дальнейшее развитие гидродинамическая теория вязкого подслоя получила в работе Шуберта и Коркоса [43, 44]. В ней линеаризованные уравнения Навье — Стокса для пульсаций скорости упрощались за счет того факта, что в области вязкого подслоя отсутствует нормальный градиент пульсаций давления. Шуберт и Коркос положили этот факт в основу линейной теории и на этой основе смогли разрешить многие из отмеченных трудностей в постановке граничных условий. При этом подслой рассматривался как узкая область типа пограничного слоя, реагирующая на турбулентные флуктуации давления, которые создают известную движущую силу для процесса переноса импульса в подслое. Предположение о том, что р(х,у,гх)=р х,хг) (где индекс ш — условие на стенке), позволило учесть условия во внешней части пограничного слоя, связав тем самым процессы эволюции турбулентных возмущений в этих частях пограничного слоя, и в то же время дало возможность ограничиться следующими простыми усло-вия.ми обычные условия прилипания на стенке и требование, чтобы при возрастании у влияние вязкости в решении исчезало. [c.179]

Результаты расчетов по уравнению (1.97) для частищ>1, начинающей движение с нулевой начальной скоростью, приведены на рис. 1.10. Кривая 6 построена для Re < 1 по уравнению (1.96). Штриховая линия нанесена По данным работы [43]. Здесь использован пример расчета, полученный в [43] для твердой сферы с плотностью p /p2 1. Как следует из рисунка, времена выхода на стационарный режим при Re< 1, рассчитанные в работе [43] путем точного решения уравнений Навье-Стокса и с помощью изложенного выше приближенного подхода, близки. При увеличении Re время гидродинамической стабилизации заметно уменьшается. Так, для Re>50 оно уже на порядок меньше, чем при Re[c.30]

Коэффициенты турбулентной диффузии можно ориентировочно оценить совместным решением второго закона Фика с гидродинамическими уравнениями Навье — Стокса и неразрывности потока [28]. Практически в работающих реакторах всегда происходит перемешивание [32], поэтому наиболее точно суммарный коэффициент диффузии Од или же количество дифундирующего вещества О определяют опытным путем, а перенос опытных данных в моделируемый процесс производят с применением критериальных уравнений. [c.32]

Потенциальны и ламинарные течения являются гидродинамически обрптимыми, т. е, уравнения Эйлера и Навье — Стокса не изменяются при замене знака у временной координаты на обратный. [c.70]

В данном случае процесс описывается числом величин равным восьми давлеине (Р), вязкость (ц), плотность (р), скорость потока (V), время (т), ускорение свободного падения ( ) и координаты (X, 2). Эти величины можно выразить тремя основными единицами. Тогда согласно (2.19) имеем К=5. В том числе один параметрический критерий (Х/У) и четыре критерия подобия, В случае гидродинамического процесса, подчиняющегося уравнению Навье-Стокса в качестве критериев подобия обычно используют критерии Эйлера (Ей), Фруда (Рг), Рейнольдса (Ке) и гомохронности (Но). [c.129]

Наконец, система уравнений Навье — Стокса нелинейна. Эта нелинейность, типичная для систем гидродинамического тина (подробнее см. [27]), обусловлена в случае несжимаемой жидкости, инерционными составляющими в уравнениях количества движения. В сочетании с двумя упоминавшимися выше особенностями нелинейность уравпений Навье — Стокса приводит при достаточно больших числах Рейнольдса к образованию весьма сложных нро-странственио-времепных структур. [c.172]

Чтобы иметь возможность решать уравнения сохрЭ нения (см. Дополнение В или Г), необходимо уметь вы-числять фигурирующие в этих уравнениях диффузионные скорости, вязкие напряжения и тепловой поток, которые связаны с молекулярным переносом массы, импульса и энергии соответственно. Эти величины, вообще говоря, нельзя непосредственно связать с другими переменными, входящими в уравнения сохранения, поскольку они выражаются через высшие моменты функции распределения (см., например, уравнение (Г. 28)). В случае систем, близких к равновесию, Энског для того, чтобы из уравнения Больцмана получить явную связь между векторами (и тензором) переноса и градиентами гидродинамических переменных, воспользовался разложением функции распределения скоростей в ряд около максвелловского распределения. Полученная таким путем замкнутая система уравнений представляет собой уравнения Навье — Стокса, которые оказываются применимыми при весьма больших отклонениях от равновесия ). Так как строгий вывод уравнений Навье — Стокса по Энскогу очень громоздок, здесь приводится лишь физическое обоснование уравнений, до некоторой степени аналогичное тому, которое содержится в работах [ ] и [ ]. Строгое изложение можно найти в работах [Ч и [ ]. Хотя упрощенный подход, по-видимому, позволяет лучше понять существо дела, он приводит к неточным выражениям для коэффи- [c.553]

Ураанение (7-3) вместе с уравнениями Навье — Стокса описывает температурное поле вязкого потока. Для обычных потоков числовые значения теплопроводности так малы, что кондуктивный перенос тепла становится заметным только в той области, где конвективный теплообмен мал из-за малых скоростей. Мы знаем, что такая область всегда существует около поверхности твердых тел, потому что там скорость потока уменьшается до нуля. Как следствие этого можно ожидать, что теплопроводность таких потоков следует рассматривать только вблизи твердых поверхностей. Другими словами, ожидается, что будет существовать тонкий слой, вдоль твердой поверхности, в котором теплопроводность равна по значению конвекции тепла, тогда как вне этого слоя перенос тепла теплопроводностью относительно так мал, что им можно пренебречь. Этот слой будет называться тепловым пограничным слоем. Теперь упростим дифференциальное уравнение, описывающее поток тепла в этом тепловом пограничном слое, путем учета порядка малости его членов. Рассуждения будут такими же, как и для гидродинамического пограничного слоя двухмерного потока. Соответственно этому членами в уравнениях (7-3) и (7-4), под которыми стоит нуль, пренебрегают. [c.217]

Строгая гидродинамическая модель была разработана на основе решения уравнений Навье - Стокса для турбулентного течения совместно с уравнениями химической реакции (q- е-модель) [26, 27]. В этой модели рассчитывали реальный профиль скоростей, учитывали флуктуации концентрации и температуры, численрю вычисляли коэффициент турбулентной диффузии в каждой точке реактора. Естественно, объем вычислений при этом значительно увеличился. [c.155]

Полный тензор напряжения j, таким образом, связан с гидростатическим сжатием смеси, гидродинамическим увеличением давления в клиновидной зоне перед лопастями движущегося ротора (в соответствии с уравнением Навье — Стокса), упруговяз кой природой каучука и эффектом Вейссенберга, т. е. возникновением нормальных напряжений при простом сдвиге. Последние являются прежде всего следствием больших деформаций. Как показано выше (см. гл. 1), эффект Вейссенберга определяется коэффициентами нормальных напряжений и пропорционален квадрату деформации [c.153]

Радиальная гидродинамическая компонента силы обозначена через Гидродинамическая сила представляет собой сумму внешней силы, действующей на частицу со стороны обтекающего потока жидкости, который может как приближать частицу к поверхности, так и удалять частицу от нее, и силы вязкого сопротивления слоя жидкости, разделяющего поверхности частицы и цилиндра. Заметим, что сила вязкого сопротивления отрицательна. Через Р обозначена молекулярная сила притяжения Ван-дер-Ваальса. Эта сила направлена по линии, соединяющей центры частицы и кругового сечения цилиндра (линия центров). Поскольку уравнения Навье — Стокса в приближении Озеена линейны, то силы и поля скоростей от этих сил аддитивны. [c.227]

В дальнейшем Кирквудом [79, 81] была сформулирована более общая статистико-механическая теория еравновесных свойств полимерных растворов, учитывающая также гидродинамическое взаимодействие звеньев цепи. Гидродина-мическое взаимодействие трактовалось методом Озеена. ос-нованном на решении уравнений Навье- Стокса, обладающих сингулярностями, которые соответствуют силам трения, действующим со стороны сегментов на растворитель [82]. Подробности выводов и расчетов изложены, например, в статье Кирквуда и Райзмана [75]. Здесь мы отметим только, что учет гидродинамического взаимодействия в рамках рассмотренной нами выше модели, проделанный Хаммерле и Кирквудом [83], приводит к спектру времен запаздывания, имеющему прямолинейный участок (в двойных логарифмических координатах) с наклоном, равным 2. [c.19]

В этом случае уравн епия движения для и, о и гш в точности совпадают с классическими уравнениями гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости Навье — Стокса, в которых, однако, вместо ньютотовской вязкости фигурирует динамическая вязкость т]. Поэтому проблема в целом сводится к решению соответствующих гидродинамических задач о течении вязкой жидкости (с вязкостью Г] ) при тех или иных конкретных геометрических формах потока. [c.190]

Неустойчивость марангоаи обычно исследуется с помощью линейного анализа устойчивости [5], что требует совместного решения уравнений Навье — Стокса и диффузии, записанных для двух полубесконечных сред в координатной шюскости (х 1 ), нормальной к межфазной поверхности- Граничные условия включают условия фазового равновесия и непрерывности тензора капряжекий на поверхности раздела причем последнее условие связывает мевду собой два основных уравнения. На переменные данной системы уравнений накладываются возмущения, а затем в результате решения характеристического уравнения находится константа роста возмущений. Такой анализ дает информацию об условиях возникновения неустойчивости, о ее типе, т.е. является ли она, например, стационарной или колебательной, а также о том с помощьп каких факторов (гидродинамических или диффузионных) можно управлять развитием неустойчивости. [c.197]

Характеристики, при помощи которых описывают движение фаз в псевдоожиженном слое, предЬтавляют собой переменные, осредненные по физически бесконечно малому объему для слоя (содержащему достаточно большое число твердых частиц), поэтому уравнения для этих величин могут быть получены методом осреднения уравнений, описывающих изменение гидродинамических характеристик на масштабах, по порядку величины сравнимых с размером твердых частиц. Такими уравнениями являются уравнения Навье—Стокса, описывающие движение газа (жидкости) в промежутках между твердыми частицами, и уравнения Ньютона, описывающие движение твердых частиц. В настоящем разделе методом осреднения этих уравнений, описывающих изменение локальных характеристик движения газовой и твердой фаз, будут получены уравнения гидромеханики псевдоожиженного слоя. Изложение этого материала основывается в значительной степени на работе Андерсона и Джексона [7, 1967, № 4]. [c.17]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология