Справочник химика 21

Химия и химическая технология

Статьи Рисунки Таблицы О сайте English

Решение гауссовское

    Вследствие отсутствия методов, позволяющих вычислить диффузию, коэффициент диффузии приходится определять экспериментальным путем. Решение дифференциальных уравнений, описывающих однофазные системы при различных граничных условиях, можно выразить через гауссовскую функцию ошибок или с помощью тригонометрического ряда. При решении (см., например, работу ) рассматривается главным образом лишь первый член бесконечного ряда функции ошибок Параметры дифференциальных уравнений материального баланса приведены в безразмерном виде. Такой приближенный метод дает хорошие [c.39]


    Для решения задачи необходимо определить все члены в правой части формулы (8.51). Поскольку V (к) — гауссовская величина, [c.468]

    Решение уравнений (1.8) и (1.9) приводит к гауссовскому распределению концентрации по слою, описываемому уравнением [c.23]

    Если процесс идет с постоянной скоростью и положить, что i>l/P, а анализируемое вещество вначале сосредоточено в малом объеме, то фундаментальным решением уравнения (IV.2) оказывается уравнение нормального двумерного гауссовского распределения [c.123]

    Важнейший момент заключается в том, что при решении такой задачи становится известным и точный вид простейших атомных волновых функций Это, в свою очередь, делает практически возможным решение задачи о движении электронов в поле ядер вариационным методом в базисе атомных орбиталей (см ниже о линейной комбинации атомных орбита-лей — МО ЛКАО) Именно поэтому все используемые в квантовой теории атомов и молекул базисные атомные функции (гауссовские, слете-ровские И др) генетически связаны с водородоподобными и являются их упрощенными представлениями [c.28]

    Отметим, что внутреннее разложение фактически необходимо только для определения значения 12з, так как в соответствии с тем, что функция g незначительно отличается от гауссовской, основное изменение решения при А происходит в области 1 5 1 3, т.е. в малой окрестности [c.118]

    Решение дифференциального уравнения (4.4) с граничными условиями для полубесконечного и бесконечного каналов записываются значительно более простыми выражениями, нежели для канала ограниченной длины. Однако использование их в аппаратах конечной длины целесообразно только при незначительной дисперсии потока, когда С-кривые для любых условий на границе аппарата мало различаются между собой и достаточно точно аппроксимируются кривой нормального (гауссовского) распределения. В связи с этим решение дифференциального уравнения [c.129]

    Наличие этой неустойчивости радикально меняет весь механизм колебаний уровня Каспийского моря, для описания которого необходим подход с позиции теории сложных систем. Б этом случае динамическая система уравнений водного баланса оказывается существенно нелинейной, характер ее решений меняется возникают не единственные и неустойчивые решения -необходимые атрибуты ее сложной эволюции. При учете случайных вариаций параметров системы (например, количества осадков и речного стока) решения стохастических дифференциальных уравнений имеют бимодальное распределение и "вездесущность гауссовского распределения" уже теряет свою силу. Для анализа такого рода процессов необходим принципиально новый подход линейные стохастические модели, которые так популярны в гидрологии, здесь малопригодны. [c.51]


    Если же 5"(Я, )>0, то в этом случае уравнение для определения наиболее вероятной моды может иметь несколько решений, так как ф2(Я )>0 и кривые фДЯ, ) и Ф2(Я, ) могут пересекаться в нескольких точках. Распределение плотности вероятности в этом случае является полимодальным и колебания уровня такого проточного водоема имеют сложную структуру и характеризуются случайными быстрыми переходами от одного уровня к другому. Стационарный случайный процесс колебаний уровня проточного водоема при условии неединственности решений полученных трансцендентных уравнений (3.9.10) не будет гауссовским и линейные модели не будут адекватно описывать этот процесс. [c.127]

    Такой результат отнюдь не является неожиданным если бы у среды была конечная память, то информация о прошлом способствовала бы более точному предсказанию будущей стохастической эволюции системы. Эти эвристические соображения вплотную подводят нас к правдоподобному предположению относительно того, что система является марковской в том и только в том случае, если внешние флуктуации белые. Пока мы еще не в состоянии сформулировать свою гипотезу в виде математической теоремы. Напомним, что белый шум — чрезвычайно нерегулярный процесс, не обладающий непрерывными траекториями. Разложение в ряд Тейлора (3.32), призванное определить состояние системы в момент времени I + Л, вполне может оказаться не имеющим смысла. Иначе говоря, так как среда немедленно забывает, в каком состоянии она находилась в предыдущее мгновение, едва лп будет иметь какое-то отношение к состоянию системы в некоторый момент времени / + Л. Таким образом, для гауссовского белого шума эта ситуация оказывается еще более деликатной, и анализ ее требует большой осторожности. Кроме того, как уже подчеркивалось в разд. 1.5, необходимо тщательно следить за тем, в каком смысле надлежит понимать СДУ (3.30) и утверждение о том, что Хг — решение уравнения (3.30) . Для тех читателей, кто не желает оставаться в неведении до тех пор, пока не станет ясен исход строгого математического анализа, скажем, что справедлива следующая математическая теорема процесс удовлетворяющий уравнению (3.31), является марковским в том и только том случае, если внешний шум t белый. Эта теорема объясняет, почему так важна и чем так привлекательна идеализация белый шум . Если система, связанная с флуктуирующей средой, может быть описана марковским процессом, то мы сразу получаем в свое распоряжение целый арсенал математических средств, разработанных для анализа таких случайных процессов. Мы видим, что наши оптимистические надежды на успешное преодоление трудностей, с которыми сталкивается анализ влияния внешнего шума на нелинейные системы, имеют под собой известное основание. Но если бы система допускала описание только с помощью немарковского процесса, то шансы на успех были бы самые незначительные. Методы работы с немарковскими процессами того типа, который встречается в приложениях разработаны пока да- [c.92]

    Поводом для рассмотрения марковских процессов послужили наши эвристические соображения о том, что решение стохастического дифференциального уравнений должно обладать марковским свойством. Воспользуемся тем, что в смысле обобщенных функций гауссовский белый шум есть производная от винеровского процесса, и, формально умножив (3.31) на сИ, получим [c.98]

    При работе с уравнениями типа (3.31) необходимо соблюдать величайшую осторожность. Действительно, с первого взгляда видно, что Хг наследует весьма нерегулярные особенности поведения гауссовского белого шума и заведомо не может считаться обычной функцией. Тем не менее надежда избежать общей теории случайных процессов все же остается, если воспользоваться тем, что —производная в смысле обобщенных функций от винеровского процесса, и записать уравнение (3.31) в виде (4.13). Действительно, в уравнение (4.13) входят только обычные процессы. Разумно поэтому ожидать, что понятие X/ ость решение уравнения (4.13) удастся сформулировать в рамках теории обычных случайных процессов, если функция (.г) достаточно гладкая , как обычно бывает в приложениях. Имен- [c.115]

    Из явного вида решения (6.86) ясно, что для наших целей наиболее удобен случай 0 = 0 в подклассе моделей, удовлетворяющих этому условию, Wt не входит в экспоненциальную функцию. Иначе говоря, при 0 = 0 гауссовский винеровский процесс претерпевает только линейные преобразования. Следовательно, если Уо — гауссовская или неслучайная постоянная ), то Уt — гауссовский процесс. Так как гауссовский процесс полностью определяется моментами E Уt и E Уt — 6У )(У5 — бУ ) , то с помощью обратного преобразования точные аналитические выражения для плотности вероятности перехода процессов Уt и Xt могут быть найдены в явном виде. [c.187]

    При нахождении стационарного решения связанного с СДУ уравнения ФП заметим, что реализация процесса Хх должна быть ограничена полузамкнутым интервалом [1, сю). Легко проверить, что аналитическое условие того, что Х = оо является естественной границей, удовлетворяется. Напротив, точка X = не является естественной границей. Это следствие того факта,, что она — не внутренняя граница задачи, и приближение белого шума приводит к появлению отрицательных реализаций / , не имеющих физического смысла. Мы уже сталкивались с этим нежелательным свойством гауссовского белого шума в модели цитотоксической реакции, рассмотренной в разд. 7.4. (Отметим, что во всех других моделях отрицательные значения внешнего параметра имеют физический смысл, и подобной проблемы не возникает.) Однако в этой модели носитель Ръ(х) ограничивается набором физически допустимых значений переменной состояния хотя флуктуирующий параметр может стать отрицательным, тем не менее процесс Х/ остается ограниченным физически допустимым интервалом [О, оо). В данном случае [c.254]


    Как мы уже подчеркивали, в общем случае невозможно получить точное решение, например, для стационарной плотности вероятности системы, когда рассматривается шум произвольной формы. Дело обстоит так даже в довольно простом случае марковского гауссовского шума. Следовательно, общий случай внешнего цветного шума может быть рассмотрен лишь приближенными методами. Методы, развитые в гл. 8, позволяют исследовать два предельных случая — низкочастотного и высокочастотного внешнего шума. В частности, для последнего случая малых корреляционных времен в нашем распоряжении имеется метод разложения в ряд по теории возмущений. Этот метод использовался, чтобы показать, что фазовые переходы, индуцированные внешним шумом с малым временем корреляции, могут быть идентифицированы с переходами, исследованными в случае применения идеализации белого шума. Однако благодаря различию между двумя приближенными методами, используемыми для описания высокочастотного и низкочастотного шума, остается не ясным, каким образом переходы, предсказанные для случая быстрого шума, связаны с переходами, имеющими место в случае медленного внешнего шума. Желательно поэтому дополнить ту информацию, которая получается с помощью общих приближенных методов, информацией, полученной из изучения специальных классов внешнего цветного шума. Другими словами, полезно найти такие примеры Цветного шума, которые позволяют для произвольной системы с одной переменной точно вычислить по крайней мере стационарную плотность вероятности при любом значении времени корреляции. Как говорилось выше, гауссовский шум не принадлежит к этому классу. Следует обратиться к случайным процессам с более простой структурой, и вполне естественным кандидатом оказывается марковский процесс с дискретным пространством состояний. Простейшим процессом такого типа является дихотомический марковский шум, известный так же, как случайный телеграфный сигнал. В данной главе мы покажем, что он действительно позво ляет получить точные результаты и построить полную картину влияния корреляций. [c.324]

    До сих пор рассматривались слейтеровские орбитали с центрами на ядрах, но очевидно, что, если не считаться с трудностями, связанными с вычислением интегралов, нет никаких причин использовать только эти орбитали. Можно использовать и другие одноцентровые функции, например гауссовские функции или хартри-фоковские орбитали свободных атомов. Мы можем использовать и двухцентровые функции, такие, например, которые получаются из точного решения задачи или аналитические двухцентровые функции, построенные в конфокальных эллиптических координатах. Можно использовать также одноцентровые функции с центром в некоторой воображаемой точке молекулы, расположенной, например, между ядрами лития и водорода в молекуле LiH, или в какой-то другой точке. Все эти (и многие другие) возможности были испробованы при попытках получить хорошие результаты в расчетах с использованием небольшого базиса и с сведением к минимуму трудностей расчета интегралов. В табл. 13 собраны результаты различных расчетов, проведенных методом ЛКАО-МО-ССП, с использованием различных базисов, чтобы дать читателю некоторое общее представление об эффективности использования более сложных орбиталей, отличных от простых слейтеровских. [c.307]

    Следует сразу же отметить, что математические и физические проблемы, возникающие при этом, столь трудны, что ни одно из предложенных решений не может считаться покоящимся на таком же прочном фундаменте, как решение, соответствующее гауссовскому приближению. Дело в том, что целый ряд допущений, относительно справедливых в гауссовской области, при переходе в негауссовскую область деформации оказываются весьма далекими от истины. [c.81]

    Уравнение (4.5), (4.5 ) имеет при любом с, 1 < с < 2, гауссовское решение (z ) = [c.143]

    Гауссовскому решению соответствует решение (4.7) Р) = С (Р)= Х" Так как решения (4.7) нри [c.144]

    При этом необходимо, чтобы неизвестные параметры (которые рассматриваются как случайные величины) обладали гауссовскими плотностями распределения с известными априори средними значениями и дисперсиями в начальный момент времени. Если. эти условия не выполняются, то решение ДТКЗ все же гарантирует получение оценок по методу наименьших квадратов с функцией штрафа (8.56). [c.472]

    Теперь обозначим строки 1 и 2 как единую блочную строку, которая будет включена в операции над строкой 3 на шагах 2а, 2Ь, 2с (не показано на рис. 5.7). После Ь - 1 таких шагов решение фундаментальной системы занимает пространство, первоначально занимаемое матрицей В. Число требуемых операций для данного алгоритма такое же, как для блочного гауссовского исключения (меньше, чем требуется для блочного гауссо-жордановского исключения), однако в данном алгоритме неявная блочная обратная подстановка дает возможность использовать меньшие объемы памяти. [c.259]

    Решение первичной подсистемы (шаг 0) находится решением независимых вторичных подсистем (БТДФ), каждая из которых решается методом блочного гауссовского исключения полностью до перехода к следующей подсистеме. [c.259]

    Р-матрицы, появляющиеся в стандартном блочном гауссовском исключении (алгоритм Томаса), являются решениями третичных линейных подсистем. Они должны быть сохранены для обратной подстановки при решении вторичных линейных подсистем, однако, как только одна из вторичных подсистем решена, память может быть освобождена. Следовательно, если число В-матриц на диагонали наибольшей БТДФ есть р, число ячеек памяти, которое должно быть выделено для матрицы вторичной подсистемы, есть (р - 1) кЬ (где к= 2С + I - размерность матрицы В I - число ненулевых столбцов в С-матрицах). Матрицы правых частей вторичных подсистем на рис. 5.6 имеют либо ненулевые младшие элементы, либо ненулевые старшие элементы, либо не имеют ненулевых элементов. Для снижения количества расчетов каждая вторичная подсистема может быть уменьшена по строкам сверху вниз или снизу вверх, в зависимости от того, имеет ли правосторонняя матрица младшие или старшие ненулевые разряды. Если матрица правых частей не имеет ненулевых элементов, экономия в расчетах нереализуема. [c.259]

    При втором методе решения уравнения преобразуют в интегральную форму и принимают такое распределение скоростей, при котором возможно интегрирование. Обычно, как предложено Рейхардтом, принимают гауссовское распределение скоростей. По трудоемкости и сложности вычислений второй способ значительпо проще, чем первый. [c.305]

    НИИ, в частности допущение о гауссовском характере распределения участков поверхности по величинам потенциальной энергии адсорбции. Часто выбором подходящих условий синтеза и обработки адсорбента можно свести число физически однородных участков поверхности, сильно различающихся по их строению и потенциальной энергии адсорбции, к очень небольшому числу (например, к двум в случае кристаллов типа G0 I2, см. рис. 1,6, разд. 2 гл. I и разд. 4 гл. II). В этом случае, определив тем или иным методом соотношение площадей соответствующих физически однородных частей поверхности и потенциальные кривые межмолекулярного взаимодействия молекул данного адсорбата с обоими типами этих однородных частей поверхности или хотя бы оценив значения потенциальных функций в минимуме потенциальных кривых (т. е. найдя значения ei, т и 62, т)) можно ВЫЧИСЛИТЬ изотерму и теплоту адсорбции данного адсорбата на суммарной поверхности такого адсорбента. Таким образом, можно моделировать ступенчатые изотермы, наблюдаемые во многих случаях адсорбции на кристаллах с различающимися по структуре гранями. Решение этой задачи для трех уровней fii.m, 2,т и бз,т предложбно В работе [71]. [c.177]

    Гауссовское решение является одним из возможных для этого уравнения, но не единствеипым. [c.7]

    Другой подход к анализу процессов, протекаюш,их в условиях линейной неидеальной хроматографии, был развит еще в первых работах нобелевских лауреатов Мартина и Синджа [71], предложивших в 1941 г. тарелочную теорию жидкостной распределительной хроматографии, распространенную затем на газо-жидкостную хроматографию Джеймсом и Мартином [72]. При этом слой неподвижной фазы рассматривается как совокупность последовательно соединенных элементарных ступеней ( тарелок ),на каждой из которых устанавливается межфазовое равновесие. Хотя теория тарелок и объясняет, почему профиль хроматографической зоны в случае линейной изотермы распределения для достаточно больших времен элюирования приближается к форме гауссовской кривой, однако она не позволяет непосредственно связать размывание с параметрами хроматографического опыта. Дальнейшее свое развитие тарелочная теория получила за рубежом в работах Майера [73], Глюкауфа [74—75] и Винка [76] и в исследованиях советских авторов [77—80], однако, вследствие указанного выше формального характера, она все больше уступает свои позиции теории скоростей , существенный вклад в которую сделан Жуховицким с сотрудниками [81—83] и Томасом [84], изучавшими процесс динамики сорбции вещества слоем зерпеного материала из потока инертного газа. В работе [82] приведено полное решение для процесса, лимитируемого внешнедиффузиоиной кинетикой при линейной изотерме адсорбции. Для изотермы Лэнгмюра задачу удалось решить только численно [67]. Отметим, что внутридиффузионные задачи в динамике сорбции еще в середине и конце тридцатых годов исследовались Викке [85] и Дам-коллером [86], причем было показано, что предложенный механизм хорошо описывает опыты при низких давлениях, при повышенном же давлении процесс, видимо, начинает контролироваться внешней диффузией. [c.88]

    Впервые физически обоснованные модели многолетних колебаний уровня проточного водоема были построены в монографии [Фролов, 1985]. Методической основой для решения уравнений, соответствующих этим линейным моделям, стала корреляционная теория гауссовских случайных процессов. Это означает, что под решением стохастического дифференциального уравнения водного баланса понимали бесконечную последовательность кумулянтов распределения случайного процесса многолетних колебаний уровня водоема. Теория была применена для озер Байкал, Воже, Лача, Ладожского и Каспийского моря. В цитируемой монографии линейное дифференциальное (дискретное) уравнение многолетних колебаний уровня Каспийского моря было получено на основании следующих рассуждений. [c.121]

    Эти индуцированные шумом неустойчивости и переходы тесно связаны с явлениями самоорганизации в сильно неравновесных открытых динамических системах. Оказалось, что теория индуцированных шумом переходов, разработанная профессорами Р. Лефевром и В. Хорстхемке (брюссельская школа лауреата Нобелевской премии Ильи Пригожина) для решения проблем нелинейной физики, очень хорошо применяется для описания колебаний уровня бессточных водоемов. Однако до сих пор в отечественной гидрологии популярны мифы о гауссовских распределениях в колебаниях уровня Каспийского моря и стоке впадающих в него рек. Это, конечно, не так. Достаточно посмотреть на гистограмму уровня моря за последние 169 лет. На ней очень отчетливо выделяются две наиболее вероятных [c.266]

    Излагая в предыдущей главе основы теории марковских процессов, мы мотивировали свой выбор эвристическими соображениями, суть которых сводится к тому, что временная эволюция параметра состояния Хг системы, связанной со случайной средой, является марковской в том и только том случае, если внешний шум белый. Вид феноменологического уравнения с гауссовским белым шумом (особенно уравнения (4.13)) наводит на мысль о выделении особого класса марковских процессов — так называемых диффузионных процессов. Представимость сред с гауссовским белым шумом диффузионными процессами будет полностью обоснована, если нам удастся показать, что понятию решения стохастического дифференциального уравнения может быть придан строгий математический смысл и что марковский процесс действительно удовлетворяет условиям (4.16, 19, 20), как это следует на эвристическом уровне из уравнения в дифференциалах (4.13). В этой главе мы подробно изложим теорию стохастических дифференциальных уравнений Ито и Стратоновича и укажем тесную связь СДУ с диффузионными процессами. [c.115]

    Модель Ферхюльста не принадлежит подклассу 0 = 0 винеровский процесс входит в экспоненциальную функцию. В результате гауссовский процесс претерпевает нелинейное преобразование, и решение (6.86) перестает быть гауссовским процессом. Это значительно затрудняет вычисление плотности вероятности Перехода для У/ и тем самым для Х(. Иначе говоря, решение (6.88) перестает быть удобным отправным пунктом для получения зависящего от времени решения УФП в модели Ферхюльста. Для того чтобы найти решение, приходится использовать различные методы. К этой проблеме мы вернемся в следующем разделе. [c.188]

    Природе своей положительны, можно удовлетворительно описывать гауссовским распределением. Лишь при очень больших значениях дисперсии это приближение становится проблематичным и роль нефизичных значений становится заметной. Однако эта проблема действительно здесь возникает, поскольку мы имеем дело с белым шумом, для которого, не строго говоря, дисперсия бесконечно велика. Это означает, что лучше было бы выбрать второй путь и отказаться от приближения белого шума. Однако при этом процесс становится немарковским. Поэтому такой путь кажется еще менее привлекательным. Если мы хотим сохранить гауссовский характер шума и марковский характер и в то же время исключить нефизичные результаты, остается единственный путь, заключающийся в том, чтобы принять условие, что решение СДУ ограничено физически допустимым интервалом [1, оо). Этого можно достигнуть, если заставить процесс Хх претерпевать запаздывающее отражение на границе х = . Это означает, что Хх проводит определенное время на этой границе. Справедливость этого приближения можно оценить по величине плотности вероятности, аккумулированной на границе х = 1. Пока эта величина мала по сравнению с экстремумами плотности вероятности, принадлежащими носителю (1, оо), процесс Хх представляет собой удовлетворительную модель физического процесса и мы можем быть уверены в том, что наблюдаемые явления не обусловлены принятыми граничными условиями. [c.255]

    В принципе возможно получить из этого решения иерархию плотностей вероятностей для Ut, / ( ь ь ипу1п), и, следовательно, с помощью обратного преобразования от (8.13)— иерархию плотностей вероятностей и для исходного процесса Xt. В частности, можно определить зависящую от времени плотность вероятности р(х,/) с начальным условием р(л ,/==/о) = = ро х). На самом деле, редко когда удается выполнить эту программу, поскольку на этом пути встречаются непреодолимые технические трудности. Имеется однако один класс реальных шумовых процессов, для которых можно очень просто вычислить иерархию для 111 и Xt соответственно—это, безусловно, класс гауссовских процессов. Простота вычислений в этом случае проистекает из двух свойств гауссовских процессов  [c.267]


Смотреть страницы где упоминается термин Решение гауссовское: [c.139]    [c.68]    [c.21]    [c.149]    [c.113]    [c.235]    [c.143]    [c.143]    [c.145]    [c.146]    [c.147]    [c.149]    [c.151]    [c.153]    [c.155]    [c.157]   
Теория фазовых переходов Строгие результаты (1980) -- [ c.143 ]




ПОИСК







© 2025 chem21.info Реклама на сайте