Распределение вероятностей. Кривые Гаусса

Рис. 105. Кривая нормального распределения случайных ошибок (Гаусса) (л —среднее арифметическое ряда вариант d — отклонение область более вероятного обитания истинного значения определяемой величины обозначена - - ).

Эти довольно естественные предположения и приводят к так называемому нормальному закону распределения вероятностей, выраженному формулой и кривыми Гаусса, Математическое выражение закона Гаусса — уравнение гауссовой кривой — имеет вид [c.25]

Распределения совокупностей случайных величин подчиняются определенным закономерностям, которые являются следствием вероятностной природы случайного рассеяния. Наиболее общие закономерности для многих вероятностных распределений определяются так называемым нормальным распределением. Вероятностная кривая, соответствующая такому распределению (кривая Гаусса), имеет вид симметричного колокола и описывается только двумя параметрами характеристикой центра — математическим ожиданием исследуемой случайной величины х и дисперсией а . Функция плотности вероятности Цх), описывающая кривую Гаусса, имеет вид [c.61]

Кривые Гаусса — кривые плотности вероятностей — показывают распределение вероятностей в зависимости от величины случайной погрешности (Аа )- Таким образом они являются дифференциальными кривыми. Вся площадь, ограниченная кривой Гаусса и охваченной ею осью абсцисс, соответствует полной вероятности, т. е. единице. Каждая вертикальная площадка в пределах этой кривой, симметрично расположенная по обе стороны оси ординат (заштрихованная площадка на рис. 2-3), представляет собой доверительную вероятность для данного интервала погрешностей, равную отношению этой площадки ко всей площади, ограниченной кривой рнс. 2-3. Кривые Гаусса. [c.25]

В теории вероятности доказано, что кривую нормального распределения погрешностей (кривую Гаусса) можно описать следующим уравнением [c.63]

Нормальное распределение (распределение Гаусса)., При достаточно большом числе измерений N можно построить кривую частот повторений (или вероятностей появлений) отдельных значений измеряемой величины на оси абсцисс откладываются экспериментальные значения Хи Xj,на осЯ ординат — вероятность их появлений. Получают кривую нормального распределения (кривая Гаусса)" (рис. 51). При N->-oo кривая описывается уравнением [c.263]

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КРИВЫЕ ГАУССА [c.25]

В соответствии с законом распределения случайных величин скола двух третей всех экспериментальных результатов расположено в интервале т 5. Проверить, является ли разброс результатов случайным, можно, если число полученных экспериментальных данных п) достаточно велико. Для этого данные разбивают на отдельные группы, в каждой из которых располагаются близкие значения, например 1 0,1% 1,2+0,1% 1,4 0,1% . .. 5,0 0,1%, затем строят кривую распределения, откладывая на одной оси число экспериментальных данных [К), попавших в отдельную группу, на другой — среднее значение для каждой группы. Если разброс данных случаен, кривая распределения должна иметь форму кривой Гаусса (рис. 3.1) с максимумом при значении концентрации, равном т, причем в диапазоне 5 от этого значения должно находиться около 65% данных от общего числа определений. Если расширить эти пределы до ts (где >1), то из полного числа данных (п) в этих пределах окажется, например, до 90%. Следовательно, можно утверждать, что вероятность того, что результат отдельного определения попадает в пределы m ts, -равна 90%, или что девяносто из каждых ста результатов должны быть заключены в этих пределах. [c.46]

В этом выражении f(j ) — функция распределения вариант по вероятности попадания в интервал от д до л + dx-, параметр ц является среднеарифметическим (далее для краткости — средним) по всей совокупности измерений или генеральным средним-, при п - -> оо и отсутствии систематических ошибок ц становится равным истинной измеряемой величине. Отклонение x — л есть единичная абсолютная ошибка измерения параметр называют дисперсией, корень квадратный из дисперсии о — стандартным или среднеквадратичным отклонением-, чем о меньше, тем кучнее располагаются варианты около генерального среднего, тем уже вероятный интервал, в котором находится истинное значение х. Площадь под кривой Гаусса в пределах п = 1 до с равна единице. Так как измерения при п- оо неосуществимы, то неизвестны ни д., ни [c.6]

Для выборок с и<20 для оценки X, X и их погрешностей используют кривую /-распределения, которая по сравнению с кривой Гаусса является более пологой и тем более, чем меньше число вариант п в выборке, т. е. вероятность больших погрешностей среди их общего числа увеличивается с уменьшением числа вариант. Кроме того, для /-распределения [c.92]

Заметим, что характер дифференциальной кривой в той или иной степени аналогичен кривой распределения вероятности Гаусса. [c.107]

Вообще следует отметить, что согласно закону нормального распределения случайных ошибок Гаусса, выражающимся кривой (рис. 105), малые отклонения от среднего значения результата более вероятны, чем большие. На кривой нормального распределения случайных ошибок по оси абсцисс отложены значения вправо х- -(Р, а влево х — сР, а по оси ординат доверительная вероятность каждого из значений результата. Этот график наглядно показывает, что нахождение истинного результата а внутри участка оси, отмеченного стрелкой - - более вероятно, чем вне его. [c.305]

Непрерывно изменяющиеся внешние параметры. Как показывают экспериментальные наблюдения, в поразительно большом числе случаев значения внешнего параметра распределены по кривой, удовлетворительно описываемой хорошо знакомой колоколообразной кривой гауссовского распределения, известного также под названием нормального распределения. Распространенность нормального распределения следует из одной доказываемой в теории вероятностей важной и глубокой теоремы, получившей название центральной предельной теоремы. В большинстве случаев флуктуации внешних параметров обусловлены кумулятивным действием многочисленных факторов, определяющих состояние среды. Центральная предельная теорема утверждает, что при любом распределении вероятностей этих факторов, если они не слишком отличаются друг от друга и не слишком сильно коррелированы, флуктуации внешних параметров имеют гауссовское распределение. Более точную формулировку этой фундаментальной теоремы теории вероятностей, а также условия ее применимости читатель может найти в любом стандартном учебнике теории вероятностей [1.86, 87]. В свете центральной предельной теоремы вездесущность гауссов- [c.36]

Как показали исследования [185], чем выше средняя степень полимеризации поликапроамида, тем меньше однородность по молекулярной массе и тем больше кривая распределения приближается к кривой Гаусса. По Флори, причиной этого является рост вязкости реакционной среды, затрудняющий рост макромолекул и увеличивающий вероятность обрыва цепей. [c.68]

Характер кривых распределения может быть различным в зависимости от технологии получения полимерного материала. Кривые, изображенные на рис. 142, симметричны и с увеличением толщины образца смещаются в сторону малых прочностей. Чем больше толщина образца, тем меньше разница между наибольшим и наименьшим значением СТр. В то же время максимальное значение р с увеличением толщины образца возрастает. Если по оси ординат откладывать значение р, отнесенное к максимальной величине р, и аналогично по оси абсцисс откладывать 0Гр/сг , где — наиболее вероятное значение, то получатся кривые, соответствующие распределению Гаусса. Для материалов, характеристики прочности которых укладываются на кривые Гаусса, наиболее вероятное значение прочности может быть рассчитано как среднее арифметическое. Это имеет место не всегда. Так, например, кривые распределения для вулканизатов, наполненных сажей, имеют несимметричный вид. Появляется большее количество образцов с низкими значениями Ор [14]. [c.235]

При отсутствии систематических ошибок, когда число измерений (п) очень велико (стремится к бесконечности), наблюдается так называемое нормальное (по закону Гаусса) распределение случайных ошибок, графически представленное на рис. 12. При построении графика по оси абсцисс откладывают значения определяемой величины (д ), а по оси ординат — соответствующие вероятности получения их при анализе. Из приведенной на рис. 12 кривой видно а) наиболее [c.53]

Согласно (6.12) каждому межъядерному расстоянию соответствует гауссов пик на кривой радиального распределения, абсцисса максимума которого Гтах равна значению наиболее вероятного межъядерного расстояния, а полуширина пика Д,/ определяет среднюю амплитуду колебания [c.137]

Следовательно, вероятность флуктуации концентрации w A ) описывается гауссовой кривой, причем средний квадрат флуктуаций, соответствующий дисперсии р в распределении Гаусса ц. = Ас , равен [c.147]

Вид кривых плотности вероятности ф( ) для трех значений I приведен на рис. 32. Для f = оо кривая ф( ) совпадает с кривой нормированного стандартного распределения ф(и). Для конечнозначных выборок кривая ф(0 идет более полого, медленнее сближаясь с осью абсцисс при больших значениях аргумента . Отсюда следует, что при одинаковой ширине доверительного ин-> тервала доверительная вероятность, оцененная по Стьюденту, всегда меньше доверительной вероятности нормального распределения Гаусса — Лапласа. При этом, чем менее представительна выборка, тем больше разница в оценках двух типов. Иными словами, оценка по Стьюденту учитывает неполноту статистической выборки. Из других свойств -распределения следует отметить симметрию функций плотности и интеграла вероятности относительно знака при аргументе t [c.93]

Это значение главной плотности отвечает перемещению из положения равновесия относительно гауссовой кривой при среднеквадратичном перемещении 0,5 А и кристаллографическом температурном факторе В, равном 19. Распределение максимумов по их высоте представлено на рис. II.6. Можно рассматривать высоту пика, как величину, определяемую двумя факторами долей конфигураций, в которых молекула присутствует в объеме, соответствующем максимальной заселенности, и вероятностью перемещения молекулы из главного положения с низким значением энергии. Пренебрегая наличием пиков, отвечающих заселенности ниже единицы, и предполагая, что перемещение от центра описывается вероятностным законом Гаусса, мы смогли вычислить величину среднеквадратичного перемещения, а следовательно, и кристаллографическое значение величины В для любой заданной высоты пика. Значения среднеквадратичного перемещения приведены на дополнительной шкале в верхней части рис. 11.6. [c.216]

Дж. Максвелл и Л. Больцман (1844—1906). пользуясь кривой распределения ошибок (или кривой вероятностей) Гаусса, изучили распределение скоростей движения молекул газов. Полученные ими кривые распределения скоростей, напоминающие по форме кривые вероятности событий, показывали, что отдельные молекулы движутся с различными скоростями, значительно отличающимися от средних и наиболее вероятных (максимум на кривых распределения) скоростей. К анализу значения таких кривых мы еще вернемся. [c.406]

Мы отмечали, что дифференциальное распределение дисперсности материала часто приближается в той или иной степени к нормальной кривой вероятности Гаусса. Такая закономерность для измельченного материала теоретически обоснована Колмогоровым А. И. [c.108]

Гауссова кривая ошибок. Зная закон распределения, можно производить количественную оценку вероятности получения при измерении результата т, отличающегося от ожидаемой истинной средней величины М. Для этой цели удобно использовать распределение Гаусса. Принимая что распределение можно рассматривать непрерывным, и обозначив абсолютную ошибку сокращенно, М — т [ = е, получим выражение определяющее вероятность того, что ошибка лежит между е и е + йе [c.188]

Распределение величин импульсов. Если моноэнергетическое излучение регистрируется с помощью пропорционального или сцинтилляционного счетчика, то величины импульсов (высоты импульсов на осциллограмме) распределены по отношению к наиболее вероятному значению согласно закону Гаусса. Характерной величиной такого распределения является ширина колоколообразной кривой. Под этим понимается расстояние между ветвями кривой на высоте, соответствующей половине максимума распределения. Отношение этой величины (А) к наиболее вероятному значению импульса (Я) характеризует разрешающую способность устройства. Высоту импульса соответствующую половине максимума кривой распределения, можно определить из соотношения [c.192]

Если по оси ординат откладывать значение р, отнесенное к максимальной величине р, и аналогично по оси абсцисс откладывать где 0р — наиболее вероятное значение, то получатся кривые, соответствующие распределению Гаусса. Для материалов, кривая распределения прочности которых описывается законом Гаусса, наиболее вероятное значение прочности может быть рассчитано как среднее арифметическое. Однако это не всегда возможно. Так, кривые распределения для вулканизатов, наполненных сажей, имеют несимметричный вид. Появляется большее количество образцов с низкими значениями Ор. [c.235]

В математической статистике и в теории вероятности рассматри вается ряд законов распределения размеров. По мнению профессоров А. Б. Яхина и А. П. Соколовского, размеры, получаемые на настроенных токарных, сверлильных, фрезерных и других станках для механической обработки, распределяются по закону нормального распределения, изображаемому кривой Гаусса, а размеры литых, кованых и штампованных деталей распределяются по кривой, близкой к ней. На основании этого для исследования распределения размеров, получаемых при механической обработке на металлорежущих станках. [c.60]

Концепция разрушения макромолекул в их центральной части была далее развита Глинном и Ван-дер-Хоффом. Авторы предложили схему расчета на ЭВМ для обработки данных по деструкции полимеров [267, 268, 784]. При этом они использовали два вероятностных распределения а) вероятность разрыва молекул данной длины и б) вероятность образования при разрыве молекул фрагментов определенной длины. По этой схеме была рассчитана ультразвуковая деструкция полистирола в растворе. В отношении вероятности а было принято допущение, что она пропорциональна доле общего числа молекул, доле молекулярной массы молекул и в некоторой степени длине макромолекул. Что касается вероятности б , то авторы предположили, что места разрыва молекул или распределяются статистически, или находятся только в центре молекул, или распределение подчиняется кривой Гаусса относительно центра цепи. [c.32]

Случайные отклонения при малом числе опытов. На практике экспериментатор выполняет не бесконечно большое число опытов, а довольно малое (2—10), и имеет дело не с генеральной, а с выборочной совокупностью вариант (см. табл. 7.3). При этом распределение случайных ошибок подчиняется уже не закону Гаусса, а /-распределению, имеющему ту же форму, что и кривая Гаусса, но с большей величиной а. При этом /-критерий (или иначе ко- эффициент Стьюдента — Фише- "щ ра) зависит от доверительной е вероятности (Р) и числа опытов минус 1 (р = п.—1). Последнее представляет собой число степе- ней свободы и вводится тогда, когда неизвестно истинное значе- ние, а рассчитывается среднее X, поэтому при расчете дисперсии выборочной совокупности (5 ) в знаменателе ставится л—1. [c.135]

На кривой Гаусса величина у аналогично отражает распределение вероятностей погрешности в зависимости от величины погрешности Ах. Как в дифференциальной зерновой характеристике нет непосредственно величины массы пыли Ях, так и на кривой Гаусса нет непосредственно величины вероятности а. Величина а, как и масса пыли Ях, равна отношению заштрихованной площади Ах ко всей площади, ограниченной дифференциальной кривой (рис. 2-3 и 2-4). Величина вероятности а определяется математически в зависимости от допустимой погрешности +Д с1 и дисп рсии измерения. [c.26]

Авторы исходили из предположения о распределении вероятностей (латентный период, сила реакции положительных и отрицательных условных рефлексов) по Гауссу. Однако, по данным Н. Н. Лившиц (1960), только на положительные раздражители распределение вероятностей величин слюнных условных рефлексов близко к кривым нормального распределения. Вероятности величины слюноотделения на дифферен-цировочное раздражение чаще всего распределяется по Пуассону. Это ограничивает, в частности, возможность использования методов Стьюдента и Фишера. Анализ материалов по [c.156]

Принимая во внимание, что при не слишком малых значениях ж п форма кривых распределения веществ по слоям (ячейкам) близка к форме кривых вероятных ошибок (кривых Гаусса), ширину полузоны распределения Ь можно было бы найти на основании равенства (6) по формуле [c.105]

Джиддингз рассмотрел чрезвычайно сложный хроматографический процесс с точки зрения модели, включающей явления на равных уровнях молекулярном, между частицами, на частицах и с точки зрения геометрии колонки. Существенным для всех методов хроматографического разделения является разная скорость движения различных растворенных веществ, которая зависит от их коэффициентов разделения при условии, что полосы и пики разделяются друг относительно друга быстрее, чем они уширяются. Даже если растворенное вещество впрыскивают в виде острого пика, на ранних стадиях элюирования получается распределение растворенного вещества по закону Пуассона (предельное биномиальное распределение). После прохождения растворенным веществом пути, эквивалентного примерно 50 теоретическим тарелкам, распределение весьма приблил ается к узкополосной кривой распределения по закону Гаусса (см. рис. 23-5). На молекулярном уровне движение хаотично и напоминает процесс случайных толчков, молекулы временами движутся вперед в подвижной фазе, а временами застывают в неподвижной фазе. Вероятность пребывания молекулы в неподвижной фазе зависит от коэффициента разделе- [c.502]

Размер гибкой цепи (степень свернутости) оценивают расстоянием между ее концами h (см. рис. 5.2, в). Оно варьируется в широком интервале. Предельные значения = О и = L (где L - длина предельно вы тя-нутой зигзагообразной цепи с недеформированными валентными углами) маловероятны. Число возможных конформаций И для данного расстояния h и распределение макромолекул по расстояниям между концами подчиняются закону распределения Гаусса (рис. 5.3). Наиболее вероятно расстояние, соответствующее максимуму кривой распределения. [c.123]

Вещества, изученные по настоящее время с помощью МОВД и МКД, охватывают область от неорганических комплексных ионов [698, 699] до биологических систем, содержащих сложные сопряженные органические молекулы. Эффект Фарадея (обычно МКД более предпочтителен по сравнению с МОВД [697]) дает полезную информацию о переходах с переносом заряда. Для простого перехода кривая МКД складывается из трех компонентов. Один из них соответствует расщеплению основного состояния, возбужденного состояния или их обоих в магнитном поле. Этот компонент имеет 5-форму кривой. Он наблюдается только тогда, когда хромофор имеет некоторую симметрию. Второй компонент образуется в результате отклонений в вероятности перехода, вызываемых магнитным полем. Кривая этого компонента имеет форму кривой распределения Гаусса. Третий компонент зависит от влияния температуры на расщепленное магнитным полем состояние. Этот вклад также имеет форму кривой распределения Гаусса и наблюдается только тогда, когда возможно расщепление. Эти явления, использованные для изучения переходов, оказались полезными для обнаружения магнитного момента в возбужденном состоянии. Поэтому, если нужно получить информацию о возбужденном состоянии, то МКД предпочитают другим спектроскопическим методам [697]. Эта информация позволяет количественно проверить расчет [c.104]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология