Случайные погрешности. Доверительный интервал

СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ [c.15]

Случайными называют погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Действительно, производя со всей тщательностью повторные измерения, мы обнаруживаем нерегулярные расхождения результатов измерений, обычно в последних двух-трех значащих цифрах. Случайные погрешности не могут быть исключены из результатов измерений подобно систематическим погрешностям. Однако при проведении повторных измерений одной и той же величины методы математической статистики позволяют несколько уточнить результат измерения, найдя для искомого значения измеряемой величины более узкий доверительный интервал, чем при проведении одного измерения. [c.76]

Границы доверительного интервала случайной погрешности измерения величины Q определяются по формуле [c.83]

В силу ЭТОГО В табл. XIV.1 достаточно привести значения доверительных вероятностей а = Ф([/) только для положительных значений и. Тогда для оценки вероятности того, что случайная погрешность отдельного измерения не выпадает нз интервала иа следует табличное значение а увеличить вдвое [c.829]

Цель количественного анализа — получение достоверных результатов (при определении содержаний компонентов). Для этого необходимо знать все возможные погрешности, которые возникают на той или иной стадии анализа, и способы их устранения. Теория ошибок дает формулы для расчета систематических погрешностей, определив которые можно внести поправки в полученные результаты. Статистическая обработка результатов анализа позволяет учесть влияние случайных погрешностей и найти интервал значений, в котором с заданной доверительной вероятностью содержатся найденные значения количеств или концентраций анализируемых веществ. [c.125]

Нормированное стандартное распределение. Функция Лапласа. Результаты многократного химического анализа и сопутствующие им случайные погрешности принято характеризовать с помощью двух статистических критериев щирины доверительного интервала [Х1,Х2], внутри которого могут лежать результаты отдельных анализов, и доверительной вероятности а того, что они не выпадают из этого интервала. Как было показано ранее [см. уравнение (3.5)] [c.80]

Кривые Гаусса — кривые плотности вероятностей — показывают распределение вероятностей в зависимости от величины случайной погрешности (Аа )- Таким образом они являются дифференциальными кривыми. Вся площадь, ограниченная кривой Гаусса и охваченной ею осью абсцисс, соответствует полной вероятности, т. е. единице. Каждая вертикальная площадка в пределах этой кривой, симметрично расположенная по обе стороны оси ординат (заштрихованная площадка на рис. 2-3), представляет собой доверительную вероятность для данного интервала погрешностей, равную отношению этой площадки ко всей площади, ограниченной кривой рнс. 2-3. Кривые Гаусса. [c.25]

Ввиду наличия случайной погрешности одна и та же величина х при каждом последующем измерении приобретает новое, непрогнозируемое значение. Такие величины назьшаются случайными. Случайными величинами являются не только отдельные результаты измерений х,, но и средние (а также дисперсии 5 (л ) и все производные от них величины). Поэтому X может служить лишь приближенной оценкой результата измерения. В то же время, используя величины и 5 (л ), возможно оценить диапазон значений, в котором с заданной вероятностью Р может находиться результат. Эта вероятность Р называется доверительной вероятностью, а соответствующий ей интервал значений - доверительным интервалом. [c.10]

Одна из основных задач аналитика при оценке случайных погрешностей химического анализа — нахождение функции распределения, которой описываются экспериментальные данные. Из математической статистики следует, что случайная величина считается заданной, если известна функция ее распределения. Эта функция может быть представлена функциональной зависимостью или графически. Данные большинства аналитических определений при наличии генеральной совокупности результатов химического анализа подчиняются закону нормального распределения (распределение Гаусса). Однако закон нормального распределения неприменим для обработки малого числа измерений выборочной совокупности (п < 20). Для обработки таких выборок в химическом анализе используют распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики ширину доверительного интервала, соответствуюш ую ему вероятность и объем выборки. Прежде чем рассматривать распределение Стьюдента и его применение для обработки данных химического анализа, остановимся на некоторых основных характеристиках выборочной совокупности. [c.269]

Дайте определение и поясните следующие термины значащие цифры, воспроизводимость, правильность, систематическая погрешность, случайная погрешность, среднее, отклонение, доверительный интервал, абсолютная недостаточность, относительная недостоверность, -критерий. [c.53]

Пусть экспериментально измеренная величина К имеет среднее значение К и доверительный интервал Д/( К — К АК. При обработке результатов эксперимента возможны две ситуации если К за счет погрешностей определения потенциалов не попадает в интервал 1,1 + 2/1 1 , определение концентрации по уравнению (55) вообще невозможно если К попадает в интервал, определение с по уравнению (55) возможно, но случайная погрешность Ас может быть очень велика. [c.111]

Вследствие случайных флуктуаций один и тот же результат анализа- х может быть вызван разными аналитическими сигналами а и соответствующими содержаниями с элемента. Задача интерпретации результата анализа сводится к нахождению относительных вероятностей различных значений сигнала, которые могли вызвать этот результат или, как говорят, к установлению апостериорного распределения вероятностей сигнала хЮх а)< Функция Шх(а) зависит от априорной вероятности появления различных сигналов и от рассматривавшейся выше (см. 1.2.1) функ--ции Wa(x) распределения разных результатов измерений какого-то вполне определенного сигнала. Если априорная вероятность появления любых сигналов одинакова, то w ia) = Wa(x) [749]. Следовательно, пользуясь полученными при разработке метода или в процессе анализа характеристиками рассеяния (а и Wx) результатов измерений каких-то вполне определенных аналитических сигналов (анализируемых проб), можно решить и интересующую нас обратную задачу — найти интервал значений, в котором с заданной доверительной вероятностью будут находиться все аналитические сигналы, могущие вызвать данный результат анализа, а также указать наиболее вероятное значение сигнала. Ширина доверительного интервала характеризует случайную погрешность метода анализа. Чем этот интервал уже, тем более точным является суждение о величине сигнала и о содержании элемента, тем ближе результат измерения к истинному значению сигнала. [c.31]

Напомним, что, если случайная ошибка установлена из малого числа повторных измерений (л <20), в выражения (10) и (И) вместо значения а входит его оценка s, а вместо квантили Ыр — коэффициент Стьюдента ip, зависящий от числа измерений п [549, При этом ширина доверительного интервала, установленного с доверительной вероятностью р, т. е. погрешность анализа, будет тем больше, чем меньше число измерений п. [c.34]

Если величина Ох в рассматриваемой области значений сигнала постоянна, то интервал будет симметричным. Ширина его, характеризующая абсолютную случайную погрешность анализа, равна 2 ра. Результат анализа (величина, установленная с доверительной вероятностью р) выдается в виде а = pO. Наиболее вероятное значение сигнала в этом случае а = х,-. Доверительный интервал сужается и точность определения сигнала становится выше, если оценка производится не по одному измерению Xi, а по среднему результату х , полученному из п независимых [c.32]

Поскольку при вычислении стандартного отклонения во внимание принимается разброс результатов измерений, обусловленный только случайной погрешностью, величина стандартного отклонения, рассчитанная по формуле (8.1.1.2), также отражает лишь случайные флюктуации. Можно показать, что нижний и верхний пределы доверительного интервала стандартного отклонения равны [c.319]

Во избежание неправильной оценки результатов количественного газохроматографического анализа в каждом случае для измеренного значения следует указывать соответствующую случайную погрешность, а для характеристики среднего или отдельного значения находить доверительный интервал. Последний вычисляют при условии, что результаты анализа во всяком случае приближенно отвечают нормальному распределению. [c.58]

Определение доверительных границ случайной погрешности результата измерения. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения — это тот интервал, в который с заданной (принятой исследователем) вероятностью а должно попасть среднее арифметическое значение при бесконечном (теоретически) увеличении объема выборки, увеличении количества параллельных единичных наблюдений. Вероятность того, что это истинное (генеральное среднее) значение все же будет находиться за пределами вычисленных доверительных границ, определяется значимостью этих отклонений (/э = 1 — а). Такая вероятность есть всегда, поскольку теоретически могут иметь место любые отклонения (кривая нормального распределения не имеет границ). [c.101]

Доверительный интервал случайной погрешности Ас, отн. % [c.151]

Величина X без указания доверительного интервала лишена всякого смысла. Согласно математической статистике, надежность полученного результата химического анализа тем выше, чем была больше доверительная вероятность Р при его оценке, так как при этом уменьшается вероятность потерь случайных больших погрешностей. Как правило, в аналитической химии применяют доверительную вероятность Р = 0,95 (при анализе лекарственных препаратов полагают Р = 0,99). [c.131]

Мысль результаты химического анализа и их погрешности можно рассматривать в качестве случайных величин значение среднего арифметического результатов анализа без указания доверительного интервала лишено всякого смысла. [c.137]

При нахождении случайной погрешности необходимо определить две характеристики доверительный интервал и соот- [c.17]

Погрешность определения сульфатов по этой методике складывается из случайной погрешности и неисключенной систематической погрешности. Доверительный интервал неисключенной систематической погрешности результата измерения [c.161]

Помимо доверительного интервала случайной погрешности результата измерения должны бьггь вычислены доверительные фаницы неис-ключенной систематической погрешности. В практике механических испьгганий это делается редко, поскольку считается, что неучтенные систематические ошибки переводятся в случайные. [c.277]

Знание систематической погрешности позволяет решить практическую задачу определения числа повторных измерений, которые надо провести для того, чтобы погрешность была наименьшей. Увеличение числа измерений снижает случайную ошибку. При этом систематическая погрешность от п не зависит. Если эта погрешность равна б, то число измерений следует выбрать таким, Jч тoбы ширина доверительного интервала (А -- / — I) п составляла 50—100% неисключенной систематической погрешности. Дальнейшее увели чение п будет приводить к уменьшению случайной погрешности, однако суммарная погрешность все равно будет больше А. Соответствующее неравенство для выбора оптимального п выглядит так [c.60]

Обе эти величины 5 и а применимы к интерпретации результатов химического анализа, а их значения являются объективной мерой отклонения результатов от среднего значения, т. е. характеризуют случайные погрешности анализа. Существенно, однако, отметить, что из двух введенных стандартных отклонений только последнее является величиной постоянной, т. е. может служнть-параметром функций распределения и однозначно определять-вероятности случайных погрешностей анализа. Величина 5 органически связана с числом параллельных анализов /г и, следовательно, оценки случайных погрешностей с ее помощью должны быть опосредованы через величину п. Кроме того, ввиду недостатка информации о характере распределения для выборок малого объема статистические оценки возможных ошибок (погрешностей) с помощью выборочного стандартного отклонения должны носить более неопределенный характер, чем посредством генерального параметра а. Как будет показано ниже, это приводит-к тому, что заданной ширине доверительного интервала погрешности, оцененной через 5, отвечает меньшая доверительная вероятность в сравнении с оценкой через о. [c.76]

Большое значение имеют метрологич. характеристики-закон распределения результатов параллельных определений, границы интервала определяемых содержаний, воспроизводимость, правильность, погрешности анализа (см. Метрология химического анализа). За ниж. границу определяемых содержаний обычио принимают то миним. содержание, к-рое можно определить с заданной. максимальной относит, случайной погрешностью 5, для принятой доверительной вероятности Р (обычно Р = 0,95). При анализе в-в высокой чистоты часто задают 5 = 0,66. [c.432]

Для решения этой задачи можно использовать уже извесшый нам подход, описанный вьш1е (с. 10) и основанный на интервальной оценке неопределенности величины Г. Доверительный интервал для среднего, рассчитанный по формуле Стьюдента (16), характеризует неопределенность значения Г, обусловленную его случайной погрешностью. Поэтому если величина а входит в этот доверительный интервал, утверждать о значимом различии между Гий нет оснований. Если же величина а в этот интервал не входит, различие между х на следует считать значимым. Таким образом, полуширина доверительного [c.16]

При обработке результатов многократного химического анализа и сопутствующих им случайных погрешностей принято приводить два статистических параметра — ширину доверительного интервала, внутри которого могут лежать результаты отдельных анализов, и доверительную вероятность того, что они попадают в этот интервал. Значения штгегральной функции распределения (2.2) представлены в таблицах, пользуясь которыми можно найти вероятность, с которой величина и не превзойдет заданного значения. Чаще при статистической обработке данных пользуются табулированными значениями интеграла [c.44]

Оценка математического ожидания норд1ально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинным результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (см. гл. II. 8). Генеральную дисперсию аг нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии iP. Ошибка от замены генеральной дисперсии выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки и. На практике эту погрешность не учитьшают при л >50 и в формуле (11.49) для доверительного интервала генеральный параметр заменяют выборочным стандартом. В дальнейшем предполагается, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение. [c.45]

Ширина доверительного интервала, выраженная в единицах относительной стандартной ошибки Vx результатов измерений, равна 2UpVx и характеризует относительную случайную погрешность анализа, т.е. двусторонние пределы отклонения отношения xja от единицы. В области малых значений сигналов, где о = onst (область I кривой ошибок — см. рис. 7), абсолютная погрешность измерения сигнала будет постоянной, а относительная погрешность будет увеличиваться с уменьшением величины сигнала. Наоборот, в области больших сигналов, где Vx — onst (область III на рис. 7), относительная погрешность будет постоянной, а абсолютная будет расти с увеличением сигнала. [c.32]

До сих пор речь все время шла об интерпретации результатов измерений аналитического сигиала, об оценке точности становле-ния его величины. Обычно случайная ошибка построения градуировочного графика 0гр по крайней мере в средней его части значительно меньше ошибки измерения сигнала 0. Поэтому конечные. характеристики точности анализа (ширина доверительного интервала, наиболее вероятное значение), выраженные в единицах содержания с определяемого элемента, находят непосредственно из градуировочного графика по приведенным выше соответствующим характеристикам точности определения аналитического сигнала. Если же Огр > аа , то оно должно учитываться при интерпретации результатов анализа, вследствие чего погрешность определения содержания элемента будет больше соответствующей погрешности определения аналитического сигнала. [c.36]

Если заданы доверительные пределы, то можно вычислить доверительную вероятность, и наоборот. Для точного нахождения доверительных интервалов параметра распределения случайной величины необходимо знать закон распределения этой величины. В практике радиометрических и дозиметрических измерений часто можно считать, что приближенно выполняется нормальный закон распределения. Это предположение тем точнее, чем больше число замеров т. В этом сл)Д1ае для вьгчисления доверительных пределов среднего значения случайной величины при заданных доверительной вероятности р и числе замеров т достаточно вычислить стандартную погрешность среднего Ощ и умножить ее на коэффициент Г (критерий Стьюдента). В табл. 11.1 приведены значения критерия Стью-дента t в зависимости от числа замерров т для трех значений доверительной вероятности. В табл. 11.2 даны значения доверительной вероятности для четырех значений числа замеров т и для трех значений доверительного интервала, выраженного в единицах стандартной погрешности а . [c.263]

Как известно, измерения неизбежно имеют погрешности — систематические и случайные. На первом этапе построения модели следует предполагать а priori, что систематические погрешности, отсутствуют. Справедливость этого предположения проверяется в дальнейшем, в ходе проверки гипотезы. Наличие случайных погрешностей приводит к тому, что значения параметров не-могут быть определены точно. В этой ситуации результаты следует формулировать на языке теории вероятностей параметр-с заданной вероятностью, называемой доверительным уровнем,, лежит в пределах определенного доверительного интервала. Эти интервалы определяются характером статистической выборки,, называемой оценкой, которую в дальнейшем будем помечать [c.379]

На практике чаще всего имеет место нормальный закон распределения случайных ошибок. В этом случае оценкой точности, характеризующей воспроизводимость результатов рентгеноспектрального анализа, является среднеквадрати.чная погрешность о, называемая также стандартным отклонением и определяемая как корень квадратный из дисперсии. Чем выше воспроизводимость анализа, тем меньше 0 и тем ближе отдельные результаты анализа к своему среднему значению, о — это абсолютная погрешность и поэтому характеризует возможную ошибку только при данном конкретном значении результата. Выражая погрешность в долях стандартного отклонения, можно найти вероятность того, что отдельный результат измерения Хг не выйдет за рамки этой погрешности. Такая вероятность называется статистической уверенностью или доверительной вероятностью Р, а выраженный в долях стандартного отклонения интервал называют доверительным интервалом. Между ними устанавливаются следующие связи [c.29]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология