Средние значения и собственные значения

Коль скоро левые части в этих цепочках равенств одинаковы, должны совпадать и правые части, что вполне определенно свидетельствует о том, что а, должно быть вещественным. По существу, этот результат у нас уже был получен в п. б, где речь шла о средних значениях вида I А I г )>. Равенство (8) к тому же показывает, что если функция ) (или г ) ) нормирована на единицу, среднее значение оператора А на такой (собственной для него) функции равно собственному значению. [c.49]

В ЭТОЙ таблице возможные энергетические состояния расположены в порядке возрастания собственных значений Е , отвечающих энергии. Таблица не дает полного описания ансамбля она не говорит о том, какие системы какими микросостояниями обладают, а указывает лишь числа систем, каждая из которых обладает одним из допустимых значений энергии. Полное описание ансамбля не является необходимым для определения термодинамических величин системы. Эти величины, усредненные по ансамблю, зависят от числа членов в ансамбле в каждом квантовом состоянии и не зависят от того, какие члены ансамбля в каком состоянии находятся. Описание ансамбля с помощью чисел N1 членов ансамбля, характеризующихся известным свойством, определяет, как говорят, класс состояний ансамбля. Класс состояний, который встречается довольно часто, будет давать наибольший вклад в среднее значение термодинамических величин системы. Отдельная система в ансамбле может иметь любую из возможных энергий, но для ансамбля в целом распределение должно удовлетворять соотношениям [c.527]

Здесь Д, - среднее значение собственного дипольного момента молекул /-ГО вида с учетом возможности их различных направлений относительно поля. [c.145]

При обсуждении данных о магнитных свойствах соединений U(V) необходимо подчеркнуть, что магнетизм этих соединений можно объяснить не только наличием ионов U (V) с одним неспаренным электроном можно предположить, что в этом соединении имеется смесь ионов U (IV) с двумя неспаренными электронами и диамагнитных ионов и (VI). Конечно, в этом случае среднее значение собственного спинового момента U(IV), рассчитанное по уравнению (7.2), составлял бы 2,00 лв. Однако он может быть равен и 2,53 хв, т. е. истинному магнитному моменту иона U (V) с 5/-конфигурацией (см. табл. 7.7) при условии, что для U (IV) принимается схема LS-связи. [c.228]

Поскольку Е было бы средним значением энергии системы, если бы она находилась в состоянии, описываемом функцией ), то мы заключаем, что Е не может быть меньше минимальной возможной энергии, т. е. Е не может быть меньше минимального собственного значения гамильтониана Я. [c.13]

Среднее значение собственной анизотропии Гауссовой цепи [c.325]

Наши собственные клинические исследования показали, что данный иммунохимический вариант анализа так же эффективен в диагностике, как и электрофоретический метод определения КК-МВ. При анализе сывороток, полученных от 40 человек, у которых по клиническим и биохимическим данным не было инфаркта, значения активности КК-МВ соответствовали норме. Среднее значение в этой серии было равно 2,4 МЕ/л при стандартном отклонении (5) 2,1 МЕ/л. В качестве порогового уровня диагностической чувствительности принимали значение активности 8,7 МЕ/л (т. е. среднее значение +35). [c.330]

Однако ионизация поверхностных атомов железа, несмотря на конечный выигрыш в энергии, связана с предварительной затратой некоторого количества энергии на преодоление потенциального барьера - Еа, значение которого больше среднего значения собственной энергии атома (Еа > Е(Ре), поэтому далеко не каждый поверхностный атом железа способен преодолеть потенциальный барьер. [c.15]

Перечислим наиболее важные критерии оптимальности планов Л-оптимальность — минимизация средней дисперсии или суммы диагональных элементов А о , / -оптимальность — минимизация обобщенной дисперсии, или det Ао , -оптимальность — минимизация наибольшего собственного значения А . [c.25]

Ранее отмечалось, что современные деэмульгаторы являются смесями компонентов с различными молекулярными массами и молекулярной структурой. Каждый из этих компонентов, очевидно, обладает собственным коэффициентом диффузии. Поэтому понятие коэффициента диффузии, которым мы пользуемся в нашей модели, следует рассматривать только как некоторое среднее значение коэффициентов диффузии отдельных компонентов. [c.67]

Доказано, что лишь конечное число собственных значении может лежать правее мнимой оси. Расчеты показали, что в действительности имеется лишь одно положительное собственное число для рассмотренных средних стационарных режимов. [c.127]

Он идентичен виду функции уравнения (IX.23), если г и рассматриваются как радиальные средние, определяемые уравнением (IX, 2). В результате устойчивость трубчатого реактора с поперечным перемешиванием может быть исследована с помощью собственных значений [c.236]

В принципе, только точные решения нелинейной системы могут позволить вычислить собственные частоты возникающих автоколебаний псевдоожиженного слоя, на которых он будет резонировать . Из приближенной же системы уравнений (П. 18) — (II. 19) можно лишь оценить порядок величины этих собственных частот и их зависимость от режимных параметров слоя. Для этого примем, что на верхнем уровне слоя вычисленная нами выше амплитуда колебаний а Р (Н) = о о ехр (ш Я/ ) должна быть ограниченной и не может превысить половины среднего значения объемной плотности, т. е. 0,5а. Отсюда следует оценка [c.72]

Очистить и одновременно повысить концентрацию золя или раствора высокомолекулярного соединения можно с помощью метода, называемого электродекантацией. Метод предложен В. Паули. Электродекантация происходит при работе электродиализатора без перемешивания. Частицы золя или макромолекулы обладают собственным зарядом и под действием электрического поля перемещаются в направлении одного из электродов. Так как они не могут пройти через мембрану, то их концентрация у одной из мембран возрастает. Как правило, плотность частиц отличается от плотности среды. Поэтому в месте концентрирования золя плотность системы отличается от среднего значения (обычно с ростом концентрации растет плотность), Концентрированный золь стекает на дно электродиализатора, и в камере возникает циркуляция, продолжающаяся до практически полного удаления частиц. [c.28]

Пусть имеется ансамбль систем, описываемых одной и той же волновой функцией. При измерении в нем значения такой величины, которая не является собственной функцией оператора, мы получим разные значения для всех членов ансамбля систем. Нам останется только попробовать вычислить среднее значение этой величины в том смысле, какой придают термину математическое ожидание . [c.38]

Теперь постулаты квантовой механики (см. 7 этой главы) можно дополнить следствиями, относящимися к свойствам квантовых операторов. Величины, характеризуемые операторами, для которых функция системы является собственной, имеют строго определенные значения. Все остальные не имеют точно определенных значений. Для них можно вычислить средние значения по уравнению [c.58]

Для определения средних значений функцию системы разлагают в ряд по собственным функциям оператора данной величины. Квадраты коэффициентов разложения суть вероятности найти при измерении для данной величины одно из собственных значений оператора этой величины. [c.58]

Расчет Е по выражению, дающему среднее значение, оправдан тем, что, как правило, мы не знаем разложения Е по собственным функциям и вынуждены пользоваться пробными . [c.96]

Повышение точности прибора при данной его конструкции может быть достигнуто путем проведения многократных измерений над одной величиной и оценки среднего значения. Действительно, среднее отклонение для собственных тепловых изменений прибора (флуктуаций) равно нулю. Значения температуры, показываемые газовым термометром, флуктуируют около истинного значения температуры системы. [c.143]

Решая уравнение Ьг ) = В ф, мы находим собственные функции ( ) и собственные значения оператора (В). Оказывается, что уравнення квантовой механики могут записываться как уравнения классической механики, если заменить величины, фигурирующие в этой механике на операторы. Это положение, описывающее соответствие квантовой и классической механики, позволяет определить операторы для различных физических величин. Определение средних значений физических величин (М) производится на основе использования оператора М, отвечающего этой величине [c.549]

Переход к циклической модели сопряженного полимера дает возможность оценивать средние значения полной энергии и усредненные характеристики я-электронной плотности в терминах функций kj k) и соответствующих им собственных векторов [146,147,149]. Отметим, что полубесконечные модели оказываются полезными для изучения влияния концевых групп на спектральные характеристики макромолекул. [c.61]

Таким образом, даже такая минимальная информация о матрице Кирхгофа, как значение ее любого главного минора, позволяет найти свободную энергию полимерной молекулы. Подробность описания конформационной статистики возрастает с увеличением информации о матрице К. Так, зная ее спектр, можно найти средние размеры молекулы и распределение ее радиуса инерции [75]. Эта же информация позволяет вычислить с помощью обобщения теорий Рауза [76] и Зимма [77] динамические свойства гауссовой молекулы в терминах спектра ее времен релаксации [75, 78]. Для этой цели Фореман [78, 79] вместо матрицы К = ВВ , являющейся обобщением на разветвленные молекулы матрицы Зимма [77], использует аналог В В матрицы Рауза [76]. Поскольку отличные от нуля собственные значения матрицы Кирхгофа совпадают со спектром матрицы Рауза, то получающиеся при использовании двух различных подходов выражения идентичны. [c.177]

Таким образом, собственные функции эрмитова оператора всегда можно считать взаимно ортогональными, независимо от того, принадлежат ли они разным или одинаковым собственным значениям. Для дискретного спектра они к тому же могут быть выбраны нормированными на единицу. Средние значения оператора Л на таких функциях, как уже было сказано, равны соответствующим собственным значениям А на исходных функциях, [c.50]

В отличие от того, что было получено для координаты и импульса, здесь правая часть зависит от квадрата среднего значения координаты 2, Т.е. от величины, присущей заданному квантовому состоянию частицы. Поэтому подобные соотношения несколько менее популярны, хотя и они подчас позволяют получить полезные выводы. В качестве достаточно тривиального вывода можно отметить, например, тот, что если функция Ц), с которой вычисляются все величины в последнем соотношении неопределенностей, собственная для оператора Ь с нулевым собственным значением, то <г> также должно равняться обязательно нулю. [c.64]

Если имеется множество систем, каждая из которых находится в состоянии г ), то при измерении свойств каждой из этих систем собственные значения будут появляться с вероятностью, пропорциональной с р, так что среднее значение физической величины Ь в состоянии ф будет представлено выражением [c.65]

Это соотношение носит название соотношения неопределенностей для энергии и времени, причем первый сомножитель слева отвечает дисперсии в значениях энергии, среднее значение которой равно Ед = <Н>. Оно показывает, что при измерении энергии за конечный промежуток времени А/ мы не можем получить точного значения энергии (как это имеет место в состоянии, собственном для Я), а только лишь некоторое среднее значение с конечной дисперсией. При таком измерении энергии состояние, собственное для Я, перестает [c.67]

Из соотношений типа (19) для следует к тому же, что средние значения этих операторов на функциях, собственных для равны нулю. Действительно, коль скоро - эрмитов оператор, его собственные функции взаимно ортогональны. С другой стороны, оператор действует согласно соотношению (19), так что [c.98]

Это неравенство носит название вариационного принципа квантовой механики среднее значение оператора Гамильтона на любой функции ф из класса допустимых нормированных функций всегда больше минимального значения энергии Е для рассматриваемой квантовомеханической системы оно становится равным ему тогда и только тогда, когда функция ф совпадает с собственной функцией Н, относящейся к собственному значению Е . [c.145]

Как было показано в разд. 44.3, при измерении какого-либо параметра различными аналитическими методами происходит небольшой,, но неизбежный случайный разброс результатов. При оценке результатов измерений, например, методами, приведенными в разд. 44.7, этот разброс тем или иным образом сказывается на результатах анализа. Из данных по случайному разбросу результатов анализа эталонной пробы можно определить случайный разброс, или точность, метода анализа, а из отклонения среднего значения от известного теоретического найти лравильность, или систематическую ошибку, метода. Если аналогично оценить операции отбора пробы и подготовки ее к анализу, то можно сделать соответствующие выводы о методе анализа в целом. Эти выводы имеют особенно важное значение для аналитической практики, но на их получение тратится много времени, поскольку необходимо осуществить весь ход анализа. Часто соответствующие рекомендации касаются только принципа проведения анализа или в лучшем случае собственно метода [c.461]

Если известна функция плотности вероятности для переменной смешения (соотношения компонентов в смеси), можно вычислить средние значения скалярных величин. Таким путем можно решить систему усредненных уравнений сохранения, поскольку в уравнениях (12.24)-(12.28) используются средние плотности. В идеале функция плотности вероятности должна вычисляться из ее собственной системы уравнений сохранения и соответствующих граничных условий [ hen et al., 1989]. Можно добиться значительного упрощения ситуации, если навязать функции плотности вероятности определенную характерную форму, например, рассматривать функцию плотности вероятности, описывающуюся двумя параметрами, такими как среднее значение и дисперсия величины (например, функцией Гаусса или 5-функцией, которые обсуждались в 12.7). Тогда вместо уравнения сохранения для функции плотности вероятности будет необходимо только уравнение сохранения для среднего значения и дисперсии величины Уравнение для дисперсии Фавра [c.221]

Важное применение мембранных фильтров в микробиологии состоит в разделении содержащихся в водных пробах частиц различного размера. Этот процесс фракционирования клеток по размерам, называемый просеиванием, предъявляет к мембранным фильтрам ббльшие требования, нежели простая фильтрация с целью задержать частицы любого размера. Фракционирование по размерам широко используют в методе радиоизотопной инкубации, чтобы определить, какого рода микроорганизмы или скопления микробов ответственны за тот или иной тип процесса. Шелдон [194] провел обширное исследование для определения видов мембран, наиболее подходящих для фракционирования. С помощью электронного счетчика частиц (счетчик Коултера) он определил распределение частиц по размерам в пробах морской воды до и после фильтрации и построил кривые селективности для разных мембран, оценив среднее значение задержки, т, е. размер пор, при котором задерживается 50 % частиц это среднее значение Шелдон принял за средний размер пор мембраны. На рис. 11.7 проведено сравнение между измеренным таким образом средним размером пор мембран и их номинальным размером, указываемым фирмой-изготовите-лем (мембраны Миллипор и Нуклепор). Очевидно, что мембраны Миллипор не годятся в качестве сит, хотя они прекрасно работают как задерживающие (для этого они, собственно, и были созданы). [c.304]

Снять спектр поглощения газа подобно съемке спектра поглощения полистирола. 5. Сделать анализ полученного спектра. Отнести каждую полосу поглощения к определенному переходу. 6. Определить значения шкалы длин волн для каждой полосы поглощения в Р-ветви вращательно-колебательного спектра. 7. Определить среднее значение из 10 значений Ло) (разность волновых чисел соседних полос поглощения). 8. Вычислить ио уравнению (111,39) вращательную постоянную В на основании среднего значения Ао). 9. Рассчитать момент инерции. Сопоставить полученную величину со справочной. 10. Рассчитать межатомное расстояние по уравнению (III, 4). П. Определить ио уравнению (III, 38) волновое число основной полосы поглощертя. Сопоставить полученное значение с собственной частотой колебания. [c.62]

По изложенной методике проведены расчеты собственных чисел системы, линеаризованной на средних стационарных решениях, иредставле1П1ых иа рис. 1, а, б. Они показали, что имеется одно положительное собственное число, остальные собственные значения имеют отрицательные действительные части. [c.123]

Если матрица Н (5.5) отрицательно определена, тогда из выра-Нчбния (5.4) получаем, что циклическое возмущение приводит к уменьшению средней скорости. Если же матрица Я имеет хотя бы одно положительное собственное значение, тогда при некоторых циклических возмущениях средняя за цикл скорость увеличивается. [c.129]

В табл. 4.27 для указанных атомов приведены значения одноэлектронных энергий /-собственных чисел уравнений Хартри - Фока для атомов, г /-средних значений г для /-орбитали атома и Д /-абсолют-ных значений разности собственных чисел уравнений Хартри — Фока для атома и иона. У каждого из рассмотренных атомов оболочки от 1 до Зр сильно различаются как по энергии (более чем в 100 раз), так и по радиусу (более чем в 15 раз). Тем не менее при отрьгае электронов, рас- [c.274]

Через 2—3 мин промывки газом кюветы закрыть кран капельной воронки закрыть крап, соединяющий колбу Вюрца со склянкой для осушки газа и закрыть входной и выходной краны кюветы. 3. Отвернуть крышки, предохраняющие окна кюветы от порчи атмосферной влагой. Установить газовую кювету перед входной щелью прибора. 4. Снять спектр поглощения газа подобно съемке спектра поглощения полистирола. 5. Сделать анализ полученного спектра. Отнести каждую полосу поглощения к определенному переходу. 6. Определить значения шкалы длин волн для каждой полосы поглощения в Р-ветви вращательно-колебательного спектра. 7. Определить среднее значение из 10 значений Дм (разность волновых чисел соседних полос поглощения). 8. Вычислить по уравнению (111,39) вращательную постоянную В на основании среднего значения Асо. 9. Рассчитать момент инерции. Сопоставить полученную величину со справочной. 10. Р ассчитать межатомное расстояние по уравнению (III, 4). 11. Определить по уравнению (111, 38) волновое число основной полосы поглощения. Сопоставить полученное значение с собственной частотой колебания. [c.62]

Смысл интегралов, входящих в секулярные уравнения, удобнее всего пояснить на примере иона Н . Прежде всего напомним, что выражение типа /ЯфЯс 1/ представляет собой среднее значение той величины, которая соответствует квантово-механическому оператору Я при этом функции ср, вообще говоря, не представляют собой собственных функций оператора. [c.103]

Деление оксидов на основные н кислотные базируется на их собственном отношении к кислотам и щелочам, а также на свойствах соответствующих им гидроксидов. Большая группа оксидов по этим признакам относится к амфотерным. Элементы, образующие амфотерные оксиды, характеризуются средними значениями ОЭО в пределах 1,4—1,8 и степенями окисления +2ч-+4. Если при степенях окисления +2, -ЬЗ электроотрицательность менее 1,4, то оксиды (и отвечающие им гидроксиды) обладают основными свойствами. Так, ОЭО 0Э0са(+2) составляет 1,0, ОЭО лантаноидов [Ln (+3)1 равна 1,2—1,3. Если при степени окисления +4 электроотрицательность элемента больше 1,8, оксид обладает кислотными свойствами. Например, ОЭО С (+4), Si(+4), Ge (+4) равны, соответ- [c.62]

Пусть оператор ГамильтонаЯявно от времени не зависит. Поскольку он коммутирует сам с собой, его среднее значение <Ф IНI Ф> на любой функции состояния Ф от времени не зависит, а если к тому же Р(Гд) - собственная функция Н, то она сохраняется собственной и в любой другой момент времени / Н 1) = Ф(/), что свидетельствует о законе сохранения энергии системы. [c.193]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология