Поиск граничных условий

Теоретические исследования краевых задач нестационарной теплопроводности для пластины, полого цилиндра и сферической оболочки при несимметричных граничных условиях третьего рода или смешанных условиях второго и третьего рода известными строгими аналитическими методами приводят к довольно громоздким математическим преобразованиям, а температурные поля внутри этих тел выражаются сложными функциональными рядами, что затрудняет внедрение найденных решений в практику тепловых расчетов. Представление температурного поля в простой аналитической форме в пределах допустимой точности особенно важно, когда решение краевой задачи теплопроводности является лишь промежуточным этапом при решении более сложных задач, таких, например, как определение термоупругих напряжений в элементах конструкций, или при поиске более эффективного решения обратных задач теплообмена. К числу таких аналитических методов в полной мере относится и приведенный ниже метод, разработанный автором. [c.111]

Поиск граничных условий [c.198]

Полученные результаты показывают, что по мере удаления измерь тельной точки от теплообменной поверхности, скорость сходимости итерационного процесса уменьшается, что связано с ухудшением обусловленности экстремальной задачи. С другой стороны, увеличение числа точек измерений температуры по толщине, учитываемых при поиске граничных условий, приводит к возрастанию скорости сходимости. Это обстоятельство дает возможность обеспечить требуемую точность определения тепловых граничных условий при меньшем числе итераций по сравнению со случаем = 1. [c.229]

Алгоритм решения системы уравнений (7.49), за исключением поиска недостающих граничных условий минимизацией (7.51), аналогичен рассмотренному в примере 1. [c.280]

Было проведено численное интегрирование системы уравнений (4.156) — (4.159), начиная из точки траектории / = 0 [25]. Для решения системы (4.156) —(4.159) необходимо задаться начальными значениями для функций и ф. От выбора этих значений зависит вид оптимальной траектории. Поэтому необходимо осуществить поиск начальных условий, приводящих к заданным конечным значениям. Он состоит в численном расчете оптимальной для выбранных начальных условий температурной зависимости, в сравнении конечных значений фазовых координат с заданными граничными [c.356]

Пример 10. При проектировании ректификационных установок определение таких технологических параметров, как флегмовое число,число тарелок, положение тарелки питания, производится по некоторым критериям путем проведения многократнйгх расчетов с использованием определенной стратегии (см. с. 146). Процесс итеративного поиска этих параметров, как правило, приводит к существенным затратам машинного времени. Решение этой задачи более эффективно с использованием метода квазилинеаризации. В этом случае для описания ректификационной колонны используется система разностных уравнений с граничными условиями, решение которой возможно приведением ее к линейному виду и определением частного и однородных решений. При этом одной из переменных является и флегмовое число. Таким образом, удается исключить итерации по флегмовому числу, определяя его совместно с другими переменными задачи [18]. [c.61]

Методы решения обратной задачи термо упругости аналогичны рассмотренным выше. Но здесь необходимо отметить, что построение альтернирующего итерационного процесса в этой задаче невозможно ввиду специфики граничных условий, задаваемых на поверхности измерений. Задача не сводится к некоторой корректно-поставленной, минуя использование процедуры регуляризации или конструктивного выделения компактного множества корректности, на котором возможен поиск искомого решения. В то же время рассматриваемая задача характеризуется тем обстоятельством, что искомая величина является скалярной величиной, а отклик ее проявляется в виде тензорной величины. Это весьма благоприятное обстоятельство, позволяющее во многих случаях получать устойчивые приближения, не пользуясь методом регуляризации. Используя же регуляризацию, можно в широких пределах варьировать эффективную зону измерений, сужая ее до тех пределов, с которых начинает сказываться неустойчивость алгоритма регуляризации. [c.85]

Среди этой системы траекторий всегда найдется одна и только одна траектория, удовлетворяющая граничным условиям материального баланса. Как известно, поиск такой реальной траектории осуществляется методом последовательного приближения при [c.145]

В общем случае задача поиска констант сводится к задаче подгонки математической модели скорости реакции под экспериментально полученную кинетическую кривую или ее отдельные точки. Такие задачи определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам его решения получили название обратных задач математической физики [55, 56, 83, 101]. В отличие от обычных задач для дифференциальных уравнений, когда уравнение задано, а требуется отыскать его решение при некоторых начальных и граничных условиях, в обратных задачах это решение задано. [c.117]

Можно предположить значения ,(0) и проинтегрировать от /=0 до t = T уравнения (31) — (33). Полученные при этом значения Я,(Г) обычно не удовлетворяют граничным условиям для уравнений (32), и первоначально предположенные значения ,(0) должны быть скорректированы. Эту задачу можно представить как задачу поиска экстремума. Пусть [c.309]

В зависимости от результатов исследования необходимо либо начать-поиски нового критерия, либо перейти к разработке методов расчета величины деформации сдвига. Реализация данного этапа применительно к различным видам смесительного оборудования предполагает выбор метода моделирования процесса (физического или математического), построение кинематической модели, выбор и обоснование начальных и граничных условий. Это может быть осуществлено на основании данных качественного анализа механизма формирования композиций с помощью развитых в настоящее время методов визуализации потоков, срезов материалов и т. п., что требует,, однако, создания специальных установок, г в ряде случаев и совершенствования методик проведения исследований. Необходимо отметить, что результаты качественного анализа создают также предпосылки для разработки новых конструктивных решений оборудования и вспомогательной оснастки. [c.198]

Задачей поиска начального условия 7 2(0) является выполнение граничного условия Т2 Ь) при интегрировании системы уравнений (V, 9) и (V, 10). [c.206]

Таким образом, расчет НС взаимодействия ВР предполагает поиск такой функции ф, которая в каждой точке пла- СТИНЫ удовлетворяет уравнению (2.14), а на границе — граничным условиям. Для получения корректных решений при использовании уравнений плоской задачи в напряжениях для многосвязных (многоконтурных) областей использовали [c.184]

В алгоритме с углубляющейся стратегией поиска [21] решение ищется для каждого из технологических потоков. Задача синтеза при этом сводится к определению набора цепочек для каждого из технологических потоков, суммарная стоимость которых минимальна, и для которых соблюдается условие однократного взаимообмена. О размерности задачи можно судить по тому, что для системы из четырех потоков, имеющей 4200 вариантов, просматривается лишь 85. В качестве граничной стоимости схемы используется стоимость лучшей (минимальной стоимости) схемы на данный момент. В других алгоритмах [22] в качестве граничной стоимости схемы используются приведенные затраты синтезированной части [c.458]

Начальное значение концентрации вещества A[Y1](1)], которое равно 1, начальное и конечное значение времени (переменные А и Е) заданы непосредственно в программе (строка 300). В строке 400 вводятся граничные значения YA и УЕ, между которыми проводится поиск начального значения концентрации вещества B[Y1(2)]. Границы поиска устанавливают или подбором, или исходя из каких-либо соображений. В строке 500 задано второе краевое условие YS = 0,75 это значение должна иметь переменная Y(l) в момент времени i = 1. Число частичных интервалов (N1), как и область поиска второго начального условия, устанавливается подбором. В данном случае оказывается, что при N1 = 16 рещение имеет семь верных значащих цифр, поэтому в строке 1000 переменной N1 присваивается значение 16. [c.244]

Таким образом, система одномерных дифференциальных уравнений (4.73), дополненная граничным условием и обобщенными уравнениями для расчета массопереноса внутри мембраны Л,=Л (Г, Р, r) и массообмена в напорном канале Sh = = Sho4 (Rev, Gz, Ra ), образует математическую модель процесса разделения. Обычно заданы состав питающей смеси i = m(x = 0), необходимый состав проникшего потока Ср на выходе из мембранного модуля, коэффициент или степень извлечения целевого компонента. В зависимости от цели расчета определяется производительность по целевому компоненту или необходимая площадь поверхности мембраны. Давление, температура и скорость газа в входном сечении напорного канала II давление в дренажном канале являются параметрами, значение которых можно варьировать для поиска оптимального решения. Подробнее эти вопросы будут освещены далее в главе V, здесь же ограничимся только схемой расчета массообмена в отдельном мембранном элементе, полагая параметры исходной смеси и давление в дренаже известными. [c.153]

Процесс итеративного поиска этих параметров, как правило, приводит к существенным зат4затам машинного времени. Решение этой задачи более эффективно с использованием метода квазилинеаризации. В этом случае для описания ректификационной колонны используется система разностных уравнений с граничными условиями, решение которой возможно путем приведения ее к линейному виду и определения частного и однородных решений. При этом одной из переменных является и флегмовое число.Таким образом, удается исключить итерации по флегмовому числу, определяя его совместно с другими переменными задачи [20]. [c.277]

Для решения линейной системы разностных уравнений первого порядка можно воспользоваться формулами (7.29), т. е. искать его как комбинацию частного и однородных решений. При этом константы I определяются в результате решения системы линейных уравнений, образованной граничными условиями (7.33)—(7.36). Хотя количество дистиллята — переменная величина, определяемая в процессе расчета, для каждой последующей итерации эта величина является константой, вычисленной по результатам предыдущей итерации. Для этого необходимо решать на каждой итерации уравнение с одной неизвестной, например, методом Вегстейна. Этим самьт удается свести задачу поиска коэффициентов а,- к решению системы линейных алгебраических уравнений. Заметим, что в формулах (7.29) конечное значение индексов суммирования равно количеству недостающих начальных условий. [c.279]

Алгоритм проектного расчета. Как отмечалось ранее, математическое описание колонны представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений высокой размерности, решение которой производится итеративными методами, причем скорость сходимости зависит как от начального приближения, так и от режима работы колонны. Поэтому исключение итеративного расчета по отдельным переменным в процессе поиска оптимального решения позволит существенно сократить объем вычислений. Ниже предлагается метод расчета, основанный на формулировании задачи как системы нелинейных разностных уравнений с граничными условиями, решение которой осуществляется по методу квазилинеаризацпп с использованием принципа суперпозиции. Особенностью метода является пригодность для расчета колонн любой сложности с учетом всевозможных алгоритмов описания отдельных явлений (фазовое равновесие, кинетика массопередачи и т. д.), а также возможность исключения итерации по поиску флегмового потока, обеспечивающего заданное качество продуктов разделения при известном числе ступеней разделения. Оптимальное положение тарелки питания в смысле некоторого критерия (например, термодинамического или технологического) определяется непосредственно в ходе потарелоч-ного расчета колонны. [c.328]

Для обеспечения универсальности АСПМ в применении к химико-технологическим объектам широкого класса, помимо перечисленных алгоритмов, она должна включать ряд дополнительных подсистем программирования. К таковым можно отнести а) подсистему автоматизированного расчета тензорных полей различной физико-химической природы б) подсистему автоматизированного учета геометрической информации о конфигурации областей, входящих в постановку граничных условий в) библиотеку (или банк) стандартных алгоритмов решения краевых задач с подсистемой автоматизированного поиска оптимального варианта численного решения задачи и т. п. [c.10]

Если теперь любыми машинными методами проминимизировать критерий Q< , при помощи подбора управления и 1), то в результате получим решение граничной задачи. Действительно, если коэффициент Р достаточно высок, то минимизация Q сводится в основном к минимизации Qi, т. е. к выполнению концевых условий. После того как они достигнуты, дальнейшая минимизация будет происходить только за счет минимизации Q, т. е. будет происходить поиск оптимального управления при выполнении граничных условий. Если в процессе поиска конец траектории отойдет от заданной точки, то критерий ( 2 сразу увеличится и дальнейшая минимизация < 2 снова приведет к выполнению граничных условий. Процесс поиска окончится, когда величина Q примет минимальное значение при выполнении граничных условий. [c.48]

Если известны функциональные зависимосги между параметрами хроматографической колонки и граничные условия, удовлетво-ряюпще требованиям аналитической задачи, алгоритм поиска обобщенной функции может быть полезен при нахождении оптимального решения и в этом аспекте хроматографического процесса. [c.467]

Метод численного решения. При численном решении контактной задачи область, занимаемая контактирующими телами, расчленяется по поверхности контакта на подобласти, и для них последовательно решаются краевые задачи с известными граничными условиями на Г и Г (4.1), (4.2) и смешанными граничными условиями на Гк, уточняемыми в процессе итераций. Процесс решения, в свою очередь, расчленяется на два чередующихся этапа а — поиск границы площадки контакта к б — уточнение ее конфигурации в пространстве. На каждом из этих этапов используется двойственная вариационная постановка контактной задачи (см. табл. 4.4) При решении вариационной задачи считаются выполненными предвари тельные условия экстремальности соответствующего функционала, од нако в процессе итерации могут нарушаться естественные условия экстре мальности. Так как истинное решение задачи (и, ст) принадлежит про изведению множеств УХКи имеет место равенство [c.144]

Классический алгоритм метода квазивариационных неравенств состоит в том, что при фиксированном итерации по Ор проводятся до достижения сходимости [29]. Отсюда следует применимость другого варианта двойственности, рассмотренная вьппе для контактных задач без трения. Здесь также учет кинематических граничных условий, наряду со статическими, ускоряет сходимость итерационного поиска границы площадки контакта и участков сцепления и проскальзьшания. [c.152]

Очевидно, что в точке (%, равн. . . л / равн). соответствующей равновесному состоянию системы при заданных граничных условиях, функция (1.31.27) имеет наибольшее из всех возможных ее значений на МДЗА. Благодаря этому поиск критерия равновесного состояния системы сводится к нахождению критериев наибольшего значения функции (1.31.27) при ограничениях (1.31.28), т. е. условного наибольшего ее значения. Равновесная точка равн. . 1, равн) может быть внутренней и граничной точкой МДЗА. В первом случае к ней можно подойти с двух сторон — и со стороны возрастания, и со стороны убывания аргумента Х1 (рис. 1.10), тогда как во втором случае — только с одной из двух сторон — либо со стороны возрастания (рис. 1.11, а), либо со стороны убывания (рис. 1.11, б) данного аргумента. Положение равновесной точки в МДЗА определяется природой протекающих в системе процессов. Для двухсторонних процессов такая точка является внутренней, а для односторонних процессов — граничной. Примером двухстороннего процесса может служить химическое превращение. [c.93]

Кроме того, при расчетах по методу М-К большую роль играют способ обрезания потенциала и периодические граничные условия [12]. В расчетах уже использовалось много различных потенциалов вода — вода. Поиск их ведется с помощью квантовохимических расчетов аЬ initio водных агрегатов из небольшого числа молекул, а также с использованием данных о термодинамических свойствах льда. Обсуждение вопросов использования того или иного потенциала можно найти в работах [4, 9, 13, 14]. [c.14]

Использование граничных условий Леонтовича при определении П0СТ0ЯН1ЮЙ распространения 7 вдоль однородного плазмепного стержня позволяет вообще избежать поиска поля внутри плазмы, и при неоднородной по сечению плазме значительно упростить вычисления благодаря возможности введения поверхностного волнового сопротивления, определяемого следующим образом. [c.255]

После того как найдены линейно независимые решения, удовлетворяем граничным условиям на обтекаемой поверхности. Это позволяет найти требуемую линейную комбинацию из построенных решений и для задач дискретного спектра установить собственное значение. Как было замечено в [3], целесообразно при поиске собственных значений определять нуль какой-либо физической величины. Для этого предварительно отыскиваются коэффициенты при линейно независимых решениях из условия прилипания на обтекаемой поверхности для заданной нормировки решепия при г/ — 0. Обычно мы полагали, что производная по у от 150змущения продольной скорости при г/ = О равняется единице. Затем в процессе поиска собственного значения требовалось, чтобы возмущение температуры при г/ = О обращалось в нуль (если мы имеем дело с обтеканием поверхности из высокотеплопроводного материала). Мы использовали условие выхода из процесса поиска собственного значения дискретного спектра, когда возмущение температуры на стенке, г/ = О становилось меньше 10 . Результаты таких расчетов для пограничных слоев в газе давали хорошее совпадение с данными расчета собственных значений для несжимаемой жидкости, если положить число Маха равным 0,02. [c.78]

Основные проблемы теоретического исследования движений газа связаны с отысканием решений полученной в главе I системы дифференциальных уравнений с условиями на сильных разрывах и дополнительными начальными и граничными условиями. Большие математические трудности, возникающие на пути решения таких проблем вследствие сложности самой модели движения, вынуждают к поиску более простых моделей, для которых можно было бы продвинуть исследование дальше, чем в общем случае. Не будет преувеличением, если сказать, что современный прогресс в решении. многих проблем газовой динамики достигнут благодаря успешному использованию упрощенных постановок ее задач. В данной главе намечаются методы построения и приводится некоторый сиисок таких упрощенных моделей и, коротко говоря, подмоделей. [c.83]

Наконец, для решения задачи начальных значений, например при исследовании развития волновых пакетов и возмущений конечной амплитуды, решение линейной задачи является лишь отправной точкой, когда необходимо нахождение не только собственных значений, но и собственных функций 5, которые для прямых и наклонных волн различны. Более того, в этой ситуации попытка свести задачу только к поиску собственных значений и собственных функций и физически не оправдана, поскольку операторы Орра — Зоммерфельда и Сквайра, как правило, несамосопряженные и соответствующие им собственные функции, как следствие, неортогональные. В этом случае, чтобы описать развитие во времени произвольного возмущения, удовлетворяющего граничным условиям, заданной формы в начальный мрмент времени, нужно найти полную систему волн, составляющих исходное возмущение, и решить начальную задачу. Более подробно мы рассмотрим сложности, возникающие на этом пути, в п. 1.8. [c.34]

ЛОСЬ поискам методов решения данной задачи с меньшим числом упрощающих предположений, т. е. с более совершенными моделями оператора столкновений и более сложньпим граничными условиями, а также решению нестационарных задач и применению этих методов к другим физическим задачам — течению Куэтта, течению Пуазейля, распространению звука, переносу тепла и т. д. Объем книги не позволяет нам подробно описывать соответствующие результаты, и мы отсылаем интересующегося читателя к цитированной книге Черчиньяни [25]. [c.469]

Для сокраш,ения трудоемкости операции поиска оптимального решения ИЗС декомпозицию множества решений ИЗС можно осуществлять с использованием либо граничной, либо отсекающей декомпозиции. При граничной декомпозиции поиск оптимального решения ИЗС сводится к поиску на множестве решений J/ , Рг , упрощенных по сравнению с ИЗС задач — Рх, Р ,-, Рп. называемых граничными задачами синтеза (ГЗС). Исходные данные ГЗС — Pi отличаются от Р наличием дополнительных ослабляющих ограничений. Решение каждой ГЗС становится решением ИЗС только при выполнении специальных условий, которые сформулиропаны на основе метода ветвей и границ [4, 50, 51]. [c.129]

Методы и строго регламентированное проведение ускоренных коррозионных испытаний при научно обоснованном их планировании являются составной частью действенных и высокоинформативных средств быстрого поиска й отбора наиболее коррозионностойких материалов. Результаты этих испытаний позволяют в сжатые сроки дать сравнительную количественную оценку опасности усиления коррозии под воздействием (с учетом граничных и экстремальных условий) отдельных внешних и внутренних факторов, определяющих корроз11-онное поведение уже функционирующих, модифицируемых или вновь создаваемых защитных систем. [c.4]

Открытие того, что механизм Лэнгмюра—Хиншельвуда (2.1.2) является простейшим механизмом каталитической реакции, допускающей три ст. с. поверхности катализатора, связано с почти детективной историей. Когда нами было заявлено, что схема (2.1.1) дает множественность ст. с., один весьма активный и уверенный в себе наш коллега, в совершенстве владеющий искусством прямого общения с ЭВМ, решил нас проверить. Случайным образом меняя параметры /с, а их в модели (2.1.3), вообще говоря, пять, ему за три ночи, проведенных за пультом машины, не удалось обнаружить трех ст. с. Этого оказалось достаточным для того, чтобы объявить нас чуть ли не фальсификаторами. Однако после того, как был предъявлен приведенный выше набор параметров, инцидент был исчерпан. Неудача нашего ревизора вполне понятна. Дело в том, что в пространстве параметров область множественности ст. с., как правило, весьма узкая, хотя она может быть даже бесконечно протяженной. Поэтому случайно попасть в нее трудно. Для этого нужны предварительные оценки и знание специальных приемов поиска, т. е. предварительный качественный анализ модели. После того, как множественность ст. с. для (2.1.3) найдена, эта процедура кажется тривиальной. При к- = к-2 = О существует два граничных ст. с., а еще два внутренних ст. с. находятся как решения квадратного уравнения. Малое шевеление констант к-[, к-2 ситуацию сохраняет — устойчивое граничное ст. с. смещается внутрь симплекса реакции 5, а неустойчивое — вне его. Внутри 5 становится три ст. с. Свободно варьируемых параметров при к- = к-2 = О всего два к и к2 без ограничения общности можно принять к = 1), а область множественности на плоскости кик2) легко выписывается из условия существования действительных корней соответствующего квадратного уравнения. Описанный случай отчасти объясняет и то, почему в давно известном адсорбционном механизме (2.1.2) только недавно была обнаружена множественность ст. с. [c.125]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология