Математическая второго порядка

Из полученного уравнения следует, что рассматриваемая реакция имеет первый порядок, поскольку концентрация вещества А входит в член /с[А] в первой степени. Если бы указанный член имел вид /с[А] , то реакция имела второй порядок. Разумеется, мы все время предполагаем, что математическое уравнение для скорости реакции согласуется с экспериментальными данными о ее протекании. [c.229]

Для решения задач математического моделирования на первом, кинетическом, уровне удобно классифицировать процессы по формальному признаку — порядку уравнений скорости элементарных стадий по реакционным компонентам. Рассмотрение кинетики отдельных стадий показало, что скорость их протекания может быть охарактеризована как скорость реакции нулевого, первого или второго порядков по концентрациям участвующих в реакциях веществ. Так, для начальной фазы процесса — инициирования можно выделить следующие случаи нулевой, первый или второй порядок по мономеру первый или дробный порядок по катализатору общий порядок реакции — не выше третьего. Для стадии роста имеем первый порядок по мономеру первый, реже дробный, порядок по активному (юлимеру общий порядок реакции, как правило, второй. Для стадии обрыва первый или второй порядок по активному полимеру нулевой или первый порядок по мономеру, растворителю или другим сопутствующим веществам (в том числе примеси Т или агенты передачи цепи Н) общий порядок — не выше третьего. [c.13]

Дифференциальное уравнение имеет второй порядок, и поэтому требуются два граничных условия для вычисления двух постоянных интегрирования. Такими условиями будет отсутствие отклонения бруска и его горизонтальность в точке крепления, следующим математическим условиям [c.50]

Энтропия системы из двух соприкасающихся кусков металла, нагретых до разной температуры, невелика, так как состояние это неустойчиво, здесь наблюдается известный порядок в расположении микроэлементов (молекул) системы холодные молекулы с одной стороны, горячие с другой. Энтропия такой системы будет возрастать в самопроизвольном процессе выравнивания температур (система станет более устойчивой, холодные и горячие молекулы распределятся равномерно). Если до выравнивания температур можно получить полезную энергию, например в виде термоэлектрической энергии, в результате самопроизвольного процесса, то после выравнивания температур мы ее не получим внутренняя энергия системы не изменилась, но доля связанной энергии в ней возросла пропорционально возрастанию энтропии. Величина связанной энергии, зависящей также от абсолютной температуры тела, изменилась от TS до TS , т. е. изменение равно TAS. Математически второй закон термодинамики запишется так [c.51]

В первой части книги рассматриваются вопросы формальной кинетики простых реакций (порядок реакции, константа скорости, кинетические уравнения различных порядков), математические характеристики сложных кинетических систем и экспериментальные характеристики простых и сложных кинетических систем. Вторая часть имеет вспомогательный характер — она посвящена статистическим методам, применяемым к системам из большого числа частиц при равновесии. В третьей — рассматриваются вопросы кинетики гомогенных реакций в газах (реакции мономолекулярные, бимолекулярные, тримолекулярные, сложные реакции в газовой фазе взрывные процессы и процессы горения). Четвертая, последняя, часть посвящена реакциям в конденсированной фазе (кислотно-основной катализ, реакции окисления-восстановления, радикальная полимеризация, гетерогенный катализ). [c.4]

Математическая модель с распределенными параметрами содержит переменные, зависящие от пространственных координат, и представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных или систему интегро-дифференциальных уравнений. Важной характеристикой дифференциальных уравнений является их порядок, т. е. порядок старшей производной, которая входит в эти уравнения. Порядок производной по времени в большинстве динамических моделей процессов химической технологии — первый. Производные по координатам могут быть как первого, так и более высоких порядков. Модели обычно получаются в предположении о полном вытеснении (поршневом режиме течения) фаз. Производные второго порядка по координатам появляются в тех математических моделях, где учитывается перемешивание фаз. [c.5]

Для определения порядка химической реакции нужно прежде всего установить математическое выражение, с которым согласуются экспериментальные данные о скорости протекания исследуемой реакции. После того как получено такое выражение, порядок реакции считается равным порядку соответствующего математического уравнения. Например, х = у Л- с представляет собой уравнение первого порядка = = у + а является уравнением второго порядка, а уравнение а = х у имеет третий порядок. Если удается определить порядок химической реакции, это открывает возможность установления вероятного механизма реакции. Интересно отметить, что использование довольно простого экспериментального оборудования—часов, термостата с термометром и какого-либо устройства, позволяющего регистрировать изменения концентрации одного из компонентов реакции в процессе ее протекания,—дает возможность судить о том, каким образом осуществляется взаимодействие между индивидуальными молекулами. [c.229]

Кинетические уравнения можно точно проинтегрировать только для немногих из механизмов, включающих обратимые, последовательные и параллельные стадии первого и второго порядков. Для этого выписывают кинетические уравнения для каждого из исходных веществ и промежуточных соединений и решают полученную систему уравнений. Однако для более сложных механизмов дифференциальные уравнения не удается решить в явном виде, так что необходимо или использовать вычислительные машины, или вводить физически обоснованные приближения для упрощения математических выражений. Ценные сведения можно получить уже при написании кинетических уравнений сложных реакций, даже если решения этих уравнений нельзя найти в аналитической форме. С их помощью часто оказывается возможным показать, почему в ряде случаев появляется индукционный период, почему сложные реакции могут иметь первый, второй или дробный порядок и как эти кажущиеся порядки могут изменяться в ходе реакции. [c.295]

В работе [27] впервые предложена математическая модель с использованием константы скорости. Первоначально было принято, что процесс крекинга имеет первый кинетический порядок. Затем на основе экснериментальных данных автор предложил иное выражение для скорости реакции, заменив первый порядок на второй для того, чтобы учесть увеличение объема при крекинге. Такая модель второго порядка дает мгновенные (текущие) значения конверсии в реакторе с неподвижным слоем катализатора в следующей форме [c.124]

Результаты исследования скорости разложения тяжелой перекиси изопропилового эфира в растворе декалина при температурах 100, ПО, 120 и 130° С приведены на фиг. 8. Эти данные подвергались обычной математической обработке. Были вычислены константы скоростей по уравнениям реакций нулевого, первого и второго порядков для каждого промежутка времени при всех исследованных температурах. Ни в одном случае не было получено полного постоянства констант. Кажущийся порядок реакции лежит, повидимому, между первым и вторым. [c.130]

Из рассмотрения этого семейства кривых следует, что условия анализа будут оптимальными, если первая добавка бз дет того же порядка, что и неизвестная концентрация, а вторая добавка—на порядок больше. Несоблюдение этого условия может привести к увеличению ошибки в несколько раз. Этот пример еще раз показывает, насколько важно пользоваться при косвенных измерениях математическим анализом основных уравнений, связывающих искомую величину с результатами прямых измерений. [c.67]

Это уравнение интегрируют по времени (от О до ) и получают выражение для [А] как функции Полученная функция представляет собой математическое описание кинетической кривой. Существуют графические и аналитические способы проверки соответствия полученного уравнения экспериментальным данным. Если наблюдается хорошее соответствие, то заданный порядок реакции является правильным и можно рассчитать (графически определить или вычислить из аналитического выражения функции) значение константы скорости. Если сходимости нет, то задаются другими эначениями порядка реакции (например, вторым) и повторяют операции до тех пор, пока не получат хорошего совпадения с экспериментом. [c.19]

Качественный анализ математической модели гетерогенного катализа, в которой используется гиперболическое уравнение массопереноса, значительно сложнее, так как наличие второй производной по времени повышает порядок аппроксимирующей системы дифференциальных уравнений и осложняет аналитическую обработку условий устойчивости. [c.87]

Напомним, что классическая теория критических явлений, рассматривая критическую точку как предел двухфазного равновесия, принимает допущение, что пограничная кривая является обязательно кривой четного порядка (парабола второй степени), она не должна иметь в критической точке математических особенностей. Критическая же изотерма Р — о для чистого вещества и критическая изотерма — изобара (Хг — (для раствора), имеющие здесь точки перегиба с горизонтальными касательными, — кривые нечетные. Они должны иметь порядок хотя бы на единицу больший, чем пограничная кривая. Поэтому в критической точке первой значащей производной от давления по объему или от химического потенциала (фугитивности) по составу может быть третья, пятая и любая другая нечетная производная. [c.41]

Естествознание во второй половине XX в. развивалось в двух направлениях. С одной стороны, все более углублялось понимание элементарных процессов путем редукционизма, проявившееся в области биологии в формировании молекулярной биологии и молекулярной генетики, но, с другой стороны, росло сознание необходимости интегративного подхода, поскольку игнорирование системных закономерностей прямо угрожает существованию как всего человечества в целом, так и отдельных государств и наций. Эмоциональной причиной этого широко обсуждаемого изменения в приоритетах, обозначаемого как смена парадигмы, стало всеобщее осознание ограниченности земного пространства, обусловленное развитием воздушного транспорта и возможностью наблюдения Земли из космоса. Рост в ограниченном пространстве ведет к исчерпанию ресурсов и гибели популяции подобно тому, как это происходит в культуре микроорганизмов. Особенно быстро исчерпание ресурсов происходит в связи с экспоненциальным ростом, который создает впечатление порогового перехода. На основе этих представлений были разработаны математические модели, претендовавшие на прогностическое значение и, во всяком случае, сумевшие определить порядок приоритетов. [c.5]

Были предприняты исследования с целью количественной интерпретации кинетических данных и разработки кинетической модели диспропорционирования. В работах [89, 90] применяли степенные уравнения для математического описания диспропорционирования пропилена на гетерогенных катализаторах и пентена-2 в гомогенной системе. По методу начальной скорости был найден первый порядок по олефину и катализатору. В случае диспропорционирования пентена-2 был найден [83] переменный порядок по пентену-2, изменяющийся от 0,7 до 1,7 в зависимости от соотношения олефин катализатор. При изучении кинетики диспропорционирования пропилена [91] однозначный выбор между уравнениями обратимой реакции первого и второго порядков оказался невозможным. Даже из этих немногочисленных данных видно, что кинетические уравнения степенного вида не представляют интереса для выяснения механизма диспропорционирования. [c.164]

Пример. Рассмотрим задачу оценки иеременных состояния проточного реактора с механическим перемешиванием и рубашкой охлаждения, в котором протекает необратимая экзотермическая реакция метаксилирования сртош трохлорбензола, имеющая второй порядок при избытке СН3ОН [9]. Уравнения математической модели реактора имеют вид [c.458]

Утвгавдение.что из уравнения (12) следует изотерма Лэнгмюра Ъс=Т/(уоо-Т) (см..например,[21,22]) основано на элементарной математической ошибке поскольку предэкспоненциальный множитель в (12) учитывает второй порядок малости, нельзя пренебрегать членами второго порядка в разложении экспоненты [23]. [c.151]

В предыдущем Разделе описывались разностные схемы, имеющие на равномерных по пространству сетках первый порядок аппроксимации по временной координате и второй порядок по пространственной координате. Рассмотрим один из подходов к построению класса неконсервативных разностных схем повышенного порядка аппроксимации. Для упрощения (но при этом сохраняя общность рассуждений) изложение материала будем проводить на примере математической модели транспортирования однокомпонентного газа по однониточному трубопроводу (2.36). Недивергентная форма записи данной модели будет иметь вид [c.163]

Как мы увидим дальше, динамический порядок, возникновение динамических структур и их упорядоченное поведение во времени возможны лишь вдали от равновесия. Линейная неравновесная термодинамика, кратко изложенная в этой главе, справедлива лишь вблизи равновесия. Ее основные положения выражаются соотношениями (9.51) и (9.80). Первое описывает сопряжение различных кинетических процессов вследствие отличия недиагональных коэффициентов Ьц 1 ]) от нуля, второе есть математическое выражение теоремы Пригожина о минимуме производства энтропии в стационарном состоянии. Несомненно, что в биологической открыто11 системе реализуются сопряженные процессы. Поэтому общая феноменологическая теория Онзагера — Пригожина позволяет объяснить важные биологические явления. Вопрос о применимости теоремы Пригожина к биологическим системам более сложен. Как мы видели, продукция энтропии а минимальна лишь в тех стационарных состояниях биологических систем, которые близки к равновесию. Эти системы описываются линейными соотношениями (9.51). Но в физике линейная зависимость реакций системы от воздействия, вызвавшего эту реакцию, есть всегда лишь первое приближение, справедливое для малых воздействий. В нашем случае малость означает малое удаление от равновесия. Для рассмотрения биологических систем и их динамической упорядоченности необходимо выйти за пределы линейной термодинамики. [c.327]

Особый интерес для биологии представляют возбудимые мембраны. Мы видели, что математическая модель нервной ткани выражается, в частности, уравнениями Ходжкина — Хаксли (с. 371). Это нелинейные уравнения четвертого порядка. Для целей качественного исследования можно, однако, понизить порядок нелинейности с четырех до двух путем исключения дифференциальных уравнений для быстрых компонент (см. с. 494). Одна из возможных упрощенных моделей второго порядка была получена и исследована Кринским и Иваницким. [c.527]

Прежде чем начать эксперимент, нужно предварительно составить хотя бы ориентировочное представление о математической модели изучаемого процесса. Во-первых, требуется выяснить, какие параметры нужно менять в ходе эксперимента, а какие фиксировать. Нужно также установить критерий оптимизации. Во-вторых, необходимо четко представить порядок измеряемых величин. В-третьих, необходимо проранжировать отдельные переменные и выяснить степень их влияния. В-четвертых, эксперимент заранее [c.3]

Практикум состоит из двух частей. Первая посвящена лабораторным и практическим занятиям по физической химии, вторая — по коллоидной химии. В пособии содержатся описание лабораторных работ и материал для семинарских занятий, соответствующие действующим учебным программам химических техникумов для различных специальностей. Опыт преподавания физической и коллоидной химии показывает, что не всегда удается согласовать порядок реализации лабораторных работ с последовательностью изложения лекционного курса, и учащийся должен в этом случае самостоятельно готовиться к выполнению практического задания. Поэтому каждой главе предпослано теоретическое введение, в котором дан минимальный объем теоретических сведений для сознательного проведения эксперимента и обработки опытных данных. Глава I должна быть изучена на семинарских занятиях и самостоятельно, так как в ней приведены примеры решения типичных задач и математической обработки результатов физикохимических экспериментов, которые могут быть исполь-зовакы при выполнении лабораторных работ. Авторы полагают, что без использования рекомендаций гл. I лабораторные работы не могут считаться полноценными, ибо обработка и анализ результатов являются важным средством освоения теоретических методов физической химии и развития научного мышления. Введение и главы I, V, VI и IX настоящего практикума написаны Л. В. Рябиной главы II, IV, VIII, XI — Е. И. Агафоновой главы III, VII, X — П. Г. Карпенко. В конце книги даны рекомендации о порядке проведения и оформления лабораторных работ. [c.4]

Степень дисбаланса градиометра по отношению к равномерному маг-Ш1ТН0МУ полю можно выразить количественно как относительное значение поля, которое воспринимается градиометром при условии, что вектор магнитной индукции направлен параллельно оси градиометра (совпадающей с компонентой поля по координатной оси г) или же перпендикулярно к ней, т.е. по осям х к у. Соответственно дисбаланс по отношению к полю с равномерным градиентом выражается относительным значением градиента, воспринимаемого градиометром при условий, что поле имеет равномерно распределенный в пространстве градиент. Сопоставление значений внешних мешающих полей и исследуемых биомагнитных полей показывает, что максимальный допустимый дисбаланс имеет порядок 10" для поля и 10 для градиента поля. Однако непосредственно при изготовлении, например, градиометров второго порядка удается их сбалансировать с максимальной точностью около 10" для поля и с более низкой точностью для градиента (зто обусловлено в основном неточностью намотки катушек на каркасы и прокладки выводов). Поэтому требуется дополнительное улучшение степени балансировки после изготовления прибора. Математический анализ процедуры балансировки градиометров высокого порядка с использованием векторных и тензорных методов представлен в [73, 159,194]. [c.50]

Запомнить эти формулы довольно просто так как Мг и Vi представляют собой математические ожидания бесконечно малых приращений ф,- и фiфj в расчете на единицу времени, то для их определения достаточно разложить функции ф, в ряд по степеням pii и учесть, что для диффузионных процессов математические ожидания членов, порядок которых выше второго, равны нулю. [c.337]