Примеры применения математической модели

В учебнике описаны методы моделирования и области их применения, а также принципы построения и виды математических моделей. Подробно изложена методика составления кинетических и гидродинамических моделей. Рассмотрены математические модели химических реакторов и вопросы перехода от лабораторных опытных установок к промышленным аппаратам. Приведены примеры построения математических моделей некоторых аппаратов химической технологии. Отражены особенности статистических математических моделей, описана методика их составления как на основе пассивного, так и активного эксперимента. Изложены основные положения оптимизации химико-технологических процесссов, даны примеры решения задач оптимизации детерминированных и стохастических процессов. Учебник предназначен для студентов химико-технологических специальностей вузов. Его смогут использовать в своей практической работе также инженеры-химики. [c.2]

В книге излагаются основы исследования устойчивости режимов работы химических реакторов идеального смешения. Описывается процедура составления математических моделей реакторов. Для исследования устойчивости в малом и в большом используются методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы Ляпунова. Применение различных методов иллюстрируется конкретными примерами. [c.4]

Способы управления процессом каталитического крекинга, нашедшие применение в известных из литературы системах, определяются прежде всего видом используемых математических моделей. Поскольку в большинстве зарубежных систем для описания процесса используются линейные модели, для нахождения оптимального режима функционирования процесса применяются различные модификации линейного программирования [127], в том числе, например, последовательный симплекс-метод [129]. Известны примеры использования полиноминальных моделей, квадратичных относительно управляющих воздействий. В этом случае применяется адекватная стратегия отыскания экстремума [130]. [c.140]

Рассмотренный способ преобразования к безразмерным переменным легко обобщается для систем, состоящих из трех и более уравнений. Конкретные примеры применения этого способа содержатся во И главе, где составляется ряд математических моделей реакторов идеального смешения. [c.22]

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [c.209]

Пример У-9. Выбрать оптимальный набор свободных информационных переменных для теплообменника ХТС, рассмотренного в примере П-9, с помощью примененного к матрице смежности [8] двудольного информационного графа алгоритма АСП-1 системы уравнений математической модели теплообменника. По технологическим условиям функционирования теплообменника в ХТС регламентированы информационные переменные 1%. [c.262]

Из приведенного примера применения математической модели к реальному сложному объекту видно подтверждение целого ряда общих положений, высказанных в главах 1 и 2 настоящей монографии, относительно методологии компьютерного моделирования применительно к современным комплексным водохозяйственным системам. Только сочетание формальных компьютерных расчетов и не вполне формальных процедур, поэтапно сужающих допустимую область поиска решения, позволило получить практически значимые результаты. [c.176]

Нами разработана простая и строгая математическая модель молекулярной сложности и показано, что она обладает значительной общностью. Для того чтобы полностью выяснить диапазон ее использования, потребовалось бы большее число примеров применения этой модели тем не менее показанные здесь с ее помощью возмож- [c.256]

В книге анализируются вопросы, связанные с применением математических моделей для описания развития биологических процессов во времени. Рассматриваются основы химической кинетики, ферментативного катализа, молекулярной рецепции, фармакокинетики и клеточного роста. Обсуждаются аспекты прикладного и теоретического характера. Основные теоретические положения проиллюстрированы примерами. [c.2]

ТОЧНОЙ оценке роли третьего реактора в технической системе из трех последовательно соединенных реакторов. Применение описанных здесь схемы и модели позволяет более обоснованно выполнять расчеты по оптимизации платформинга. Ряд примеров использования математического описания для оптимизации платформинга приведен в работе [1]. Ниже даны иллюстрации применения математического моделирования при анализе возможных технологических схем реакторного блока. [c.149]

В примере П-11 число возможных вариантов набора выходных переменных равно 2, а трудоемкость четырех алгоритмов решения системы уравнений математической модели экстракционной подсистемы можно сравнить путем простого ручного перебора. Предположим, однако, что математическая модель ХТС состоит из системы N 10 уравнений, которые должны быть разрешены относительно N 10 информационных переменных. В этом случае число возможных алгоритмов решения системы уравнений модели составляет уже более 10 . Применение для выбора оптимального алгоритма решения такой системы уравнений даже ЦВМ без разработки специальных формализованных алгоритмов существенно не облегчит трудоемкость вычислительных процедур. [c.78]

Пример 1У-28. Для ячеечной математической модели с застойными зонами (га = 2), описывающей процесс функционирования насадочного абсорбера, с применением топологической формулы определить передаточные функции по каналам — состав газа на входе — состав газа на выходе — [c.205]

Дан анализ биохимического производства, рассматриваемого с позиций системного подхода как сложная иерархическая система (БТС) с целым рядом взаимосвязанных подсистем и элементов, обеспечивающих преобразование материальных и энергетических потоков в процессе переработки исходного сырья в целевые продукты микробиологического синтеза. Рассмотрены вопросы выбора глобального и локальных критериев эффективности, а также применения принципов многоуровневой оптимизации при анализе БТС и ее подсистем. Приведены примеры построения математических моделей типовых технологических элементов, составляющих БТС, даны алгоритмы их расчета на ЭВМ и методы анализа надежности функционирования в системе. Детально исследованы условия функционирования основных подсистем БТС ферментации , разделения биосуспензий , биоочистки , рассмотрены принципы их структурного анализа и оптимизации. Рассмотрена иерархическая структура управления биохимическими системами и показана эффективность использования управления на основе ЭВМ в задачах оптимизации процессов биохимических производств. [c.2]

Приведем еще несколько характерных примеров применения уравнения БСА при построении математических моделей некоторых процессов. [c.74]

Показано, что основой моделирования стохастических особенностей многих ФХС, характерных для химической технологии, может служить метод статистических ансамблей Гиббса. В частности, статистический подход к описанию ФХС, лежащий в основе молекулярно-кинетической теории газов и жидкостей, иногда может служить эффективным средством для количественной оценки коэффициентов переноса, входящих в функциональный оператор ФХС. В качестве математической модели процессов, протекающих в полидисперсных средах, сформулировано уравнение баланса свойств ансамбля (БСА) для отыскания многомерной функции распределения частиц по физико-химическим свойствам и приведены примеры его применения. [c.78]

В книге кратко изложена теория ионообменных реакторов. Особое внимание уделено физическим и математическим моделям, обобщенным методам моделирования и инженерного расчета, выбору начальных и граничных условий. Даны сравнительные оценки ионообменных реакторов и рекомендации по их применению в различных химико-технологических производствах. Приведены многочисленные примеры расчетов, в том числе с использованием ЭВМ. [c.167]

В конце данного раздела приведены примеры и других практически важных задач, которые могут быть сравнительно просто решены с использованием функций эффективности. Функция эффективности ио существу является свойством той математической модели, которая реализована в виде программы оптимизации аппарата, поэтому для ее построения может быть применен только метод математического моделирования. Никакой экспериментальной проверке она не подлежит. Ее достоверность может быть обоснована только адекватностью используемой для ее получения математической модели. [c.326]

Приведенный пример ясно показывает, что наиболее важной характеристикой стационарных объектов является передаточная функция W p). Это связано, во-первых, с тем, что она легко может быть получена из уравнений математической модели после применения к ним преобразования Лапласа по времени, и, во-вторых, с тем, что с помощью W р) легко может быть получена весовая функция g t) и переходная функция h t). [c.75]

В этой главе мы рассмотрим примеры практического использования разработанных математических моделей и алгоритмов решения проектно-расчетных задач. Приводимый ниже материал не носит иллюстративный характер. Он нашел свое непосредственное применение при проектировании и реконструкции ряда химико-технологических процессов. [c.226]

При построении математической модели процесса можно воспользоваться основными идеями блочно-ориентированного программирования, примененного, безусловно, на более высоком уровне. Продемонстрируем эффективность этого метода на следующем простом примере. Допустим, что одно из уравнений математической модели следующее [c.62]

Рассмотренные выше примеры математических моделей химико-технологических процессов при сильно упрощенных условиях их проведения, естественно, иллюстрируют лишь незначительную часть всего многообразия процессов химической технологии и не имеют целью охватить все стороны проблемы математического моделирования. Вместе с тем следует еще раз подчеркнуть, что успешное решение задачи построения в достаточной мере адекватных математических моделей определяет и успешное применение методов оптимизации, от которых при этом можно ожидать реального экономического эффекта. [c.90]

Рассмотрено применение системного анализа при моделировании и оптимизации процессов получения синтетических жидких топлив. Описаны химико-технологические процессы, протекающие на различных стадиях производства синтетических жидких топлив. Представлены математические модели и алгоритмы их решения на ЭВМ. Даны примеры использования системного анализа при получении метанола и компонентов синтетических жидких топлив. [c.144]

Для иллюстрации применения метода линейного программирования к решению задачи реального нефтеперерабатывающего завода ниже приводится описание процесса составления математической модели для случая компаундирования бензина. (Приводимый пример является совершенно условным и упрощенным, но он достаточно наглядно показывает введение рассмотренных выше видов условий при подготовке задачи для решения методом линейного программирования.) [c.17]

Рассмотрим применение метода обучающейся модели для создания математической модели процесса контактного гетерогенного окисления на примере превращения фурфурола в малеиновый ангидрид. [c.268]

Другим примером может служить разработанная автором математическая модель по организации строительства [22]. Применение этой модели позволило сократить срок строительства проектируемого объекта примерно на 10—15% не за счет дополнительного привлечения трудовых, энергетических и других ресурсов, а вследствие выбора рациональной (оптимальной) последовательности ведения работ. Выбор оптимальной последовательности ведения работ при количестве процессов Wfe = 10 и числе объектов = 6 без применения ЭВМ и математического аппарата практически невозможен. [c.18]

Наибольший интерес представляет общее решение задачи, позволяющее рассмотреть все значения параметров, которые могут встретиться на практике. При изменении значений параметров системы дифференциальных уравнений в общем случае изменяется как число, так и устойчивость положений равновесия этой системы. Поэтому полностью решить задачу об устойчивости реактора к малым возмущениям — это значит определить разбиение пространства параметров его математической модели на области, различающиеся числом, типом и устойчивостью положений равновесия. Ниже на некоторых примерах показано применение методов теории устойчивости. Более подробно этот вопрос изложен в [15, 16]. [c.578]

Этот вопрос может быть подвергнут рациональному обсуждению лишь в рамках современного учения о моделировании. В первую очередь надо заметить, что линейное соотношение между какими-либо физическими величинами — это, подобно уравнению Шрё-дингера, та же математическая модель только предельно простая. Часто в физике анализ проблемы упрощается благодаря применению линейной модели . Отсылаем за примерами к цитируемой статье [97]. Но между сложностью математической модели— математической формой зависимости между какими-либо объектами й сложностью их самих существует обратное отношение. [c.331]

В зависимости от объема предоставленной исходной информации, от требований, предъявляемых к точности расчета по модели, от ограничений на затраты машинного времени, объема занимаемой . памяти ЦВМ, организации и периодичности расчетов в математической модели может быть усилена либо стохастическая, либо детерминированная часть. Возможно применение только стохастической адаптивной модели, приведенной на с. 43 сл. Про-гра(мма расчетов параметров по математической модели, составленная на алгоритмическом языке Фортран-4 приведена в табл. 17 [13]. Примеры расчетов даны в табл. П-15. Исходная информация для расчетов взята из таблиц 18—27 [13]. Погрешность расчета концентраций растворенных веществ в анолите и католите по математической модели не превышает б—7% от измеренных значений. Примеры расчета других параметров процесса и его погрешности даны при получении соответствующих зависимостей для этой цели (см. с. 47—61). [c.73]

В гл. 8 и 9 анализируется влияние на поведение динамических систем со стороны цветного шума, т. е. таких флуктуаций в свойствах окружающей среды, которые обладают конечным временем корреляции, сравнимым с характерными собственными временами динамической системы. Здесь вновь подробно и в доступной форме обсуждаются детали математического аппарата, приспособленного для исследования этих вопросов. После математического обсуждения авторы приводят примеры применения изложенных методов к решению различных важных в практическом отношении задач. Среди них можно отметить изучение неустойчивостей в нематических жидких кристаллах, анализ моделей генетической динамики биологических сообществ, а также подробное исследование воздействия электрических шу MOB на проводимость биологических мембран [c.6]

Ниже приводится пример применения математической модели для расчета характеристик сажеобразования в турбулентном пламени гомогенных кероо1новоздушных смесей, которые бьши получены экспериментально и приведены в разд. 2.2. При этом процесс горения рассматривается как квазиламинарный и реальный турбулентный фронт пламени моделируется искривленным ламинарным, что соответствует широко используемому в литературе (см., например [20]) механизму поверхностного горения. [c.61]

Исходя из специфики режима фонтанирования тонких дисперсий, можно заключить, что основной вклад в гидродинамическую структуру потоков в аппаратах с фонтанируюш,им слоем вносит газовая фаза. Это накладывает свои особенности на стратегию формирования математического описания физико-химических нроцессов в аппаратах фонтанирующего слоя. Основные этапы этой стратегии сформулируем на примере построения математической модели фонтанирующего слоя в специальных аппаратах с плоскими камерами, снабженными наклонными перегородками (см. рис. 3.7). Аппараты такой конструкции находят широкое применение, например, для сушки термонеустойчивых порошкообразных препаратов в фармацевтической промышленности [63]. Эффективность протекающих в них процессов тепло- и массообмена в значительной мере определяется аэродинамикой фонтанирующего слоя. [c.173]

В проектировании различных систем, например, организационноэкономических, производственных с применением ЭВМ, также широко используется принцип модульности. В этом случае модулями будут математические модели, онисываюнще с достаточной степенью достоверности процессы проектируемой системы. Так, при проектировании организационно-экономической системы — автоматизированной системы управления предприятием (АСУП) — создается библиотека машинных программ решения типовых задач управления. Примером такой задачи может служить модель сбыта [c.49]

Приведем еще один пример несистемного подхода в практическом применении математической модели. В конце 80-х годов осуществлялось технико-экономическое обоснование противопаводковых мероприятий на большом протяжении рек Читинка, Амга, Перча, Селенга и др. в Читинской области. Научной основой такого обоснования служат гидравлические расчеты неустановившегося медленно изменяющегося движения воды в естественном русле и пойме с выбором основных параметров обвалования территорий, подвергающихся затоплениям. Высокие половодья на этих реках происходят, как правило, в конце весны — начале лета в соответствии с их снеговым питанием и имеют достаточно большую продолжительность (от трех недель до двух месяцев). На реках расположено большое число городов и поселков, подвергающихся периодическим затоплениям, а также значительные площади ценных для сельскохозяйственного использования земель. Проводить сплошное обвалование этих рек не предполагалось. Однако анализ выборочного обвалования потребовал рассмотреть участки рек на большом протяжении (80-200 км для каждой из них). К тому времени уже была создана компьютерная программа расчета неустановившегося медленно изменяющегося движения воды в естественном русле. Численный алгоритм обеспечивал строгое решение одномерных уравнений Сен-Венана методом прогонки, который основывался на достаточно детальном делении реки на расчетные участки по длине и сравнительно малых интервалах времени. Однако такая высокая детализация не соответствовала той проблемной постановке задачи, которая требовалась в данном случае. В результате многочасового расчета на ЭВМ удалось лишь провести расчет единственного варианта планового расположения дамб по реке Читинка. Использовать компьютерную программу для других рек и для вариантного поиска планового расположения дамб оказалось невозможно. Для выполнения задания по проекту пришлось составить новую специальную программу расчета кривой свободной поверхности (т. е. установившегося движения воды), оценивающую оперативные изменения информации о положении дамб. Расчеты проводились для расходов, близких к максимальным половодным расходам, хотя формально в данном случае это не вполне корректно. Однако эти расчеты достаточны для оценок стоимости дамб на предпроект-ной стадии. В работе [Левит-Гуревич, 1996] показано, что необходимо установление соответствий между классификацией методов решения гидравлических задач и классификацией их проблемных постановок. Несоответствия между методом расчета и изложенной постановкой задачи устраняются посредством различных модификаций метода мгновенных режимов, которые отвечают необходимым расчетным параметрам и удобно вписываются в технические условия [Грушевский, 1982] [c.21]

Предыдущие примеры демонстрируют применение математической модели верхнего уровня в квазнстатическом режиме, при этом в уравнении (5.93) величина дТ1дх = ДГ/Дт = О (см. уравнение (5.63)). [c.427]

Если бы ЛЛИ известны точно значения всех элементов матриц II и IV, входящих в расчетные выражения тина (ХГЗ , можно было бы получить точные значения всех искомых нараметров для любой формы моделей реакций и реакторов и любых условий проведения процесса. Но так как значения этих элементов зависят от значений параметров, заранее неизвестных, то даже при условии, что точно известна форма математической модели, невозможно вычислить все производные, входящие в указанные расчетные выражения. Поэтому значения производных определяются экспериментальным путем, для чего должен быть проведен специальный эксперимент. Если эксперимент проводится по специальному факторному плану, то оказывается возможным написать сравнительно простые расчетные выражения для элементов матриц 17 л . Некоторым недостатком рассмотренного метода следует считать необходимость проведения эксперимента по специальному плану, т. е. невозможность обработки неплапированных экспериментальных данных. Более существенным недостатком является необходимость экспериментального определения первых или даже вторых производных от скорости реакций, что в случае проведения экспериментов в интегральном реакторе фактически означает определение вторых и третьих смешанных производных от концентраций. Как отмечалось выше, даже однократное дифференцирование экспериментальных данных вносит значительные ошибки в результаты обработки. При определении же производных высших порядков эти ошибки существенно возрастают. К сожалению, авторы слабо иллюстрируют возможность метода на конкретных численных примерах с анализом погрешностей оценки кинетических констант, поэтому вопрос о корректности применения метода остается неясным. [c.433]

Приведены развернутые примеры применения реализации процедур переработки информации, которую несут в себе диаграммы связи при описании ФХС. Среди них важную методологическую роль играют построение математической модели химического процесса в типовом проточном реакторе смешения с теплообменными элементами, а также построение моделируюш его алгоритма динамики фонтанируюш его слоя и анализ основных гидродинамических закономерностей режима фонтанирования в аппаратах химической технологии. [c.293]

Существенным отличием ИАССУ от традиционных АСУ является принцип работы блока математических моделей — Л/ . Задачи из М решаются по запросу из БЗ при необходимости генерации соответствующих новых знаннй и дан> ых. Это обеспечивается наличием в БЗ фреймов, описывающих знания о математических моделях, условиях их применения и выходных данных, получаемых при решении. Означивание прото-фреймов во фреймы-примеры при смысловом, или логическом, выводе осуществляется путем [c.270]

Таким образом, здесь, как и в предыдущих примерах, учитываются причинно-следственные связи изучаемого явления, что значительно облегчает построение математической модели и способствует ее вычислительной устойчивости. При решении на аналоговой вычислительной машине уравнение Г = К (Р — 2 PqYi) преобразовывается в дифференциальное уравнение dTidt = K Pq PqY )-На рпс. V-3 показана блок-схема решения модели на аналоговой вычислительной машине. В качестве интегратора здесь применен операционный усилитель с большим коэффициентом усиления и с конденсатором малой емкости (0,001 мкф), включенным в цепь обратной связи. Выбрав величину К = -j-lO (что определяется допустимой ошибкой интегрирования), получим время интегрирования порядка 10" 3 сек, а разность между Р и 2 Ро Y сводится практически к нулю. [c.92]

Во избежание чрезмерного усложнения математической модели привода следует учитывать только те нелинейности, которые в данном случае могут оказать основное влияние на его динамику. При нескольких нелинейностях модель привода становится достаточносложной, и тогда исследования целесообразно вести с применением аналоговых или цифровых вычислительных машин. Если изучается влияние какой-либо одной или двух нелинейностей, то обобщенный результат можно получить с помощью методов теории автоматического регулирования и управления. Для примера рассмотрим задачу о влиянии сухого трения в золотниковом распределителе на устойчивость электрогидравлического следящего привода при отсутствии нагрузки на шток гидроцилиндра. Пусть привод имеет гидроусилитель с управляющим элементом сопло-заслонка и золотником, на который действуют усилия пружин. Прежде всего составим математическое описание гидроусилителя с учетом силы трения, действующей на золотник [14]. [c.406]

Математическое моделирование — основной способ применения математики в приложениях. Уравнения механики, диффузии и т. п. — это все математические модели реальных и очень сложных событий. Основой для математического моделирования является формализация ситуаций, т. е. описание реальных объектов (процессов) на математическом языке. При этом, разумеется, следует учитывать и конечную цель задачи, чтобы выбрать соответствующий уровень подробности. Так, в примере 1 (стр. 24) мы описали математическую модель, обозначив аппараты точками на плоскости. При этом игнорировался целый ряд параметров, которые специалисты могут связать с реальными системами, а оставлен только один, поскольку в данной задаче аппарат пас интересовал только как место пересечения номмуникаций. Обычно для такого описания достаточно языка теории множеств. [c.23]

В книге впервые систематически изложены метлды математического моделирования непрерывных процессов растворения и выщелачивания. Приведены общие принципы математического моделирования процессов растворения и даны л1етоды расчета этих процессов с помощью электронных вычислительных машин. Детально рассмотрен вопрос об объеме информации о кинетике процессов, необходимом для построения математической модели, и о способах экспериментального пол (чения атдй информации. Специальный раздел посвящен применению математических методов для расчета оптимальных режимов непрерывных процессов. Большое внимание уделено конкретным примерам. [c.2]

Этот вычислительный блок является хорошим примером применения списка параметров аппарата EN. (Для иллюстрации трех блоков, приведенных на фиг. 6.1, этот блок не подходит, так каь в нем подблоки ввода информации и расчета объединены.) Рассмотрим-последовательно пять этапов разработки математическо модели вычислительного блока MIXER6. [c.160]

В ГЛ. 4—12 последовательно развивалась стратегия математического моделирования процессов, которая иллюстрировалась главным образом на примере сернокислогного производства. В настоящей главе были обобщены этапы этой стратегии и показаны основные ее положения на примере других производств. Здесь описаны случаи применения математического моделирования и сформулированы требования, предъявляемые к математическим моделям. [c.321]