Методы решения задач оптимизации с ограничениями

Рассмотренные в настоящей главе примеры использования метода множителей Лагранжа для решения задач оптимизации с ограничениями типа равенств или задач, сводимых к этому классу, показывают, что данный метод представляет собой достаточно удобный математический аппарат, позволяющий ставить и решать довольно сложные оптимальные задачи для процессов с сосредоточенными и распределенными параметрами. Как отмечено ниже (см. главу VII), метод множителей Лагранжа при отсутствии ограничений на переменные процесса типа неравенств приводит к уравнениям, которые иногда совпадают с основными уравнениями методов, специально созданных для решения широкого класса задач оптимизации, таких, например, как принцип максимума. [c.200]

При решении задач оптимизации химико-технологических процессов очень часто ограничения на управляющие переменные являются линейными. Часто они имеют характер простых ограничений на максимальные и минимальные значения соответствующих управляющих переменных (1,9). В схемах, как правило, имеются делители потоков, на коэффициенты деления которых налагаются линейные ограничения вида (1,7). Особенно много таких ограничений будет в задачах синтеза при применении метода структурных параметров (см. гл. VI). Конечно, для решения задачи оптимизации с линейными ограничениями, можно использовать общие методы, разработанные для случая произвольных ограничений. Однако этот случай можно рассматривать отдельно по двум причинам. Первая из них состоит в том, что в задачах, где имеются только линейные ограничения, удается построить более эффективные алгоритмы, используя линейный характер ограничений. Вторая причина состоит в следующем. Математические модели отдельных аппаратов часто могут работать только в некоторой допустимой области. Скажем, если во время оптимизационной процедуры концентраций какой-либо компоненты на входе реактора примет [c.149]

Форма ограничений (в виде равенств или неравенств) оказывает существенное влияние на выбор метода решения задачи оптимизации. [c.11]

Линейное программирование — это метод для решения задач оптимизации с линейными выражениями для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных. Такие задачи часто встречаются при оптимальном планировании производства с ограниченным количеством ресурсов, для обеспечения оптимального использования оборудования или экономичных перевозок (транспортная задача) и др. [c.249]

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ [c.89]

Динамическое программирование хорошо приспособлено для решения задач оптимизации многостадийных процессов, особенно тех, в которых состояние каждой стадии характеризуется относительно небольшим числом переменных состояния. Однако при наличии значительного числа этих переменных, т. е. при высокой размерности каждой стадии, применение метода динамического программирования затруднительно вследствие ограниченных быстродействия и объема памяти вычислительных машин. [c.30]

При постановке любой задачи оптимизации часть переменных (I, 61) (в частном случае все) принимаются в качестве поисковых (независимых), а часть — в качестве зависимых. Поисковыми, или независимыми, называются переменные, в пространстве которых ведется поиск минимального значения критерия (I, 15). Зависимыми переменными являются те из переменных (I, 61), которые на каждом шаге процедуры оптимизации, т. е. при каждом вычислении критерия (1, 15), определяются с помощью систем (1, 53), (I, 54), (I, 56) или их частей для заданных значений независимых переменных. При этом та часть системы (I, 53), (I, 54), (I, 56), которая используется для определения зависимых переменных, будет автоматически удовлетворяться на каждом шаге оптимизации, уравнения же оставшейся части системы (I, 53), (I, 54), (I, 56) необходимо считать ограничениями типа равенств и учитывать с помощью методов условной минимизации. Метод решения задачи оптимизации ХТС существенно зависит от того, какие из переменных (I, 61) будут взяты в качестве поисковых, а какие — в качестве зависимых, какие из уравнений (I, 53), (I, 54), (I, 56), (I, 58) будут удовлетворяться автоматически на каждом шаге оптимизации, а какие необходимо считать ограничениями типа равенств в соответствующей задаче на условный экстремум. [c.21]

Рассмотренные в главе IX методы нелинейного программирования предназначены для решения задач оптимизации с критерием оптимальности, сформулированным как нелинейная функция независимых переменных, на допустимую область изменения которых накладываются ограничения, имеющие вид равенств или неравенств, возможно также нелинейного вида. Как правило, решение подобных задач методами нелинейного программирования требует значительного объема вычислений и сопряжено с определенными трудностями, обусловленными особенностями целевой функции и ограничений. [c.547]

Для выполнения операций рассматриваемого этапа процедуры оптимизации адсорбционной установки в условиях неполноты исходной информации кроме изложенного может быть применен и другой подход, базирующийся на представлении всей используемой информации (кроме детерминированной) как случайной. Должно быть намечено несколько вариантов наиболее вероятных законов ее распределения. Для решения такой задачи стохастического программирования в принципе могут применяться такие же методы, что и для решения задач оптимизации в детерминированной постановке. Однако систематизированные конструктивные проработки алгоритмов имеются лишь для задач линейного и квадратичного стохастического программирования. Существенным недостатком такого подхода является большая трудоемкость расчетов, что, естественно, ограничивает область применения строгих методов решения задач и вызвало появление приближенных методов, например метода статистических испытаний (метод Монте-Карло). Значительный интерес для решения стохастических задач представляет использование итерационной многошаговой процедуры, в основу которой положены идея стохастической аппроксимации для учета случайных величин и метод штрафных функций для учета ограничений [51]. При использовании любого из указанных методов следует помнить, что решение задачи всегда будет иметь погрешность вслед- [c.163]

Присутствие ограничений первой группы существенно усложняет задачу оптимизации и требует применения наиболее универсальных методов решения задач с ограничениями — методов последовательной безусловной минимизации. Эти методы изложены в следующем разделе. С другой стороны, если в задаче имеются только линейные ограничения второго типа, то здесь более эффективными могут оказаться методы оптимизации, специально разработанные на случай наличия линейных ограничений. Такие методы рассмотрены в последнем разделе данной главы. [c.144]

Процедура решения задачи оптимизации заключается в нахождении с помощью ЦВМ каким-либо методом таких управлений, при которых основной критерий достигает максимума (минимума) при соблюдении уравнений связи, ограничений и условий, налагаемых на остальные показатели качества работы объекта. Методы решения задачи оптимизации зависят от вида математической модели, критерия, ограничений и ряда других факторов. [c.8]

Решение задачи оптимизации (7.13) по критерию (7.17) с использованием математической модели статики контактного аппарата и учетом ограничения на температуру слоя катализатора методом поочередного [c.314]

Еш е более важное зпачение приобретает выбор метода численного анализа при решении задач оптимизации. Поиск оптимума функций многих переменных является обычно задачей крайне трудоемкой, поэтому эффективность использования различных методов зависит от класса функций и накладываемых ограничений [1]. [c.33]

Вернемся к рассматриваемой задаче. Поскольку на выбор управляющих воздействий наложено ограничение (4.63), то для решения задачи оптимизации методом динамического программирования введем неопределенный множитель X. Используя X, запишем выражения для оценок оптимальности каждого реактора каскада [c.344]

В ходе поиска было несколько неуспешных шагов, что подтверждает наличие овражной ситуации. Последняя, однако, в данной задаче оказалась, вероятно, довольно слабо выраженной. Это позволило успешно использовать одну из наиболее простых модификаций метода градиента для решения задачи оптимизации квазистатического режима работы реактора как в постановке без дополнительных ограничений, так и с дополнительным ограничением на конечную концентрацию исходного вещества. [c.217]

Решение задачи оптимизации непрерывного реактора идеального вытеснения в общем случае значительно более сложно, чем оптимизация реактора идеального смешения. Это в первую очередь обусловлено тем, что реактор вытеснения представляет собой объект с распределенными параметрами и его математическое описание содержит дифференциальные уравнения, решение которых в аналитической форме может быть получено лишь в весьма ограниченном числе случаев. В связи с этим ниже рассмотрены некоторые частные задачи оптимизации реакторов идеального вытеснения, которые можно решить при использовании методов исследования функций классического анализа в аналитической форме либо в форме процедуры вычислений, приводящей к определению оптимальных условий. [c.117]

Данное пособие не претендует на полное изложение моделей процессов химической технологии. Из-за ограниченного объема книги авторы сочли возможным не включать в нее раздел, посвященный химическим реакторам, которые обычно рассматриваются в специальной литературе. Не включено в пособие моделирование таких процессов, как измельчение, фильтрация, псевдоожижение, флотация и т.п. Тем не менее авторы надеются, что будет достигнута основная цель книги — привить студентам навыки активного использования метода математического моделирования для решения задач оптимизации и проектирования процессов химической технологии. [c.5]

Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, характеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ [10] и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном [23] в качестве обобщенного критерия оптимизации так называемой обобщенной функции желательности О. Для построения обобщенной функции желательности О предлагается преобразовать измеренные значения от- [c.207]

Нахождение оптимума функции цели в общем виде с применением методов математического программирования оказывается очень сложным. Операция заметно упрощается, если уравнениями связи деталей выразить некоторые из параметров через соподчиненные эксплуатационные показатели. Это позволяет оптимизировать функции цели методом математического анализа комбинируя его при необходимости с известными методами программирования. В решении задач оптимизации соподчиненные эксплуатационные показатели задают фиксированными значениями и неравенствами ограничений, определяющими два варианта уточненного расчета функциональных параметров. [c.31]

Недостатком данного метода является необходимость многократно решать задачу нелинейного программирования с ограничением. Поэтому рассмотрена возможность решения задачи оптимизации схемы как единого целого при применении к ней тех же методов оптимизации, что и к одному фильтру. В этом случае увеличивается число переменных пропорционально числу ступе- [c.180]

Отдельные примеры решения задач оптимизации и автоматизации режима работы установок также будут рассмотрены для данного вида двухступенчатой ВУ или ее упрощенного варианта. Такой подход в методическом отношении является оправданным, так как, во-первых, выбранная установка обладает многими особенностями различных видов ВУ как объектов оптимизации и автоматизации и, во-вторых, имеется возможность в рамках ограниченного объема книги изложить основной круг вопросов, относящихся к решению поставленных задач методами системотехники. [c.7]

Выбор метода решения задачи. Целевая функция (59) и условия оптимизации (56) и (57) зависят от варьируемых параметров нелинейно. На переменные и их функции наложены ограничения, обусловленные условиями задачи. В связи с этим аналитическое решение системы дy д = 0 (г = I, [c.109]

Рассмотренный подход к решению задачи отличается от обсужденного ранее метода решения задачи управления с запаздыванием тем, что при этом требуется знание аналитического решения уравнения (1). На базе аналитического решения строится оптимальное решение в предположении, что оно удовлетворяет критериям управления и ограничениям. В дискретной формулировке уравнения в конечных разностях решаются, если даже не известно формальное аналитическое решение уравнения (1). Нахождение аналитического решения по методу, данному в этом разделе, требует очень большой вычислительной работы. Метод конечно-раз-ностной аппроксимации сводит решение рассматриваемой задачи непосредственно к решению задачи управления и, следовательно, не требует нахождения аналитических решений исходного уравнения и последующей их оптимизации. Подход, связанный с определением аналитических решений, имеет то преимущество, что для описания системы требуются только две переменные состояния Ь и Т, тогда как предыдущий метод требует большого числа переменных состояния системы. [c.299]

Для решения задач оптимизации используют аналоговые вычислительные машины. При введении ограничений предложена следующая модификация метода барьерных штрафных функций [c.34]

В связи со сказанным выше представляется целесообразным находить оптимальные условия проведения ионообменных процессов, используя математические модели. Это расширяет возможности решения задачи оптимизации, так как варьирование параметров проводится не экспериментально, а на математической модели, записанной в виде программы для ЭВМ [2, 3]. В этом случае варьируются все параметры опыта в широком диапазоне их изменения с любой заданной точностью. В настоящей статье излагаются принцип и результат оптимизации некоторых типичных ионообменных процессов, которые реализуются в следующем порядке 1) формулировка критерия оптимальности 2) выбор параметров оптимизации и обоснование ограничений 3) выбор метода оптимизации 4) обоснование математической модели процесса. [c.169]

В прямых методах оптимизации при наличии ограничений (блок О) возможны два подхода к решению задач. При первом подходе непосредственно решается задача отыскания условно- [c.179]

При первом подходе указанный учет производится в методе оптимизации, и в оптимизационной задаче появ.ляются ограничения тина равенств. Известно, что наличие таких ограничений существенно усложняет решение задач оптимизации. С другой стороны, схема рассчитывается без итераций. При втором подходе ограничения [c.20]

Если структура функционала (2.1) фиксирована и фо])ма оператора Ф выбрана заранее (например, в виде уравнения регрессии, дифференциального оператора, булевой функции и т. д.), то решение указанной проблемы реализуется обычными методами оптимизации. При этом используется либо аналитический, либо алгоритмический путь решения. Аналитический путь приводит к явному формульному решению задачи, однако возможности его весьма ограниченны. Алгоритмические методы не дают компактного формульного решения задач, а лишь указывают алгоритм, реализация которого приводит к решению. Последние обеспечивают не столько решение, сколько способ его нахождения с помощью рекуррентных итеративных процедур, составляющих основу так называемых регулярных алгоритмов оптимизации. Ука- [c.82]

До сих пор рассматривались методы решения задач оптимизации с ограничениями путем превращения их в последовательность задач без ограничений. Однако существуют методы оптимизации, в которых учитываются ограничения при выборе направления поиска и длины шага на каждой итерации. Этот подход реализуется в методе допустимых направлений, предложенном Зойтендейком [931. [c.216]

Приведенный обзор подтверждает, что уровень разработанности методов поиска абсолютного экстремума в многоэкстремальных задачах позволяет ориентироваться на практическое использование только приближенных методов. Некоторая компенсация этого недостатка и получение достаточно точных для инженерных целей результатов возможны за счет увеличения знаний о свойствах решаемой задачи. В связи с этим при решении задач оптимизации параметров и профиля адсорбционных установок необходимо проводить всестороннее и неоднократное изучение характера изменения минимизируемой функции и функций ограничения. Для исследования области оптимальных решений разработан и реализован на ЭВМ подход, базирующийся на использовании метода двупараметрических сечений. В результате таких исследований получаем сведения о структуре допустимой области изменения параметров, о местах, подозреваемых на оптимум, и т. п. Все это позволяет достаточно обоснованно установить рациональную организацию процесса спуска, в частности [c.155]

При решении задач оптимизации химико-техпологических процессов очень часто ограничения на управляющие переменные являются линейными. Так, ограничения (1,2) зачастую представляют собой простые ограничения на максимальные и минимальные значения соответствующих управляющих переменных (П,1). В схемах, как правило, имеются делители потоков , на управляющие переменные которых налагаются линейные ограничения вида (11,2). Особенно много таких ограничений в задачах синтеза (с. 18) при использовании метода структурных параметров. Конечно, для решения оптимальных задач с линейными ограничениями возможно применение общих методов, разработанных для произвольных ограничений. Однако целесообразно анализировать этот случай отдельно, поскольку, используя линейный характер ограничений, удается построить более эффективные алгоритмы. [c.190]

Для определения можно использовать прием линеаризации [92, с. 49]. Применяя правила дифференцирования сложных и неявных функций, легко получить формулы для определения производных функции (IV, 143) по переменным и [92, с. 49]. Для решения задачи (IV, 144), (IV, 145) используется метод сопряженных градиентов, модифицированный для учета ограничений (IV, 145) (МОПГ) он был предложен в 1968 г. и является обобщением метода приведенного градиента, разработанного Вольфом [93] для решения задачи (IV, 1), (IV, 3), (IV, 141) с линейными ограничениями (IV. 3), на случай нелинейных ограничений (IV, 3). Вместе с тем следует отметить, что при решении задач оптимизации в химической технологии этот подход введения зависимых и независимых переменных для исключения ограничений типа равенства фактически использовался уже в начале 60-х годов. Причем в качестве зависимых переменных обычно выбирались переменные состояния, в качестве независимых — управления [94], а в качестве ограничений типа равенств выступали математические модели блоков и уравнения связи. На основе этого подхода был дан способ вычисления градиента функции (IV, 143) для ряда типовых схем [95, 96]. Имеется также более удобный способ вычисления производных функций (IV, 143) для общего случая [97]. В чистом виде МОПГ эквивалентен задаче 2 оптимизации ХТС [см. соотношение (1.71), (1.72)]. либо задаче 1 [см. соотношения (1, 64)—(I, 66)], когда ограничения (I. 10) отсутствуют, [c.157]

Метод геометрического программирования возник и развивался в связи с задачами инженерного проектирования и имеет целью решение задач оптимизации, в которых критерий оптимальности и ограничения на переменные представляются в виде поло- жительных полиномов, называемых также позшомами [I], вида [c.547]

Можно обратиться также к методу ветвей и границ, широко используемому для численного решения задач дискретного программирования. Известно его эффективное применение для решения задач оптимизации электрических сетей, описанное в работах А.И. Лазебника и О.Н. Цаллаговой [105]. Реализованный ими алгоритм ограниченного перебора вариантов сети основан на последовательном делении множества допустимых [c.185]

Во втором разделе излагаются. методы решения задач опти изации, которые обычно называются методами нелинейного программирования, связанные с решением задач как условной, так и безусловной оптимизации функций. многих переменны х. При этом и целевая функция и ограничения нелинейньг по независимым переменны.м. При изложении этого раздела мы в основном придерживаемся работ [4 , 5], [6]. [c.4]

Следует отметить, что каждый из методов решения оптимальных задач, в том числе и упомянутые выше методы, имеют свои достоинства и недостатки. Динамическое программирование целесообразно применять для решения задач с ограничениями. Поскольку при его использовании приходится вьпшслять и запоминать сетку значений для переменных каждого из оптимизируемых звеньев ХТС в отдельности, возникают значительные трудности из-за ограниченного объема запоминающих устройств ЦВМ. Применение принципа максимума, особенно для оптимизации сложных ХТС, позволяет уменьшить эти трудности, поскольку для всех звеньев получают одно решение, а затем его последовательно улучшают. В частности, для упомянутой выше задачи время, потребное для ее решения методом дашамического программирования, оказалось приблизительно в 11 раз больше, чем при ее решении по принципу максимума [20,с.116]. [c.16]

Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, характеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов, является использование предложенной Харрингтоном в качестве обобщенного критерия оптимизации так назьгааемой обобщенной функции желательности В. Для построения обобщенной функции желательности Г) предлагается преобразовать измеренные значения откликов в безразмерную шкалу желательности й. Построение шкалы желательности, которая устанавливает соотношение между значением отклика у и соответствующим ему значением с1 (частной функцией желательности), является в своей основе субъективным, отражающим отношение исследователя (потребителя) к отдельным откликам. [c.205]

Приведенные выше задачи оптимизации надежностп ХТС являются задачами целочисленного нелинейного программирования с линейными или нелинейными ограничениями в виде неравенств. Предложены различные методы решения основных задач оптимизации резервирования технических систем, которые рассмотрены в разделе 8.2. Все указанные методы решения основных задач оптимизации резервирования ХТС и различных технических систем [2, 7, 231, 237] являются одноуровневыми. Они учитывают влияние включения резервных элементов на повышение надежности системы без использования обобщенных технико-экономических показателей. В качестве КЭ оптимального резервирования в данных методах используются лишь капитальные затраты на резервные элементы системы или величина Р(Х). [c.204]

Метод неопределенных множителей Лагранжа при решении задач оптимизации достаточно прост и удобен. Однако в более сложных случаях (например, при ненагруженном или облегченном резервировашш, при наличии нескольких ограничений и т. д.) его использование не всегда позволяет найти аналитическое решение и,поэтому приходится применять численные методы, из-за чего преимущества мегода множителей Лагранжа теряются. [c.774]

В то же время моделирование в области химизации народаого хозяйства как самостоятельное направление практически не разработано. Его элементы црисутствуют в основном щ)и решении задач оптимизации потребления конечных химических цродуктов, а также развития и размещения крупнейших отраслей - потребителей химических материалов, где потребность в них представлена в виде ограничений. Расширение сферы использования моделей межотраслевых балансов и межотраслевых взаимодействий, имитационных моделей, методов нормативного и экстраполяционного црогнозирования, экспертных аналитических оценок является одним из наиболее продуктивных [c.92]

Поскольку для производства фосфорных удобрений используется несколько видов фосфатного сырья, от химического состава и методов переработки которых зависит концентрация питательных веществ в готовых удобрениях, в первую очередь было решено оптимизировать размещение производства этих удобрений. На первом этапе решения данной задачи учитывались ограничения ресурсов отдельных видов фосфатного сырья. При подготовке исходной информации для первого этапа решения задачи — оптимизации размещения производства фосфорных и фосфорсодержащих сложных удобрений затраты на азотные и калийные компоненты включались в сумму приведенных затрат в минимальном размере. В связи с этим было принято, что указанные компоненты поставляются ближайшими азотными и калийными предприятими, производящими наиболее дешевую продукцию. [c.240]

Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения все же можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого процесса. К сожалению, и общем случае не представляется возможным указать достаточно удобные методы решения вариационных задач с ограничениями тйпа неравенств. Поэтому для каждого конкретного процесса приходится искать са.мый удобный прием или же решать задачу с помощью других методов, например динамического программирования или принципа максимума, более приспособленных для решения таких адач. [c.222]